Puzzelen met Thales

Een leuk puzzeltje daagt altijd uit tot nadere analyse.

Via Twitter stuurde Simon Pampena  @mathemaniac  het onderstaande puzzeltje door, dat binnen 10 seconden moest worden opgelost. De vraag is: hoe goot is x?

In iets meer tijd was dit puzzeltje de wereld al rond geretweet.

 

je moet het even "zien", maar dan is het puzzeltje snel opgelost. x = 8 - 3 =5
Het bewijs?

Teken in rechthoek MBAC ook de diagonaal MA.
In een rechthoek zijn de diagonalen even lang, dus BC = MA.
MA is straal van de cirkel, dus MA = MQ
Hieruit volgt dat MQ = BC, dus x + 3 = 8

Zo'n rechte hoek met hoekpunt op de cirkel doet je denken aan de stelling van Thales, zeker als je de benen verlengt tot de cirkelrand.

Ik dacht daarom aan het volgende:

 

Verleng het lijnstuk AB loodrecht op MP tot het de cirkel in D snijdt.

Wegens cirkelsymmetrie is AB = BD

Idem geldt AC = CE.

Er is nu sprake van twee gelijkvormige driehoeken ABC en ADE.

Immers, er ontstaat zo vanuit hoek A een snavelfiguur met verhoudingen AC : AE = AB : AD = 1 : 2.

Dan is DE = 2 ∙ BC

De Omgekeerde Stelling van Thales (Van een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel) toegepast op driehoek ADE leert dat M op DE ligt en dus DE middellijn is.

Dan is DE = 2 ∙ r en dus  BC = r
z = r en x = r – y
dus is x = z – y

Er is een andere manier om het gestelde aan te tonen.

In de bovenstaande figuur zijn drie congruente driehoeken ABC, BDM en CME aanwezig.

Ze hebben alle drie een rechte hoek en verder is AB = BD = CM en AC = BM = CE.
Dus geldt z = r

De juistheid van de Omgekeerde Stelling van Thales is in die figuur  snel in te zien:

De hoeken  ●  en  *  zijn samen gelijk aan een rechte hoek, dus is hoek DME een gestrekte hoek en DE middellijn en derhalve vormen de punten A, D en E een driehoek met omgeschreven cirkel, waarvan M het middelpunt is.

De Stelling van Thales zelf (Een driehoek ingeschreven in een cirkel, en waarvan één zijde een middellijn van de cirkel vormt, is een rechthoekige driehoek) is zoals bekend snel aan te tonen door het punt op de cirkel te verbinden met het middelpunt, waardoor twee gelijkbenige driehoeken ontstaan.

In de oorspronkelijke driehoek met de middellijn zijn de hoeken samen 180 ^o.

Dus 2 ∙ ● + 2 ∙ * = 180^o  en derhalve vormen ● + * een rechte hoek.

 

 

(Dankzij de regel van de buitenhoek, die gelijk is aan de niet aanliggende binnenhoeken vormen de gelijke hoeken in de gelijkbenige driehoeken samen een gestrekte hoek).

Overigens: Van de Stelling van Thales en zijn Omgekeerde is eigenlijk niet bekend welke de kip en welke het eis is,  ze komen regelmatig in de literatuur verwisseld voor.

Dat gaf te denken

 

Het bovenstaande plaatje geeft stof tot nadenken.

Het principe is gebaseerd op het bekende haakjesrekenen.

Dat kan ook met een plaatje uitgelegd worden.

De oppervlakte van vierkant ABCD met zijde x is x ∙ x = x²

De oppervlakte van AGSE is (x – a) (x – b)

Merk op dat de oppervlakte van AGSE volgt uit de oppervlakte van ABCD door daar de stroken GBCH en EFCD af te halen, maar dan heb je de oppervlakte van rechthoek SFCH twee keer afgetrokken.

Dat betekent dat de oppervlakte van AGSE, en dus de uitkomst van (x – a) (x – b)

gelijk is aan de oppervlakte van ABCD min die van GBCH ( = a ∙ x) en EFCD ( = b ∙ x), met daar weer bij opgeteld de oppervlakte van SFCH ( = a ∙ b), die dubbel is geteld.

 

(x – a) (x – b) = x² – a ∙ x – b ∙ x + a ∙ b ( = (x - a - b) ∙ x + a ∙ b

Het volgendetekeningetje brengt de formule in deze vorm in beeld:

 

De grijze oppervlakte AGSE ( x - a)(x - b) is gelijk aan de gearceerde oppervlaktes samen
(x - a - b) ∙ x + a ∙ b, want de rechthoeken 1 en 2 boven EF tegen elkaar geschoven hebben dezelfde oppervlakte als de rechthoek 3, n.l. (x - b) ∙ b

Neem x = 100, dan krijg je

(100 – a) (100 – b) = 100 ∙ 100 – a ∙ 100 – b ∙ 100 + a ∙ b

                            = (100 – a – b) ∙ 100 + a ∙ b

Dat lijkt al helemaal op wat er in het plaatje staat.

Daar geldt in ieder geval voor dat a en b positieve gehele getallen zijn.

Alleen, de truc werkt verder natuurlijk alleen als a + b < 100  en ook als a ∙ b < 100,

want anders “past” 100 – a – b niet op de posities van de duizend- en honderdtallen

en a ∙ b niet op de posities van de tientallen en eenheden.

Het blijkt dat 1 en 99 toch ook voldoen

(100 – 1) (100 – 99) = (100 - 1 – 99) ∙ 100 + 1 ∙ 99 = 99 (= 99 ∙ 1)

Maar dat is misschien een triviaal geval, net als het geval met a = 0 en b = 100.

Het betekent wel, dat dus blijkbaar mag gelden: a + b ≤ 100

Ook a = 2 en b = 50 voldoen, want

(100 - 2)(100 – 50) = (100 – 2 – 50) ∙ 100 + 2 ∙ 50 = 4900 ( = 98 ∙ 50)

Dus mag ook a ∙ b ≤ 100 gelden.

Je kunt de “regel” veralgemeniseren:

(10ⁿ – a) (10ⁿ – b) = (10ⁿ – a – b) ∙ 10ⁿ + a ∙ b  met a + b ≤ 10ⁿ en a ∙ b ≤ 10ⁿ

Alleen: dan lukt het snelle hoofdrekenen toch niet echt meer!

Neen n = 3

967 ∙ 973 = (1000 – 33)(1000 – 27)         = (1000 – 33 – 27) ∙ 1000 + 33 ∙ 27

                                                              = 940 ∙ 1000 + 30² - 3²

                                                              = 940 891

En zou de regel behalve in het tientallig stelsel ook opgaan in een willekeurig g-tallig stelsel?

(gⁿ – a) (gⁿ – b) = (gⁿ – a – b) + a ∙ b  met a + b ≤ gⁿ en a ∙ b ≤ gⁿ

Dat moet ook wel kloppen.

Laten we het narekenen in het zestallig stelsel:

34 = 5 ∙ 6 + 4 = 54 = 6² – 1  en 31 = 5 ∙ 6 +1 = 51 = 6² – 5

34 ∙ 31 zou in het zestallig stelsel met de getallen a = 2 en b = 5 dus

a + b = 7 = 1.6 + 1

en 6² – 1 ∙ 6 – 1 = 6 ∙ 6 – 1 ∙ 6 – 1 = 5 ∙ 6 – 1 = 4 ∙ 6 +1 ∙ 6 - 1 = 4 ∙ 6 + 5 = 45

en a ∙ b = 10 = 1 ∙ 6 + 4 = 14 opleveren

dus dan wordt het 54 ∙ 51 = 4614

34 ∙ 31                            = 54 ∙ 51 = (100 – 2) (100 - 5)

=(6² – 2) (6² – 5)

= (6² – 2 - 5) ∙ 6² + 2 ∙ 5 ( = (6² – 7) ∙ 6² + 10)

= (6² – (1 ∙ 6 + 1)) ∙ 6²  + 1∙ 6 + 4

= (5 ∙ 6 - 1) ∙ 6² + 1 ∙ 6 + 4 

= (4 ∙ 6 +5) ∙ 6² + 1 ∙ 6 + 4

= 4 ∙ 6³ + 5 ∙ 6² + 1 ∙ 6 + 4 = 4514

= 1054

 

34 ∙ 31                           = 54 ∙ 51 = (5 ∙ 6 + 4 )(5 ∙ 6 + 1)

                                      = 25 ∙ 6² + 5 ∙ 6 ∙ 1 + 4 ∙ 5 ∙ 6 + 4 (= 25 ∙ 6² + 25 ∙ 6 + 4)

                                      = (4 ∙ 6 + 1) ∙ 6² + (4 ∙ 6 + 1 ) ∙ 6 +4

                                      = 4 ∙ 6³  + 1 ∙ 6² + 4 ∙ 6²  + 1 ∙ 6 + 2

                                      = 4 ∙ 6³ + 5 ∙ 6² + 1 ∙ 6 + 4

                                      = 1054

 

Dagblad Trouw heeft een wekelijkse rubriek "Nutteloze kennis", daarin zou het bovenstaande heel goed passen, ware het niet dat het wiskundige plezier om zoiets uit te dokteren toch wel  een vorm van nut is.

CE wiskunde: geeft geen punten voor de GR, geef punten voor wiskunde!

Examenwoordenlijst: "een toelichting is vereist".

In de nieuwe examenwoordenlijst van het CvE komt de zinsnede "Bij gebruik van de GR moet(en) de gebruikte optie(s) vermeld worden" uit de nomenclatuurlijst niet meer voor, maar het CV zelf ondervangt dat met de vakspecifieke regel 2, waarin staat dat bij vragen waarbij de GR moet worden gebruikt verslag gedaan moet worden hoe dat gebeurt.

Ik vroeg me af of we eigenlijk niet zonder die laatste CV-regel kunnen, dus zonder de eis van de beschrijving van de gebruikte GR-opties (na het aangeven van het wiskundig oplossingsmodel). Voegt het vermelden van het knoppenverhaal iets toe als de wiskundige verantwoording en beantwoording al (correct en volledig) op papier staan?

Wat mij betreft: schaf het geven van punten voor het beschrijven van GR-opties af! En vraag naar de wiskunde en beloon die!

Als ik kijk in de CV's dan wordt daar vaak een punt gegeven voor "beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost" soms met toevoeging (met de GR). Dat gaat dan vaak met y1 en y2 invullen, een geschikt venster kiezen en dan via intersect een snijpunt bepalen tussen 2 grafieken. Maar inmiddels hebben de grafische rekenmachines daar ook andere mogelijkheden voor via (equotation) solvers, voorgeprogrammeerde abc-formules en dergelijke.

Vaak is het daarbij dan een punt van discussie dat het CV een punt geeft voor het eerst opstellen van de vergelijking die moet worden opgelost, maar of het dan terecht is om die punt ook toe te kennen als die vergelijking impliciet wel verderop blijkt te zijn opgelost in de gevolgde GR-procedure, maar niet expliciet genoteerd is.

Mij lijkt het me een beter begaanbare toekomstige weg als er voortaan geëist wordt dat de op te lossen vergelijking in correcte wiskundige taal door de kandidaat genoteerd wordt waarna de oplossingen volgen, zònder een GR-verantwoording en een punt daarvoor. Want als de oplossingen juist zijn dan heeft de kandidaat ongetwijfeld de juiste (routine-)handelingen gepleegd en hoeft hij daar niet (soms meerdere malen voor eenzelfde optie binnen één examen) voor beloond te worden. Als de oplossingen fout zijn dan wordt hij ook niet beloond voor een goed bedoelde maar verkeerd uitpakkende beschrijving van zijn, soms in het kader van de vraag nergens op slaande, GR-handelingen, waarvan je soms ook niet eens kunt nagaan wàt er fout kan zijn gegaan bij de invoer.

De zinsnede "een toelichting is vereist” moet dus (alleen) slaan op een wiskundige verantwoording wat de kandidaat doet en niet op hoe die het doet. Dat "wat" is dan het opstellen van een vergelijking vanuit de context waarin de vraag aangeboden wordt met de intentie die te willen oplossen. Als het vinden van het antwoord buiten de algebraïsche competenties valt is het vinden ervan met de GR niet van belang, de oplossing zelf en het beantwoorden daarmee van de vraag wel.

Wordt er, alleen bij de B-vakken, aan de vraag "algebraïsch" of "exact" toegevoegd, dan zegt de woordenlijst dat er stap voor stap gewerkt moet worden (zonder GR) en in die gevallen is de beloning voor "beschrijven hoe deze vergelijking wordt opgelost" (zonder GR) terecht. Dan staan de stappen die tot de oplossing leiden in principe in het antwoordmodel nader gepreciseerd.

Dit niet langer belonen van routinehandelingen met de GR met opties als intersect, solve of wat dan ook voorkomt ook dat bij een verkeerde oplossingsrichting, die op minder of meer gespannen voet staat met het aan de vraag verbonden oplossingsmodel, het omschrijven van het GR-gebruik, vooral als het een andere optie is of een te eenvoudige toepassing, toch wordt beloond; een onterechte vorm van sprokkelen volgens mij.

Het niet met punten belonen voor het beschrijven van de GR-opties maakt meteen ook de discussies over hoe dat dan moet gebeuren overbodig. Dat beschrijven kan nogal variëren, van uiterst summier tot uitgebreid met het benoemen van alle ingevoerde parameters. De syllbi en CV’s blijven in gebreke op dit punt, er is geen duidelijkheid en eenduidigheid.

 

Een ander moment waarop de GR wordt ingezet zijn, bij de A-vakken, berekeningen met betrekking tot binomiale en normale kansverdelingen.

Ook hier is het zo dat het CV vaak eerst een punt geeft voor de beschrijving van de binomiale of normale verdeling die aan de orde is, inclusief een expliciete vermelding van de parameters, waarna dan gevraagd wordt te beschrijven hoe met de GR de betreffende kans wordt uitgerekend. En dan is ook hier weer het dilemma aan de orde, of je geen punten hoeft af te trekken als  bijvoorbeeld een notatie als P(4,5 ≤ X <5,5 | μ = 5,4; σ = 1,9) ontbreekt en dat volledig is voldaan  aan de vraag met alleen de notatie normalcdf(4.5, 5.5, 5.4, 1.9) (en mijn TI dan netjes vraagt om lower, upper, μ en σ: een kind kan de was doen!)

Vergelijkbaar is "het aantal hooikoortslijders X is binomiaal verdeeld met n = 135 en p = 0,13" en "beschrijven hoe P (X ≤ 26 | n = 135, p = 0,13) berekend kan worden" (expliciet vermeld en gewaardeerd met punten in het CV) waar de leerlingen meteen "in de aanval" gaan met binomcdf (135, 0.13, 26). Mijn TI vraagt keurig om de trials, p en X. Moet je een invuloefening belonen?

Wat mij betreft leren we de kandidaten de zaken wiskundig formeel correct op te schrijven, dus aangeven wat voor verdeling het is, met welk parameters en welke kans er berekend moet worden, compleet met de P- notatie inclusief wat achter de | moet komen te staan. Dat is de wiskunde.

Als je bij eenvoudige berekeningen met +, -, ×, :, sin, cos etc. een intypfout maakt wordt die ook afgestraft en krijg je ook geen punt voor de goede GR-bedoeling als je zou aangeven hoe je de GR wilde gebruiken. Laat dat in deze gevallen ook zo zijn, zeker nu het gebruik van de GR steeds verder versimpelt en trucmatig wordt door vereenvoudigde invoer en hulpprogrammaatjes.

Ongetwijfeld zijn er meer gevallen waarin de GR gebruikt wordt maar die niet onder het bovenstaande vallen, ik denk aan het gebruik van dy/dx of lijsten, maar ik denk dat ook daar de correcte wiskundige notatie van de bedoelde oplossingsstrategie goed "gecanoniseerd" kan worden zonder dat het GR-gebruik op zich, het noemen van opties of hoe dan ook, beloond wordt.

 

Ik ben het HAVO wiskunde A examen 2012 eerste tijdvak nog eens nagelopen op het gebruik van de GR: dat was 10 keer, waarvan zo'n 5 keer een vergelijking moest worden opgelost, of eigenlijk vaker, want bij vraag 16 is de vergelijking normalcdf (-10^99, x, 178,14) = 0,05 aan de orde, die dankzij voorgeprogrammeerde solve-instellingen gereduceerd wordt tot een invuloefening. Via invNorm vraagt de TI bij mij dan om de oppervlakte (area), μ en σ. Een normaalkromme met de juiste gegevens op de juiste plaats of  P(X ≤ x | μ = 178, σ = 14) = 0,05 noteren lijkt me toch veel meer van inzicht te getuigen.

Vermeldenswaard is nog dat het opstellen van een lineaire formule bij vraag 21 heel snel en eenvoudig kon met de optie LinReg en de groeifactor van vraag 11 met ExpReg. In het eerste geval worden er in het CV geen nadere eisen gestel aan de berekening, in het tweede wordt de normaal gebruikelijke berekening expliciet vermeld.

Vraag 12 leende zich, gezien de discrete context, trouwens naast de intersect-aanpak ook voor een oplossing via een tabel met gehele waarden voor de variabele.

 

Kijk ik naar HAVO wiskunde B 1^e tijdvak 2012, dan komt in het CV 3 keer de opmerking "beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden" (en inderdaad, het mag zonder GR geprobeerd worden, maar het eventuele meerwerk wordt niet extra beloond). De GR komt dus weinig aan bod.

Daarnaast telde ik 6 vragen waarvan de oplossing exact of algebraïsch moest worden gevonden. De te maken stappen, die in het CV expliciet vermeld staan, leveren daar dan ook wel navenant meer punten op.

Op het VWO speelt bij wiskunde B het gebruik van integraalopties van de GR een rol. Ook hier is het toepassen van deze opties dankzij zaken als natural textbook display vervallen tot een simpele invuloefening, het overnemen van de opgestelde integraal. Dus: beloon het opstellen en juist noteren, niet het invoeren.

Overigens, die natural display verkoopt stiekem exacte knollen voor benaderde citroenen door antwoorden in de vorm van breuken of wortels dan wel met pi te geven.

Er is nog enige tijd te gaan voor de zaken in 2015 weer op de schop gaan en twee of drie jaar later geëxamineerd worden. Misschien is het dus een punt van discussie in de aanloop van de komende wijzigingen om ons nog eens goed te bezinnen op de rol van de GR, maar met name ook op de beloning van de rol die de GR speelt bij het oplossen van wiskundige problemen. Gaat het ons nou om knoppenvaardigheid of om het tonen van wiskundig inzicht? De vraag is dus: heeft het weergeven van de wiskundige oplossingscontext meer waarde dan het aangeven van de GR-procedure die in die context wordt toegepast.

Wat mij betreft: weer de GR-taal en de knoppentaal- op het CE, ken er geen punten aan toe en eis van de leerlingen dat ze op wiskundige wijze duidelijk maken wat ze aan het doen zijn.

 

(eerder in een kortere versie gepubliceerd in Euclides)

 

 

Het echte doel van de wiskunde

Het onderwerp "Het echte doel van het wiskunde-onderwijs" is in het Algemene Forum van de oude NVvW-site aan de orde geweest en kende vele bijdragen, ook in diverse blogs. Ik heb die van mij “gered” en hieronder volgen ze in herschreven vorm. Het zijn reacties op andere bijdragen, dus sommige alinea’s vallen misschien een beetje uit de lucht.

Ik heb over dit onderwerp geen nieuw standpunt of inzicht, maar dat neemt niet weg dat een thema als dit niet voor discussie vatbaar zou zijn, want dat blijft ze voortdurend. Het lijkt me dus zinvol om daarover in gesprek te blijven en elkaar rekenschap te blijven geven van de standpunten die hierover ingenomen worden, maar wel in het licht van "de eisen van deze tijd" en niet te zeer met een "hang naar het verleden". Er mag in dit opzicht gelden dat een soort wiskundige Ostalgie naar hoe geweldig het allemaal was in de tijd dat men vond dat het ook niet zo geweldig was niet aan de orde moet zijn.

Het echte doel van ons wiskundeonderwijs valt in twee subthema's uiteen: welk doel en hoe het te bereiken. Ik vind "creatief oplossingsvermogen" als doel wat te smal, voor mij telt naast de "vaardigheid" met name de "filosofie" (De aanhalingen zijn termen uit het betoog van Jos v.d. Ende over dit onderwerp).

Wat mij betreft is wiskundeonderwijs op VO-niveau minder een kwestie van leerlingen met basisvaardigheden en -technieken onderlegd klaarmaken voor het vervolgonderwijs dan wel het vormen en trainen van en in een bepaalde denkwijze. Dat daarbij "collatoral" is dat leerlingen een flinke mate van basisvaardigheden opdoen is vanzelfsprekend: om een spel te kunnen spelen, of liever nog, om de tactiek en de denkwijze die bij het spelen nodig zijn te doorgronden, zijn het leren en kennen van de spelregels en het hebben en trainen van voldoende "balcontrole" noodzakelijke voorwaarden. Je kunt het vergelijken met de plaats die het leren van schaken in sommige onderwijsvormen krijgt, minder om schaakkampioenen te creëren dan om de denkwijze die aan het spel ten grondslag ligt te laten landen.

Toen ik ging studeren was, naast de tamelijk elementaire algebraïsche vaardigheid, de training om tot op zekere hoogte exact en abstract te denken en daarmee de wiskundige vorming van mijn geest de basis voor het verder leren en studeren, ik heb even zovele basisvaardigheden los moeten laten of opnieuw of anders moeten aanleren. Dat nieuwe viel als zaad in een daartoe soms redelijk geprepareerde akker, met overigens vergelijkbare resultaten als in de Bijbelse parabel…

Hoe dat doel te bereiken, daarover heeft een veelstemmig koor van vakdidactici zich in de loop der jaren uitgelaten, zowel voor als na de jaren 70, en in de praktijk hebben talrijke collega's in de eigen klassensituatie er weer hun eigen draai aan gegeven. Andere tijden vragen daarbij andere methoden en de vervolgopleidingen, voor mij iets minder doel, maar het is wel praktisch noodzakelijk om er rekening mee te houden, hebben hun invloed daarbij ook doen gelden. Daarbij mag overigens worden opgemerkt dat de vervolgopleidingen zich vaak minder aantrokken of zich op de hoogte stelden van wat aan de orde was of zou kunnen komen in het middelbaar wiskundeonderwijs dan andersom. Maar goed: zie toe wat cTWO nog voor elkaar gaat brengen!

Op een gegeven moment kwam het functieonderzoek van vroeger aan de orde. Nou, ik kan me herinneren dat van die leerlingen die de B-kant kozen en dus geroepen waren tot enige wezenlijke wiskunde er toch een flink aantal niet in slaagde om daar iets van te brouwen. En een functieonderzoek als analytische vaardigheid heeft weinig zin als het niet verder komt dan een (hopelijk) fraaie grafiek en er geen vervolg is in een toepassing, maar ja, dan kreeg je weer het probleem van de stapelopgave. Dan zaten leerlingen 45 minuten van de 50 te staren naar hun halflege ruitjespapier.

Of neem het strijdpunt statistiek dat in de discussie aan de orde kwam. Ik weet dat er genoeg collega's zijn die statistiek (en kansrekening) geen echte wiskunde vinden. Ik vind de stelling dat dit niet in het wiskundeonderwijs zou horen een soort stelling die weer scheiding tussen algebra en meetkunde lijkt op te roepen, goniometrie weer apart wil zetten en misschien zelfs mechanica weer als zelfstandig vak terug wil laten keren. Op zichzelf het overdenken waard, maar het argument om het niet aan te bieden omdat het vervolgonderwijs het anders aanpakt vind ik niet zo zwaarwegend, zoals ik al liet doorschemeren. Als dat het criterium is blijft er weinig wiskunde om in het VO te onderwijzen over. Misschien is goed statistisch onderricht en in een juiste wiskundige context, mogelijk zelfs met GR, wel van grote vormende waarde om als basis te dienen voor latere opleidingen, ook al doen die het anders en vooral technischer. Het vak speelt een grote rol in de huidige wetenschap en maatschappij, wiskundig valt er veel zinnigs over te zeggen en mee te doen.

Over het wiskundeonderwijs sinds 1970, zoals ik dat heb meegemaakt, hebben regelmatig allerlei klokkenluiders, die precies wisten waar de klepel hing, de noodklok geluid. Het was bijna net een carillon, zo veelstemmig klonk dat soms. Die strijd hoort blijkbaar bij (wiskunde)onderwijs en zal nog wel in vele nieuwe toonaarden voortduren, ik heb wel het idee dat er vaak daarbij sprake is van achterhoedegevechten door traditionalisten in een slag die weinig strijders uit de jongere generatie docenten meer trekt.

De grote kracht van het wiskundeonderwijs zou volgens een bijdrage in het genoemde forum het aanwakkeren van een creatief oplossingsvermogen zijn. Maar de grote kracht van de wiskundeonderwijzers zou daarbij ook moeten zijn om mee te gaan met waar de leerlingen mee bezig zijn, wat hen en hun denken beweegt en hun leefwereld en toekomst bepaalt. Geen ruitjespapier en tabellenboekjes, maar de alom aanwezige en door hen gebruikte digitale hulpmiddelen. Een wiskundeles zonder een "tweede scherm" in de klas zou al net zo obscuur moeten zijn als tegenwoordig een tv-programma zonder dat scherm. Het vraagt om een creatief oplossingsvermogen van docenten om hierop in te spelen en de doelen van het wiskundeonderwijs mede daarmee te realiseren. Daarover lees ik (nog) nergens iets bij collega’s die zich, zeg maar, “behoudend" opstellen, maar die "tabletten" zullen wel geslikt moeten worden.

Als ik voor mezelf spreek, ik heb dus in de loop van 40 jaar heel wat veranderingen in het wiskundeonderwijs meegemaakt. Die waren meestal onafwendbaar en je kon niet anders dan erin meegaan en er het beste van maken.
The proof of the pudding was vaak the eating en al doende kwam soms dan de smaak, soms bitter, maar ook wel zoet.
Als saillant voorbeeld van de onafwendbaarheid noem ik het HEWET-project begin jaren 80, waarvan mijn school proefschool was. Na een jaar experimenteren kwamen we als proefscholen samen tot de slotsom dat het programma niet voldragen was en invoering beter kon wachten. Maar die evaluatie had al geen zin meer, want er was al besloten tot invoering nog voor het experiment beëindigd was…

Ik wil nog iets zeggen over "de eisen der tijd", "aansluiten bij de belevingswereld" en het "tweede scherm", waarover ik het eerder had.
Ik bedoel hier o.a. mee, dat we niet meer met griffels op leitjes schrijven (en het meteen met een spons weer moeten uitvegen), dat er naast boeken ook andere (interactieve) bronnen zijn waaruit we kunnen putten en dat naast het ruitjesschrift er ook ander manieren zijn om je (hopelijk verworven) kennis vast te leggen en te tonen.
Misschien loopt men met laptops en i-pads in de klas soms wel wat hard van stapel (ik las over een school die toch maar weer naar de boeken greep) maar onmiskenbaar hebben deze "tweede schermen" (naast het al massaal aanwezige digibord) op veel scholen een plaats verworven.
En waar leerlingen bij andere vakken en in studie-uren steeds meer gebruik kunnen maken van computers, er steeds meer content komt die dat gebruik (goed en zinvol) mogelijk maakt en leerlingen buiten en binnen de school op een heel andere wijze aan het leren en verwerken zijn dan, ik zeg maar even, wij vroeger, kun je je kop voor deze ontwikkeling niet in het zand steken. Ik noem maar DWO, GeoGebra, AlgebraKit en bijvoorbeeld de uitgebreide digitale en interactieve ondersteuning door de leerboeken.

(Ik woon vlak bij de Universiteit Twente, met veel beta-studenten, waar ik iedereen zie lopen met een laptop en zalen vol studenten achter de computer zie: dat is toch niet alleen tekstverwerken, denk ik dan. En je ziet ze trouwens nooit met pen en papier een straatdeling maken…)

Ik vind ook niet dat wiskunde een vak is in de zin van "take it or leave it", kies het of niet, maar dat het qua grondbeginselen naast bijvoorbeeld talen een basisvak is, waarin iedereen enige bekwaamheid moet trachten te verwerven, omdat dat maatschappelijk relevant is. En daarom geloof ik er ook niet in dat het vak in eerste aanzet (puur) abstract gehouden zou moeten worden. Hoe formuleerde van Hiele zijn theorieën op dit punt ook al weer? Daarin stond de abstractie ook niet aan het begin van de beroemde drieslag.

Je kunt erover discussiëren of we niet te ver zijn doorgeslagen met die contextrijke wiskunde en verhaaltjessommen, maar het lijkt me na de voorgaande opmerking onontkoombaar dat (ook) de realistische wiskunde een plaats krijgt in de onderbouw. Die abstractie kan later, als ook de pubergeesten wat rijper zijn en er enige scheiding der geesten in A-, B- of C-richting plaatsvindt, z'n plaats wel krijgen en dan meer succes hebben (ik zag op dit punt het licht pas echt op de universiteit).

Ik hoop dat veel docenten het vak wiskunde geven "omdat het zo ontzettend mooi is", maar om dat als ultieme  reden en doel te formuleren? En of dat in die 5 à 6 jaar aan alle leerlingen overdraagbaar is? Je bent naast wiskundige toch ook didacticus en een beetje pedagoog, dat zijn ook mooie aspecten van het docentenberoep, je bent met jonge mensen bezig.

Ten slotte de GR. Ik ben het er helemaal mee eens dat dat instrument door voortdurende toevoegingen van applicaties en mogelijkheden z'n doel voorbijgestreefd is en misschien al was op het moment dat het werd ingevoerd. Maar ik vermoed dat er in de onderwijswereld toch wel didactici te vinden zijn die wel degelijk kunnen uitleggen wat het nut ervan zou of had kunnen zijn in het onderwijs, al hoef je het daar dan niet mee eens te zijn. Uiteindelijk gaat wiskunde op de universiteit ook niet zonder CAS en wordt toegepaste wiskunde in andere vakken uiteindelijk ook dankbaar met behulp van ICT aangewend.

Inhoudelijke argumenten zullen er beslist wel zijn, maar ze worden niet door iedereen als zodanig geaccepteerd. Ik vind dat de syllabus het aardig zegt:
Bij wiskunde A en C is het wiskundegereedschap bedoeld om contextproblemen mee te analyseren en op te lossen. Omdat in toepassingen veelal met benaderende waarden (van grootheden) wordt gewerkt, ligt het niet voor de hand om exacte antwoorden te eisen. In veel gevallen zal de GR daarbij zinvol kunnen worden ingezet. Bij wiskunde B daarentegen zullen zeker ook meer abstracte vraagstukken voorkomen die met behulp van algebra moeten worden geanalyseerd of waarvoor een algebraïsch bewijs moet worden geleverd. Daarbij speelt de GR geen rol.

De forumdiscussie is nog te vinden op  

http://oud.nvvw.nl/page.php?id=749&rid=8107&topicID=2128&view=list_posts

onder de topic-titel “Artikel niet geplaatst in Euclides” maar de site wordt binnenkort beëindigd.

Bijdragen op andere blogs zijn te vinden op:

 

http://wiswijzer.blogspot.nl/2013/02/het-echte-doel-van-ons-wiskundeonderwijs.html

 

http://daviddijkman.blogspot.nl/2013/03/doel-van-wiskunde_3.html?m=1

 

 

Huisvlijt en open dagen.

Op https://1drv.ms/f/s!As6DtSsUWoCrgZIHUrflsHqH4UNrFA heb ik een paar pdf's geupload van figuren die ik in de loop der jaren getekend heb en uitvergroot aan de wand van mijn klaslokaal  heb gehangen.

Tenminste, het bestand aowiskunde.001 is geen illustratie maar een (bekend) puzzeltje om van een vouwblad een kubusje in elkaar te vouwen. Dat was altijd een leuk weggevertje op de open dag.

aowiskunde002 is een poging om uit te leggen waarom je bij een piramide de inhoud berekent met de formule 1/3 x oppervlakte grondvlak x hoogte. Het maakt een beetje plausibel waar die 1/3 op gebaseerd is.
Het aardige bij deze kubus-verdeeld-in-drie-piramides is dat een vmbo-collega wiskunde zijn handige timmer-collega wist te inspireren tot het maken van een driedimensionaal model: je kon de kubus uitklappen tot de drie piramides.
Toen de verbindingen kapot gingen en de drie piramides los van elkaar raakten hebben we het model ook nog vaak dankbaar gebruikt op Open dagen: maak van die piramides maar eens een kubus...

aowiskunde003 is nog uit de "gouden dagen" dat we in HAVO wiskunde B nog druk bezig waren met het tekenen van doorsneden. Ik heb het voor de leerlingen gemaakt als een "exstention" bij een tekenopgave uit het boek. Daar had je een mooi werkschrift bij.

Ik had dit spul ook in de prullenbak kunnen gooien maar ergens was het me daar toch te dierbaar voor!

En, ach ja, die open dagen!
 



(a + b)^2 , (a + b)^3 , Pascal, Pythagoras, Newton en Fermat.

Het berekenen  van  (a + b)² kan op verschillende manieren verduidelijkt worden.

 

(a + b)² = (a + b) (a + b)

 

Via de distributieve eigenschap  a (p + q ) = a · p + a · q, kortweg geschreven als ap + aq

is  (a + b) (a + b) te schrijven als  (a + b) · a + (a + b) · b

en dankzij de commutatieve eigenschap van het vermenigvuldigen  ( 2 × 3 = 3 × 2 )  als

a (a + b) + b ( a + b) =  a · a  +  a · b + b · a + b · b = a² + 2ab + b²

 

Je moet van het product (a + b) (a + b) de a en de b uit de linkerfactor elk vermenigvuldigen met de letters uit de rechterfactor:  a .a + a . b + b · a + b · b

 

De Driehoek van Pascal  laat ook mooi zien wat er gebeurt:

Je begint bovenaan met het getal 1. Ga je linksaf dan betekent dat "× a", ga je rechtsaf, dan betekent dat "× b".

In het midden komen twee wegen samen,  die beide ab opleveren.

 

 

Het kwadraat (a + b)²  kan ook heel mooi geïllustreerd worden met een vierkant  (vier even lange zijden en vier rechte hoeken).

 

 

P, Q, R en S liggen op de zijden van vierkant ABCD zo, dat  AP = BQ = RD = SA.

Dan is PB = QC = CR = DS.

Stel AP = a en PB = b, dan is de zijde van het vierkant gelijk aan a + b en de oppervlakte (a + b)²

 

De lijnen PR en SQ verdelen het vierkant in twee kleinere vierkanten met oppervlaktes  a² en b² en twee even grote rechthoek met zijden a en b en oppervlakte ab.

 

Het is nu duidelijk dat (a + b)² = a² + 2ab + b².

 

Het vierkant ABCD kan ook anders verdeeld worden: K, L, M en N liggen op de zijden van het vierkant zo, dat AK = BL = CM = DN. Dan is  KB = LC = MD = NA

Stel AK = a en KB = b, dan is de zijde weer gelijk aan a + b en de oppervlakte is weer gelijk aan

(a + b)² = a² + 2ab + b².

De lijnstukken KL, LM, MN en NK verdelen het vierkant in vier even grote rechthoeken, met elk als oppervlakte ½ ab dus in totaal 2ab, en een vierhoek KLMN.

 

Nu is KLMN weer een vierkant

(zijden van congruente driehoeken en elke hoek is 180^o - * - ● = 90 ^o )

 

De oppervlakte  van vierkant KLMN is gelijk aan de oppervlakte van vierkant ABCD verminderd met de oppervlakte van de vier driehoeken.

 

Stel KL = c. dan is de oppervlakte van vierkant KLMN gelijk aan  c² en geldt er:

 

c² = (a + b)² – 2ab en dus is c² = a² + b² , de Stelling van Pythagoras.

 

Er zijn heel wat gehele positieve getallenparen te vinden, waarvoor de stelling geldt: 3, 4 en 5 of 5, 12 en 13 of  8, 15, 17.

En natuurlijk ook oneindig veel reële getallen: 1, 2 en √5  of  √3, √5 en 2√2.

Als lengetn horen ze allemaal bij rechthoekige driehoeken.

 

En nu (a + b)^3.

 

Bekijk de kubus en ontdek dat de inhoud ervan (a + b)³ is.

In de kubus bevinden zich twee kleinere kubussen met  ribbe a resp. b, dus inhouden a³ resp. b³.

 

Aan de kubus met ribbe a zitten drie balken vast met zijden a, a en b en dus inhoud a²b.

Aan de kubus met ribbe b zitten drie balken vast met ribben a, b en b en dus inhoud ab².

 

Hieruit volgt dat  (a+b)³ = a³ +3 a²b + 3 ab² + b³

 

In feite moet voor (a+b)³ het product (a + b) (a + b) (a + b)  uitgewerkt worden, dus

(a + b) (a + b) · a + (a + b) (a + b) · b = (a² + 2ab + b²) · a + (a² + 2ab + b²) · b enz.

 

 

De uitwerking van de tweede en derde macht van (a + b) met de driehoek van Pascal is in feite natuurlijk niets anders dan een toepassing van het Binomium van Newton.

 

 

En is er nu ook een stelling die zegt dat a³ +b³ = c³?

Zou je bijvoorbeeld de kubus van hierboven ook verdelen kunnen in een deelkubus met inhoud c³ zodat een aantal lichamen ontstaat met totale inhoud 3a²b + 3ab², zodat c² = (a + b)³ - 3a²b  - 3ab² = a³ + b³ ?

 

De formule geldt bijvoorbeeld als je voor a, b of c de juiste 3^e-machtswortels kiest, bijvoorbeeld a = ³√3 en b = ³√5, dan is c = 2, of a = 2, b = ³√19, dan is c = 3. Maar drie positieve gehele getallen, dat lukte nog niemand.

Het zal dus ook niet erg lukken om zo'n kubus in een kubus te vinden, analoog aan het vierkant in het vierkant bij de stelling van Pythagoras hierboven.

 

Fermat vermoedde al dat er geen drie positieve gehele getallen a, b en c te vinden zijn waarvoor deze formule en alle formules van het type a ⁿ + b ⁿ = cⁿ  gelden, als n geheel is en n >2. Hij stelde een bewijs ervoor gevonden te hebben, maar dat is nooit aangetroffen. Er is jaren geprobeerd om dit vermoeden van Fermat te bewijzen en uiteindelijk schijnt het ook wel gelukt te zijn, maar zo triviaal als de Stelling van Pythagoras lijkt te zijn, zo ingewikkeld was dat bewijs voor het vermoeden van Fermat uiteindelijk te leveren.

Google je "De laatste stelling van Fermat, dan is er veel te vinden, bijvoorbeeld http://www.rekenmeemetabc.nl/?artikel=16