Gepensioneerd en toch nog tijd om te bloggen.

Een aanvulling op twitter-account @eskorthof en dan met meer dan 140 tekens.

vrijdag 1 juni 2018

Een beter examen?



Mijn reactie op de column van Karin den Heijer in de NRC over het samenstellen van examens.

Karin den Heijer heeft het o.a. over het examen wiskunde. Bij de vakken wiskunde A en C dienen de leerlingen zich inderdaad door lappen tekst heen te werken voor ze zich een beeld zouden kunnen vormen van wat nu eigenlijk de vraag is, maar bij wiskunde B, het laatste VWO-examen kom ik eigenlijk maar één onderdeel (Sheffield Winter Garden) tegen waar de opgave in de (con-)tekst wordt ge- ofwel verstopt. Je kunt je afvragen waarom dat nodig is en of de vraagstelling op zich ook sec geformuleerd had kunnen worden, misschien zelfs met de mogelijkheid om er een exact antwoord op te geven. Wat vinden bijvoorbeeld die hoogleraren en docenten HBO of VO daar nou van?
Karin’s voorstel is om de examens door te laten rekenen door hoogleraren, nadat de toetsenmakers, niet alleen VO-docenten, maar ook docenten die lesgeven in het eerste jaar van het MBO, HBO en WO het hebben opgesteld. Dat lijkt me enerzijds een goed en constructief idee, maar aan de andere kant zie ik een paar haken en ogen, als je ze zo noemen wilt.
Ik denk dat de docenten uit het vervolgonderwijs niet alleen graag mee willen praten en denken over de inhoud van het examen maar misschien nog liever over de inhoud van het curriculum. Op dat punt leven er veel wensen, omdat het huidige curriculum volgens een aantal vervolgopleidingen niet goed aansluit en dus (veel) te wensen over laat. Dit ondanks het Ctwo-project waarbij gestreefd werd naar inspraak van die vervolgopleidingen. 
Maar vermoedelijk zal, als die wensen ten aanzien van het curriculum ter tafel komen, er een veelheid en verscheidenheid aan verlangens genoemd worden die moeilijk in een bondig curriculum optimaal kunnen worden verenigd, omdat die vervolgopleidingen nogal zeer divers zijn. Eigenlijk laat dat Ctwo-project, net als elke curriculum-wijziging in het verleden, al zien dat elke poging weer tot nieuwe kritiek en verlangens leidt.
En gaat het niet alleen over de inhoud van het examen maar ook over het curriculum dan spelen, ondanks het feit dat Karin bij het opstellen van de examens didactici en onderwijskundigen wil uitsluiten, juist ook onderwijskundige en didactische aspecten een voorname rol, domweg omdat docenten zelf nu eenmaal vanuit hun beroep en opleiding, hun expertise en ervaring, daarmee “besmet” zijn.  En op dit punt is er ook de nodige verscheidenheid, zo niet vel tegenstelling.
Je kunt deze kennelijke obstakels constateren en het erbij laten, maar ik steun toch Karin de Heijer’s voorstel, want als je er niet aan begint dan verandert er niets. Maar het zal altijd leiden tot compromissen. Hopelijk zijn die beter dan de huidige vormen van examinering. 
Karin den Heijer noemt ook de al te taligheid van het examen biologie en dat het examen Nederlands geen Nederlands toetst. Er zijn natuurlijk veel meer vakken en het lijkt me zinvol om de discussie over de voorgestelde opzet te verbreden naar alle vakken.  Is het voorstel zinvol, is het mogelijk, kan de eventuele kritiek op de huidige examens er adequaat mee opgelost worden? Wat willen we precies toetsen en hoe willen we dat? En wie zijn wij, dat we iets kunnen veranderen?


maandag 29 januari 2018

Delen door een GETAL is vermenigvuldigen met het omgekeerde.


Op Twitter kwam onlangs de volgende vraag voorbij:
Crowdsourcing ideas. All responses welcome: why does 1/2 ÷ 1/4 = 1/2 × 4?”
en daaraan toegevoegd
“You have a different way of looking at this? Anything you've got I'm open to.
En daar volgde natuurlijk een stroom van reacties op. Hieronder een weergave van mijn reacties.


Het (bekende ?) regeltje.

Vooral degenen die opgevoed zijn met de traditionele rekenmethodes zullen meteen zeggen: “Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde”. Als één van de (vele) kritiekpunten om de huidige realistische rekenmethodes geldt dat deze regel niet meer gekend wordt omdat de breuken in het verdomhoekje zijn geraakt. Het tij lijkt wat dat betreft weer te keren, getuige bijvoorbeeld de volgende pagina uit een boek van Getal & Ruimte:



Er was één opvallende reactie, die stelde dat het vermenigvuldigen met 4 als je moet delen door ¼ een regel “by common agreement” was. Dus geen “why” maar just “because” en zo heeft misschien menig scholier deze regel ook geleerd en toegepast. Dat is zo omdat het zo is en doe het nou maar want dan klopt het antwoord.

Vanzelfsprekend?

Misschien is het dat op grond van de redenering (een soort definitie van delen: als p : q = r dan is
r x q = p en andersom) : als a÷1/b=c dan is c×1/b=a wat betekent dat c=a×b (tussenstap: links en rechts x b, dus c x 1/b x b = a x b). Maar dat is geen triviale zaak, zeker niet voor leerlingen van de basisschool en dus wat mij betreft dus geen standaardafspraak zonder verder bewijs of uitleg. Anders zou het net zoiets zijn als het uit je hoofd opleren dreunen van de tafels alsof het psalmversjes betrof zonder te snappen wat dat vermenigvuldigen nu precies inhoudt, bijvoorbeeld wel hardop kunnen zeggen “twee keer drie is zes” zonder ook maar enige begrip van en inzicht in ••• + ••• = •••••• (ofwel 2 x 3 = 3 + 3 = 6)

Het waarom.

Maar waarom is het dus, dat als je deelt door een breuk, je net zo goed kunt vermenigvuldigen met het omgekeerde.? Omdat dat gemakkelijke gaat of is er ook een logische verklaring voor?
Nou, er zijn er verschillende te geven.
Bijvoorbeeld omdat delen door 1 een stuk gemakkelijker is. Zorg dus dat de deler 1 wordt door deeltal en deler met hetzelfde getal te vermenigvuldigen. (1/2×4)÷(1/4×4)=(1/2×4)÷1=1/2×4. (je laat uiteindelijk ÷ 1 weg) of nog anders: 1/2 staat tot 1/4 is als 1/2×4 staat tot ¼ x 4 dus als 2 staat tot 1. 
Je kunt het ook op een andere manier uitleggen. Zoals 12 : 3 = 4 omdat 4 x 3 = 12 kun je zeggen: 1/2=2×1/4 en dus 1/2÷1/4=2. Maar dat verklaart helaas niet die factor 4 die het delen door ¼ vervangt. En dit idee gaat lang niet altijd op.

Of op deze manier.

Een andere manier van uitleggen dan. Dat gaat met het Amerikaanse muntstelsel gemakkelijker dan met het Europese. In de USA hebben zo quarters (zoals onze kwartjes vroeger), half dollar munten, dollar-munten en -biljetten en 2 dollar-biljetten.
 

Hoeveel quarters gaan er in een half dollar? dus 1/2 : 1/4. Dat is bijna dezelfde vraag als: hoeveel half dollars gaan en in een dollar. Je verdubbelt de getallen: 2 x 1/2 :  2 x 1/4.
En had je de getallen verviervoudigd, dan kreeg je de vraag: hoeveel dollar gaan er in 2 dollar?
 ½ ÷ ¼ = 1 ÷ ½ = 2 ÷ 1.
Dat doet (weer) denken aan onze verhoudingstabellen.
Iets algemener.

Een wat algemenere benadering van “delen door een getal” geeft de volgende redenering:
a ÷ b = a × 1 ÷ b = a × 1/b , dus de regel is in feite: delen door een GETAL is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde. De regel geldt dus niet alleen voor breuken maar voor elk getal waar je door deelt. Natuurlijk is elk geheel getal ook als een breuk te schrijven, maar toch: de regel is zo algemener.
Om 4 pizza’s over 7 personen te verdelen kun je als volgt te werk gaan: verdeel eerst elke pizza in 7 gelijke delen en neem van elke pizza één deel per persoon:  4 ÷ 7 = 4 × 1/7 .



Deze redenering vond ik bij Jan van de Craats. https://staff.science.uva.nl/j.vandecraats/#breukencursus
Dat 4 : 7 ook 4 x 1/7 is, is misschien een open deur of een omweg omdat je ook meteen zonder pizza’s wel wist dat 4 : 7 = 4/7 , maar als je 2/3 : 5 wilt uitrekenen dan is dit wel gemakkelijk: 
2/3 : 5 = 2/3 x 1/5 = 2/15.

Delen anders definiëren?

Je zou a ÷ b = a × 1/b als een soort definitie van delen kunnen poneren, maar naar mijn idee is delen dan een abstract en een betekenisloos begrip geworden dat niet intuïtief aansluit met wat delen in de praktijk inhoudt.
Op de manier waarop Jan van de Craats deze regel liet zien met pizza’s krijgt het wel iets vanzelfsprekends. Hij formuleert het zo: “Delen door een heel getal is hetzelfde als vermenigvuldigen met de bijbehorende breuk met teller 1.
Voorbeeld: 5 : 7 is hetzelfde als 5 × 1/7”.

Nog een uitleg.

Jan van de Craats merkt op dat als je een getal eerst vermenigvuldigt met 5, en de uitkomst daarna weer door 5 deelt, dan krijg je het getal weer terug waar je mee begonnen was: 
7 × 5 : 5 = 35 : 5 = 7 Dat geldt voor alle getallen, dus ook voor breuken!
Al eerder merkte hij op dat vermenigvuldigen met 4/7 hetzelfde is als eerst vermenigvuldigen met 4, en dan delen door 7. Bij delen door 4/7 moet je dit weer ongedaan maken, dus dan moet je eerst vermenigvuldigen met 7 en dan delen door 4.
Maar dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met 7/4. Delen door 4/7 is dus hetzelfde als vermenigvuldigen met 7/4.
3 x 4/7 : 4/7 = 3 is dus hetzelfde als 3 x 4/7 x 7/4 = 3. (want 1/7 x 7 = 1 en 4 : 4 = 4 x ¼ = 1 en
1/7 x 4 = 4/7  en 7 x 1/4 = 7/4, c.q. 4/7 x 7/4 = 1) 
Dus “In het algemeen: delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk.” Aldus Jan van de Craats’ uitleg van de regel.

En zo leerde ik het:
Als uitsmijter Pete Seeger over het eeuwige waarom “Why oh why?” “Because, because!”
https://www.youtube.com/watch?v=KbzOPQO40Ps

TOEVOEGING: Één van de reacties op de vraag van Steven Delpome (@NA_Dellsey op Twitter) (die hij stelde, omdat één van z'n kinderen van school thuiskwam met die vraag) luidde: 
a/(1/b) asks ‘how many times does 1/b go into a?’. To answer, we recognize that 1/b goes into 1, b times. And 1 goes into a, a times. So 1/b goes into a, ab times.  Thus a/(1/b)=ab. Clear as mud.














donderdag 11 januari 2018

Een paar wiskundige trucjes ontsluierd.


Wiskundig trucje I

Een getal bestaat uit 3 cijfers, waarvan het cijfer voor de honderdtallen groter is dan het cijfer voor de eenheden.
Bijvoorbeeld het getal 321.
Keer het getal om. je krijgt 123.
Trek het tweede getal van het eerste af:  321 – 123 = 198.
Keer dit antwoord om. Je krijgt 891.
Tel het laatste getal bij dat antwoord op: 198 + 891 = 1089

Er komt op deze manier bij een getal met drie cijfers altijd 1089 uit, als het cijfer voor de honderdtallen naar groter is dan het cijfer voor de eenheden.
Dus:

  312
  123
  099      (je moet de 0 wel noteren!)
  990 +
1089

Hoe kan dat?

abc         wordt  omdat c < a en b-1 < b    vanwege het lenen         a – 1   b – 1 + 10   c + 10
cba                                                                                                                c                  b           a    
                                                                                                                   a-1-c   b-b-1+10   c+10-a              

( b-b-1+10 = 9, er zijn dus na deze stap altijd 9 tientallen)

de volgende stap
   a-1-c   9   c+10-a
c+10-a   9     a-1-c +
        10   8           9

Want (tientallen)  9 + 9 = 18 = 8 + 10, 8 tientallen en 1 honderdtal
En (honderdtallen):  a-1+c + c+10-a = 9 en daar komt 1 honderdtal bij.                                                                                                                                             

Wiskundig trucje II

Nummer links en rechts de vingers van je hand van 6 tot en met 10. (de duim is 6, de pink is 10)
Houd nu een vinger links tegen een vinger rechts.
Het product van de getallen op de beide vingers blijkt nu gelijk te zijn aan:
Wat betreft de tientallen
Tel het aantal vingers vanaf de duim (6) t/m de vinger met het gekozen getal links en tel dat op bij het aantal vingers rechts vanaf de duim (6) t/m de vinger met het gekozen getal.
Wat betreft de eenheden:
Vermenigvuldig het aantal niet getelde vingers links met het aantal niet getelde vingers rechts.

Bijvoorbeeld:   6 x 9 = 54

 
   

Links is het aantal vingers tot en met de 6 dus 1.
Rechts is het aantal vingers tot en met de 9 dus 4.
1 + 4 = 5  en 5 x 10 = 50

Links zijn er nog 4 niet geteld en rechts is dat er 1.  4 x 1 = 4
En inderdaad: 50 + 4 = 54

Hoe kan dat?

Op de x-de vinger, vanaf de duim geteld, staat het getal x + 5.
Dus als je links de x-de vinger en rechts de y-e vinger kiest, dan is het product:
(x + 5) (y + 5 ) = 25 + 5x + 5y + xy.

Je hebt links dus x vingers geteld en 5 – x vingers niet geteld. Rechts y resp. 5 – y .

x + y  tientallen levert voor het product: (x + y) x 10 = 10x + 10y
De eenheden leveren voor het product (5 – x) (5 – y) = 25 – 5x – 5y + xy                                                                                                                                                                                                                                         
Het getal is dus  10x + 10y + 25 – 5x – 5y + xy = 25 + 5x + 5y + xy

De cirkel geblokt?

Op Facebook plaatste Wiskundelessen het volgende probleem.

Ik vond de volgende oplossing:




donderdag 4 januari 2018

vrijdag 8 september 2017

woensdag 6 september 2017

Huisjes stapelen

Een bezoek aan een museum in Brussel, waar ik onderstaand schildrij van René Magritte (La Poitrine) tegenkwam



Inspireerde me tot een serie van drie schilderijen, waarin ik met andere kleurschakeringen een stapeling huizen in verschillende versies op het doek zette, waarbij één erg geïnspireerd door Mondriaan-kleuren.