Ook leuk!

a) ja, met het kwadraat van 29, resp. het kwadraat van 155
b) nee, en zelfs "integer"niet!
c)

 

n (n + 1) (n + 2) (n + 3) =

(n² + n) (n² + 5n + 6) =
n⁴ + 5n³ + 6n² + n³ + 5n² + 6n =
n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n

dit moet gelijk zijn aan een kwadraat – 1

dus moet n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n + 1 een kwadraat zijn.

dus moet dat te schrijven zijn als (n² + an + 1)² =

n⁴ + an³ + n² + an³ + a²n² + an + n² + an + 1 =
n⁴ + 2an³ + (2 + a²) n² + 2an + 1

dat is identiek met n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n + 1 als

2a = 6 en
(2 + a²) = 11

dus a = 3

n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = (n² + 3n + 1)²

n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n² + 3n + 1)² - 1

dit geldt voor elke n, niet alleen voor gehelen:

 

1,1 · 2,1 · 3,1 · 4,1 = 5,51² -1

V2 (V2 + 1)(V2 + 2)(V2 + 3) = (3 + 3V2)² – 1 ( ≈ 51,4558 )
 
zelfs -2 · -1 . 0 · 1 = (-1)² - 1 = 0
en    0 · 1 · 2 · 3 = 1² – 1 = 0

Er is nog iets leuks met negatieve getallen:

-11 x -10 x -9 x -8 = ((-11)²+ 3 x -11 +1)² -1

en

8 x 9 x 10 x 11 = (8² + 3 x 8 + 1)² – 1

beide:
7920 = 89² – 1

inderdaad is n² + 3n +1 gelijk aan
(-n – 3)² + 3( -n - 3) + 1 (= n² + 6n + 9 – 3n – 9 + 1)

 

met dank aan David Dijkman

Toevoeging: de oplossing die David Dijkman zelf geeft.
Het gebruik van het merkwaardige product

(a + b) (a - b) = a² - b²

is toch wel bijzonder elegant!

 

 

De vermenigvuldigingsstroken van Genaille-Lucas.

De vermenigvuldigingsstroken van Genaille-Lucas.

 

 

 

Hoe werkt het?

 

Om 52749 met 4 te vermenigvuldigen leg je de stroken  5, 2, 7, 4, and 9 van links naar rechts naast de "index" strook. Kijk dan in de 4e rij en begin rechts bij het cijfer dat bovenaan staat en volg dan de driehoeken naar links.

 

 

 52749 x 4 = 210996

Merk op dat de tafels van 1 t/m 9 in deze stroken “verborgen” zitten.

(afgezien van de laatste regel van elk: 10 · .. = .. )
Het laatste cijfer van een getal uit een tafel vind je in de betreffende kolom per rij op de eerste regel, bijvoorbeeld in kolom 4:
de tafel van 4:        4, 8, 2, 6, 0 enz.
Het tiental in een antwoord staat steeds in de kolom “index” vooraan als je de punt van de driehoek naar links volgt:
bij 4 hoort 0, bij 8 hoort 0, bij 2 hoort 1 (dus 12), bij 6 hoort 2 (dus 24).

Het principe is gebaseerd op het “onthouden” dat je bij kolomvermenigvuldiging doet.

Bij 0 onthouden wijst de driehoek naar positie 1, het bovenste getal in de strook links ervan.
Bij 1 onthouden wijst de driehoek naar positie 2, het 2^e getal in de kolom.

 Hoe zit dat eigenlijk?

Kijk naar de volgende vermenigvuldiging:

.	.	.	7	x
				6
.	.	.	y	z

6 · 7 = 42

op de plaats van y komt 2 als x 0 of 1 is, want "0 onthouden"

op de plaats van y komt 3 als x 2 of 3 is, want dan "1 onthouden"
op de plaats van y komt 4 als x 4 is
op de plaats van y komt 5 als x 5 of 6 is
op de plaats van y komt 6 als x 7 of 8 is
op de plaats van y komt 7 als x 9 is

in kolom 7, rij 6 staan de getallen 2, 3, 4, 5, 6, 7 onder elkaar.
in kolom x, rij 6 die rechts naast kolom 6 komt te liggen zal de driehoek wijzen naar deze getallen, 2, 3, 4, 5, 6, 7  afhankelijk van de waarde van x.
is x = 0 0f x = 1 dan wijst de driehoek naar 2, op z komt 0 resp. 6
is x = 2 of x = 3 dan wijst de driehoek naar 3, op z komt 2 resp. 8
is x = 4 dan wijst de driehoek naar 4, op z komt 4
enz.

bijvoorbeeld:

.	.	.	7	3
				6
.	.	.	3	8

En nu verder:

.	.	7	3	x
				6
.	.	y	z	p

Hier hangt de waarde van z af van de vermenigvuldiging 6 · x

Als x = 8, dan is 6 · 8 = 48:         dus “8 opschrijven 4 onthouden”.
Dan verder rekenen: 6 · 3 = 18 en 18 + 4 = 22, dus “2 opschrijven, 2 onthouden”.
Dan 6 · 7 = 43 en 42 + 2 = 44, dus “2 opschrijven, 2 onthouden”.
Dus als x = 8 dan is p = 8, z = 2 en y = 4
Nu liggen van links naar rechts naast elkaar de stroken 7, 3 en 8
Kijken we in kolom 8 en rij 6, dan is het eerste, bovenste cijfer dat we aflezen 8.
Dus 8 opschrijven, 4 onthouden.
De driehoek wijst in kolom 3, rij 6 (5^e positie) een 2 aan.
Dat klopt, want  6 · 3 = 18, en 18 + 4 = 22, dus 2 opschrijven en 2 onthouden.
De driehoek in kolom 3, rij 6 wijst in kolom 7 (3^e positie) een 4 aan,
want 6 · 7 = 42,
en 42 + 2 = 44, dus 4 opschrijven en 4 onthouden.  

Hoe moet je nu de punten van de driehoeken richten in kolom 4 rij 7?

.	.	4	x	.
				7
.	.	y	z	.

In rij 7 en kolom 4 staan de cijfers 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4 onder elkaar.

Wijst de driehoek in kolom x naar 8 of  9, dan levert de vermenigvuldiging 7 · x dus 28 of
28 + 1 op en dat betekent “2 onthouden”  en wijst de driehoek in kolom 7 naar de 3^e positie.
Wijst de driehoek in kolom x naar 0, 1, 2, 3, 4 dan levert de vermenigvuldiging 28 + 2 = 30 of meer op, dus “3 onthouden” op en wijst de driehoek in kolom x naar de 4^e positie.
N.B. 7 · 9 = 63, (dan komt op de plaats van z minimaal 3 en maximaal
6 + 3 = 9 te staan) dus wat “onthouden” moet worden is maximaal 6, dus 7 · x  lever maximaal 28 + 6 = 34 op, dus
“4 opschrijven en 3 onthouden”.
De kolom gaat dus niet verder dan 4.

Hoe zet je nu zo’n strook in elkaar?

Bijvoorbeeld kolom 3, rij 8.

.	.	3	x	.
				8
.	.	y	z	.

Dat heeft te maken met  3 · 8 = 24

Dus in de kolom cijfers staat bovenaan een 4.
8 · 9 = 72, dus als x = 9 dan wordt z minimaal 2 en maximaal  2 + 7 = 9 en is het “7 onthouden”
Dus het laatste cijfer uit de kolom is 4 + 7 = 1
In de kolom komen te staan  4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1
De 4 komt van  8 · 3 = 24 (zonder “onthouden” van  de vermenigvuldiging 
8 · x), dus
“4 opschrijven, 2 onthouden” . De driehoek moet dan naar positie 3 wijzen.
Bij de cijfers 5, 6, 7, 8, 9 heeft de vermenigvuldiging 8 · x  resp. 1, 2, 3, 4, 5 “onthouden”  opgeleverd, wat vervolgens “2 onthouden” oplevert, dus ook dan wijst de driehoek naar positie 3.
Bij 0 en 1 is er 6 en 7 “onthouden”  en wordt het “3 onthouden”, dus wijst de driehoek naar positie 4.

Zo kun je elke strook per rij construeren.
Maar wat knap bedacht!

Het ladderprobleem

Het probleem van de kruisende ladders.

 

In mijn archief vond ik het probleem van de kruisende ladders terug.

In onze wiskundesectie ging het probleem rond en de vraag was, hoe je dat nu het beste of het mooiste kon oplossen. Dat was nog uit de tijd vóór de grafische rekenmachine.

 Het probleem. In een steeg van onbekende breedte staan twee ladders kruislings opgesteld en wel zo, dat de voet A van de ene ladder tegen de ene muur staat en de top B tegen de andere, terwijl de andere ladder precies omgekeerd staat, CD. Het punt E waar de ladders (in het zijaanzicht) elkaar kruisen ligt 1 meter boven het straatoppervlak.

Als de ene ladder 3 meter lang is en de andere 2 meter lang, hoe breed is dan de steeg?

Op internet zijn een aantal oplossingen te vinden van dit probleem, met dezelfde en met andere getallen.

De oplossing die we toen vonden staat hieronder.

 

Ja, dat ging toen dus nog met inklemmen, want de vergelijking met de wortels die hierboven staat herleiden dat levert alleen maar meer problemen op. Daar kom ik nog even op terug.

Met de GR is het probleem meteen opgelost met het invoeren van twee formules en de optie intersect. x ≈ 1,2311857

In het verhaal hierboven staat: Zoek 2 getallen A en B met A + B = A ∙ B en A² – B² = 5

Uit de eerste relatie volgt B = A / (A – 1)

Ingevuld in de tweede relatie levert na herleiding:

A⁴ – 2A³ – 5A²  + 10A – 5 = 0

Dat is met de GR ook zo op te lossen en levert o.a. A ≈ 2,735723252

dus sqrt (9 – x²) ≈ 2,735723252

en dan is x ≈ 1,231185724

Overigens, als de ene ladder p meter lang is en de andere ladder q meter lang, het kruispunt h meter boven de grond en de steeg d meter breed, dan krijg je de relatie:

h / sqrt(p² – d²) + h / sqrt(q² – d²) = 1

 

Ik vind dit een aardig voorbeeld van het mathematiseren van een probleem. De echte wiskunde zit hem niet (alleen) in het oplossen van een (zelfs 4egraads-) vergelijking (voor zover die (eenvoudig dan wel exact) oplosbaar is) maar juist in het opstellen van die vergelijking.

Het vinden van de oplossing met de GR is dan het kersje op de taart, in plaats van een rekenkundig geploeter (met inklemmen).

Examennummer Euclides lijdt onder inflatie en CITO negeert GR-kritiek.

Het eerste nummer van elke jaargang van Euclides , het vakblad voor de wiskundeleraar, orgaan van de NVvW, is traditioneel het examennummer, waarin uitvoerig teruggeblikt wordt op de centrale eindexamens van mei daarvoor. Maar dit examennummer lijdt aan inflatie.

Twee jaar geleden was het nog een extra dik nummer met liefst 9 artikelen over de verschillende examens, de meeste van uit "het veld" door wiskundedocenten, vorig jaar waren het er nog maar 5, met dien verstande dat het 6^e examenartikel waarin door de CITO-medewerkers een analyse van het CE wordt gegeven “verbannen” was naar de website, waar het digitaal geraadpleegd kon worden.

Dit jaar staan er nog maar twee artikelen in het eerste nummer van de komende jaargang, waaronder, weer in gedrukte vorm, de analyse van de CITO-medewerkers.

CITO-examenartikel.

Van dat laatste artikel  zou je de indruk kunnen krijgen dat het slagers betreft die hun eigen vlees keuren, maar er wordt voldoende objectief materiaal in dit artikel verwerkt om dat afdoende te weerspreken. De zogenaamde quick scans die bij het inleveren van de correctieresultaten via WOLF gehouden worden leveren een indruk op van wat de docenten van de examens vonden en de scores zelf worden uitgebreid tot in detail in statistieken vastgelegd en geanalyseerd. Ook wordt commentaar dat op het NVvW-examenforum en de centrale besprekingen gegeven wordt in de artikelenserie verwerkt.

Toch blijft wat betreft dit laatste hier en daar de indruk bestaan dat de CITO-medewerkers de examenmakers in bescherming nemen gezien de wijze waarop ze het meeste van het geciteerde commentaar pareren, al geven ze sommige forumcontribuanten ook volmondig  gelijk.

Examenartikelen “uit het veld”.

Maar toch mis ik beschouwingen en algemene artikelen over de examens vanuit de docentenwereld, c.q. door de examinatoren zelf, onafhankelijk van welke instantie dan ook. Er was in de loop van de jaren een soort traditie gegroeid om op grond van de regionale besprekingen en de enquêtes die daar gehouden werden een kritisch, soms satirisch, artikel te schrijven. Het ging dan niet alleen om het beeld uit die besprekingen en enquêtes vast te leggen, maar ook  om  met saillante details en anekdotische opmerkingen het verhaal te verlevendigen. En vaak gaven enkele docenten nog detailcommentaar op een enkele opvallende, opmerkelijke vraag of oplossing. Maar de laatste jaren zijn die regionale bijeenkomsten verdwenen en leverden alleen de centrale besprekingen en het examenforum nog (voldoende) stof voor een algemeen examenartikel op, zij het dat bepaalde heikele zaken uit het examen  wel eens dubbel, zowel in het CITO-artikel als in deze algemene beschouwing (en soms ook in verdere artikelen) aan de orde kwamen. Helaas is de traditie van dat algemene examenartikel waarbij de pen na enkele jaren overging op een volgende scribent blijkbaar nu een stille dood gestorven.

En ineens is er ook verder weinig opmerkelijks vanuit "het veld" over de examens op te merken, blijkbaar, hoewel het examenforum niet die indruk wekte.

Niets over de GR.

Maar wat ik nog het meeste mis in het niet-meer-zo-erge examennummer van dit jaar is dat vrijwel elke opmerking over de rol van de grafische rekenmachine in de beide artikelen achterwege is gebleven.

Dat is eigenlijk vreemd want de examenperiode zette in met de CvE-mededeling: “Het is een kandi­daat tijdens het cen­traal examen niet toege­staan, de applica­tie Zoom­Math op zijn grafi­sche rekenma­chine te hebben geïn­stal­leerd. Deze applica­tie kan worden geïn­stal­leerd op de grafi­sche rekenma­chines van TI die in de Rege­ling toege­stane hulpmid­delen zijn opgeno­men, met uitzon­dering van de TI83. In de rekenma­chine is deze app te herken­nen onder de naam Zoom100, Zoom200, Zoom300, Zoom400 of Zoom500. De rege­ling dat het geheu­gen van de grafi­sche rekenma­chine niet hoeft te worden gewist voor aanvang van een zitting van het cen­traal examen, blijft gehand­haafd. Als andere (verge­lijkba­re) applica­ties of program­ma’s bij het CvE bekend worden, zal het veld daar­over nader geïnfor­meerd worden."
Er zijn dus applicaties op de GR te downloaden die de machine toerusten tot een beperkte vorm van computer algebra. En slimme leerlingen hadden al lang uitgevonden dat het geheugen prima te gebruiken is als “spiekbriefje” en ruimte laat aan programmaatjes die hem ten dienste kunnen staan.
Je zou toch op z’n minst iets terug willen zien over de ophef die deze aankondiging veroorzaakte en over hoe het er in de praktijk daarna aan toe is gegaan. Blijkbaar is het in de praktijk wel losgelopen met dat ZoomMath.

Kritiek op de GR in het examenforum.

 

Maar ook in het examenforum is de grafische rekenmachine en de rol die hij in het examen speelt in diverse posts aan de orde gesteld en besproken, om maar niet te zeggen: afgekraakt.

Bij de B-examens vonden een aantal collega’s de rol die de GR speelde veel te groot. Daarnaast bleef er onduidelijkheid en veel discussie bestaan over de vraag wanneer nu precies de GR wel en wanneer niet meer ingezet mocht worden in de beantwoording van de vraag. De z.g. lijst Examen(werk)woorden probeerde op dit punt duidelijkheid te verschaffen, maar toch blijkt het gebruik van de GR, althans in het forum, soms tot heftige gedachtewisselingen, zo niet meningsverschillen, te leiden.
Bij wiskunde A bleef het voor een aantal collega’s de vraag aan welke eisen de gevraagde beschrijving van het gebruik van de GR bij een berekening diende te voldoen.
Collega’s storen zich ook aan het feit dat er (te) veel leerlingen zijn die bijna automatisch de GR pakken en ermee aan het rekenen slaan zonder dat ze precies weten wat ze, in wiskundige zin, aan het doen zijn of wel de GR gebruiken voor elk wissewasje dat ook zonder had gekund.  Op dit punt zouden de examens meer af kunnen dwingen
Erg saillant was de discussie rond exacte berekeningen die de GR ook “lijkt” te kunnen  maken. In hoeverre moet je tussenstappen noteren, en welke dan, als iets ook “zo” te zien is maar net zo goed door een GR gedaan kon zijn: 1 / (2 – sqrt(3)) = 2 + sqrt(3) is zo’n voorbeeld dat uitvoerig de aandacht kreeg. Dit soort rekenwerk blijkt overigens zelfs op de meeste nieuwste versies van de “gewone’ rekenmachines te lukken.

De GR, het examen en het vak wiskunde.

 

De diverse kritische, soms negatieve, opmerkingen over de GR in het examenforum betreffen niet alleen het examen maar vertolken in een aantal gevallen ook een visie over de inhoud van het wiskundeonderwijs op zich. De (te) centrale plaats die sommigen de rol van de GR toedichten of misschien ook toekennen is de discussie meer dan waard. De regelmatig te horen opmerking dat het apparaat in de wiskunde in de vervolgopleidingen die plaats niet meer inneemt of zelfs niet meer mag innemen geeft daarbij ook  te denken. En de notie dat de vervolgopleidingen vaak andere wiskundige vaardigheden dat de “knoppen-vaardigheid” op de GR vragen of verwachten is de aandacht meer dan waard.

(al is de brede variatie aan vereiste vaardigheden in het HO zo omvattend dat in VO daar niet in kan worden voorzien en wordt in het HO dan wel weer op andere wijze wel ICT ingezet en toegepast).

Het geeft mij te denken dat er bij het CITO in relatie tot de laatste examens en  het commentaar daarop op geen enkele wijze wordt gerefereerd aan de rol van de GR in die examens en de kritiek daarop.
Een analyse van de examens zonder enige opmerking over de GR vind ik incompleet en onbevredigend. Trouwens, in de quick scan had een vraag over de rol van de GR, in de zin van te veel of te weinig of iets dergelijks, vooral bij de B-examens,  eigenlijk niet mogen ontbreken gezien de steeds terugkerende discussie over dit onderwerp.

Inmiddels is het CvE met de mededeling “"Tijdens de centra­le examens wiskun­de A, B en C van 2016 dient het geheu­gen van de grafi­sche rekenma­chine te zijn geblok­keerd door een examen­stand, dan wel te zijn gewist door een "reset" van de gehele machine." gekomen.

Ja, dan kan de GR niet meer als “spiekbriefje” fungeren en kunnen al te algebraïsche applicaties geen roet meer in het examen-eten gooien. Maar zo’n maatregel komt niet tegemoet aan alle andere “kunstjes” die de GR-makers inmiddels in het “reguliere” deel van hun apparaten hebben gestopt. Het lijkt me beter om in de vraagstelling het gebruik van de GR zo veel mogelijk de pas af te snijden en alleen toe te staan waar het wiskundig zinvol is en de kandidaat het denkwerk niet uit handen neemt.

Over de examens wiskunde B HAVO en VWO en de rol van de GR daarin schreef ik eerder:

http://aowiskunde.blogspot.nl/2014/05/het-centraal-examen-havo-wiskunde-b-en.html

http://aowiskunde.blogspot.nl/2014/05/examen-ce-vwo-wiskunde-b-en-de-gr.html

 

 

 

 

Rekenhulpmiddelen in het VO

LOGARTIMETAFELS

In mijn loopbaan als HBS-leerling, student wiskunde en tenslotte docent wiskunde hebben verschillende rekenhulpmiddelen mij, en het onderwijs, ten dienste gestaan.

Allereerst was daar de logaritmetafel, waarin ook tabellen voor sinus, cosinus en tangens opgenomen , alsmede log sin etc. en als ik het wel heb ook zoiets van rentetafels, maar dat was voor economie.
In zo’n logaritmetafel zocht je de mantisse van een getal op, dat was de 10^de log van een getal, maar dan het deel na de komma. Het deel voor de komma heette de wijzer.
De tafel bestond uit de mantissen van de getallen 0001 t/m 9999, de drie eerste cijfers zocht je op in de voorkolom, het vierde in de bovenrij en dan vond je op het snijpunt de mantisse. Het hing van de tafel af of je de mantisse in 4 of 5 decimalen vond.
De mantisse van  8054 is bijvoorbeeld 9060.
Dat wil dan zeggen, dat log 8,054 = 0,9060, log 80,54 =1,9060 en bijvoorbeeld log 8054 = 3,9060
Dat getal voor de komma, voor de mantisse, de wijzer, geeft dus het aantal cijfers van het oorspronkelijke getal aan minus 1.
Je kon zo de logaritme van een getal bepalen aan de hand van de 4 eerste cijfers van dat getal en het aantal cijfers voor de komma.
Omdat log a + log b = log ab  werd het vermenigvuldigen van getallen teruggebracht tot het optellen van de logaritmes.
Terugzoeken ging dan als volgt. Als log x = 2,8815 dan was 100 < x < 1000 (dus 3 cijfers voor de komma).
De mantisse 8815 leverde teruggezocht 7615 op, dus x = 761,5.
Helaas, ik heb al m’n logaritmetafels weggegooid, maar op http://nl.wikipedia.org/wiki/Logaritmetafel is er nog van alles over te lezen.
Nodig had ik ze dan ook niet meer, want na een interim-periode met rekenlinialen kwamen de rekenmachines.

REKENLINILALEN

Ik maakte voor het eerst kennis met het fenomeen rekenliniaal toen ik ging studeren. Toen moesten we Aristo Studio aanschaffen om te gebruiken bij natuurkundepractica waar we met de metingen die we deden snel moesten kunnen doorrekenen. Dat ging gepaard met significante cijfers en foutenanalyses. Daar doen we bij wiskunde eigenlijk helemaal niet aan…

Dit “voor het eerst” klopt niet helemaal, want mijn vader, werktuigbouwkundige die in z’n werkkamer een groot tekenbord had staan waar hij op calqueerpapier ontwerpen uittekende voor stalen dakconstructies , stond constant te schuiven met een heel fraai exemplaar van mooi hout en ja, was het ivoor of wat ook, dat ik inmiddels geërfd heb. Een gedegen Duits merk Faber. Die oude rekenlinialen kan ik niet laten liggen bij een rommelmarkt, ze zien er zo fraai uit, ik heb er nog ergens eentje gekocht.
Wat rekenen op de universiteit betreft: we hadden ook nog college Numerieke Analyse, dat gevolgd werd door een practicum, waar we met een ingewikkelde telmachine waaraan driftig gedraaid moest worden onze berekeningen moesten maken. Ik geloof iteratieve processen of iets dergelijks, ’t Is al lang geleden en het practicumschrift heb ik ook al niet meer.
Ik herinner me dat je moest blijven draaien tot een bepaalde stand zichtbaar was en dan weer een slag terug moest. Zouden die apparaten nog ergens liggen?
In ieder geval, toen ik 1971 het onderwijs instapte had de Mammoetwet en daarmee ook de Moderne Wiskunde zijn intreden gedaan. En op een gegeven moment kwamen er aan die wiskunde ook rekenlinialen te pas. Wolters-Noordhoff leverde ze o.a., en als je de methode Moderne Wiskunde gebruikte dan zat je daar dan ook aan vast.
Ook Aristo leverde schoolrekenlinialen van het type Scholar .
Ik heb zo in de loop der jaren nog wel wat meer schoollinialen van andere merken gescoord, Ahrend en Kent,  en ook nog een paar zakrekenliniaaltjes, daar moest je bijna een vergrootglas bij gebruiken en de nauwkeurigheid, toch al niet zo erg groot bij die schoollinialen, leed ook wel aardig onder het formaat.
Ik geloof dat het maar een vrij korte periode is geweest dat we met die linialen rekenden en ik kan me niet herinneren dat het een groot succes was, noch dat het eenvoudig was om de principes van dit tuig adequaat aan de vrouw/man/mens te brengen. De rekenmachines namen het bewind over.
Toch zijn er uit die tijd op menige school nog levensgrote demonstratie-rekenlinialen aanwezig die je aan het bord kon hangen om het allemaal voor te doen. Ik heb hem naderhand in mijn lokaal laten hangen want het was een leuk hulpmiddeltje bij de uitleg van logaritmische schalen. Eigenlijk wel apart maar toch leuk om het eens met de klas over te hebben, dat je als je over eenzelfde lengte verschuift, je niet met een zelfde waarde optelt, maar met eenzelfde waarde vermenigvuldigt.

REKENMACHINES.

De eerste rekenmachines die ik me herinner, nog voor ze echt ingevoerd werden, hadden volgens mij oplichtende cijfertjes die opgebouwd waren uit rode puntjes.  Later werden dat led-schermpjes.

De eerste echte rekenmachine waar je wat mee kon, een “wetenschappelijke” was wat mij betreft de Prinztronic, die ik van een leerling kocht voor 69 gulden. Hij betrok die van een broer op de HTS of zoiets. Ik heb er mijn vader meteen een kado gedaan. Je kon er in principe alles mee en er gingen 4 AA-batterijen in.
Als je een functietoets gebruikte, dan verscheen er in het scherm een F, er volgde enige tijd geknipper en ja, dan kwam na korte tijd het antwoord van de berekening, in 4 tot 6 decimalen.
Maar ineens waren er van die kleine apparaatjes voor de leerlingen op de markt, met grijze lcd-schermpjes en knoopcellen als batterijen en met alle basisfuncties en geheugenfuncties zoals we die lang op de “gewone” rekenmachientjes hadden.
De school waar ik werkte liet ze door de verstrekker van de spullen die de leerlingen nog aan moesten schaffen naast het boekenpakket dat ze via de school kregen aan de leerlingen verkopen. Het zal wel te maken hebben gehad met de meest winstgevende inkoop die die firma kon doen, maar regelmatig veranderde merk en dus uiterlijk van de leerlingenmachines die geleverd werden. Om goed uit te kunnen blijven leggen was je genoodzaakt je dan ook in het bezit te stellen van zo’n apparaat, want soms zaten de knopjes net even anders. Dus dat resulteerde in een reeks vrijwel identieke rekenmachientjes in mijn collectie.
De school waar ik later kwam te werken liet de leerlingen zelf hun machientje aanschaffen en schreef een type voor.  De CASIO fx 82. Maar ja, die firma verbeterde haar product regelmatig, dus verscheen er steeds weer een nieuw type fx, dat weer net iets beter of geavanceerder was, meer kon of er even wat anders uit zag. Vooral de overstap op het tweeregelig scherm veranderde de mogelijkheden van het apparaat op een gegeven moment ineens nogal. Dan was het helemaal nodig om zo’n nieuwe te hebben. (en ondertussen hield de Aldi of Kijkshop uitverkoop van het oude model en zat je met verschillende systemen in de klas ondank het voorschrift)
Zodoende heb ik een hele collectie fx-en, waaronder de L, LB, TL, super fx, MS en ES, de laatsten met tweeregelig scherm en de ES ook nog met natural display. O ja, ik heb er ook nog eens eentje aangeschaft die zichzelf via een zonnecel oplaadde.
Ondertussen bestookte Texas Instruments de scholen met de TI 30 die zich steeds verder ontwikkelde, welke ontwikkeling gelijke tred hield met de CASIO fx.

GRAFISCHE REKENMACHINE.

Met de komst van de Tweede Fase deed de grafische rekenmachine zijn intreden in de bovenbouw.

Nog voor dat het zover was had ik al een Texas Instruments TI 81 die veel functies en mogelijkheden had van de latere TI 83, die vrij massaal in het VO werd ingevoerd, naast de GR die CASIO leverde. Apparaten waar je een aardige cent voor moest neertellen, dus de ontwikkeling van die markt sindsdien kostte je een aardige duit wilde je dat bijhouden.
Mijn TI 83 heb ik niet meer, die is, nadat ik de TI 84 en vervolgens de TI 84 Plus Silver Edition had aangeschaft, met de 84 op school achter gebleven ten behoeve van het GR-voorpracticum in de derde klassen. Die eerste TI 83 was  hier en daar wat beperkter an de updates nadien. Bepaalde verdelingsfuncties gingen maar tot n = 1000.
De TI 84 Plus SE heb ik nog steeds “dagelijks” in gebruik, ik heb hem up-to-date gehouden door steeds het nieuwste besturingssysteem te downloaden, ik zit nu op 2.55 geloof ik. En ik mag er graag even mee uitproberen wat er allemaal nog meer, of anders, mee kan.  Maar hij is inmiddels naar mijn gevoel (ruim0 ingehaal;d door de CASIO fx-CG20 en de TI-nspire.
Voor in de klas heb in een lay-overscherm mogen aanschaffen, dat je op een overheadprojector kon leggen. Die kon je aansluiten op de TI 84 en zo een schermafbeelding projecteren. Leuk om zaken uit te leggen en te demonstreren. En ook Sierpinski en de eenheidscirkel tot leven te brengen, zoals ze in de handleiding staan.
Ik heb een keer leerlingen een PO laten maken over TI 84 met de opdracht om uit te zoeken wat er allemaal verder nog mee kan buiten dat wat je in de les gebruikt inclusief programmeren en downloaden van programmaatjes. Sommige leerlingen zijn dan wel erg inventief, hoor. Daar staat tegenover dat sommige collega’s regelmatig bij mij aanklopten omdat zij niet wisten hoe bepaalde zaken nu op de TI 84 moesten of niet snapten wat een leerling er nu weer mee uitspookte. Pas nog de SOLVER….
Daarnaast heb ik uit louter nieuwsgierigheid de TI 89 aangeschaft, die met computer algebra aan de slag gaat. 
En de TI 92, een heel apart geval: het lijkt wel een tablet, hij stikt van de knopjes en elke keer als ik er wat mee wil dan moet ik daar eerst weer een studie van maken. Maar het is mooi speelgoed: een groter scherm met hogere definitie, met mooie toepassingen.
En dan de laatste ontwikkeling van Texas Instruments, de TI-nspire. Ik had er eerst een met verwisselbaar toetsenblok. Die kon je ook laten werken als een TI 84 met een toetsenblok identiek aan de 84. Met het andere toetsenblok kon je echt gebruik maken van de veel betere specificaties van de TI-npire, o.a. een scherm met hogere definitie, veel verschillende scherminstellingen en rekenmodes. Wat dat betreft had het wel iets van de CASIO GR. Er zit een woud aan knopjes op het toetsenblok,  wat ook betekent dat het even heel anders werken is dan met een TI 84. Hij kan ook veel meer, niet alleen breuken en wortels invoeren zoals je ze schrijft, maar ook de uitvoer is desgewenst in “exacte” vorm, net zoals de nieuwste CASIO’s.
Ik ben inmiddels overgestapt op de grijze CAS-versie en heb die eerste blauwe versie aan een ander over gedaan.
Inmiddels is er dus weer een nieuwe TI-nspire op de markt met mooie kleurtjes.
En met de digiborden van tegenwoordig kun je via de laptop alles wat je met de GR wilt berekenen demonstreren in de klas. Er is een hele santekraam van software omheen gebouwd  die op allerlei manieren het onderwijs rond de GR kan ondersteunen.
Met de CASIO’s heb ik weinig ervaring. Er is een lange serie opeenvolgende modellen verschenen, die steeds verder evolueerden. Ik heb er wel een paar, de wat oudere CFX en de nieuwste CG, maar als je de TI gewend bent is het soms wel zoeken hoe het nu weer op de CASIO moet. Maar als je tweede corrector bent van een school waar ze gebruikt worden is die kennis toch wel redelijk onmisbaar om het “beschrijven hoe het antwoord met de GR gevonden is” adequaat te kunnen evalueren.
Aan de HP en Sharp ben ik maar niet begonnen.

DIDACTISCHE WAARDE.

Het gebruik van de logtafels was een voor mijn gevoel tijdrovende klus bij het rekenen, ook als het om op- en terugzoeken van gonio ging. Daar hebben de rekenmachines wel een voordeel gebracht.

Het principe van logaritme en machten met grondtal 10 dat aan de basis van de logaritmetafels staat was een mooie kapstok om die begrippen in de praktijk te laten functioneren, maar het begrip en inzicht zal aan een (groot?) aantal leerlingen die moeizaam het spoorboekje dat bij deze “truc” hoorde  volgde voorbij gegaan zijn.
De rekenliniaal op zich was geloof ik een miskleun in de onderbouw van het voortgezet onderwijs. Er kwam te veel bij kijken om er een goed en effectief gebruik van te maken. Ik denk dat het apparaat, zoals dat in hogere technische en exacte opleidingen heeft gefunctioneerd, daar indertijd beter op z’n plaats was, omdat op dat niveau voldoende inzicht aanwezig kon zijn in implicaties van het toch wat complexere gebruik.
De “gewone” rekenmachine heeft enerzijds weinig functioneel tabellengebruik overbodig gemaakt en anderzijds soms te gemakkelijk de mogelijkheid aan leerlingen geboden om zaken te gaan berekenen die ze ook zelf op andere manier met hun eigen hersens hadden kunnen uitvoeren. De scheiding tussen waar het met de rekenmachine kon en met de rekenmachine mocht is niet altijd scherp en consequent doorgevoerd.
Dat ding mag best regelmatig gewoon van tafel en vervangen worden door hersens, pen en papier.
Over de grafische rekenmachines zijn de discussies nog lang niet ten einde, zeker niet na het laatste examen waarbij het soms een (te) grote en dubieuze rol is gaan spelen op momenten dat dat niet de bedoeling was.
Het zou heel wat waard zijn als in de examenopgaven domweg klip en klaar duidelijk zou worden aangegeven wanneer wel en wanneer geen GR gebruikt mag worden, zeker bij wiskunde B, en dan bij het laatste vak liever zo weinig mogelijk. Ook de GR moet een hulpmiddel blijven als aanvulling op het eigen kennen en kunnen van de leerling, op die momenten dat het kunnen en kennen te kort zou schieten (of misschien te veel tijd zou vragen) om een bewerking of het resultaat daarvan, die of dat  in het kader van de vraag zinvol en nuttig is om dat kunnen en kennen ook in die context te testen, uit te voeren.
De GR dient geen middel op zich te zijn waarvan het gebruik op examens getest dient te worden. Het gaat op een examen om de wiskunde, het gebruik en de toepassing daarvan, niet om knoppenvaardigheid en kunnen uitvoeren van trucjes met het apparaat.