Rekenen, wat versta je daaronder?

Twee soorten rekenen?

Als het over de definitie van rekenen gaat en wat dat rekenen dan in moet houden in het onderwijs in het PO en VO dan lijkt het erop dat er grofweg twee opvattingen leven.

Het komt volgens mij erop neer dat het gaat om het procedurele rekenen sec of het ook vaardig kunnen toepassen van dat rekenen.
De ene opvatting, die sterk verwant is aan de ideeën van de voorstanders van het zogenaamde traditionele rekenen, komt er, wat kort door de bocht geformuleerd, op neer dat het alleen gaat om getallen en hun bewerkingen op zich. Met andere woorden, hoe doe je +, -, x en : en aanverwante bewerkingen met getallen. En hoe doe je dat zonder rekenmachine, natuurlijk. Dus op papier of uit het hoofd, zonder dat die getallen een andere dan numerieke betekenis hebben.
Het is een erfenis der eeuwen hoe je dat doet en het is dan een kwestie van leren om het te kunnen.
Die erfenis is een voortdurende ontwikkeling geweest en dat leren is een bezigheid waarover didactisch al vele inzichten de revue hebben gepasseerd.
Tegenwoordig is er bijvoorbeeld een hele strijd gaande tussen het inzicht dat je iets beter kunt en onthoudt als je het met begrip en inzicht (over de toepassing) hebt geleerd en het inzicht dat je iets eerst “droog” veel moet oefenen en onder de knie moet krijgen om het te laten beklijven, met natuurlijk allerlei nuances daartussen.
Er bestaan organisaties die zich bezighouden met de historie van het rekenen en de manier waarop dat in het verleden gebeurde weer voor het voetlicht halen. Dan blijkt dat de manier waarop het rekenen tegenwoordig gebeurt qua systematiek en notatie de nodige ontwikkeling, zo niet evolutie, heeft ondergaan. Antiquarische rekenboekjes zijn soms niet te begrijpen voor een leek. Wat dat betreft is het verleden geen garantie voor de toekomst.

Traditioneel rekenen.

Het traditionele rekenen, zoals dat, zeg maar tot de jaren 60 / 70 op de scholen aan de orde was, bestond uit eindeloze rijtjes sommetjes met +, -, x en : toegepast op hele getallen, breuken en decimale getallen, procenten, kolomoptellen en –vermenigvuldigen, hoofdrekenen, staartdelen, soms zelfs worteltrekken en de nodige foefjes daarbij. Kijk op een rommelmarkt maar eens in de rekenboekjes van toen.

Ik was er erg goed in en met mij een minderheid in de 6^e klas van de lagere school en die kregen dan bijles om opgeleid te worden voor het toelatingsexamen van de HBS of Gymnasium. Andere leerlingen gingen naar de ULO, daarvan konden er veel ook best wel rekenen, anderen weer minder, en een deel ging naar de LTS of Huishoudschool. En er zaten ook nog één of twee leerlingen in de klas die ouder waren, die deden de zevende of achtste klas. Je had praktische rekenaars en meer theoretische rekenaars, en leerlingen die niet met getallen konden omgaan en alles daartussen.
Wat ik me heel goed herinner was, dat er een aantal leerlingen drommelse moeite had met dat rekenen. In de derde klas bleven leerlingen zitten die de tafels maar niet geleerd kregen en door de jaren heen bleven andere leerlingen worstelen met de sommetjes als het wat moeilijker of ingewikkelder werd. Het rekenen van toen was ondanks het stampen geen garantie dat iedereen het ook maar zou kunnen.

Hoe krijg je rekenen geleerd?

Het is natuurlijk zo dat je de basis van dit traditionele rekenen onder de knie moet hebben om verder te kunnen met rekenen, op welk niveau je het ook gaat gebruiken. Maar over de manier waarop je het onder de knie moet zien te krijgen en hoe ver dat moet gaan, daar is dus de nodige discussie over tussen de didactici, of nog liever, strijd.

Vergelijk rekenen eens met het leren van piano spelen of je als kind aansluiten bij een voetbalclub.
Aan kind zou je het eerste niet volhouden als het beperkt bleef tot het louter spelen van vingeroefeningen en toonladders. De muziekdocent zorgt er wel voor dat zijn pupil binnen de kortste keren ook een leuk muziekstukje kan spelen, dat dan natuurlijk op een voorspeelavond door de trotse ouders wordt aangehoord. En de pianist in spe krijgt ongetwijfeld wat meer informatie over muziek, muziekleer, compositie en uitvoering, tenminste mijn muziekleraar deed dat wel toen ik blokfluitles had. Het leer- en oefenproces werd in een bepaald muzikaal (toepassings-)kader geplaatst, het bleef niet op zich.
En dat voetballertje? Hij mag meteen zaterdag al meevoetballen, op de trainingen blijft het niet bij baltechniek en conditie, maar is er ook plaats voor spelzinzicht en, hoi, er wordt geëindigd met een partijtje.
Ik bedoel hiermee te zeggen dat er ook bij het rekenen van het begin af aan plaats moet zijn voor een inzicht in waar je mee bezig bent en de toepassing op waar het rekenen voor bedoeld is. Niet alleen eindeloos trappen tegen de bal of toonladders.

Een tweede soort rekenen?

Daarmee kom ik op de andere opvatting over rekenen, of kan ik misschien beter zeggen, dat het dan over toegepast rekenen gaat? Niet alleen leren hoe je met die getallen omgaat als er +, -, x of :  bij staat maar ook leren wanneer je die +, -, x of : gebruikt als het om “echte” getallen gaat. En ja, dat vraagt om contexten.

En met die getallen in contexten daar is onze maatschappij vol mee. Ik ga geen voorbeelden noemen, omdat ze in media en maatschappij menigvuldig op je afkomen. Voor mij staat vast dat de scholen de leerlingen moeten opleiden om met die informatie adequaat om te gaan. Een soort maatschappijleer, maar dan niet over ethische, sociale, politieke, levenbeschouwelijke of economische aspecten maar over het interpreteren van informatie die in getallen op je af komt. Je kunt je dan nog afvragen wie dit soort rekenen op z’n bordje krijgt in het VO: wiskunde of …
Ik denk dat die zogenaamde referentiekaders waarop de rekentoets gebaseerd is zo ongeveer wil voorzien in dit bedoelde maatschappelijke aspect.
Het zogenaamde realistisch rekenen, een containerbegrip voor een breed veld van didactieken en methoden, dat sinds de Mammoetwet min of meer in het onderwijs manifest is en zich via allerlei tussenstadia (ik noem wiskobas, de schotse methode) heeft ontwikkeld tot de huidige vormen en in hoofdlijnen is vastgelegd in referentiekaders die het onderwijs sturen, is een uitwerking en consequentie van deze visie.

Grote veranderingen hebben hun gevolgen.

Parallel met deze ontwikkeling zijn er ook een aantal technische en educatieve ontwikkelingen gaande, die het proces hebben beïnvloed. De bekendste zijn wel de (grafische) rekenmachine, de computer, ICT, de laptop en de tablet als vervanger of aanvulling op het boek. Daarnaast hebben onderwijs(on)kundige ontwikkelingen als de Tweede Fase etc. zijn invloed doen gelden, waardoor het leerproces op zich, zich verplaatste van de docent als procesleider en –verantwoordelijke naar de leerling. Dat laat ik verder hier buiten beschouwing.

Terug naar het rekenen. Juist die elektronische en digitale hulpmiddelen hebben het hele rekenverhaal ook fundamenteel veranderd. De techniek van het rekenen op zich, het goed kunnen manipuleren van getallen met +, -, x en : is minder van belang geworden dan het inzicht wanneer je moet optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen of welke bewerking dan ook. Het juist en goed kunnen toepassen van deze bewerkingen op getallen in de praktijk wordt belangrijker dan alleen de routine van het cijferen.
Natuurlijk, met het voorbehoud dat geen pianist ooit het concertpodium heeft betreden zonder eindeloos oefenen van toonladders en vingeroefeningen toen hij aan het leren was. Cijferen ligt aan de basis van het rekenen en rekenen ligt aan de basis van het toegepast rekenen. Het echte rekenen gaat voor mij dus verder dan het adequaat kunnen omgaan met getallen en bewerkingen. Het echte rekenen gaat verder dan aangeleerde rekenprocedures op papier eindeloos kunnen herhalen. Rekenen gaat (ook) over het inzicht hoe je met getallen om moet gaan en wat je ermee moet doen om het probleem waarvoor je gesteld staat op te lossen. Dat een rekenmachine daarbij een zinvol hulpmiddel is behoeft nauwelijks betoog. Ook met een rekenmachine kun je alleen maar goed rekenen als je hebt leren rekenen en je weet wat voor berekeningen je moet gaan maken.

Een voorbeeld.

Deze vraag uit een rekentoets kwam onlangs voorbij: iemand verdient € 200 en krijgt € 15 loonsverhoging. Hoeveel loonsverhoging krijgt iemand die € 140 verdient en een zelfde procentuele verhoging krijgt?

Eén van de kritiekpunten bij deze rekentoetsopgave was dat er gebruik mocht worden gemaakt van de rekenmachine. Kritiek die ik niet begrijp omdat er voordat je de rekenmachine pakt er eerst het nodige rekenkundige inzicht moet worden getoond en rekenkundig werk moet worden verzet voor er wat berekend moet worden.
Het antwoordt op de vraag is het kortst te formuleren met

140 + 15/200 x 140 = 150,50 en dat vraagt natuurlijk het nodige rekenkundige inzicht om het zo te doen.

Een andere benadering is 200 : 15 = 140 : x dus x = 15 x 140  / 200 = 10,50 dus het antwoord is 140 + 10,50 = 150,50

(leerlingen maken voor zulke problemen verhoudingstabellen).

Omdat er ook over procenten gesproken wordt zou het ook kunnen als: 15 is 15 / 200 x 100 = 7,5 %

en 7,5 % van 140 is 0,075 x 140 = 10,50 dus er komt € 10,50 bij.

Fundamentele kritiek op deze opgave is dat in het kader van de rekentoets alleen naar het (digitaal ingevoerde) antwoord gekeken wordt. Naar inzicht in het probleem wordt niet gekeken, omdat die dan overschaduwd wordt door een mogelijke rekenfout of tikfout en dus een fout ingevoerd antwoord, het enige wat gevraagd wordt. Een kommaatje verkeerd of vergeten die € 10,40 bij € 140 op te tellen of zoiets is meteen dodelijk, ook als je het principe snapt.

En toont een leerling hier nu minder rekenvaardigheid als hij of zij het puur technisch rekenwerk aan de rekenmachine overlaat en daarmee op het juiste antwoord komt? Als je niet rekenen kunt vind je in dit geval het antwoord ook met de rekenmachine niet. Als je wel rekenen kunt heb je hooguit snel genoeg door dat er iets niet klop als je echt een fout maakt met het apparaat. Ondertussen ben je nog wel even aan het rekenen als je het inderdaad op papier moet doen, maar krijgt de opgave daardoor meerwaarde?

Overigens, hoe “realistisch” is deze opgave? In de praktijk zijn percentages wel anders, loonsverhogingen gaan bij voorbeeld met 0,6 % en wat je verdient is meestal een veel minder rond getal. Dan pak je al helemaal de rekenmachine (tenzij je niet geleerd hebt om daarmee rekenkundig juist om te gaan). BTW is 6 % of 21 %, geloof ik, bedragen eindigen vaak op 0,99 en ga zo maar door.

Dan sta je wel helemaal met de mond vol tanden met je kennis van  ½ : ¾ = ½ x 4/3 of je vaardigheid om een staartdeling te kunnen maken. (Wat niet wil zeggen dat ik vind dat je dat niet zou moeten kunnen. Maar wel dat je het dan ook zou moeten kunnen controleren op je rekenmachine, behalve natuur lijk tijdens een toets).

Slotopmerking 1.

In hoeverre het grondig ingevoerd zijn in het “eerste soort rekenen” een noodzakelijke voorwaarde is voor beter begrip en inzicht in de abstractere werkelijkheid van de wiskunde, daar heb ik het nog niet over gehad. Maar niet iedereen, lang niet, heeft dat abstractere inzicht en begrip in wiskunde nodig.

In tegendeel, ik denk dat de maatschappij en diverse vervolgopleidingen ook gediend zijn met mensen die met het “tweede soort” rekenen uit de voeten kunnen.

Slotopmerking 2.

Prof. J. van der Craats heeft een Basisboek Rekenen gepubliceerd https://staff.science.uva.nl/j.vandecraats/#br wat de het principe van het “eerste soort rekenen” goed in beeld brengt. Het heet niet voor niets basisboek. Verder heeft hij een alternatieve Kennisbasis voor de PABO https://staff.science.uva.nl/j.vandecraats/#pabo opgesteld, dat als basis voor de didactiek voor het aanvankelijke rekenen een goed uitgangspunt genoemd mag worden. Maar moeten we leerlingen niet méér leren dan dat?

Slotopmerking 3

Er is veel kritiek op het “realistisch rekenen” vanuit bepaalde hoeken van en buiten het (PO- en VO-)onderwijs, en daarmee eigenlijk ook op het “tweede soort rekenen”. Het Referentiekader Rekenen http://www.taalenrekenen.nl/downloads/referentiekader-taal-en-rekenen-referentieniveaus.pdf/download moet het daarbij steeds ontgelden, ook al omdat het van bovenaf opgelegd zou zijn door de staat. Maar ik mis in die kritiek een duidelijke notie hoe er wel op dit punt voorzien kan worden, in toegepaste, maatschappelijke rekenvaardigheid dus, mede refererend aan de elektronische en digitale mogelijkheden die niet meer weg te denken zijn als het om rekenen gaat. Daar is (nog) geen basisboek voor.

Slotopmerking 4.

De grote variëteit waarmee het Referentiekader Rekenen op de scholen in de praktijk wordt gebracht, zowel in de verschillende rekenmethodes als door de individuele docent, geeft blijk van het feit dat er niet gesproken kan worden van staatsdwang inzake rekenen en rekendidactiek. Bij de recente discussies over de rekentoetsen, die nauw gekoppeld zijn aan het referentiekader, stond dat kader en de niveaus die daarin vastgesteld zijn nauwelijks of niet ter discussie bij de meeste betrokken partijen, hoewel ieder voor beter rekenonderwijs is.