Van 2n naar n-kwadraat, Proizvolov nader beschouwd.

Proizvolov’s Identity.

Neem een even getal, bijvoorbeeld 8.

We gaan bij het aantonen van het theorema van Proizvolov vervolgens uit van de

getallenrij 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Kies willekeurig 4 getallen uit deze rij en zet die in volgorde van klein naar groot in de eerste rij van de volgende tabel:

2	3	6	8

Zet de overblijvende getallen van groot naar klein in de tweede rij:

2	3	6	8
7	5	4	1

We nemen nu het absolute verschil of afstand (“grootste min kleinste”) tussen de twee getallen die boven elkaar staan:

2	3	6	8
7	5	4	1
5	2	2	7

Tel deze verschillen op: 5 + 2 + 2 + 7 = 16

16 is het kwadraat van 4 en het dubbele van 4 is 8.

Zo zijn we weer uit bij het getal waar we mee begonnen.

Kijk even naar de laatste optelling. Die ontstond uit 7 – 2 + 5 – 3 + 6 – 4 + 8 – 1

Anders geschreven: 8 + 7 + 6 +5 – (4 + 3 + 2 + 1)

Of nog anders: 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 – 2 x (4 + 3 + 2 +1 )

Dat is ½ x 8 x (8 + 1) – 2 x ½ x 4 x  (4 + 1) = 4 x 8 + 4 x 1 – 4 x 4 - 4 x 1 = 2 x 4 x 4 – 4 x 4 = 4 x 4

Het is de vraag of het toeval hier een rol speelt of dat bij elke keuze van de 4 getallen in de eerste rij van de tabel de verschillen steeds bestaan uit paren waarvan de eerste term een getal uit de rij 8, 7, 6, 5 is en de tweede term uit de rij 1, 2, 3, 4?

Met andere woorden: kan het niet voorkomen dat de getallen uit de rij 8, 7, 6, 5 boven elkaar komen te staan?

Stel, dat dat bij een bepaalde keuze x en y uit 8, 7, 6, 5 wel zou kunnen:

	x	?	?
?	y

Dan zouden op de vraagtekens drie verschillende getallen moeten staan die groter zijn dan x resp. y en dus ook uit de rij 8, 7, 6, 5 afkomstig zijn.

Dat levert een tegenspraak op want hoe je x en y ook kiest uit de rij 8, 7, 6 of 5, er kunnen hooguit twee groter zijn.

Deze tegenspraak hangt niet van de plaats waar x en y boven elkaar zouden kunnen staan.

Proizvolov’s theorema komt in het algemeen hier op neer.

 

Ga uit van het even getal 2n en de getallenrij 1, 2, 3, 4, …, 2n.

We gaan nu uit van een 3 x n tabel, waarin al deze getallen precies één keer voorkomen en bovendien geldt:

x₁ < x₂ < … < x_n-1 <  x_n   en y₁ > y₂ > … > y_n-1 > y_n

x1	x2	…	xn-1	xn
y1	y2	…	yn-1	yn
|x1 – y1|	|x2 – y2|			|xn – yn|

Aan te tonen is dat er geen van de getallen n+1, n+2, …, 2n-1, 2n boven elkaar staan.

		…	x	?
?	?	?…?	y

Stel dat x en y wel getallen zijn uit de rij n+1, n+2, …, 2n-1, 2n.

Op de vraagtekens moeten nu 2n – 1 getallen komen te staan die groter zijn dan x resp. y. en dus uit de rij n+1, n+2, …, 2n-1, 2n komen.

Maar er zijn nog maar hooguit 2n-2 van die getallen mopgelijk, dus dat kan niet.

Er staat dus steeds een getal uit de rij 1, 2, .., n en een getal uit de rij n+1, n+2, .. , 2n in eenzelfde kolom.

Dat betekent dat

|x₁ – y₁| + |x₂ – y₂| + … + |x_n – y_n| herschreven kan worden tot

n+1 + n+2 + … + 2n – (1 + 2 + … + n), want elk absoluut verschil bestaat uit een getal uit de rij

n+1, n+2, …, 2n en een getal uit de rij 1, 2, …, n.

 

n+1 + n+2 + … + 2n – (1 + 2 + … + n) =

1 + 2 + .. + n + n+1 + n+2 + … 2n – 2 x ( 1 + 2 + ... + n) =

½ x 2n x (2n + 1) – 2 x ½ x n x (n + 1) =

2n² + n – n² – n = n²

 

Zo komen we van 2n op n volgens het theorema van Proizvolov.