Het Centraal Examen HAVO wiskunde B en de grafische rekenmachine.

DE GR-CONTROLE.

 

Er is veel te doen geweest over de grafische rekenmachines in de aanloop tot de wiskunde-examens, dit jaar.

Er konden programmaatjes op gedownload worden die niet de bedoeling waren, te veel konden wat de leerling elf moest kunnen, en die moesten vooraf verwijderd zijn.
Aan de school om dat te controleren. Ik ben benieuwd hoe dat gegaan is en of er nog stoute kandidaten zijn betrapt.
In feite gaat het alleen om de TI 84 van Texas Instruments heb ik begrepen. De CASIO’s en de GR’s van andere merken worden in dit verband niet genoemd en lijden blijkbaar niet aan dat euvel.
In feite zou je dus het probleem meteen kunnen oplossen als je de TI 84 verbiedt, dus van de lijst toegestane GR’s afvoert. Maar dat zal wel niet gebeuren, want Texas Instruments is marktleider en je zou er ook ontzettend veel leerlingen, die een TI 84 hebben, mee duperen.
Maar toch iets om vanaf 2015 eens wat serieuzer mee om te gaan?
Overigens, ook de CASIO is niet van alle smetten vrij, zoals ik hieronder zal toelichten.
Maar laat ik het hebben over de rol van de GR in het CE HAVO wiskunde B.

MEETKUNDE

Vijf vragen van het examen (22 punten van de 78)  betroffen twee meetkunde-opgaven, over een bloembak en over een theezakje. Twee vragen betroffen tekenwerk, bij de bloembak moest met oppervlaktes en inhouden, o.a. van een kegeldeel, gerekend worden, bij het theezakje werd Pythagoras in de ruimte toegepast.

Het rekenwerk bij de bloembak betrof geen specifieke GR-opties, het had allemaal ook met een gewone rekenmachine uitgerekend kunnen worden (en eigenlijk misschien ook wel exact) , het rekenen met Pythagoras, eigenlijk narekenen van gegeven wortelgetallen, moest inderdaad exact. Bij deze opgaven speelde de GR dus nauwelijks of geen specifieke rol.

TWEE KEER: GR NODIG.

Er waren verder maar twee vragen, vraag 1 en vraag 13, waar de GR wel op zijn specifieke mogelijkheden werd aangesproken, namelijk het oplossen van vergelijkingen die niet al te gemakkelijk of absoluut niet “met de hand” hadden kunnen worden opgelost. In beide gevallen hoefden de grafiek al niet meer geplot te worden, want die stonden al in de opgave.  

Vraag 1 betrof een logistisch groeimodel waarvan moest worden bepaald wanneer de halve limietwaarde bereikt werd, maar zo kinkt het moeilijker dan  de vraag zelf luidde. Als startvraag wel leuk, maar als inzichtvraag niet bijster.
Bij vraag 13 ging het over de verticale afstand tussen twee grafieken, die minder dan een bepaalde waarde moest zijn.  Een routinevraag in feite, die meer inzicht vraagt.
Je kunt je afvragen of deze opgaven zo iets toevoegen aan het niveau van het examen en of het benodigde inzicht ook op andere manier verkregen had kunnen worden, zonder gebruik te maken van de GR.
In ieder geval, er waren 7 van de 78 punten met deze vraag te verdienen, waarvan 2 specifiek voor het benoemen van de GR-inzet.

TWEE KEER: GR MISSCHIEN NODIG.

 

Bij vraag 3 (4 punten) moest de vergelijking -2 ( t – 2 ) ² + 64 = 40 opgelost worden. Dat hoefde niet exact, maar dat kon wel. Het CV geeft beide mogelijke antwoorden, exact en benaderd,  maar de beschrijving hoe die gevonden kunnen worden is in beide gevallen gelijk, namelijk 1 punt.
Dat is zuur voor de echte B-leerling die de vergelijking inderdaad exact oplost.
Bij vraag 4 (3 punten) moet een groot getal (één of meer keer) in een gebroken formule worden ingevuld om de limietwaarde te vinden, maar dat kon ook door de formule af te schatten. Het laatste lijkt dan toch echt meer op wiskunde dan het eerste, zeker als het onderzoek naar de limietwaarde niet meer hoeft in te houden dan het domweg invullen van één of meer grote getallen. Maar de beloning is gelijk.

EXACT

Acht à negen van de 19 vragen dienen exact aangepakt te worden en dan blijft de GR dus uit!
Dat zijn 32 tot 34 punten. Maar er zit een addertje onder het exacte gras waar ik verderop op terugkom.
Bij deze exacte opgaven komt o.a. voor : differentiëren, extreme waarden en raaklijn, het oplossen van een gebroken vergelijking, een vergelijking van het type AB =AC daarna een wortelvergelijking met kwadrateren en nog logaritmische vergelijkingen. Een mooie doorsnede van het B-repertoire.
Alhoewel, gonio komt minimaal aan bod,  exponenten eigenlijk helemaal niet.

EXACT EN TOCH GR?

Er is iets aan de hand met vraag  12. Daar moet het minimum van een functie exact uitgerekend worden  voor  x = √2. En dan geschreven worden in de vorm a√b.

Invullen levert voor het minimum: √2 - 1/6 (√2)³ en dan wordt er dus van de kandidaten verwacht om dat netjes te herleiden tot de gevraagde vorm.
Dat kan prima met de CASIO! Je mist dan wel de tussenstap die in het CV half om half genoemd wordt (in één regel staat zowel de  tussenstap als het antwoord) maar “natuurlijk” weet een leerling wel dat (√2)³ gelijk is aan 2√2 en heeft hij die stap impliciet gemaakt…
Die zogenaamde natural display of hoe je het maar noemen wilt gooit hier dus roet in het exacte eten.

ALGEBRAÏSCH

Bij twee opgaven staat dat er iets op algebraïsche wijze moet worden aangetoond. Dat wil dus zeggen: stap voor stap, zonder gebruik te maken van specifieke opties en de grafische mogelijkheden van de GR. Zeg maar: de GR mag alleen worden gebruikt als “gewone” rekenmachine. Je hoeft niet met exacte waarden (door) te rekenen ook.

Bij vraag 2 (4 punten) moet op algebraïsche wijze aangetoond worden dat een gegeven functie in een bepaald punt continu aansluit bij een andere gegeven functie, dus functiewaarden  moeten in dat punt gelijk zijn en de afgeleide functiewaarden ook.
Wat algebraïsch moet is het bepalen van die afgeleiden, daar kan dus niet met de optie dx/dy gewerkt worden. Maar hoe bepaal je die (afgeleide) functiewaarden op zich “stap voor stap” en hoe controleer je dat er geen gebruik is gemaakt van specifieke opties van de GR? Het CV maakt er overigens geen punt van en vraagt alleen maar om de eindantwoorden van die berekeningen.
Hoeveel leerlingen zullen hier toch via “verboden” opties de  gevraagde waarden gevonden hebben?
Het andere algebraïsche aantonen, in vraag 6 (4 punten), is een kwestie van differentiëren met de kettingregel, dus geen ontkomen aan. De GR speelt dan geen enkele rol.

TEN SLOTTE.

Wiskunde B is geen wiskunde A. De GR hoort bij wiskunde B geen integrerende rol te spelen, maar slecht als bijkomstig hulpmiddel te dienen in die gevallen waarin het eventjes nodig is als de kennis en vaardigheid van de leerling te kort zou schieten om een probleem op te lossen. Maar er zijn genoeg problemen te bedenken waarbij de kennis en vaardigheid niet te kort hoeft te schieten en de GR gemist kan worden.

Mijn conclusie bij dit examen is: de rol ban de GR is voldoende klein, er waren voldoende vragen zonder GR.
Bij wiskunde A ligt dat wel anders, het vak zou onmogelijk worden zonder GR. Daar kun je van de leerlingen niet die kennis en vaardigheid verwachten die een GR bij het oplossen van de daar aan de orde zijnde opgaven overbodig maken. Om maar te noemen de statistiek en kansrekening, het werken met bestanden en tabellen en het hanteren van formules.
Maar regelmatig kom je opmerkingen tegen dat wiskunde A een onding is, niets wezenlijks inhoudt en nergens voor nodig is (voor vervolgopleidingen bijvoorbeeld). Maak er maar wiskunde B van, is soms de leus, met als toevoeging dat iedereen wiskunde kan leren. Die geluiden klinken met name uit de “conventionele” hoek.

Ik kan hierover alleen maar opmerken, dat het al van oudsher is dat er leerlingen zijn die wel en die geen wiskunde kunnen, met daartussenin nog een hele schakering. Daarom hadden ze vroeger al HBS B en HBS A, gymnasium β en gymnasium α, en wat waren die A’s en α’s vroeger blij dat ze het geploeter met wiskunde achter zich konden laten!

Mijn ervaring met wiskunde A is dat in ieder geval de groep leerlingen die toch nog iets aan wiskunde doet en er nog iets van opsteekt en meeneemt naar de vervolgopleiding tegenwoordig veel groter is dan vroeger in de tijd van HBS en gymnasium.

Het vak wiskunde A blijft na 2015 dan ook bestaan, gelukkig! Net als wiskunde B.

 

De examenopgaven en het correctievoorschrift zijn te vinden op http://www.cito.nl/onderwijs/voortgezet%20onderwijs/centrale_examens/schriftelijke_examens_havovwo/examens_havovwo_2014/havo_ce_tv1

Vermelde GR-opties: geef er GEEN punten voor!!

In het Nomenclatuurrapport 2007 van de NVvW komt de zinsnede "Bij gebruik van de GR moet(en) de gebruikte optie(s) vermeld worden" voor. Het College voor Examens heeft inmiddels een groot deel van dit nomenclatuurrapport een officiële status gegeven in de z.g. “Examen(werk)woorden"-lijst, maar deze regel komt daarin niet voor. Het CV bij de examens lijkt dat ook overbodig te maken omdat daarin de vakspecifieke regel 2 is opgenomen, waarin staat dat bij vragen waarbij de GR moet worden gebruikt verslag gedaan moet worden hoe dat gebeurt.

Geen GR-taal maar wiskunde-taal belonen.

Ik vraag me af of we op het examen eigenlijk niet zonder die regel kunnen, dus zonder de eis van een beschrijving van de gebruikte GR-opties, na het aangeven van het wiskundige oplossingsmodel. Voegt het vermelden van dat knoppenverhaal iets toe als de wiskundige verantwoording al op papier staat?

Wat mij betreft: schaf het geven van een punt voor "beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost" soms met toevoeging" (met de GR)" af. En vraag er wiskunde voor in de plaats.

Bij voorbeeld: het correctiemodel van vraag 5 in het examen HAVO wiskunde A 2012 tijdvak 1 geeft eerst een punt voor "De vergelijking 16· 0,88^t = 4 moet opgelost worden" en daarna een punt voor "Beschrijven hoe deze vergelijking (met de GR) kan worden opgelost". Bij de examencorrectie ontstaat dan vaak de discussie of het eerste punt ook verdiend is als alleen de tweede stap correct gemaakt is en impliciet blijkt dat de leerling, bewust of onbewust, de juiste vergelijking opgelost heeft, dus als er alleen zoiets staat als y₁ = 16· 0,88^x en y₂ = 4, interesect geeft x = 10,644 waarna het antwoord op de vraag volgt. Volgens mij wordt dan het kunstje in plaats van de wiskunde beloond terwijl juist die vergelijking de wiskundige kern van de oplossingsstrategie vormt.

Inmiddels hebben veel grafische rekenmachines trouwens ook andere mogelijkheden voor: via (equotation) solvers, voorgeprogrammeerde abc-formules en dergelijke en hoe deze greep in de trukendoos verantwoord moet worden door een leerling, daarover zijn geen richtlijnen.

Niet hoe, maar wat.

Het lijkt mij in de toekomst een wiskundig beter begaanbare weg toe als er voortaan geëist wordt dat de kandidaat wel de op te lossen vergelijking in correcte wiskundige taal noteert en daarna de oplossingen, maar dan zònder een GR-verantwoording en een punt daarvoor. Want als de oplossingen juist zijn dan heeft de kandidaat ongetwijfeld de juiste (routine-)handelingen op z'n GR gepleegd en hoeft hij daar niet (soms vaak meerdere malen in een examen) voor beloond te worden. Als de oplossingen fout zijn dan wordt hij ook niet beloond voor een goed bedoelde maar verkeerd uitpakkende beschrijving van zijn GR-handelingen, waarvan je soms niet kunt nagaan wàt er fout kan zijn gegaan.

De zinsnede "een toelichting is vereist" bij de opdracht "bereken" kan, als het niet gaat om een exacte of algebraïsche berekening, dus beter slaan op een wiskundige verantwoording van wat de kandidaat doet en niet op hoe die het doet. Dat "wat" is dan het opstellen van een vergelijking vanuit de context waarin de vraag aangeboden wordt met de intentie die te willen oplossen. Het "hoe", een meestal wat schimmig, in soms cryptische en vaak erg onvolledige “GR-taal”, weergegeven verhaal dat meer op programmeren dan op rekenen lijkt, is toch minder belangrijk?

Wordt er, bij de B-vakken, echter aan de vraag "algebraïsch" of "exact" toegevoegd, dan is het natuurlijk de bedoeling, zowel volgens het Nomenclatuurraport als in lijst Examen(werk)woorden, dat er stap voor stap gewerkt moet worden (zonder GR) en in die gevallen is de beloning voor "beschrijven hoe deze vergelijking wordt opgelost" terecht, omdat het het weergeven van een eigen denkproces is. Dan zullen de stappen op zich in het antwoordmodel ook meestal nader gepreciseerd en gewaardeerd worden.

Het niet langer belonen van basis- en routinehandelingen met de GR zoals intersect, solve of wat dan ook voorkomt overigens ook dat een verkeerde oplossingsrichting die op minder of meer gespannen voet staat met context van de vraag het omschrijven van het GR-gebruik toch wordt beloond, omdat formeel voldaan wordt aan wat er in het CV staat. Een wat mij betreft ongewenst vorm van sprokkelen.

GR en kansrekening.

Naast het oplossen van vergelijkingen zijn er bij wiskunde A (en C) andere situaties waar de GR wordt ingezet zijn, zoals berekeningen met betrekking tot binomiale en normale kansverdelingen.

Ook hier is het zo dat het CV vaak eerst een punt geeft voor de beschrijving van de binomiale of normale verdeling die aan de orde is, inclusief een expliciete vermelding van de parameters, waarna dan gevraagd wordt te beschrijven hoe met de GR de betreffende kans wordt uitgerekend. En dan is ook hier weer het dilemma aan de orde, of je de punten moet geven voor bijvoorbeeld een notatie als P(4,5 ≤ X <5,5 | μ = 5,4; σ = 1,9) of dat aan de opdracht al voldaan is met de notatie normalcdf(4.5, 5.5, 5.4, 1.9) (en mijn TI dan netjes vraagt om lower, upper, μ en σ: een kind kan de was doen!)

Vergelijkbaar zijn de bijvoorbeeld in het CV met punten beloonde stappen "het aantal hooikoortslijders X is binomiaal verdeeld met n = 135 en p = 0,13" en "beschrijven hoe P (X ≤ 26 | n = 135, p = 0,13) berekend kan worden" waar leerlingen vaak meteen "in de aanval" gaan met alleen het opschrijven van binomcdf (135, 0.13, 26). Mijn TI vraagt keurig om de trials, p en x value als je binmocdf aanklikt. Moet je een invuloefening belonen?

N.B. Het CV is in zulke gevallen tamelijk expliciet als het gaat om wat er opgeschreven moet worden, maar elk jaar is er in de examenfora discussie of het met “minder” kan.

Wat mij betreft leren we de kandidaten (en eisen we dat ook op het CE) om de zaken wiskundig formeel correct op te schrijven, dus aangeven wat voor verdeling het is, met de bijbehorende parameters, en welke kans er berekend moet worden, zo mogelijk compleet met de P- notatie inclusief wat achter het | moet komen te staan en nemen we geen genoegen met impliciete GR-taal. Dàt is de wiskunde.

Als je bij eenvoudige berekeningen met +, -, ×, :, sin, cos, wortel of exponent etc. een intypfout maakt wordt die ook afgestraft en krijg je ook geen punt voor de goede GR-bedoeling als je zou aangeven hoe je de GR wilde gebruiken. Laat dat in andere gevallen ook zo zijn, zeker nu het gebruik van de GR steeds verder versimpelt en trucmatig wordt dankzij de "hulpvaardigheid" van de producenten ervan.

GR in CE (uit 2012)

Ik ben het HAVO wiskunde A examen 2012 eerste tijdvak nog eens nagelopen op het gebruik van de GR.: dat was 10 keer, waarvan zo'n 5 keer een vergelijking moest worden opgelost, of eigenlijk vaker, want bij vraag 16 is de vergelijking normalcdf (-10^99, x, 178,14) = 0,05 aan de orde, die dankzij voorgeprogrammeerde solve-instellingen gereduceerd wordt tot een invuloefening. Via invNorm vraagt de TI bij mij om de oppervlakte (area) μ en σ. Een normaalkromme met de juiste gegevens op de juiste plaats of  P(X ≤ x | μ = 178, σ = 14) lijkt me toch veel meer van inzicht te getuigen.

Vermeldenswaard is nog dat het opstellen van een lineaire formule bij vraag 21 heel snel en eenvoudig kon met de optie LinReg en de groeifactor van vraag 11 met ExpReg. In het eerste geval worden er in het CV geen nadere eisen gestel aan de berekening, in het tweede wordt de gebruikelijke berekening expliciet vermeld.

Vraag 12 leende zich, gezien de discrete context, trouwens naast de intersect-aanpak ook voor een oplossing via een tabel met gehele waarden voor de variabele.

Kijk ik naar HAVO wiskunde B, dan komt in het CV 3 keer de opmerking "beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden" (en inderdaad, het mag zonder GR geprobeerd worden, maar het eventuele meerwerk wordt niet extra beloond).

Daarnaast telde ik 6 vragen waarvan de oplossing exact of algebraïsch moest worden gevonden. De te maken stappen, die in het CV expliciet vermeld staan, leveren dan ook navenant meer punten op.

Op het VWO speelt bij wiskunde B het gebruik van integraalopties van de GR een rol. Ook hier is het toepassen van deze opties dankzij zaken als natural textbook display vervallen tot een simpele invuloefening, het overnemen van de opgestelde integraal. Overigens, die natural display verkoopt stiekem exacte knollen voor benaderde citroenen door antwoorden in de vorm van breuken of wortels dan wel met pi te geven.

Kortom, er is nog enige tijd te gaan voor de zaken in 2015 weer op de schop gaan en twee of drie jaar later geëxamineerd worden. Misschien is het dus een punt van discussie in de aanloop van de komende wijzigingen om ons nog eens goed te bezinnen op de rol van de GR, maar met name ook op waardering en de beloning van de rol die de GR speelt bij het oplossen van wiskundige problemen. Gaat het ons nou om knoppenvaardigheid of om het tonen van wiskundig inzicht? De vraag is dus: heeft het weergeven van de wiskundige oplossingscontext meer waarde dan het aangeven van de GR-procedure die in die context wordt toegepast?

(gebaseerd op een eerder door mij gepubliceerd artikel in Euclides, maart 2013)

lees ook: http://aowiskunde.blogspot.nl/2013/10/de-gr-in-het-ce-en-ict-in-het-se.html

Toelatingsexamen hoofdrekenen HBS Gymnasium 1959

 

Ik heb in 1959 toelatingsexamen voor de HBS gedaan en behalve deze hoofdrekentoets was er ook nog een uitgebreidere en langere rekentoets waarin om het meer klassieke rekenhandwerk werd gevraagd: vermenigvuldigen en delen, ook met breuken en kommagetallen, procenten, eenheden, en ook ingeklede rekenopdrachten, stevig rekenen en dan geen 20 minuten, en mét klaspapier.

In de 6^e klas kregen we apart bijles met behulp van speciale boekjes, waarmee we getraind werden voor het toelatingsexamen. Daarbij werd ook gebruik gemaakt van “De Toetsnaald”, een bundel toelatingsexamenvragen, niet alleen voor rekenen, maar ook voor taal, geschiedenis en aardrijkskunde. De bundel krijgt als je erop gaat googelen de nodige kwalificaties met zich mee, waarvan “stampwerk” er één is.

 In mijn klas gingen maar 6 van de zo’n 40 leerlingen op voor dit toelatingsexamen, de rest ging naar de ULO of naar de LTS en huishoudschool, ongeveer half om half denk ik.

Die hoofdrekentoets was dus bestemd voor de “upper ten” van de toenmalige lagere school populatie. Ik denk dat naast het gericht oefenen op de specifieke vraagstellingen in deze toets ook het nodige begrip en inzicht nodig was om te onderscheiden welke “handigheidjes” toegepast kunnen worden. Domweg stampen en leren helpt je bij dit soort opgaven niet.

AANPAKSTRATEGIEËN
Want inderdaad zijn het allemaal 'dingen' die je met getallen kan doen. Maar je moet wel door hebben hoe je dat doet. Het blijkt dat het allemaal “handigheidjes” zijn die binnen een beperkt arsenaal van “trucjes”, of liever aanpakstrategieën passen, bepaalde elementen komen steeds weer terug. Maar die elementen moet je wel snappen, zien, beheersen en geoefend hebben om ze te kunnen toepassen.

Die vaardigheden werden blijkbaar dus alleen maar verwacht van die “upper ten” die hoger scoorde dan de rest van de klas en door de hoofdmeester dan werden gerekruteerd voor het bijlesklasje.
De rest werd gespaard voor deze wat diepere rekeninzichten, maar ik herinner me dat de klasgenoten die naar de ULO gingen voor de toelating daar ook eerst wel aan de tand gevoeld werden wat betreft hun rekenvaardigheid, maar dan ging het meer om het “gewone” rechttoe-rechtaan rekenen, met meer tijd en met kladpapier (wat je vooral moest inleveren, want misschien leverde dat nog puntjes op als het allemaal niet volledig op het gewone examenpapier stond…). Ook zij kregen de nodige oefening, waarbij de overige rest van de klas dan moeilijk mee kon komen en dus eenvoudigere zaken kreeg voorgeschoteld en dan was het voor hen nog zwoegen.
In ieder geval, we werden er echt op getraind om de nodige aanpakstrategieën onder de knie te krijgen, het was best wel ergens “teaching to the test” en misschien ook wel meer een soort intelligentietest, want zeg nou zelf: het waren voor een flink deel bepaald geen realistische sommen. Verander je een mooi gekozen percentage, factor of noemer in een breuk in een minder handig getal, dan was er geen hoofdrekenen meer aan.
En die andere rekentoets bij het toelatingsexamen, ja die ging over rekenen, zoals je later ook bij natuurkunde, scheikunde en economie te doen kreeg. Dat waren “gewone” getallen en dat vroeg weer om een andere aanpak en rekenvaardigheid.
Overigens we waren met z’n zessen bloedfanatiek, vooral op dat hoofdrekenen. Daarin probeerden we elkaar af te troeven. We vonden het eigenlijk leuker dan het “gewone” rekenen, geloof ik.

DIFFERENTIATIE?
Eigenlijk was dat in die zesde klas heel modern, dat onderwijs op maat voor drie groepen, passend onderwijs.

Soms deden we de dingen allemaal samen, soms ging ieder deel z’n eigen gang op z’n eigen niveau.
En op het plein of tijdens gymnastiek was er geen onderscheid, de in de loop de jaren gegroeide vriendschappen en groepsvormingen liepen dwars door de driedeling heen en waren meer gebaseerd op bijvoorbeeld voetballen of andere belangstelling.
Ik ben niet precies op de hoogte van het huidige rekenonderwijs wat betreft de differentiatie binnen de klas. Die was vroeger tot de zesde klas eigenlijk niet zo geweldig. Je deed allemaal hetzelfde, de beste leerlingen haalden een 8 of hoger, een grotere groep haalde een voldoende en de rest deed het met een 5 of lager en zo bleef dat patroon jarenlang doorgaan. Je kon het of je kon het niet. En wie het echt helemaal niet kon bleef zitten. Wat ik me ervan herinner is dat eigenlijk maar een deel van de klas echt rekenen kon en de rest er maar een beetje achteraan hobbelde, en bijvoorbeeld maar bleef worstelen met het leren van de tafels. Bij hoofdrekenen wist je precies wie het antwoord wel wist en wie niet. Je was jaloers als iemand anders het goede antwoord, dat jij ook wist, mocht geven en gnuifde zachtjes als iemand het antwoord niet wist.

TOEN EN NU
Over het huidige rekenonderwijs wordt veel gediscussieerd en men vraagt zich daarbij af of het rekenpeil minder hoog is dan vroeger. Ik denk dat het voor de doorsnee-leerling en wat daar onder zit niet veel uitmaakt. Of misschien ook wel. Vroeger was dat rekenen voor hen een tamelijk abstract goochelen met cijfertjes, die voor hen maar geen getallenwerkelijkheid wilde worden. Tegenwoordig lijkt het me toe dat dankzij het “realistische” in het rekenonderwijs en het hulpmiddel rekenmachine, dat niet alleen in het onderwijs zelf maar ook overal daarbuiten het vroegere handwerk overneemt, in ieder geval de zaken vanuit de eigen beleving beter hanteerbaar, herkenbaar en inzichtelijk maken en op die manier hoofdzaken, de (maatschappelijke) betekenis van de getallen en wat ermee gebeurt, van de bijzaken, hoe (ingewikkeld) je ermee rekent, scheidt.

Nou ja, het rekenen zelf is natuurlijk niet echt een bijzaak en zal altijd een belangrijk onderdeel van het curriculum moeten blijven, maar daar waar het zou dreigen te ontaarden in een abstract gebeuren lijkt het me een voordeel als de maatschappelijke realiteit en de getallen die daar een rol spelen en de wijze waarop dat gebeurt een integrerend deel vormen van het rekenonderwijs.
Maar leerlingen die qua begrip en inzicht meer aankunnen en voor wie die abstractie geen obstakel is zou er meer moeten kunnen en zijn. Die lijken als ik het goed zie te lijden onder het “middenschoolachtige” van het huidige rekenonderwijs en zouden meer uitdaging verdienen. Voor hen zou de drempel naar het VWO wel wat opgehoogd mogen worden met het soort inzichtelijk (en technisch) rekenwerk zoals we dat in 1959 in die hoofdrekentoets zien. Op je niveau getoetst worden is wat anders dan langs een toetsmeetlat gelegd worden.
Dat is ook een kwestie van passend onderwijs.

REKENTOETS
Blijft nog het debat over de rekentoetsen in het voortgezet onderwijs. Ik vind hier opmerkelijk, dat zo’n toets moet gelden voor de hele breedte van een bepaalde onderwijsvorm. Van de meest a-wiskundige A-α-leerling tot de meest exacte B-β-leerling. Dat is ook erg “middenschoolachtig” en levert een soort amorfe opgavenbrei op die voor welke doelgroep ook z’n doel gaat missen.

Het zal dan om het toetsen van een andere, algemenere, vaardigheid moeten gaan dan het louter technisch en inzichtelijk rekenen. Misschien inderdaad meer een ‘reken’toets dan een rekentoets, waarbij het gaat om de interpretatie van getallen en elementaire bewerkingen daarmee, dan om “sommen”, die aan een groot deel niet besteed zullen zijn.
Om die rekentoetsen te vergelijken met zo’n hoofdrekentoets uit 1959 die alleen door de beste leerlingen van de lagere school te maken was, en verder eigenlijk geen rekenkundige rol speelde in het vervolgonderwijs, lijkt me niet zinvol.
Verder wil ik maar niet al te veel woorden besteden aan het rekentoets-debat. Dat gaat al zoveel kanten op, zowel wat betreft het reken- als het toets-aspect, maar ik volg de ontwikkelingen met veel aandacht.

EN HET REKENTOETSDEBAT
Wel wil ik nog een opmerking maken over de manier waarop een aantal debaters het vak “rekenen” claimen en in het vervolg daarop de wijze waarop het vak in de rekentoets wordt getoetst menen te moeten bepalen.
Ik krijg sterk de indruk dat voor enkele debaters de lat ongeveer zo hoog zou moeten komen te liggen als in die hoofdrekentoets. Dan wordt dus vergeten dat dat een niveau was dat niet voor de massa gold. Ik bedoel te zeggen, dat, net als toen, de massa nog steeds niet geweldig rekent en ook niet de potentie heeft om geweldige rekenaars te worden, net als toen. Dat zie je misschien over het hoofd als je excellente en gelauwerde gymnasiasten les geeft, maar je komt er wel achter als je je met VWO-C-leerlingen of vmbo-leerlingen door de rekenstof worstelt.
Meer nog als in 1959, komt iedereen in het dagelijkse leven in aanraking met getallen en hoeveelheden, hun betekenis en het manipuleren ermee. Ik denk dat veel mensen ermee gediend zijn, dat ze leren met die getalleninformatie om te gaan en hoe ermee gehandeld en gedaan wordt, maar dat het aan veel mensen niet besteed is om alleen het aspect technisch rekenen in dit verband uit te lichten, te abstraheren en in die zin te onderwijzen.
Ik heb namelijk sterk het idee gekregen, dat ze dan niet echt veel blijvend nuttigs en bruikbaars leren, maar ook niet leren om te gaan met de getalsinformatie in hun leefwereld.

HET BLIJFT MOEILIJK
De regelmatig gehoorde klacht, dat rekenen een moeilijk vak was, dat ze er weinig van terecht brachten er en nog steeds moeite mee hebben, is niet van vandaag of gisteren, maar gold in 1959 en daarvoor ook al.

Daar moet je het rekenonderwijs op aanpassen.

Puzzelen met Thales

Een leuk puzzeltje daagt altijd uit tot nadere analyse.

Via Twitter stuurde Simon Pampena  @mathemaniac  het onderstaande puzzeltje door, dat binnen 10 seconden moest worden opgelost. De vraag is: hoe goot is x?

In iets meer tijd was dit puzzeltje de wereld al rond geretweet.

 

je moet het even "zien", maar dan is het puzzeltje snel opgelost. x = 8 - 3 =5
Het bewijs?

Teken in rechthoek MBAC ook de diagonaal MA.
In een rechthoek zijn de diagonalen even lang, dus BC = MA.
MA is straal van de cirkel, dus MA = MQ
Hieruit volgt dat MQ = BC, dus x + 3 = 8

Zo'n rechte hoek met hoekpunt op de cirkel doet je denken aan de stelling van Thales, zeker als je de benen verlengt tot de cirkelrand.

Ik dacht daarom aan het volgende:

 

Verleng het lijnstuk AB loodrecht op MP tot het de cirkel in D snijdt.

Wegens cirkelsymmetrie is AB = BD

Idem geldt AC = CE.

Er is nu sprake van twee gelijkvormige driehoeken ABC en ADE.

Immers, er ontstaat zo vanuit hoek A een snavelfiguur met verhoudingen AC : AE = AB : AD = 1 : 2.

Dan is DE = 2 ∙ BC

De Omgekeerde Stelling van Thales (Van een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel) toegepast op driehoek ADE leert dat M op DE ligt en dus DE middellijn is.

Dan is DE = 2 ∙ r en dus  BC = r
z = r en x = r – y
dus is x = z – y

Er is een andere manier om het gestelde aan te tonen.

In de bovenstaande figuur zijn drie congruente driehoeken ABC, BDM en CME aanwezig.

Ze hebben alle drie een rechte hoek en verder is AB = BD = CM en AC = BM = CE.
Dus geldt z = r

De juistheid van de Omgekeerde Stelling van Thales is in die figuur  snel in te zien:

De hoeken  ●  en  *  zijn samen gelijk aan een rechte hoek, dus is hoek DME een gestrekte hoek en DE middellijn en derhalve vormen de punten A, D en E een driehoek met omgeschreven cirkel, waarvan M het middelpunt is.

De Stelling van Thales zelf (Een driehoek ingeschreven in een cirkel, en waarvan één zijde een middellijn van de cirkel vormt, is een rechthoekige driehoek) is zoals bekend snel aan te tonen door het punt op de cirkel te verbinden met het middelpunt, waardoor twee gelijkbenige driehoeken ontstaan.

In de oorspronkelijke driehoek met de middellijn zijn de hoeken samen 180 ^o.

Dus 2 ∙ ● + 2 ∙ * = 180^o  en derhalve vormen ● + * een rechte hoek.

 

 

(Dankzij de regel van de buitenhoek, die gelijk is aan de niet aanliggende binnenhoeken vormen de gelijke hoeken in de gelijkbenige driehoeken samen een gestrekte hoek).

Overigens: Van de Stelling van Thales en zijn Omgekeerde is eigenlijk niet bekend welke de kip en welke het eis is,  ze komen regelmatig in de literatuur verwisseld voor.

Dat gaf te denken

 

Het bovenstaande plaatje geeft stof tot nadenken.

Het principe is gebaseerd op het bekende haakjesrekenen.

Dat kan ook met een plaatje uitgelegd worden.

De oppervlakte van vierkant ABCD met zijde x is x ∙ x = x²

De oppervlakte van AGSE is (x – a) (x – b)

Merk op dat de oppervlakte van AGSE volgt uit de oppervlakte van ABCD door daar de stroken GBCH en EFCD af te halen, maar dan heb je de oppervlakte van rechthoek SFCH twee keer afgetrokken.

Dat betekent dat de oppervlakte van AGSE, en dus de uitkomst van (x – a) (x – b)

gelijk is aan de oppervlakte van ABCD min die van GBCH ( = a ∙ x) en EFCD ( = b ∙ x), met daar weer bij opgeteld de oppervlakte van SFCH ( = a ∙ b), die dubbel is geteld.

 

(x – a) (x – b) = x² – a ∙ x – b ∙ x + a ∙ b ( = (x - a - b) ∙ x + a ∙ b

Het volgendetekeningetje brengt de formule in deze vorm in beeld:

 

De grijze oppervlakte AGSE ( x - a)(x - b) is gelijk aan de gearceerde oppervlaktes samen
(x - a - b) ∙ x + a ∙ b, want de rechthoeken 1 en 2 boven EF tegen elkaar geschoven hebben dezelfde oppervlakte als de rechthoek 3, n.l. (x - b) ∙ b

Neem x = 100, dan krijg je

(100 – a) (100 – b) = 100 ∙ 100 – a ∙ 100 – b ∙ 100 + a ∙ b

                            = (100 – a – b) ∙ 100 + a ∙ b

Dat lijkt al helemaal op wat er in het plaatje staat.

Daar geldt in ieder geval voor dat a en b positieve gehele getallen zijn.

Alleen, de truc werkt verder natuurlijk alleen als a + b < 100  en ook als a ∙ b < 100,

want anders “past” 100 – a – b niet op de posities van de duizend- en honderdtallen

en a ∙ b niet op de posities van de tientallen en eenheden.

Het blijkt dat 1 en 99 toch ook voldoen

(100 – 1) (100 – 99) = (100 - 1 – 99) ∙ 100 + 1 ∙ 99 = 99 (= 99 ∙ 1)

Maar dat is misschien een triviaal geval, net als het geval met a = 0 en b = 100.

Het betekent wel, dat dus blijkbaar mag gelden: a + b ≤ 100

Ook a = 2 en b = 50 voldoen, want

(100 - 2)(100 – 50) = (100 – 2 – 50) ∙ 100 + 2 ∙ 50 = 4900 ( = 98 ∙ 50)

Dus mag ook a ∙ b ≤ 100 gelden.

Je kunt de “regel” veralgemeniseren:

(10ⁿ – a) (10ⁿ – b) = (10ⁿ – a – b) ∙ 10ⁿ + a ∙ b  met a + b ≤ 10ⁿ en a ∙ b ≤ 10ⁿ

Alleen: dan lukt het snelle hoofdrekenen toch niet echt meer!

Neen n = 3

967 ∙ 973 = (1000 – 33)(1000 – 27)         = (1000 – 33 – 27) ∙ 1000 + 33 ∙ 27

                                                              = 940 ∙ 1000 + 30² - 3²

                                                              = 940 891

En zou de regel behalve in het tientallig stelsel ook opgaan in een willekeurig g-tallig stelsel?

(gⁿ – a) (gⁿ – b) = (gⁿ – a – b) + a ∙ b  met a + b ≤ gⁿ en a ∙ b ≤ gⁿ

Dat moet ook wel kloppen.

Laten we het narekenen in het zestallig stelsel:

34 = 5 ∙ 6 + 4 = 54 = 6² – 1  en 31 = 5 ∙ 6 +1 = 51 = 6² – 5

34 ∙ 31 zou in het zestallig stelsel met de getallen a = 2 en b = 5 dus

a + b = 7 = 1.6 + 1

en 6² – 1 ∙ 6 – 1 = 6 ∙ 6 – 1 ∙ 6 – 1 = 5 ∙ 6 – 1 = 4 ∙ 6 +1 ∙ 6 - 1 = 4 ∙ 6 + 5 = 45

en a ∙ b = 10 = 1 ∙ 6 + 4 = 14 opleveren

dus dan wordt het 54 ∙ 51 = 4614

34 ∙ 31                            = 54 ∙ 51 = (100 – 2) (100 - 5)

=(6² – 2) (6² – 5)

= (6² – 2 - 5) ∙ 6² + 2 ∙ 5 ( = (6² – 7) ∙ 6² + 10)

= (6² – (1 ∙ 6 + 1)) ∙ 6²  + 1∙ 6 + 4

= (5 ∙ 6 - 1) ∙ 6² + 1 ∙ 6 + 4 

= (4 ∙ 6 +5) ∙ 6² + 1 ∙ 6 + 4

= 4 ∙ 6³ + 5 ∙ 6² + 1 ∙ 6 + 4 = 4514

= 1054

 

34 ∙ 31                           = 54 ∙ 51 = (5 ∙ 6 + 4 )(5 ∙ 6 + 1)

                                      = 25 ∙ 6² + 5 ∙ 6 ∙ 1 + 4 ∙ 5 ∙ 6 + 4 (= 25 ∙ 6² + 25 ∙ 6 + 4)

                                      = (4 ∙ 6 + 1) ∙ 6² + (4 ∙ 6 + 1 ) ∙ 6 +4

                                      = 4 ∙ 6³  + 1 ∙ 6² + 4 ∙ 6²  + 1 ∙ 6 + 2

                                      = 4 ∙ 6³ + 5 ∙ 6² + 1 ∙ 6 + 4

                                      = 1054

 

Dagblad Trouw heeft een wekelijkse rubriek "Nutteloze kennis", daarin zou het bovenstaande heel goed passen, ware het niet dat het wiskundige plezier om zoiets uit te dokteren toch wel  een vorm van nut is.

CE wiskunde: geeft geen punten voor de GR, geef punten voor wiskunde!

Examenwoordenlijst: "een toelichting is vereist".

In de nieuwe examenwoordenlijst van het CvE komt de zinsnede "Bij gebruik van de GR moet(en) de gebruikte optie(s) vermeld worden" uit de nomenclatuurlijst niet meer voor, maar het CV zelf ondervangt dat met de vakspecifieke regel 2, waarin staat dat bij vragen waarbij de GR moet worden gebruikt verslag gedaan moet worden hoe dat gebeurt.

Ik vroeg me af of we eigenlijk niet zonder die laatste CV-regel kunnen, dus zonder de eis van de beschrijving van de gebruikte GR-opties (na het aangeven van het wiskundig oplossingsmodel). Voegt het vermelden van het knoppenverhaal iets toe als de wiskundige verantwoording en beantwoording al (correct en volledig) op papier staan?

Wat mij betreft: schaf het geven van punten voor het beschrijven van GR-opties af! En vraag naar de wiskunde en beloon die!

Als ik kijk in de CV's dan wordt daar vaak een punt gegeven voor "beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost" soms met toevoeging (met de GR). Dat gaat dan vaak met y1 en y2 invullen, een geschikt venster kiezen en dan via intersect een snijpunt bepalen tussen 2 grafieken. Maar inmiddels hebben de grafische rekenmachines daar ook andere mogelijkheden voor via (equotation) solvers, voorgeprogrammeerde abc-formules en dergelijke.

Vaak is het daarbij dan een punt van discussie dat het CV een punt geeft voor het eerst opstellen van de vergelijking die moet worden opgelost, maar of het dan terecht is om die punt ook toe te kennen als die vergelijking impliciet wel verderop blijkt te zijn opgelost in de gevolgde GR-procedure, maar niet expliciet genoteerd is.

Mij lijkt het me een beter begaanbare toekomstige weg als er voortaan geëist wordt dat de op te lossen vergelijking in correcte wiskundige taal door de kandidaat genoteerd wordt waarna de oplossingen volgen, zònder een GR-verantwoording en een punt daarvoor. Want als de oplossingen juist zijn dan heeft de kandidaat ongetwijfeld de juiste (routine-)handelingen gepleegd en hoeft hij daar niet (soms meerdere malen voor eenzelfde optie binnen één examen) voor beloond te worden. Als de oplossingen fout zijn dan wordt hij ook niet beloond voor een goed bedoelde maar verkeerd uitpakkende beschrijving van zijn, soms in het kader van de vraag nergens op slaande, GR-handelingen, waarvan je soms ook niet eens kunt nagaan wàt er fout kan zijn gegaan bij de invoer.

De zinsnede "een toelichting is vereist” moet dus (alleen) slaan op een wiskundige verantwoording wat de kandidaat doet en niet op hoe die het doet. Dat "wat" is dan het opstellen van een vergelijking vanuit de context waarin de vraag aangeboden wordt met de intentie die te willen oplossen. Als het vinden van het antwoord buiten de algebraïsche competenties valt is het vinden ervan met de GR niet van belang, de oplossing zelf en het beantwoorden daarmee van de vraag wel.

Wordt er, alleen bij de B-vakken, aan de vraag "algebraïsch" of "exact" toegevoegd, dan zegt de woordenlijst dat er stap voor stap gewerkt moet worden (zonder GR) en in die gevallen is de beloning voor "beschrijven hoe deze vergelijking wordt opgelost" (zonder GR) terecht. Dan staan de stappen die tot de oplossing leiden in principe in het antwoordmodel nader gepreciseerd.

Dit niet langer belonen van routinehandelingen met de GR met opties als intersect, solve of wat dan ook voorkomt ook dat bij een verkeerde oplossingsrichting, die op minder of meer gespannen voet staat met het aan de vraag verbonden oplossingsmodel, het omschrijven van het GR-gebruik, vooral als het een andere optie is of een te eenvoudige toepassing, toch wordt beloond; een onterechte vorm van sprokkelen volgens mij.

Het niet met punten belonen voor het beschrijven van de GR-opties maakt meteen ook de discussies over hoe dat dan moet gebeuren overbodig. Dat beschrijven kan nogal variëren, van uiterst summier tot uitgebreid met het benoemen van alle ingevoerde parameters. De syllbi en CV’s blijven in gebreke op dit punt, er is geen duidelijkheid en eenduidigheid.

 

Een ander moment waarop de GR wordt ingezet zijn, bij de A-vakken, berekeningen met betrekking tot binomiale en normale kansverdelingen.

Ook hier is het zo dat het CV vaak eerst een punt geeft voor de beschrijving van de binomiale of normale verdeling die aan de orde is, inclusief een expliciete vermelding van de parameters, waarna dan gevraagd wordt te beschrijven hoe met de GR de betreffende kans wordt uitgerekend. En dan is ook hier weer het dilemma aan de orde, of je geen punten hoeft af te trekken als  bijvoorbeeld een notatie als P(4,5 ≤ X <5,5 | μ = 5,4; σ = 1,9) ontbreekt en dat volledig is voldaan  aan de vraag met alleen de notatie normalcdf(4.5, 5.5, 5.4, 1.9) (en mijn TI dan netjes vraagt om lower, upper, μ en σ: een kind kan de was doen!)

Vergelijkbaar is "het aantal hooikoortslijders X is binomiaal verdeeld met n = 135 en p = 0,13" en "beschrijven hoe P (X ≤ 26 | n = 135, p = 0,13) berekend kan worden" (expliciet vermeld en gewaardeerd met punten in het CV) waar de leerlingen meteen "in de aanval" gaan met binomcdf (135, 0.13, 26). Mijn TI vraagt keurig om de trials, p en X. Moet je een invuloefening belonen?

Wat mij betreft leren we de kandidaten de zaken wiskundig formeel correct op te schrijven, dus aangeven wat voor verdeling het is, met welk parameters en welke kans er berekend moet worden, compleet met de P- notatie inclusief wat achter de | moet komen te staan. Dat is de wiskunde.

Als je bij eenvoudige berekeningen met +, -, ×, :, sin, cos etc. een intypfout maakt wordt die ook afgestraft en krijg je ook geen punt voor de goede GR-bedoeling als je zou aangeven hoe je de GR wilde gebruiken. Laat dat in deze gevallen ook zo zijn, zeker nu het gebruik van de GR steeds verder versimpelt en trucmatig wordt door vereenvoudigde invoer en hulpprogrammaatjes.

Ongetwijfeld zijn er meer gevallen waarin de GR gebruikt wordt maar die niet onder het bovenstaande vallen, ik denk aan het gebruik van dy/dx of lijsten, maar ik denk dat ook daar de correcte wiskundige notatie van de bedoelde oplossingsstrategie goed "gecanoniseerd" kan worden zonder dat het GR-gebruik op zich, het noemen van opties of hoe dan ook, beloond wordt.

 

Ik ben het HAVO wiskunde A examen 2012 eerste tijdvak nog eens nagelopen op het gebruik van de GR: dat was 10 keer, waarvan zo'n 5 keer een vergelijking moest worden opgelost, of eigenlijk vaker, want bij vraag 16 is de vergelijking normalcdf (-10^99, x, 178,14) = 0,05 aan de orde, die dankzij voorgeprogrammeerde solve-instellingen gereduceerd wordt tot een invuloefening. Via invNorm vraagt de TI bij mij dan om de oppervlakte (area), μ en σ. Een normaalkromme met de juiste gegevens op de juiste plaats of  P(X ≤ x | μ = 178, σ = 14) = 0,05 noteren lijkt me toch veel meer van inzicht te getuigen.

Vermeldenswaard is nog dat het opstellen van een lineaire formule bij vraag 21 heel snel en eenvoudig kon met de optie LinReg en de groeifactor van vraag 11 met ExpReg. In het eerste geval worden er in het CV geen nadere eisen gestel aan de berekening, in het tweede wordt de normaal gebruikelijke berekening expliciet vermeld.

Vraag 12 leende zich, gezien de discrete context, trouwens naast de intersect-aanpak ook voor een oplossing via een tabel met gehele waarden voor de variabele.

 

Kijk ik naar HAVO wiskunde B 1^e tijdvak 2012, dan komt in het CV 3 keer de opmerking "beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden" (en inderdaad, het mag zonder GR geprobeerd worden, maar het eventuele meerwerk wordt niet extra beloond). De GR komt dus weinig aan bod.

Daarnaast telde ik 6 vragen waarvan de oplossing exact of algebraïsch moest worden gevonden. De te maken stappen, die in het CV expliciet vermeld staan, leveren daar dan ook wel navenant meer punten op.

Op het VWO speelt bij wiskunde B het gebruik van integraalopties van de GR een rol. Ook hier is het toepassen van deze opties dankzij zaken als natural textbook display vervallen tot een simpele invuloefening, het overnemen van de opgestelde integraal. Dus: beloon het opstellen en juist noteren, niet het invoeren.

Overigens, die natural display verkoopt stiekem exacte knollen voor benaderde citroenen door antwoorden in de vorm van breuken of wortels dan wel met pi te geven.

Er is nog enige tijd te gaan voor de zaken in 2015 weer op de schop gaan en twee of drie jaar later geëxamineerd worden. Misschien is het dus een punt van discussie in de aanloop van de komende wijzigingen om ons nog eens goed te bezinnen op de rol van de GR, maar met name ook op de beloning van de rol die de GR speelt bij het oplossen van wiskundige problemen. Gaat het ons nou om knoppenvaardigheid of om het tonen van wiskundig inzicht? De vraag is dus: heeft het weergeven van de wiskundige oplossingscontext meer waarde dan het aangeven van de GR-procedure die in die context wordt toegepast.

Wat mij betreft: weer de GR-taal en de knoppentaal- op het CE, ken er geen punten aan toe en eis van de leerlingen dat ze op wiskundige wijze duidelijk maken wat ze aan het doen zijn.

 

(eerder in een kortere versie gepubliceerd in Euclides)

 

 

Het echte doel van de wiskunde

Het onderwerp "Het echte doel van het wiskunde-onderwijs" is in het Algemene Forum van de oude NVvW-site aan de orde geweest en kende vele bijdragen, ook in diverse blogs. Ik heb die van mij “gered” en hieronder volgen ze in herschreven vorm. Het zijn reacties op andere bijdragen, dus sommige alinea’s vallen misschien een beetje uit de lucht.

Ik heb over dit onderwerp geen nieuw standpunt of inzicht, maar dat neemt niet weg dat een thema als dit niet voor discussie vatbaar zou zijn, want dat blijft ze voortdurend. Het lijkt me dus zinvol om daarover in gesprek te blijven en elkaar rekenschap te blijven geven van de standpunten die hierover ingenomen worden, maar wel in het licht van "de eisen van deze tijd" en niet te zeer met een "hang naar het verleden". Er mag in dit opzicht gelden dat een soort wiskundige Ostalgie naar hoe geweldig het allemaal was in de tijd dat men vond dat het ook niet zo geweldig was niet aan de orde moet zijn.

Het echte doel van ons wiskundeonderwijs valt in twee subthema's uiteen: welk doel en hoe het te bereiken. Ik vind "creatief oplossingsvermogen" als doel wat te smal, voor mij telt naast de "vaardigheid" met name de "filosofie" (De aanhalingen zijn termen uit het betoog van Jos v.d. Ende over dit onderwerp).

Wat mij betreft is wiskundeonderwijs op VO-niveau minder een kwestie van leerlingen met basisvaardigheden en -technieken onderlegd klaarmaken voor het vervolgonderwijs dan wel het vormen en trainen van en in een bepaalde denkwijze. Dat daarbij "collatoral" is dat leerlingen een flinke mate van basisvaardigheden opdoen is vanzelfsprekend: om een spel te kunnen spelen, of liever nog, om de tactiek en de denkwijze die bij het spelen nodig zijn te doorgronden, zijn het leren en kennen van de spelregels en het hebben en trainen van voldoende "balcontrole" noodzakelijke voorwaarden. Je kunt het vergelijken met de plaats die het leren van schaken in sommige onderwijsvormen krijgt, minder om schaakkampioenen te creëren dan om de denkwijze die aan het spel ten grondslag ligt te laten landen.

Toen ik ging studeren was, naast de tamelijk elementaire algebraïsche vaardigheid, de training om tot op zekere hoogte exact en abstract te denken en daarmee de wiskundige vorming van mijn geest de basis voor het verder leren en studeren, ik heb even zovele basisvaardigheden los moeten laten of opnieuw of anders moeten aanleren. Dat nieuwe viel als zaad in een daartoe soms redelijk geprepareerde akker, met overigens vergelijkbare resultaten als in de Bijbelse parabel…

Hoe dat doel te bereiken, daarover heeft een veelstemmig koor van vakdidactici zich in de loop der jaren uitgelaten, zowel voor als na de jaren 70, en in de praktijk hebben talrijke collega's in de eigen klassensituatie er weer hun eigen draai aan gegeven. Andere tijden vragen daarbij andere methoden en de vervolgopleidingen, voor mij iets minder doel, maar het is wel praktisch noodzakelijk om er rekening mee te houden, hebben hun invloed daarbij ook doen gelden. Daarbij mag overigens worden opgemerkt dat de vervolgopleidingen zich vaak minder aantrokken of zich op de hoogte stelden van wat aan de orde was of zou kunnen komen in het middelbaar wiskundeonderwijs dan andersom. Maar goed: zie toe wat cTWO nog voor elkaar gaat brengen!

Op een gegeven moment kwam het functieonderzoek van vroeger aan de orde. Nou, ik kan me herinneren dat van die leerlingen die de B-kant kozen en dus geroepen waren tot enige wezenlijke wiskunde er toch een flink aantal niet in slaagde om daar iets van te brouwen. En een functieonderzoek als analytische vaardigheid heeft weinig zin als het niet verder komt dan een (hopelijk) fraaie grafiek en er geen vervolg is in een toepassing, maar ja, dan kreeg je weer het probleem van de stapelopgave. Dan zaten leerlingen 45 minuten van de 50 te staren naar hun halflege ruitjespapier.

Of neem het strijdpunt statistiek dat in de discussie aan de orde kwam. Ik weet dat er genoeg collega's zijn die statistiek (en kansrekening) geen echte wiskunde vinden. Ik vind de stelling dat dit niet in het wiskundeonderwijs zou horen een soort stelling die weer scheiding tussen algebra en meetkunde lijkt op te roepen, goniometrie weer apart wil zetten en misschien zelfs mechanica weer als zelfstandig vak terug wil laten keren. Op zichzelf het overdenken waard, maar het argument om het niet aan te bieden omdat het vervolgonderwijs het anders aanpakt vind ik niet zo zwaarwegend, zoals ik al liet doorschemeren. Als dat het criterium is blijft er weinig wiskunde om in het VO te onderwijzen over. Misschien is goed statistisch onderricht en in een juiste wiskundige context, mogelijk zelfs met GR, wel van grote vormende waarde om als basis te dienen voor latere opleidingen, ook al doen die het anders en vooral technischer. Het vak speelt een grote rol in de huidige wetenschap en maatschappij, wiskundig valt er veel zinnigs over te zeggen en mee te doen.

Over het wiskundeonderwijs sinds 1970, zoals ik dat heb meegemaakt, hebben regelmatig allerlei klokkenluiders, die precies wisten waar de klepel hing, de noodklok geluid. Het was bijna net een carillon, zo veelstemmig klonk dat soms. Die strijd hoort blijkbaar bij (wiskunde)onderwijs en zal nog wel in vele nieuwe toonaarden voortduren, ik heb wel het idee dat er vaak daarbij sprake is van achterhoedegevechten door traditionalisten in een slag die weinig strijders uit de jongere generatie docenten meer trekt.

De grote kracht van het wiskundeonderwijs zou volgens een bijdrage in het genoemde forum het aanwakkeren van een creatief oplossingsvermogen zijn. Maar de grote kracht van de wiskundeonderwijzers zou daarbij ook moeten zijn om mee te gaan met waar de leerlingen mee bezig zijn, wat hen en hun denken beweegt en hun leefwereld en toekomst bepaalt. Geen ruitjespapier en tabellenboekjes, maar de alom aanwezige en door hen gebruikte digitale hulpmiddelen. Een wiskundeles zonder een "tweede scherm" in de klas zou al net zo obscuur moeten zijn als tegenwoordig een tv-programma zonder dat scherm. Het vraagt om een creatief oplossingsvermogen van docenten om hierop in te spelen en de doelen van het wiskundeonderwijs mede daarmee te realiseren. Daarover lees ik (nog) nergens iets bij collega’s die zich, zeg maar, “behoudend" opstellen, maar die "tabletten" zullen wel geslikt moeten worden.

Als ik voor mezelf spreek, ik heb dus in de loop van 40 jaar heel wat veranderingen in het wiskundeonderwijs meegemaakt. Die waren meestal onafwendbaar en je kon niet anders dan erin meegaan en er het beste van maken.
The proof of the pudding was vaak the eating en al doende kwam soms dan de smaak, soms bitter, maar ook wel zoet.
Als saillant voorbeeld van de onafwendbaarheid noem ik het HEWET-project begin jaren 80, waarvan mijn school proefschool was. Na een jaar experimenteren kwamen we als proefscholen samen tot de slotsom dat het programma niet voldragen was en invoering beter kon wachten. Maar die evaluatie had al geen zin meer, want er was al besloten tot invoering nog voor het experiment beëindigd was…

Ik wil nog iets zeggen over "de eisen der tijd", "aansluiten bij de belevingswereld" en het "tweede scherm", waarover ik het eerder had.
Ik bedoel hier o.a. mee, dat we niet meer met griffels op leitjes schrijven (en het meteen met een spons weer moeten uitvegen), dat er naast boeken ook andere (interactieve) bronnen zijn waaruit we kunnen putten en dat naast het ruitjesschrift er ook ander manieren zijn om je (hopelijk verworven) kennis vast te leggen en te tonen.
Misschien loopt men met laptops en i-pads in de klas soms wel wat hard van stapel (ik las over een school die toch maar weer naar de boeken greep) maar onmiskenbaar hebben deze "tweede schermen" (naast het al massaal aanwezige digibord) op veel scholen een plaats verworven.
En waar leerlingen bij andere vakken en in studie-uren steeds meer gebruik kunnen maken van computers, er steeds meer content komt die dat gebruik (goed en zinvol) mogelijk maakt en leerlingen buiten en binnen de school op een heel andere wijze aan het leren en verwerken zijn dan, ik zeg maar even, wij vroeger, kun je je kop voor deze ontwikkeling niet in het zand steken. Ik noem maar DWO, GeoGebra, AlgebraKit en bijvoorbeeld de uitgebreide digitale en interactieve ondersteuning door de leerboeken.

(Ik woon vlak bij de Universiteit Twente, met veel beta-studenten, waar ik iedereen zie lopen met een laptop en zalen vol studenten achter de computer zie: dat is toch niet alleen tekstverwerken, denk ik dan. En je ziet ze trouwens nooit met pen en papier een straatdeling maken…)

Ik vind ook niet dat wiskunde een vak is in de zin van "take it or leave it", kies het of niet, maar dat het qua grondbeginselen naast bijvoorbeeld talen een basisvak is, waarin iedereen enige bekwaamheid moet trachten te verwerven, omdat dat maatschappelijk relevant is. En daarom geloof ik er ook niet in dat het vak in eerste aanzet (puur) abstract gehouden zou moeten worden. Hoe formuleerde van Hiele zijn theorieën op dit punt ook al weer? Daarin stond de abstractie ook niet aan het begin van de beroemde drieslag.

Je kunt erover discussiëren of we niet te ver zijn doorgeslagen met die contextrijke wiskunde en verhaaltjessommen, maar het lijkt me na de voorgaande opmerking onontkoombaar dat (ook) de realistische wiskunde een plaats krijgt in de onderbouw. Die abstractie kan later, als ook de pubergeesten wat rijper zijn en er enige scheiding der geesten in A-, B- of C-richting plaatsvindt, z'n plaats wel krijgen en dan meer succes hebben (ik zag op dit punt het licht pas echt op de universiteit).

Ik hoop dat veel docenten het vak wiskunde geven "omdat het zo ontzettend mooi is", maar om dat als ultieme  reden en doel te formuleren? En of dat in die 5 à 6 jaar aan alle leerlingen overdraagbaar is? Je bent naast wiskundige toch ook didacticus en een beetje pedagoog, dat zijn ook mooie aspecten van het docentenberoep, je bent met jonge mensen bezig.

Ten slotte de GR. Ik ben het er helemaal mee eens dat dat instrument door voortdurende toevoegingen van applicaties en mogelijkheden z'n doel voorbijgestreefd is en misschien al was op het moment dat het werd ingevoerd. Maar ik vermoed dat er in de onderwijswereld toch wel didactici te vinden zijn die wel degelijk kunnen uitleggen wat het nut ervan zou of had kunnen zijn in het onderwijs, al hoef je het daar dan niet mee eens te zijn. Uiteindelijk gaat wiskunde op de universiteit ook niet zonder CAS en wordt toegepaste wiskunde in andere vakken uiteindelijk ook dankbaar met behulp van ICT aangewend.

Inhoudelijke argumenten zullen er beslist wel zijn, maar ze worden niet door iedereen als zodanig geaccepteerd. Ik vind dat de syllabus het aardig zegt:
Bij wiskunde A en C is het wiskundegereedschap bedoeld om contextproblemen mee te analyseren en op te lossen. Omdat in toepassingen veelal met benaderende waarden (van grootheden) wordt gewerkt, ligt het niet voor de hand om exacte antwoorden te eisen. In veel gevallen zal de GR daarbij zinvol kunnen worden ingezet. Bij wiskunde B daarentegen zullen zeker ook meer abstracte vraagstukken voorkomen die met behulp van algebra moeten worden geanalyseerd of waarvoor een algebraïsch bewijs moet worden geleverd. Daarbij speelt de GR geen rol.

De forumdiscussie is nog te vinden op  

http://oud.nvvw.nl/page.php?id=749&rid=8107&topicID=2128&view=list_posts

onder de topic-titel “Artikel niet geplaatst in Euclides” maar de site wordt binnenkort beëindigd.

Bijdragen op andere blogs zijn te vinden op:

 

http://wiswijzer.blogspot.nl/2013/02/het-echte-doel-van-ons-wiskundeonderwijs.html

 

http://daviddijkman.blogspot.nl/2013/03/doel-van-wiskunde_3.html?m=1