Tot 100 % meer...

De Oral-B Trizone 1000 verwijdert tot 100% meer tandplak dan een normale handtandenborstel.

Dat lijkt geweldig maar is het ook geweldig?

Allereerst de suggestie die uitgaat van 100 %: alles, totaal, helemaal. Maar het tandplak wordt zeker niet voor (bijna) 100 % verwijdedt en dat staat er ook niet. Maar dat is wel de eyecatcher in deze leuze, die 100 %.

Er staat “100 % meer” en dat is niets anders dan “twee keer zoveel” of “het dubbele” en zegt niet zo erg veel over hoeveel tandplak er nu werkelijk verwijderd wordt. Immers, dat hangt af van hoeveel een normale handtandenborstel verwijdert.  Als dat niet zoveel is dan is het dubbele nog steeds niet zo veel.

Maar, hoe zit het ook alweer met tandplak. De tandarts vindt alleen poetsen niet voldoende, die raadt je aan om daarnaast te flossen, met tandenstokers te werken of adviseert je misschien een speciale tandpasta aan die de tandplak effectiever bestrijdt dan door middel van louter poetsen met een gewoon poetsmiddel.

Met andere woorden, een normale handtandenborstel verwijdert dus helemaal niet zoveel tandplak, een Oral B Trizone 1000 misschien meer, zelfs tot het dubbele, maar verwacht op grond van deze reclame geen wonderen in de zin van bijna totale verwijdering .

Misschien is het zelfs goedkoper om twee keer te poetsen met een normale handtandenborstel of twee keer zo lang, dan doe je ook tot 100 % meer aan het verwijderen van tandplak.

Procenten, decimalen en afrondingen.

 In het centrale examen HAVO Wiskunde A tijdvak 1 kwam de volgende vraag voor:

Huisartsen nemen een centrale positie in binnen de gezondheidszorg. De huisarts is namelijk het eerste aanspreekpunt voor mensen met vragen over gezondheid en ziekte. Veel mensen hebben dan ook regelmatig contact met hun huisarts, bijvoorbeeld door naar het spreekuur te gaan of een telefonisch consult te hebben. Deze contacten worden contactmomenten genoemd.

Volgens een medisch tijdschrift hadden in 2008 mannelijke patiënten gemiddeld 3,5 en vrouwelijke patiënten gemiddeld 4,7 contactmomenten met hun eigen huisarts.

Neem aan dat deze gegevens ook gelden voor huisarts Tineke Hoekstra.

Zij heeft in 2008 een huisartsenpraktijk met 912 mannelijke patiënten en dat is 52% van haar totale aantal patiënten.

Bereken voor Tineke in 2008 het totale aantal contactmomenten met al haar patiënten.

Bij deze opgave zijn veel kanttekeningen te maken.

Allereerst over procenten.

De methode Getal & Ruimte heeft als vuistregel "Geef procenten in één decimaal nauwkeurig" maar vult dit aan met de opmerking "Ga altijd na of de nauwkeurigheid van je antwoord past bij het gegeven probleem".

De voorbeelden en opgaven in G&R houden zich aan deze vuistregel, hoewel er bij gegeven percentages waarmee gerekend moet worden ook vaak van gehele aantallen procenten wordt uitgegaan, zoals hierboven.

Daarnaast noem ik een opmerking in de syllabus: "Er wordt van kandidaten bij wiskunde A niet verlangd dat zij kennis hebben van regels voor het aantal significante cijfers. Daarom zal bij vragen op het centraal examen worden aangegeven in welke nauwkeurigheid een antwoord dient te worden gegeven of er zal genoegen worden genomen met antwoorden in uiteenlopende aantallen decimalen".

In het SLO-(concept-)rapport "Tussendoelen wiskunde onderbouw HAVO-VWO" staat o.a. "De leerling kan situaties vertalen naar een bewerking, deze uitvoeren en het resultaat van een berekening afronden in overeenstemming met de gegeven situatie"  (waarbij de begrippen afronden en schatten worden genoemd).

Zowel syllabus als rapport doet de vraag rijzen of dit ook "de andere kant" op geldt: mag het in plaats van voor "uiteenlopende aantallen decimalen" ook gelden voor tientallen, honderdtallen enz. als dat beter "in overeenstemming is met de gegeven situatie"?

Het College voor Examens stelt zich op het standpunt dat het logisch is dat leerlingen hun antwoorden in dezelfde orde van grootte geven als in de opgave, tenzij dat anders in de vraag wordt aangegeven  Dit standpunt werd althans ingenomen ten aanzien van de vragen 13, 14 en 17 in dit examen, waarin kansen in de context in 2 decimalen voorkwamen. De te berekenen kansen werden in het CV bijvoorbeeld weergegeven als: 0,99 (of 99 %) (of nauwkeuriger). Bij vraag 17 was het antwoord: 0,70 (of 70 %) (of nauwkeuriger) en niet 0,7. Alleen bij vraag 13 ging dat mis: het antwoord was daar 0,0003, hoewel er niet om 4 decimalen gevraagd werd.

Terug naar de vraag uit het examen. Duidelijk is dat het hier gaat om bij de leerlingen het begrip van en  inzicht in het rekenen met procenten te testen.  Op zich biedt de vraag daar inderdaad getalsmatig een mooie insteek voor.  Alleen kun je je afvragen of dat in deze context zinvol gebeurt.

Die 912 is dus 52 % van het totaal. Dat getal 52 kan niet precies zijn, dan had 912 een veelvoud van 13 moeten zijn (zoals Gerard Koolstra al opmerkte in het NVvW-examenforum). Het is blijkbaar een afgerond getal tussen 51,5 en 52,5 en dat betekent dat het totale aantal patiënten kan liggen tussen 1771 en 1737, zeg maar ongeveer 1750.

(Was het percentage 52,0 % geweest, dan hadden alleen nog de aantallen 1753 t/m 1755 voldaan).

Bereken je met de eerder genoemde grenswaarden het aantal vrouwelijke patiënten, dan krijg je: 1771 × 0,485 ≈ 859 resp. 1737 × 0,475 ≈ 825.

Vervolgens moet er met de, ongetwijfeld weer afgeronde, getallen 3,5 en 4,7 worden doorgerekend. Daardoor wordt de foutmarge in het eindantwoord alleen maar groter. Gerard Koolstra heeft het nagerekend: 6987 t/m 7313 contactmomenten.

Natuurlijk zijn dit allemaal overwegingen waarmee je een HAVO-wiskunde-A-leerling niet kunt lastigvallen, het betreft zaken die ongetwijfeld vallen onder wat over het aantal significante cijfers werd gezegd. HAVO-leerlingen rekenen in zo'n geval natuurlijk 'rechttoe-rechtaan", zoals ze dat in de boeken (dachten)  geleerd (te) hebben.

Het correctievoorschrift denkt er (daarom) zo over:

• De praktijk telt 912 / 52 × 48 ≈ 842 vrouwelijke patiënten (2 punten)

• Het totale aantal contactmomenten van de mannen is 912 × 3,5 ( = 3192),

  dat van de vrouwen is 842 × 4,7 ( ≈ 3957)  (1 punt)

• Het antwoord: 3192 + 3957 = 7149 (1 punt)

Opmerkingen

− Er mag ook worden gerekend met 841 vrouwelijke patiënten.

− Het antwoord mag ook in tientallen worden gegeven dus tot 7150 worden afgerond.

Allereerst valt op dat niet eerst het totale aantal patiënten afzonderlijk wordt uitgerekend (912 / 0,52) en afgerond op een geheel getal (1754), eventueel in tientallen nauwkeurig (1750).  (Er is in het CV ongetwijfeld gedacht aan het gebruik van een verhoudingstabel omdat de factoren 0,52 en 0,48 niet voorkomen in het eerste bolletje).Toch wat vreemd als wel de tussenantwoorden 3192 en 3957 als gehelen gevraagd worden.

Vervolgens wordt het aantal 841 vrouwelijke patiënten ook goed gerekend, het aantal dat je krijgt als je 912 / 52 × 48 ( = 841,84…) naar beneden afrondt. (De mogelijkheid 840 (berekend met 1750) wordt niet genoemd).

En, ja hoor, het eindantwoord mag toch in tientallen! Hoewel 912 × 3,5 + 841 × 4,7 op 7144,7 dus eigenlijk in tientallen op 7140 uit zou komen.

Dat tussenantwoord 841 in plaats van 842 lijkt gebillijkt te worden omdat er kennelijk een soort regel zou bestaan, die zegt dat je bij aantallen personen altijd naar beneden moet afronden, omdat er nu eenmaal geen 0,84… persoon bestaat.

Maar is dat een echte, valide regel?

52,0 % van 319 personen is 0,520 × 319 = 165,88 dus… 166 personen, want 165 / 319 × 100 ≈ 51,7 % maar 166 / 319 × 100 ≈ 52,0 %

Als je 40 euro hebt en je geeft ieder persoon 6 euro, dan is 40 : 6 weliswaar 6,66.. maar je kunt maar 6 en niet 7 personen elk met die 6 euro blij maken (en je houdt zelf 4 euro over).

Aan de andere kant, als elke persoon 5 euro inlegt om samen een cadeau van 32 euro te kunnen kopen, heb je wel 7 personen nodig (en kun je nog wat extra's van 3 euro kopen) hoewel 32 : 5 = 6,4.

Ik denk dat deze vraag meer aan de bedoeling en de werkelijkheid had beantwoord als hij had geluid:
"Laat met een berekening zien dat het totale aantal contactmomenten dat Tineke in 2008 met al haar patiënten had ongeveer 7100 (of 7150 of 7200) was".

Dan had het rekenwerk zelf helemaal centraal gestaan zonder de besognes over afrondingen en decimalen die kennelijk geen rol moesten spelen.

In principe kan het dan in één keer in de rekenmachine: 912 / 52 × 48 × 4,7 + 912 × 3,5 ≈ 7149

Maar dat doe niet erg veel uit op wat de getallen in deze berekening voorstellen. Misschien voor HAVO-leerlingen op dit niveau geen probleem, maar als wiskundedocent krijg je toch ergens kromme tenen…

DE NVvW, de grafische rekenmachine en veel getwitter

 

In Euclides 88 / 7 wordt een gesprek weergegeven van een afvaardiging van het bestuur van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren met mensen van het College voor Examens.

Het ging o.a. over de grafische rekenmachine bij examens.  Er werd daar gemeld dat het CvE overweegt om de GR niet meer toe te staan bij de examens volgens het nieuwe wiskundeprogramma, dat in 2017 het CE HAVO en 2018 het CE VWO bereikt. De afvaardiging van de NVvW heeft “nogmaals benadrukt dat het examenprogramma ervan uitgaat dat de leerling een GR heeft. Dus ook op het eindexamen, anders doe je het programma geweld aan. Er moet voor gezorgd worden dat de machines alleen kunnen wat ze mogen”.

Misschien een beetje cryptisch, want is de NVvW nu voor of tegen de GR, om het maar even kort door de bocht te zeggen? In ieder geval wijst de vereniging hier op een discrepantie tussen het examenprogramma, zoals door cTWO ontwikkeld en de exameneisen, zoals het CvE die blijkbaar wil formuleren. Het kan inderdaad niet zo zijn dat in de klas de leerlingen een GR mogen gebruiken, maar op het examen niet. Of je nu voor of tegen de GR bent, die spagaat moet vermeden worden.

Er werd over dit gesprek inmiddels druk getwitterd. Collega @Kdenheijer twitterde: “Zo te lezen heeft het bestuur van NVvW bij het CvE gepleit voor de grafische rekenmachine. RAAR”. Ja, zo kun je het dan misschien lezen maar zo is het dus wellicht de bedoeling niet. Een volgende tweet: “Een gemiste kans om aan te sluiten bij de ontwikkeling van de andere exacte vakken”. Of die kans gemist wordt is nog een open vraag, er is nog twee jaar te gaan tot de invoering en 4 tot vijf jaar tot de examens en het hierboven genoemde gesprek geeft daarover geen indicatie

In ieder geval, @Kdenheijer stelt de vraag: “Noem mij één vervolgopleiding van het VWO waar men blij is met de grafische rekenmachine”. En dat zit je dus zo weer in een al jarenlang gevoerde discussie pro en contra de GR. Dat is dan misschien inmiddels een discussie die als hij zo gevoerd wordt te eng blijkt. Immers, die discussie kun je niet meer voeren zonder computers, tablets, digiborden, ICT, computeralgebra, GeoGebra , allerlei beschikbare digitale leer- en oefenstof, andere content en wat dies meer zij, erbij te betrekken.

Maar laten we het eerst hebben over die vervolgopleidingen. Misschien zijn ze niet blij met de GR, zich er niets van aantrekken doen ze niet (of misschien ook juist wel gezien de soms spastische reacties op de GR-vaardigheden van hun studenten) als je let op het feit dat het apparaat wel toegestaan wordt, maar vaak (net als op het examen wiskunde B) met beperkingen en niet ten koste van het ten toon spreiden van de gevraagde wiskundige of statistische kennis en inzicht die achter de berekening zit.

Dat spastische omgaan met de GR lijkt niet alleen te gelden voor de GR maar voor het hele curriculum wiskunde in het VO. In plaats van uit te gaan van wat hun studenten aan kennis en vaardigheid wel hebben verworven wordt er soms meer geklaagd over wat ze niet kunnen en weten. En toch zijn die curricula niet opgesteld buiten medeweten en medewerking van het vervolgonderwijs om. Helaas is het wensen- en eisenpakket van het WO en HBO zo divers en zijn er zoveel verschillende voorwaarden waaraan die curricula moeten voldoen dat het op een gegeven moment arbitrair wordt wat uiteindelijk in de steeds krimpende hoeveelheid uren in het VO nog aan de orde kan of moet komen. En dan speelt het hobbyisme van een aantal invloedrijke personen en instanties natuurlijk ook een rol. @NvVWiskunde treft dit aardig met de slagzin: “Het wiskundeonderwijs is als een pijp kaneel. Elk zuigt eraan en eist zijn deel”.

Ik merk gelukkig dat men op UTwente (wel) op zinvolle wijze aandacht weet te besteden aan de kenniskloof tussen VO en WO door beide kennis te laten nemen van elkaars verwachtingen en wensen zodat er betere aansluiting en overgang ontstaat. Bij cTWO hebben ze ook onderzoeken in dit verband bij de ontwikkeling van het nieuwe programma betrokken.

Maar goed, die GR dus. Ik kan me het vak wiskunde A (en C) niet voorstellen zonder GR en de plannen met statistiek van cTWO  zullen zo’n apparaat ook beslist nodig maken, tenzij de ontwikkelingen rond tablets zo snel gaan dat de GR overbodig wordt. Inmiddels zijn er immers ook als apps voor iPads, die een GR kunnen vervangen. Zoals in het gesprek tussen NVvW en CvE al genoemd, echter, zullen er op he examen in feite alleen machines kunnen worden toegestaan waarbij ongewenste mogelijkheden “op slot” kunnen en dat schijnt dan weer niet mogelijk te zijn. Het zijn dan de ontwikkelaars en producenten van de GR die zichzelf uit de markt prijzen door hun GR-kerstboom zo vol op te tuigen met zaken die de gebruiker de wiskunde uit de hand (en het hoofd) neemt, dat de machine, wat betreft de exameneisen, omvalt. Dat zou kunnen beteken dat de GR, of in bredere zin, ICT, alleen in het schoolexamen een rol kan spelen. Het centraal examen moet dan met beperktere middelen kunnen worden gemaakt.

Overigens: zoals ik al in Euclides bepleitte: als de berekeningen met de GR, het vermelden van de opties,  op zich niet meer beloond worden op het examen, maar het noteren van de wiskunde die eraan vooraf gaat en ten grondslag ligt de volle waardering krijgt, dan kan de rol van de GR teruggedrongen worden tot wat hij moet zijn: een rekenmachine en geen wiskundemachine. Het dient op het examen te gaan om het wiskundige “wat” en niet om het reken-technische “hoe”. Dus geen rekenmachinetaal, maar wiskundetaal. Je ziet dat ook terug in het WO als de rekenmachine wordt toegestaan: niet ter vervanging van de wiskunde of statistiek, maar ter aanvulling, in plaats van tabellenboekje etc.

Wat betreft wiskunde B: een duidelijke formulering van de vraagstelling en daarbij een duidelijk beeld van waaraan het antwoord moet voldoen zal op het centraal examen kunnen leiden tot het nutteloos maken van de GR. Het “algebraïsch” en “exact” moet standaard zijn, de hoofdzaak vormen en dient niet expliciet gevraagd te worden. Zet er desnoods bij dat de GR toegestaan wordt in die gevallen dat dat wel de bedoeling is, en dan alleen daar!

Ten slotte: er waren nog veel meer reacties op Twitter naar aanleiding van het door @Kdenheijer veronderstelde pleidooi van de NVvW ten gunste van de GR. Je zag hier en daar sporen van een op leven en dood gevoerde stammenstrijd in wiskundeland, compleet met complottheorieën en de suggestie van “onder één hoedje spelen”.  Daar bemoei ik me maar niet mee, ik ontloop die modder liever en houd niet van op de persoon spelen. En de verwijzingen naar ellenlange stellingnames op de BON-website heb ik ook ongelezen gelaten: veel te lang en veel te vaak door links onderbroken (zowel letterlijk als figuurlijk…). Er blijven hier zo een aantal tweets van een eenzaam roepende in de desert onbesproken.

Als uitsmijter een citaat uit een handleiding vakdidactiek van de lerarenopleiding van UTwente uit 2007:

De grafische rekenmachine op de universiteit

De grafische rekenmachine is in Nederland vooral in gebruik op het voortgezet onderwijs. Op universiteiten is dit tot nu toe nauwelijks het geval. Vermoedelijk is die situatie in Amerika anders. Amerikaanse calculusboeken besteden immers uitgebreid aandacht aan het gebruik van de GR. Bij veel boeken zijn speciale aanvullende math labs verkrijgbaar, met practicumopdrachten die met de GR gemaakt kunnen worden. Wellicht zal ook in Nederland, nu de meeste eerstejaars studenten met de GR zijn opgeleid en zo’n apparaat bezitten, de grafische rekenmachine op de universiteiten een rol van betekenis gaan spelen.

Zes jaar later is het dus kennelijk nog steeds een vraag wat die rol is en of het WO “blij” is met de GR.

 

 

CE HAVO Wiskunde B opgave "Tornadoschalen"

Dit is een blog naar aanleiding van de discussie in het NVvW-examenforum over de genoemde vraag.
Het betreffende foum is een gesloten forum dus een verwijzing heeft geen zin.

Tornadoschalen.

Premisse: dit is een opgave uit een wiskunde-examen en is dus (in eerste instantie) bedoeld om leerlingen te testen op hun wiskundige vaardigheden, overigens met inachtneming van de vaardigheden zoals vermeld in de Eindtermen onder Subdomein A1 en A2.

De formule (1) in de opgave Tornadoschalen is voor mij allereerst een vergelijking met twee variabelen, die overgaat in een gelijkheid, als voor die variabelen de juiste getallen, de oplossingen, worden ingevuld.

De formule kan ook beschouwd worden als een beschrijving van de functie  F  als functie van  v  die aan elke (getals-)waarde van  v  een (getals-)waarde van  F  toevoegt.

(eigenlijk zou een juiste formule F = int [ (v/6,3)^(2/3) - 2 + 0,5] kunnen zijn, gezien de afronding op een geheel getal van  F).

Bij vraag 1 wordt gevraagd om bij een maximale windsnelheid van 280 km/u de intensiteit van de tornado uit te rekenen.

Van de leerling wordt verwacht dat hij eerst de (getals-)waarde van v die hier bij hoort berekent,

daarna de (getals-)waarde van  F  met de formule (het model) berekent en

vervolgend de intensiteit vaststelt, door op gehelen af te ronden.

(dus er staat niet zoiets als v = 280 km/u; bereken F )

Bij vraag 2 wordt gevraagd bij een intensiteit 4 de minimale waarde van  v  uit te rekenen.

Dat betekent dat uit moet worden gegaan van  F = 3,5

en dat daarmee met de formule een vergelijking moet worden opgesteld en opgelost,

die een (getals-)waarde van v oplevert,

die daarna afgerond dient te worden op 1 decimaal.

(er wordt nu dus NIET gevraagd naar de minimale waarde van de maximale windsnelheid)

Bij vraag 1 is de gang van zaken:

gegeven in de probleemsituatie → vertalen naar model → berekenen met model → vertalen naar probleemsituatie

Bij vraag 2 is de gang van zaken:

gegeven in de probleemsituatie → vertalen naar model → berekenen met model (en de laatste stap blijft achterwege!)

Een antwoord als  v = 292,5 km/u kan niet kloppen, want in de gegeven formule stelt, wiskundig gezien,  v  een getal voor  en als je 292,5 invult komt er geen  F = 4 uit.

( je kunt in deze formule geen "km/u" invullen)

(als de formule  F = (v/(3.6 * 6,3)^(2/3) - 2 was geweest had  v = 292,5  wel voldaan voor  F = 3,5)

 

Overigens val ik er niet over als leerlingen naast 81,3 m/sec daarna ook  292,5 km/u  opschrijven, want met het berekenen van 81,3 hebben ze aan de gestelde vraag voldaan en op grond van Algemene Regel 3.4. zou je alleen naar het eerstgegeven antwoord kunnen kijken…

Als maar duidelijk is dat het (voor mij en vele anderen) enig juiste antwoord op de vraag, wat is de minimale waarde van (de) v (in de gegeven  formule) er staat: v = 81,3

Cool en Wiskunde (6)

Dit zijn maar een paar opmerkingen over de 17 voorbeelden, maar ze maken duidelijk dat er het één en ander over te zeggen valt of soms tegenin te brengen valt. Er is ruimte om erover in debat te gaan, de verschillende benaderingsmogelijkheden laten toe dat het laatste woord er nog niet over gezegd kan worden. Doorslaggevende argumenten heb ik in dit verhaal van Thomas Cool niet gevonden, het zijn soms arbitraire opmerkingen, soms badinerende opmerkingen, soms lijken ze naïef, soms snijden ze hout, maar soms lijken ze ook gemakkelijk te weerspreken of te ondergraven. Dat Thomas Cool soms bij voorbaat zijn gelijk lijkt te claimen kan niet aan de orde zijn, het blijven zijn ideeën en suggesties en iedereen is vrij om er nota van te nemen, er iets op te zeggen of er wat mee te doen. Gezaghebbend kunnen ze nauwelijks genoemd worden ten aanzien van de wiskunde waar Thomas Cool zich juist buiten stelt. Hij is te veel een outsider die een strijdperk betreedt met een handboog, daar waar het geëigende wapen een floret is en maakt zich dan boos dat hij niet met zijn handboog kan meedoen en gelijkwaardig mag schieten.

Thomas Cool lijkt zich steeds te verzetten zowel tegen het idioom als de grammatica van een wiskunde waar hij part noch deel van uit wil maken en komt als een Zamenhoff met een nieuwe wiskunde Esperanto, daar waar de rest van de wiskundewereld zich in de eigen vertrouwde manier van redeneren en uitdrukken blijft uitdrukken, zoals het Engels de wereldtaal gebleven is ondanks alle idealen, die het Esperanto in zich verenigde.

En in tegenstelling tot Zamenhoff lijkt of blijkt Cool een roepende in de woestijn. Daar waar Zamenhoff een aantal mensen wist te overtuigen blijft Thomas Cool, met al zijn publicaties met lege handen, omdat hij slechts een beperkt aantal mensen weet te overtuigen. Misschien niet eens zo zeer op inhoudelijke gronden als wel vanwege de manier waarop en de pretenties waarmee en de benadering van degenen die hij zou moeten overtuigen.

Is een parlementair onderzoek naar het onderwijs in wiskunde nu gewenst?

Er is geen sprake van een brede maatschappelijke onrust rond het onderwijs in wiskunde rond de vraagstellingen die Cool naar voren brengt en die zich vertaalt naar de politiek en een middel als een enquête rechtvaardigt, behalve misschien in de ogen van Thomas Cool.

Mocht er sprake zijn van de noodzaak van een onderzoek omdat het onderwijs aantoonbaar faalt, dan lijkt mij de parlementaire enquête niet als eerste de aangewezen weg. Er zijn andere kaders, mogelijkheden en middelen en ongetwijfeld zal de politiek de eventuele geconstateerde problematiek daarnaar terugverwijzen voor dat zij zelf naar een oplossing gaat zoeken.

Want de politiek zal zich eerst voor advies richten tot de wiskunde als wetenschap en als didactiek en het wiskundeonderwijs zoals dat gegeven wordt om daar na te vragen en proberen te constateren of er noodzaak tot een onderzoek en ingrijpen is.

Vanuit wetenschap en onderwijs is de noodklok echter niet in die zin geluid.

De politiek zal de validiteit van de argumenten die Thomas Cool naar voren brengt om een parlementaire enquête aan te vragen eerst nagaan voordat er zo'n enquête komt en op haar beurt zal een eventuele enquêtecommissie hetzelfde doen. De criteria en premissen die Thomas Cool aanlegt zullen daarbij niet als uitgangspunt dienen, maar als punt van onderzoek gelden en langs de lat gelegd worden van de criteria en uitgangspunten waarop de bestaande wetenschap en het bestaande onderwijs tot nu toe functioneert, en het gaat dan hierbij in feite niet om locale of persoonlijke maar om internationale en eeuwenoude standaarden en conventies, waarop die wetenschap en dat onderwijs gebaseerd zijn.

De soms apocriefe parallelle werkelijkheid die Thomas Cool oproept in zijn geschriften over een nieuw soort of andersoortige wiskunde, naast de al eeuwen bestaande en zich steeds verder ontwikkelende en vernieuwende wiskunde, zal er dan toe leiden dat zijn theorieën geen gehoor zullen vinden in het kader van het doel waartoe ze geschreven zijn, vermoed ik. Het heeft er alle schijn van dat het vrijwel alleen Thomas Cool is, die in de war raakt van al die volgens hem inconsistente wiskunde, waar hij als niet-wiskundige aangeeft toch ook weer buiten te staan.

Maar het is nooit verkeerd om er althans kennis van te nemen. Want ach, het heeft ook eeuwen geduurd voordat het ontkennen van het 5^e postulaat van Euclides leidde tot een consistente theorie.

Voor men iemand van Don Quichotterie  beschuldigt zullen die windmolens toch zelf in ogenschouw genomen moeten worden, want: E pur si muove… Ceterum censeo. Het verhaal is nooit uit en blijkt telkens weer anders uit te pakken, dat is hoopvol voor Thomas Cool.

Daarom ben ik beslist niet tegen een eerlijke bestudering en debat over zijn ideeën, maar dat debat moet dan van beide kanten met open vizier aangegaan worden.

Cool en Wiskunde (5)

Het is wat betreft Thomas Cool voor leerlingen verwarrend dat (georiënteerde) hoeken tegen de klok in worden gemeten. Er komen hierbij vragen op. Waarom draait de klok eigenlijk tegen de oriëntatie van het assenstelsel in? En hoe zit dat met die oriëntatie in een x,y,z-assenstelsel? En hoe past de kurkentrekkerregel daar bij? Wanneer dit zou kunnen worden uitgelegd kan hij er mee leven, maar volgens Cool wordt het helaas niet uitgelegd. Waar hij dat vandaan haalt, weet ik niet; docenten vertellen vaak meer dan in een boek staat…

Volgens Thomas Cool is een hoek "gedefinieerd" als een vlakdeel tussen twee snijdende lijnen. Dat is wel erg ruim, je kunt daar intuïtief wel even iets mee, maar het gaat er toch meer om over hoeveel graden je de ene lijn om het snijpunt kunt draaien zodat die samenvalt met de andere. Dat sluit mooi aan bij het spraakgebruik dat iemand zich 180 graden omgedraaid heeft. De geodriehoek heeft ook niets met dat vlakdeel, die richt zich op die twee snijdende (halve) lijnen. En later kun je dat rotatieprincipe weer identificeren met (lengtes van) bogen op de eenheidscirkel.

(ax + by < c en px + qy <  r leggen volgens mij een vlakdeel vast, met kleiner-of-gelijk inclusief halve lijnen, die op hun beurt een hoek vormen)

Thomas Cool gaat hoeken meten met "slagen in het rond", maar wat hij onder een hoek verstaat of hoe hij ze meet (bogen met een liniaal??) is niet meteen duidelijk. Wel duidelijk is dat 2π (waarbij π de verhouding omtrek tot diameter is) voor hem niet voldoet.

Hij voert de hoofdletter theta:  Θ in (voor de verhouding omtrek tot straal) in plaats van 2π. (De schrijfwijze van theta is overigens een cirkelachtig symbool met daarin een soort middellijn, dat toch wel!).

De straal van een cirkel met een omtrek van één meter is dan 1/ Θ (meter). Die cirkel met een omtrek van één meter is voor Thomas Cool ook een "eenheidscirkel". Dat is nieuw, dat die Napoleontische meter, een arbitraire eenheidmaat, ineens hetzelfde is als de "eenheid" die wiskundigen gebruiken, namelijk de afstand van 0 tot 1 op de getallenlijn en die juist onafhankelijk gekozen wordt van enige lengtemaat! Hoe je die afstand tussen 0 en 1 ook kiest, de rest van het verhaal is onafhankelijk van die keuze als er steeds vanuit diezelfde eenheid gewerkt wordt. Kiest de één een el, de ander een hokje en een derde 3,5 cm, het maakt niet uit bij de definitie van de sinus van een hoek, zijnde de y-coördinaat van het snijpunt van het tweede been van een georiënteerde hoek die de positieve x-as als eerste been heeft met de eenheidscirkel. Op het ruitjesbod is het resultaat hetzelfde als in het ruitjesschrift.

Thomas kan op het bord misschien gemakkelijk een cirkel tekenen met omtrek 1 m, maar een leerling kan dat niet in zijn schrift. En hoe je bij zo'n meter-cirkel de hoeken meet in "slagen in het rond", dat moet ik ook nog even uitvinden.

In ieder geval raakt de leerling wel compleet geïsoleerd van de gang van zaken in de buitenwereld wat betreft zijn kennis en inzichten in hoeken. Denk maar eens aan lengte- en breedte-bepalingen op de globe.

Thomas Cool vindt sinus en cosinus ondoorgrondelijke termen en voert de, voor mij even ondoorgrondelijk, termen xur en yur in. Het wordt mij niet duidelijk wat daar het echte voordeel van is.

Op zichzelf is er natuurlijk niets mis mee om in plaats van naar de verhouding van omtrek en diameter te kijken naar de verhouding van omtrek en straal, maar omtrek en diameter zijn wel de twee onmiddellijk waar te nemen en intuïtief aan te voelen eigenschappen van een cirkel, "rondom" en "hoe breed" (denk aan…  Θ), een straal ligt een waarneming dieper. Zelfs de Bijbel wist er al van.

En het lijkt me ongeveer gelijk staan met bijvoorbeeld het invoeren van het twaalftallig stelsel als je π wilt afschaffen ten gunste van de verhouding omtrek / straal. Het lijkt me ook weinig zinvol, althans het uiterst vele werk niet waard, het scheelt immers maar een factor 2. En "een hele slag rond" is een net zo arbitrair uitgangspunt als "je omdraaien" of "haaks".

Cool en Wiskunde (4)

Thomas Cool vindt dat in een tabel de y boven en de x onder moet staan, want de y is de staande as en de x is de liggende as. En het is verwarrend wat betreft het berekenen van de rc met een differentiequotiënt ∆y/∆x, zoals de tabellen nu opgesteld worden.

Maar dat omwisselen is op zich natuurlijk weer verwarrend met de coördinatennotatie (x,y), met het feit dat de x vaak ingevuld wordt in een formule om de y uit te rekenen (om maar te zwijgen van het richtingprincipe bij een functie wat betreft origineel x en beeld y). En zouden per consequentie in een tabel die bijvoorbeeld de omzet per jaar weergeeft dan de jaartallen dan maar onder neergezet moeten worden?

Thomas Cool struikelt ook over de notatie y = ax + b ten opzichte van y = ax^2 + bx + c (hij noemt deze formule een vierkantsvergelijking) en vindt dat je per consequentie zou moeten schrijven y = bx + c, a is immers nu 0.

Leg dat maar eens bij de introductie van lijnen uit aan een leerling als je pas later in het curriculum met parabolen begint. Maak er dan y = px + q van.

Thomas' probleem neemt natuurlijk nog toe als je later aan komt zetten met y = ax^3 + bx^2 + cx + d of polynomen van nog hogere graad, dus is het eigenlijk wel een probleem?

Dan zou het consequenter zijn om het te hebben over y = a + bx +cx^2 +dx^3 etc.

De formule y = bx + c vindt al helemaal geen genade in de ogen van Thomas Cool omdat hij niet algemeen genoeg is. Immers de verticale lijnen x = m ( die geen rc b heeft) doet daarin niet mee.

Hij stelt daarom voor:  ky = bx + c  die onder de voorwaarde k = 0  toch de verticale lijnen "meeneemt".

Als oorzaak van de voorliefde voor y = bx + c meent hij te weten dat dit is vanwege het functieprincipe dat er achter deze formule schuil gaat. Cool geeft de voorkeur aan het correspondentieprincipe, waarvoor de 1-1-koppeling van een functie niet geldt.

Ik heb y = ax + b altijd wèl een mooie formule gevonden, omdat zo'n lijn door (0,b) op de y-as en door (1, a + b) gaat, vanuit b op de y-as 1 naar rechts en a  omhoog.

En je kunt dan ook wat gemakkelijker even snel een tabel (met x = 0 en x = 1) maken om het rc-principe te laten zien (inderdaad: x boven, y onder) in plaats van steeds te moeten worstelen met het delen door k.

En verder omzeilt de algemene formule voor een lijn ax + by = c het door Cool gesignaleerde probleem prima. Dan heb je ook een aardig verband met formules als ax^2 + by^2 = c en kan Thomas zijn correspondentieprincipe adequaat kwijt.

Op de rekenmachine staan diverse functietoetsen, die aan een getal een nieuw getal toevoegen, de wortelknop, de kwadraatknop, de derdemachtsknop, de omkeerknop, sin, cos, tan, log, etc. Inderdaad ondergaat een getal dat ingevoerd wordt een bewerking, maar dat levert dus 1-op-1een nieuw eenduidig getal op.

Daar heeft Thomas Cool wat betreft de wortel een probleem mee. Hij kijkt naar de correspondentie van de 4 op de y-as met de 2 en -2 op de x-as bij de parabool y = x^2 en wil iets nieuws, "wortelbewerking", invoeren, die een tweewaardige toekenning van zowel 2 als -2 aan 4 betekent. Daarnaast wil hij de "oude" wortel vervangen door de exponentnotatie in de zin van 4 ^ (1/2)  = 2.

Het komt ongeveer hierop neer, in de nieuwe notatie van Thomas Cool, dat als x = BewExp[a, 1/n]  dat dan

x = a ^ (1/n) (of x = – a ^ (1/n) bij even n), m.a.w. dit bewerken is het oplossen van de vergelijking

 x ^ n = a   en via een achterdeur zijn we weer bij hetzelfde probleem.

Want waar een n-demachtswortel in de wiskunde van het vigerende onderwijs dus altijd éénwaardig is, wil Thomas Cool het ene probleem voor het andere inruilen, immers: in zijn wortel-wereld moeten de leerlingen dan weer afleren dat bij oneven n de bewerking "worteltrekken" toch weer één waarde oplevert.

Dit alles gaat gepaard met een pleidooi voor het onderscheid maken tussen proces / procedure en resultaat.

sqrt(4)  is proces / procedure en 2 en (wat Tomas Cool betreft ook) -2, zijn de resultaten. Om door te redeneren:  3^2 is de procedure en 9 is het resultaat. ¼ is de procedure en 0,25 is het resultaat.

Of het daar allemaal duidelijker van wordt voor de leerlingen? Laten we het er eens over hebben, maar dan graag in een open discussie, waarvan de resultaten niet bij voorbaar met veel pretenties al zijn vastgelegd.

Thomas Cool heeft ook een probleem met het feit dat een dalparabool een top heeft, of althans dat we dat zo noemen. Hij vindt draaipunt een beter woord. Zelf vind ik het woord draaipunt meer iets hebben van wat we een buigpunt noemen. Het echte probleem zit hem volgens mij meer in het feit dat leerlingen het maximum of minimum van een tweedegraads functie niet altijd goed weten te onderscheiden van een top van de bijbehorende parabool. Dat ze een probleem met het begrip top hebben bij een dalparabool is mij niet gebleken.

Naast een ander woord voor top zoekt Thomas ook naar een nieuw woord voor logaritme en stelt "teruggevonden exponent" voor. Dan is bij x ^ n = a natuurlijk een uitdrukking als "teruggevonden grondtal" voor x in plaats van n-demachtswortel niet meer ver weg.