Gepensioneerd en toch nog tijd om te bloggen.

Een aanvulling op twitter-account @eskorthof en dan met meer dan 140 tekens.

woensdag 6 november 2013

Kom je over het rekenen, dan kom je over de staart(deling).

Staatsecretaris Sander Dekker van OCW schijnt iets gezegd te hebben over de staartdeling. Wat hij precies zei weet ik niet meer, de tweet kon ik niet meer achterhalen, maar het kwam er op neer dat volgens hem dit algoritme niet uit het rekenonderwijs verdwenen was.
Daar kwam van enkele kanten de nodige kritiek op, hij zou jokken, want met de principes van het zogenaamde realistische rekenen, dat gebaseerd is op inzicht, begripsvorming en het ontwikkelen van eigen rekenstrategieën zouden alle algoritmes overboord gezet zijn.
Deze RR-soep wordt echter, als je de rekenmethodes erop naslaat, niet zo heet gegeten als hij lijkt te worden opgediend.  Daar waar de scholen en docenten zelf hun didactische keuzes kunnen maken en hun methodes kunnen kiezen blijkt dat er toch nog wel tamelijk conventioneel gerekend wordt of dat er naar tussenvormen gezocht is, die het best aansluiten bij docent en leerling.
Het leren kiezen van eigen rekenstrategieën door leerlingen sluit in feite ook in dat er naast nieuwe rekenvormen  ook "oude" algoritmen aangeboden worden, zodat de leerling inderdaad kan kiezen en eigen strategieën kan ontwikkelen. De ene leerling zal zich sneller zo'n, vaak nogal abstract, conventioneel algoritme eigen kunnen maken, de ander zal het rekenen eerder onder de knie krijgen als hij snapt waar hij mee bezig is via een realistische methode.

WORTELTREKKEN.
Ik herinner me dat op mijn lagere school een algoritme werd uitgelegd om de wortel uit een getal te bepalen. We konden dat "kunstje" toen feilloos nadoen, "we", dat waren de leerlingen die later naar de HBS gingen, de meeste anderen hadden er geen vat op. Het trucje was ik jaren later ook weer helemaal kwijt. Het kwam hier op neer:
Neem het getal 2809. 
Verdeel het van achteren naar voren in groepjes van 2 cijfers: 28 09
Zoek het hoogste kwadraat dat niet groter is dan 28, dat is dus 52 = 25.  (n.b. 502 = 2500, dus zit je met 50 al in de buurt)
We onthouden de 5 en trekken 25 van 28 af, blijft over 3.
We gaan verder met 309.
Zoek nu een getal dat begint met  2 × 5 = 10, dus 10..  zodat  10.. vermenigvuldigd met het getal dat op de puntjes staat niet groter is dan 309, dat is dus 3 want 103 × 3 = 309.
De wortel uit 2809 is dan 53.
De voortgang van dit algoritme is gebaseerd op (50 + x)2 = 2500 + 100x + x
en  100x + x2 = (100 + x) · x
maar daar wist ik op de lagere school natuurlijk niets van. Omdat ik dit principe niet snapte raakte ik de truc weer kwijt, maar kan hem nu op grond van kennis en inzicht restaureren en snap ik wat ik deed.
(Overigens, de wortel uit 11 gaat net zo, maar dan zet je achter de komma groepjes van twee nullen:
11, 00 00.
32 = 9 dus blijft over 2,00 00 (en 2 × 3 = 6)
6,.. ×  0,.. mag niet groter dan 2,00 00 zijn:   6,3 × 0,3 = 1,89, blijft over 0,11 00 (en 2 × 3,3 = 6,6)
6,6.. × 0,0..  mag niet groter zijn dan 0,11 00:   6,61 × 0,01 = 0,0661, blijft over 0,0439 (en 2 x 3,31 = 6,62 )
6,62.. × 0,00.. mag niet groter zijn dan 0,0439:   6,626 × 0,006 = 0,039756 enz.
De reeksontwikkeling van de wortel van 11 is dus 3,316…).

STAARTDELING.
Het begrip is  nog geen verleden tijd, de vorm is alleen veranderd, maar in wezen gebeurt er nog hetzelfde. En de didactiek die er achter steekt  om het anders op te schrijven en uit te leggen past in die van het tegenwoordige rekenen en legt ook uit wat er gebeurt.


 
De klassieke staartdeling staat in figuur 1.
Het hoe en waarom is niet in dit algoritme af te lezen. Je doet het gewoon zo.
En als je het antwoord niet gelooft, dan reken je gewoon terug. Zie figuur 2.
Dat terugrekenen is gebaseerd op   (a + b) ×  c = a × c + b × c (zowel de eenheden als de tientallen van 79 vermenigvuldigen met 314) en grappig is dat hier een vrij duidelijke intuïtieve toepassing plaatsvindt van de distributieve eigenschap en dat het feit dat de 7 staat voor 70 recht gedaan wordt.
In dat licht vind ik de methode van staartdelen van figuur 3 eigenlijk veel beter dan die van de klassieke manier.
Je ziet dat het om 300, 10 en 4 gaat, de opbouw  314. De betekenis van de cijfers, die bij de oude manier maar gewoon achter elkaar gezet werden, krijgen hier al doende onmiddellijk hun rekenkundige verklaring.
En iedereen die de klassieke manier geleerd heeft snapt onmiddellijk wat hier gebeurt. En omgekeerd vermoed ik dat iemand die deze nieuwe manier geleerd heeft en goed onder de knie heeft snel door heeft hoe de klassieke manier werkt en er misschien zelfs vanwege z'n compactheid al snel op over stapt, als dat nodig is.

HAPJES.
En dan komen we bij de laatste figuur, de methode waar door een aantal rekenkundigen en aanverwanten nogal over gevallen wordt of waar althans lacherig over gedaan wordt.
Als je op internet naar voorbeelden van deze methode zoekt, bijvoorbeeld http://www.youtube.com/watch?v=3wE3VN9_3dI  dan kan ik me die lacherigheid wel een beetje voorstellen, want het wordt me nogal een verhaal. Maar in principe gebeuren er dezelfde zaken als bij de methode van figuur 3, (en eigenlijk dus ook 1), alleen wordt er niet onmiddellijk, consequent en doelgericht gezocht naar de grootste factor, die het product met 79 dat niet groter maakt dan 248.
Maar de methode werkt wel en ik kan me heel goed voorstellen dat hij ook voor leerlingen die het allemaal niet zo snel hebben met rekenen heel bevattelijk is. Zie daarvoor iets verderop.
Heeft een leerling inmiddels door hoe het werkt dan lijkt me de stap naar figuur 3 snel te zetten en de wat slimmere leerlingen zullen dan gauw doorhebben dan het de moeite loont om naar die grootste factor  van 79 die het product niet groter dan 248 maakt te zoeken. Dan ben je immers sneller klaar.
En dan heb ik het nog niet eens over de rol van het schatten, dat bij dit soort sommen ook om de hoek komt kijken, daar deden we voeger niet zo erg veel op uit, we gingen gewoon "rekenen".
En ten slotte, stel je voor dat een kind een hoeveelheid voetbalplaatjes over een aantal leerlingen moet verdelen, bijvoorbeeld 276 plaatjes over 12 leerlingen.
Wat doet zo'n leerling? Die geeft elke leerling eerst bijvoorbeeld 5, ziet dat dat niet opschiet en geeft elk daarna 10.  En daarna bijvoorbeeld 4 en nog eens 4.  (Één voor één uitdelen ligt bij dit aantal niet erg voor de hand).
(Ja, zelfs bij het klaverjassen wordt er vaak zo, met "hapjes" gedeeld, hoewel de uitkomst al vast staat).
Pakt zo'n leerling een kladblaadje en gaat zij of hij zo'n deling op papier maken, op de één of de andere wijze? Dacht het niet (zo'n kind pakt nog eerder een rekenmachine…).
En wat doen wij als wij 24806 moeten delen door 79? Pakken we pen en papier? Maken we een nette staartdeling? Ik denk dat de greep naar de rekenmachine voor de meesten van ons meer voor de hand ligt!
Dat de staartdeling qua begrip en qua algoritme nog steeds aanwezig is in het PO kan  nagelezen worden op bijv. http://tm.thiememeulenhoff.nl/allestelt/pagina.asp?pagkey=33646

Conventioneel versus realistisch rekenen: voor mij ligt de "waarheid" in het midden. Vroeger was het ook niet alles net zo min als het in het huidige rekenonderwijs het realistisch rekenen je-van-het zou zijn.
Net zo goed als er tegen het rekenen van vroeger het nodige in te brengen is zal er ook  tegen het realistisch rekenen de nodige didactische kritiek mogelijk zijn, maar dat geldt omgekeerd ook in positieve zin.
Daar kan mee aan de slag gegaan worden en wordt ook mee aan de slag gegaan. De aanwezige rekenexpertises kunnen leiden tot beter rekenonderwijs als ze niet tegenover elkaar staan maar samen zoeken naar de beste synthese. Zie ook het slot van de brief van de staatsecretaris van 6 november over het verbeteren van de rekenvaardigheid. http://t.co/0DDuIA6qez
Maar het realistisch rekenen afdoen op grond van ongetwijfeld voorkomende vreemde rekenexcessen, losse uitspraken, voorbeelden of citaten, kennelijke fouten, onbedoelde onjuistheden, vergissingen en incidenten, gepaard gaande met sneren naar personen en instanties, dat schiet niet op.

2 opmerkingen:

  1. Nog even los van voor- en afkeuren is het zinnig om te weten hoe de leerlingen bij binnenstromen in het vo hebben leren delen. Een klein onderzoek naar de aanpak van de deling 1275 / 25 onder ca. 250 nieuwe brugklassers leverde het volgende op:

    + (trad.) staartdeling 13 %
    + aanpak via 'buursom'; (bijv 1300/25 of 1250/25 of 1000/25) ruim 29%
    + hapmethode (met meer dan 2 happen) ruim 44 %
    + geen toelichting 8 %
    + overig 5 %

    PS is het label startdeling (met 1 a) bewust gekozen ?

    BeantwoordenVerwijderen
  2. Het label is inmiddels staartdeling, niet bewust gekozen maar een onbewuste tikfout.
    Overigens inderdaad een zinnige aanvulling, waarvoor dank.

    BeantwoordenVerwijderen