Gepensioneerd en toch nog tijd om te bloggen.

Een aanvulling op twitter-account @eskorthof en dan met meer dan 140 tekens.

maandag 27 mei 2013

Cool en Wiskunde (4)

Thomas Cool vindt dat in een tabel de y boven en de x onder moet staan, want de y is de staande as en de x is de liggende as. En het is verwarrend wat betreft het berekenen van de rc met een differentiequotiënt ∆y/x, zoals de tabellen nu opgesteld worden.
Maar dat omwisselen is op zich natuurlijk weer verwarrend met de coördinatennotatie (x,y), met het feit dat de x vaak ingevuld wordt in een formule om de y uit te rekenen (om maar te zwijgen van het richtingprincipe bij een functie wat betreft origineel x en beeld y). En zouden per consequentie in een tabel die bijvoorbeeld de omzet per jaar weergeeft dan de jaartallen dan maar onder neergezet moeten worden?
Thomas Cool struikelt ook over de notatie y = ax + b ten opzichte van y = ax^2 + bx + c (hij noemt deze formule een vierkantsvergelijking) en vindt dat je per consequentie zou moeten schrijven y = bx + c, a is immers nu 0.
Leg dat maar eens bij de introductie van lijnen uit aan een leerling als je pas later in het curriculum met parabolen begint. Maak er dan y = px + q van.
Thomas' probleem neemt natuurlijk nog toe als je later aan komt zetten met y = ax^3 + bx^2 + cx + d of polynomen van nog hogere graad, dus is het eigenlijk wel een probleem?
Dan zou het consequenter zijn om het te hebben over y = a + bx +cx^2 +dx^3 etc.
De formule y = bx + c vindt al helemaal geen genade in de ogen van Thomas Cool omdat hij niet algemeen genoeg is. Immers de verticale lijnen x = m ( die geen rc b heeft) doet daarin niet mee.
Hij stelt daarom voor:  ky = bx + c  die onder de voorwaarde k = 0  toch de verticale lijnen "meeneemt".
Als oorzaak van de voorliefde voor y = bx + c meent hij te weten dat dit is vanwege het functieprincipe dat er achter deze formule schuil gaat. Cool geeft de voorkeur aan het correspondentieprincipe, waarvoor de 1-1-koppeling van een functie niet geldt.
Ik heb y = ax + b altijd wèl een mooie formule gevonden, omdat zo'n lijn door (0,b) op de y-as en door (1, a + b) gaat, vanuit b op de y-as 1 naar rechts en a  omhoog.
En je kunt dan ook wat gemakkelijker even snel een tabel (met x = 0 en x = 1) maken om het rc-principe te laten zien (inderdaad: x boven, y onder) in plaats van steeds te moeten worstelen met het delen door k.
En verder omzeilt de algemene formule voor een lijn ax + by = c het door Cool gesignaleerde probleem prima. Dan heb je ook een aardig verband met formules als ax^2 + by^2 = c en kan Thomas zijn correspondentieprincipe adequaat kwijt.

Op de rekenmachine staan diverse functietoetsen, die aan een getal een nieuw getal toevoegen, de wortelknop, de kwadraatknop, de derdemachtsknop, de omkeerknop, sin, cos, tan, log, etc. Inderdaad ondergaat een getal dat ingevoerd wordt een bewerking, maar dat levert dus 1-op-1een nieuw eenduidig getal op.
Daar heeft Thomas Cool wat betreft de wortel een probleem mee. Hij kijkt naar de correspondentie van de 4 op de y-as met de 2 en -2 op de x-as bij de parabool y = x^2 en wil iets nieuws, "wortelbewerking", invoeren, die een tweewaardige toekenning van zowel 2 als -2 aan 4 betekent. Daarnaast wil hij de "oude" wortel vervangen door de exponentnotatie in de zin van 4 ^ (1/2)  = 2.
Het komt ongeveer hierop neer, in de nieuwe notatie van Thomas Cool, dat als x = BewExp[a, 1/n]  dat dan
x = a ^ (1/n) (of x = – a ^ (1/n) bij even n), m.a.w. dit bewerken is het oplossen van de vergelijking
 x ^ n = a   en via een achterdeur zijn we weer bij hetzelfde probleem.
Want waar een n-demachtswortel in de wiskunde van het vigerende onderwijs dus altijd éénwaardig is, wil Thomas Cool het ene probleem voor het andere inruilen, immers: in zijn wortel-wereld moeten de leerlingen dan weer afleren dat bij oneven n de bewerking "worteltrekken" toch weer één waarde oplevert.
Dit alles gaat gepaard met een pleidooi voor het onderscheid maken tussen proces / procedure en resultaat.
sqrt(4)  is proces / procedure en 2 en (wat Tomas Cool betreft ook) -2, zijn de resultaten. Om door te redeneren:  3^2 is de procedure en 9 is het resultaat. ¼ is de procedure en 0,25 is het resultaat.
Of het daar allemaal duidelijker van wordt voor de leerlingen? Laten we het er eens over hebben, maar dan graag in een open discussie, waarvan de resultaten niet bij voorbaar met veel pretenties al zijn vastgelegd.

Thomas Cool heeft ook een probleem met het feit dat een dalparabool een top heeft, of althans dat we dat zo noemen. Hij vindt draaipunt een beter woord. Zelf vind ik het woord draaipunt meer iets hebben van wat we een buigpunt noemen. Het echte probleem zit hem volgens mij meer in het feit dat leerlingen het maximum of minimum van een tweedegraads functie niet altijd goed weten te onderscheiden van een top van de bijbehorende parabool. Dat ze een probleem met het begrip top hebben bij een dalparabool is mij niet gebleken.
Naast een ander woord voor top zoekt Thomas ook naar een nieuw woord voor logaritme en stelt "teruggevonden exponent" voor. Dan is bij x ^ n = a natuurlijk een uitdrukking als "teruggevonden grondtal" voor x in plaats van n-demachtswortel niet meer ver weg.

Geen opmerkingen:

Een reactie posten