Meneer van Dale exit, maar MVDWOA blijft zoals BODMAS en PEDMAS...

 

 

Georg Frederick thoe Schwartzenberg en Hohenlansberg

 

De familie Thoe Schwartzenberg en Hohenlansberg is een oud en adellijk geslacht uit Frankenland in Duitsland. Halverwege de 16e eeuw vestigde de krijgsoverste Johan Onuphrius thoe Schwartzenberg zich in Friesland.
Georg Frederick was de kleinzoon van bovengenoemde Johan en werd op 30 november 1607geboren, waarschijnlijk op de state Groot Terhorne te Beetgum.

De familie Thoe Schwartzenberg en Hohenlansberg is nog tot 1879 eigenaar van de state gebleven, maar in dit jaar werd het helaas afgebroken. Vanuit deze state was de familie ook eeuwenlang grietman en zelfs nog burgemeester van Menaldumadeel.

De ouders van Georg Frederick waren Georg Wolfgang thoe Schwartzenberg en Hohenlansberg (1549-1633) en zijn 2e vrouw Doedt van Holdinga (1569-1646)
Eind december 1636 huwde Georg met de eveneens adellijke Agatha Tjaerda van Starkenborgh (1620-1670), die erfgenaam was van Herema State te Joure.
Uit het huwelijk van Georg en Agatha werden drie kinderen geboren: Johan Georg (1637), Georg Wolfgang (1638) en Isabelle Susanne (1639).

De twee zonen hadden net als hun vader een belangrijke militaire carrière.
Op 4 april 1625 werd Georg Frederick vaandrig in de compagnie van zijn oudste broer, ritmeester Wilco Holdinga thoe Schwartzenberg en Hohenlansberg.
Op 24 februari 1631 werd hij kapitein, toen hij Quirijn de Blau opvolgde, die wegens ouderdom zal zijn gestopt.
In januari 1633 liep hij als kapitein mee in de lijkstatie van de overleden Friese stadhouder Ernst Casimir van Nassau-Dietz.

Op 16 januari 1637 werd hij sergeant-majoor, waarbij hij Ludolf Potter in die functie opvolgde die zelf luitenant-kolonel werd.
Op 16 september 1637 werd hij benoemd tot luitenant-kolonel van het 1e Friese Regiment Infanterie, waarbij hij opnieuw Ludolf Potter opvolgde die toen kolonel werd.
Op 3 maart 1639 werd hij door de Friese Staten benoemd als kolonel (over 8 Friese compagnies) van het gezamenlijke Friese-Groningse Regiment.
Dit regiment was toen net opgericht en heette vanaf 1647 weer het (3e) Friese Nassause Regiment.

Op 7 april 1646 werd hij echter kolonel van het 2e Friese Regiment Infanterie, omdat kolonel Jacques van Oenema grietman van Ooststellingwerf werd.

Deze topfunctie heeft hij nog tot 11 oktober 1660 uitgeoefend.

Hierna werd zijn zoon Georg Wolfgang thoe Schwartzenberg en Hohenlansberg de volgende kolonel van dit regiment.

Tragisch genoeg kwamen beide zonen van Georg Frederick om in het bloedbad van de Slag bij Seneffe in België op 11 augustus 1674.

Dochter Isabelle trouwde in 1685 met een zoon van de Zweedse koning, Gustav Carlsson.
Zij werd de grootste grootgrondbezitter van Friesland en woonde ook op Groot Terhorne.

Op 25 januari 1670 of 1679 overleed Georg Frederick te Beetgum en zal in de kerk aldaar zijn bijgezet. Zijn grafsteen is helaas niet bewaard gebleven. Zijn vrouw Agatha was in 1670 ook al overleden.

(bron: Georg Frederick thoe Schwartzenberg en Hohenlansberg (andrebuwalda.nl)

Zwartzenburg was oorspronkelijk een veenherenhuis.

In 1656 gingen Passchier Bolleman en zijn compagnons failliet en waren genoodzaakt de Drachtster Compagnonsvaart, de dwarsvaarten en alle daarbij horende zaken te verkopen. De nieuwe eigenaren waren jonker Feijo van Heemstra en Isbrandus van Ecofeen tot Berchklooster.

Uit het boek "Verveningen en verveners in Friesland' van W. Visscher.

Kaart van Broerio Boelens uit 1664.

kaart van Bernardus Schotanus à Sterringa rond 1700

6 ÷ 2 ( 1 + 2)

 6  ÷ 2 ( 1 + 2)

Een steeds weer terugkerende discussie zonder happy end?

Je kunt hierbij drie vragen stellen.

Wat wil je uitrekenen?

Welke rekenconventie gebruik je daarbij?

Hoe noteer je dat eenduidig volgens die conventie?

De eerste vraag zie je zelden beantwoord bij dit probleem. Bij de tweede vraag wordt vaak teruggevallen op de basisafspraken voor het rekenen met getallen hier te lande (waarin de distributieve eigenschap niet genoemd wordt) en bij de derde vraag ontstaan de misverstanden door hybride of verwarrende notaties.

En helaas, rekenmachines maken de verwarring alleen maar groter, juist door die verschillende conventies, c.q. interpretaties van deelteken en haakjes, waarin de vermenigvuldiging impliciet aanwezig is.

Rekenmachines.

 

Rekenregels met getallen.

Cruciaal is de opmerking "eerst bereken wat binnen de haakjes staat", terwijl bij algebraïsche bewerkingen juist geldt: "eerst de haakjes verdrijven". 

Wat wordt er eigenlijk berekend?

De discussie over  6 : 2 ( 1 + 2 ) doet mij denken aan de vraag hoe je ab : ac moet interpreteren.

Staat hier (a x b) : ( a x c) en dus b/c of wordt hier bedoeld  a x b : a x c? Dan is het antwoord bc.

Hier botsen de basisrekenregels rond x, :, + en – met de algebraïsche rekenregels waarbij vermenigvuldiging impliciet en expliciet voorkomt.

Rekenen en algebra.

In 6 : 2 ( 1 + 2 ) botsen het principe van “eerst uitrekenen wat tussen haakjes staat” van de elementaire rekenregels met getallen en het principe van “eerst de haakjes verdrijven”, zoals dat bij algebraïsche rekenregels geldt, waarbij opgemerkt zij dat de distributieve eigenschap uit de algebra een onbekend fenomeen is bij het rekenen met getallen, zoals dat op de basisschool geleerd wordt.

Dus  is 6 : 2 ( 1 + 2) = 6 : 2 x (1 + 2) = 6 : 2 x 3 = 9 of 6 : 2 (1 + 2 ) = 6 : (2 + 4) = 6 : 6 = 1 ?

(Om maar te zwijgen van 6 : 2 ( 1 + 2 ) = 6 : 2 + 4 = 7)

Ik denk dat a : b ( c + d ) een algebraïsch minder toelaatbare notatie is, met andere woorden, dat : in algebraïsche schrijfwijzen geen plaats heeft omdat er geen onderscheid blijkt tussen

 

Peije - het leven van een speelman.

Peije - het leven van een speelman (1879 - 1941)

Freerk de Jong, bij de mensen beter bekend als Peije Rasp was de laatste echte speelman. Hij zwierf bijna veertig jaar door Zuidoost-Friesland. Aan het begin van het Moleneind ZZ, waar vroeger de brug liep over de oude Compagnonsvaart, staat zijn standbeeld.


Aan het begin van het Moleneind ZZ, waar vroeger de brug liep over de oude Compagnonsvaart, staat nu het standbeeld van Freerk de Jong. Bij de mensen was Freerk beter bekend als Peije Rasp. Deze laatste echte speelman zwierf bijna veertig jaar door Zuidoost-Friesland. Hij zong en hij speelde op een oude trekharmonica. Ook buiten dit gebied genoot hij faam: van tijd tot tijd speelde en zong hij in plaatsen als Dokkum of Grouw en op de Groninger kermis was Peije een bekende verschijning. 

Freerk de Jong


Peije werd als Freerk de Jong in 1879 in Ureterp geboren. Zijn vader, Andries de Jong, was een turfgraver die ook bij de boer werkte en als schaapherder functioneerde. Peije's moeder heette Sjoukje Ras. De naam Peije is een kinderlijke vervorming van de moeilijke naam Freerk. De achternaam Rasp betekend oude versleten harmonica, een oud instrument waarop je alleen nog wat kunt raspen.


Peije werd grotendeels opgevoed door zijn grootouders, die in Ureterp de herberg 'De laatste stuiver' hadden. Als de stemming in de herberg er goed in zat, hanteerde 'pake' (opa) het schippersklavier. Misschien erfde Peije diens muzikaal talent. In elk geval maakte Peije in deze herberg kennis met muziek en de overlevering vertelt dat bij de jonge Peije al vroeg het verlangen groeide om de accordeon te leren bespelen. Zijn vader stelde accordeonlessen lang uit door te zeggen: 'Dat komt nog wel, want de appel valt nooit ver van de boom'. Daarom begon Peije op 22-jarige leeftijd zelf met oefenen en niet zonder succes. Hij speelde volksdansen, walsen en polka's en was op dansavonden, bruiloften en partijen een geheid succes. Het moet niet lang hebben geduurd of Peije was inderdaad dé speelman van de Friese Wouden, die langs wegen en zandpaden, boerderijen en dorpen trok.


Centen


Het leek er op dat Peije niet rond kon komen van het spelen en zingen. Hij deed namelijk van tijd tot tijd ook allerlei karweitjes. Hij veegde schoorstenen, maakte dakgoten schoon of reinigde hier en daar een stookhok. Voor een paar centen gordde hij de sleeplijn aan om een schip van de ene sluis naar de andere te trekken door de Compagnonsvaart. En als het slecht weer was, verkocht hij pijpdoorstekers van buntgrashalmen. Toch leverden al zijn activiteiten samen niet altijd genoeg op om in zijn eigen onderhoud te voorzien. Zo nu en dan moest hij naar het Gemeenschappelijk Hulpbetoon. Met name in de wintermaanden zoals in de barre winter van 1929 tekende Peije elke week met het bekende inktpotlood voor zes harde guldens in het boekje met namen van 'tijdelijk bedeelden'. Boven aan zijn bladzijde stond: Freerk de Jong, met daarachter (Peije).

Even trouwen


Peije was nogal gemakkelijk ten aanzien van de broodwinning, maar nam ook andere zaken niet zo serieus. Zo stond hij op een ochtend bij een boer te spitten. Om elf uur stak hij zijn spa rechtop in de grond, ging zijn handen wassen en zei: 'Ik ben zo terug, ik moet even trouwen'.

Hij kwam inderdaad terug met zijn vrouw Martje, of Makke genoemd. Zij was de dochter van Joeke en Sjoukje Veenstra, die woonden in de voormalige cichoreifabriek op de hoek van de Zuiderdwarsvaart en de Fabriekslaan. Joeke stond bekend als 'spoekgûlder' of 'spoeksjogger' (spookziener). Naar men zei was hij met de helm geboren.

Peije verhuisde vermoedelijk direct na zijn huwelijk naar Drachten, waar hij zijn intrek nam in een krotje achter een pand aan de Zuidkade. Toen hij dat om onbekende redenen moest verlaten, sprong hij uit wanhoop in de Compagnonsvaart. Hij kwam wel weer op het droge, maar bleef figuurlijk 'in de onderwal'. Zijn vrouw verliet hem en Peije was van slag, maar voor de outsider was dat nauwelijks te merken, want hij bleef spelen en zingen, terwijl volgens de overlevering zijn vrouw ergens op de Friese klei huishoudster werd.

Peije zou nog enige tijd in Nijega hebben gewoond. Hij woonde hier in een grote schuur met ruimte voor vijf gezinnen aan de Noorderdwarsvaart, waarin het 'armbestuur' daklozen huisvestte.


Liederen


In voor- of tegenspoed, Peije zong zijn lied. Hij hield altijd rekening met de zorgen en verdriet van de mensen en vroeg voor hij begon met zingen of het wel schikte. Vaak waren het minneliederen die hij zong en daarin gebeurden soms barre dingen. In onderstaand lied sterft de bruid op de dag van het huwelijk:

En ik was nog maar zestien jaren,
ik was nog maar een kind.
Toen vroeg hij mij te paren
en ik werd door hem bemind...

Behalve verschillende oud-Nederlandse liedjes als 'Toen ik op Nederlands bergen stond', 'Daar was laatst een meisje loos' en 'Mammie wat ween je', waren ook verzen over de Boerenoorlog en 'De Zevensprong' succesnummers. En dan waren er natuurlijk vele Friese liederen. Maar ook psalmen en gezangen, zoals 'Er ruist langs de wolken' en 'Het hijgend hert' stonden op Peije's repertoire.

Tijdens tochtjes van dagjesmensen of bejaarden zat Peije te spelen op de bok. 's Winters was hij met zijn 'trekpiano' op het ijs. Voor een schelling (6 stuivers) reed hij op zijn krulschaatsen al spelend voor aan lange slierten jongens en meisjes en voor een extra bedrag draaide hij een rondje in zijn lange onderbroek. Alleen als het regende bleef de harmonica in de jutezak, want zoals Peije zei: 'It binneguod mei net oer dampens'.

Tegenspoed


In juli 1909 scheidde hij officieel van Martzen Veenstra, met wie hij in 1901 was getrouwd. Uit dit huwelijk werden twee kinderen geboren, Sjoukje en Evert. Later trok hij in bij Ytje van de Heide. Zij was zeven jaar ouder dan Peije en was al tweemaal weduwe. Uit haar tweede huwelijk had zij een zoon van 13 jaar toen Peije haar in 1913 trouwde. Een dochter en twee zoons uit haar eerste huwelijk waren toen al de deur uit. Aanvankelijk woonden zij in een 'vooronderbokje', een woonscheepje dat in de Jammerwijk bij de Stienpôlle in de Noorderdwarsvaart lag.

In de twintiger jaren verliet Peije's tweede vrouw hem tijdelijk om bij haar familie in Drachtster Compagnie in te trekken. Haar familie liet wagenmaker Ausma een eenvoudige woonwagen maken, die Peije moest afbetalen. Hij trok hier al in toen de woonwagen nog bij de wagenmaker op het erf stond. Dit is vermoedelijk de wagen geweest die eerst aan de Slingeweg en later vlak bij de Pijpbrug op de Zuiderhogeweg heeft gestaan. Ytje trok bij Peije in de wagen, maar leefde wat afgezonderd. Als er iemand kwam, trok zij de gordijntjes dicht.

Peije bleef de minstreel die andere mensen blij maakte, die rondzwierf en overal waar het volk bijeen kwam voor een glimlach zorgde. Maar wie bezorgde hem een sprankje vreugde toen hij in 1940 in de versukkeling raakte? Peije onderging in Groningen een maagoperatie en hij werd niet weer de oude. In 1941 kwam een vertegenwoordiger bij de burgerlijke stand melden dat de speelman op 13 november, 's middags om 5 uur, was overleden in de woonwagen bij de boerderij van Van Kammen op de Zuiderhogeweg, niet ver van de Pijpbrug over de Compagnonsvaart. 'Freerk de Jong, bijgenaamd Peije, op 62-jarige leeftijd overleden’ stond in zijn overlijdensadvertentie.


Museumstukken

Zijn twee harmonica's zijn nog te zien in het Museum Smallingerland (Museumplein 2). En op de kruising van de Drachtster promenades (bij het carillon) staat Peije in brons. Peije zelf zou dat stukje Drachten niet meer herkennen, maar er lopen nog altijd mensen voorbij die hém herkennen.

Het beeld is gemaakt door Mindert Wilstra die uit dezelfde contreien stamde als Peije. Wilstra overleed in 1973 op 59-jarige leeftijd. Hij was autodidact en romanticus, werkte in Duitsland, pionierde in de Noordoostpolder en was boer, werkte een tijd bij Philips en was bovendien werkzaam als tuinman. Maar eigenlijk lag zijn hart bij het schrijven van korte Friese verhalen en gedichten en bij het scheppen van enige beeldhouwwerken; hij was een man die de betrekkelijkheid der dingen even goed zag als Peije.



De speelman komt niet meer voorbij; de wereld gaat nu voorbij de speelman. Maar voor wie goed luistert, ruist zijn lied nog in de bladeren van de houtwallen van de Friese Wouden, die de 'Peije-routes' markeren: de paden en wegen die de speelman eens ging...

“Als we met een wiskundige bril naar de wereld kijken”

Opmerkingen bij www.curiculum.nu  over rekenen en wiskunde.

In de onderwijswereld heeft www.curriculum.nu na Onderwijs2032 veel stof doen opwaaien, voor zover het “het veld" bereikte, want binnen de scholen is niet overal de grote opwinding aanwezig, maar ook niet het proces en het doel ervan op zich even sterk bekend. Het hele idee achter de campagne Onderwijs2032 http://magazine.onderwijs2032.nl/onderwijs2032-in-de-praktijk  is in de gewone en sociale media uitgebreid becommentarieerd en het vervolg erop, de uitwerking in de vorm van www.curriculum.nu vond naast medewerkers en meedenkers ook veel kritiek, zowel wat betreft de algemene onderwijsfilosofie, of moet je in een aantal gevallen spreken van onderwijsideologie, als de visie op nieuwe curricula voor de vakken, ja zelfs de samenvoeging ervan, waardoor enkele zelfstandige vakken lijken te verdwijnen.

In de discussies, de kritiek, klinkt ook duidelijk de vraag naar draagvlak door. De betrokkenheid van “het veld” blijkt niet al te groot, het meedenken en meepraten trekt geen grote aantallen docenten naar de bijeenkomsten, of lijkt geen grote aantallen reacties op de uitnodigingen te laten zien, om te laten horen wat men vindt van de plannen en ideeën van de z.g. ontwikkelteams. De mensen van www.curriculum.nu hebben hier een ander idee over dan de buitenwacht.

Een belangrijk punt van kritiek is het gebrek aan participatie vanuit de onderwijswetenschap en de vakwetenschappen en de wetenschappelijke onderbouwing van de filosofieën, ideeën, visies en eerste plannen tot curriculumherziening. Er wordt overal dan druk gestrooid met verwijten en aantijgingen als zich beroepen op pseudowetenschap, het aanhalen van niet-valide bronnen en zegslieden, onvoldoende evidence-based voorstellen en te weinig evidence-informed onderbouwing. In de z.g. tussenproducten zien de critici weinig terug van hun kritische opmerkingen.

Ik hoor ook kritiek op de samenstelling van de ontwikkelteams en de vakexpertgroepen, als zouden die selectief zijn samengesteld en niet voor iedereen toegankelijk zijn geweest. Dat is moeilijk na te gaan maar in het licht van de van te voren al vaststaande kaders waarbinnen gedacht, gewerkt en gestreefd moest gaan worden is het goed mogelijk dat personen die zich niet duidelijk positief verhielden tot de filosofie van Onderwijs2032 en www.curriculum.nu  niet pasten in het profiel van de gewenste deelnemers aan de teams en groepen.

Wat betreft rekenen en wiskunde bevatte het vierde tussenproduct https://curriculum.nu/wp-content/uploads/2019/01/Vierde-tussenproduct-Rekenen-en-Wiskunde.pdf 
 van het ontwikkelteam rekenen en wiskunde https://curriculum.nu/ontwikkelteam/rekenen-en-wiskunde/ een paar passages die in het betreffende onderwijsveld meer de wenkbrauwen deden fronsen dan dat ze de handen op elkaar kregen.

“Van het onderwerp breuken wil het OT in het primair onderwijs alleen nog begripsvorming en rekentaal aanbieden. In het voortgezet onderwijs wordt aan de leerlingen voor wie dit relevant is formeel rekenen met breuken aangeboden.”

Het staat er letterlijk: het formele rekenen met breuken wil men opschuiven naar het VO, en dan alleen voor wie het relevant is. Ik denk dat onderstaande reactie er een is die duidelijk maakt dat dat wat betreft een heleboel docenten geen goed idee is.

Het schijnt dat het idee erachter zit is, dat dat formele rekenen voor veel PO-leerlingen te moeilijk is en dat er weinig van begrepen wordt en beklijfd. Ook is het in het huidige digitale tijdsgewricht niet meer een opportuun onderwerp om aan te leren, de zakjapanner kan het werk overnemen. Op VO-niveau, en dan alleen bij leerlingen die het nodig hebben, zou het aanleren ervan meer zin, succes en nut hebben.

Of dat allemaal zo is, dat moet dan nog even onderbouwd worden. ik denk dan ook aan de functie van het aanleren van het formele breukrekenen in cognitief, pedagogisch en didactisch opzicht en dan niet alleen gericht op het rekenen zelf. Het is een flagrante breuk met het schoolrekenen tot nu toe en een miskenning van wat er al die jaren in het lagere onderwijs qua rekenen gebeurde en gepresteerd is. Niet dat het voor iedereen als resultaat een vlot met breuken rekenende persoon opleverde, maar een betere evaluatie van resultaat, nut, noodzaak en effect van het breukrekenen in het PO, niet alleen voor het rekenen zelf en “voor later” zou de ideeën van dit OT misschien wel kunnen vloeren, dan wel mogelijk kunnen onderbouwen, maar we weten het niet.

En niemand heeft het over het spel van het rekenen, gewoon de aardigheid van het sec rekenen op zich, een lol die van het abstracte contextloze rekenen uitging, zoals ik dat zelf op de lagere school ervoer en dat door zulke beperkingen alleen maar armer wordt.

“Het OT meent dat rekenen met geld tegenwoordig – met een veelheid aan digitale geldtransacties en euro's – sterker verbonden is met decimale getallen dan in het verleden. Daarom heeft het team het voornemen rekenen met geld als context te beschouwen voor het rekenen met decimale getallen en geld niet meer als aparte maat binnen de grote opdracht Meten en Meetkunde te beschouwen”.

Dit lijkt me een eenzijdige en historisch onjuiste visie op het verband tussen geld en decimale getallen, want juist (ook) met contant geld moeten handelen en dus rekenen vroeg al een vaardig kunnen rekenen met decimalen, toen net zo goed, of misschien wel meer, als nu. En juist tegenwoordig is het rekenen met en betalen van geld vaak een kwestie van het overlaten aan digitale hulpmiddelen, die zich wel over die decimalen buigen, hoewel natuurlijk een rekenkundig inzicht in de processen voor de controle op wat die apparaten doen van belang is. Maar contant geld kennen de leerlingen over een poosje niet meer.

Afgezien daarvan, decimalen blijven niet beperkt tot de twee waarmee bij geld in centen wordt gerekend (of nog erger, op meervouden van 5 cent wordt afgerond). Van millimeters naar meters heb je er meer nodig.

“Ook het aanbod van bewerkingen wordt uitgebreid met machtsverheffen, worteltrekken en logaritmen. Ook hier is het van belang dat leerlingen niet alleen de eigenschappen van deze bewerkingen leren, maar ook de relaties tussen die bewerkingen doorzien en gebruiken (bijvoorbeeld de relatie tussen machtsverheffen en worteltrekken en de voorrangsregels die gelden bij meerdere bewerkingen in een opgave)”

Deze zinsnede haalde ik ook uit het tussenproduct en dat is met enige verbazing, want waar het breukrekenen wat betreft z’n essentie uit het PO dreigt te verdwijnen en het abstractieniveau van de breukalgoritmes  voor het PO te hoog lijkt, wordt hier ineens een onderwerp naar voren geschoven dat in het VO steeds een lastige horde is. Ik doel dan op het begrip logaritme, en in het verlengde van machtsverheffen exponentiële ontwikkelingen.

“Het OT meent dat de onderbouw van havo en vwo te veel algebra bevat en daarmee te veel voorbereidt op wiskunde B en te weinig op wiskunde A. Dit heeft geleid tot de gedachte om in de onderbouw havo en vwo niet-lineaire vergelijkingen alleen nog met behulp van ICT te laten oplossen. In de bovenbouw worden oplossingsprocedures in de bovenbouw aangeboden aan de leerlingen voor wie dat relevant is”.

Dit was, net zoals de OT-opmerking over breuken, een standpunt dat veel ophef teweeg heeft gebracht. Je kunt hier een aantal opmerkingen bij plaatsen.

-         - Welke algebra in de onderbouw van HAVO en VWO is er dan te veel? En waarom is het dan te veel? En dient het daar alleen maar om voor te bereiden op wiskunde B?

-        -  Je kunt het ook omkeren: bevat wiskunde A dan niet te weinig wiskunde als toepassing van de wiskunde die, zij het steeds verder uitgedund in de loop van de decennia, in de onderbouw wordt gegeven?

-         - Wordt het wiskundecurriculum in de bovenbouw niet (nog meer) overladen als daar naast een stuk basisvaardigheid ook de toepassing en verdieping voldoende inhoud moet krijgen?

-         - Is het leren van het toch betrekkelijk kleine beetje algebra in de onderbouw alleen maar een kwestie van nut en noodzaak voor de bovenbouw of is het doel misschien toch wat breder en ruimer en draagt het bij aan de “algemene ontwikkeling”  (wat ook zou kunnen gelden voor breukrekenen)? 

-         -  Is het typerend voor het OT dat er staat “meent” in plaats van dat het OT met steekhoudende, onderwijskundig en wetenschappelijk onderbouwde argumenten komt, zodat er geen sprake is van een mening maar van een gefundeerd oordeel?

-          - Waar bij cTWO het vervolgonderwijs nog een duidelijk woordje meesprak vraag ik me af of hier ooit wel doorgedacht wordt over wat er na het VO komt en over hoe een leerling toch zo lang mogelijk zo veelzijdig mogelijk opgeleid zou kunnen worden zodat door al die stofbeperkingen zijn alternatieven niet dichtgemetseld worden.

“Leerlingen leren de bijbehorende rekenen-wiskundetaal, verschillende rekenstrategieën en rekenprocedures zowel voor exact rekenen als voor schattend rekenen. Ze leren basisvaardigheden automatiseren (vlot uitvoeren)  en in sommige gevallen te memoriseren (direct weten, zoals bijvoorbeeld de tafels van vermenigvuldiging)”

In de eindeloze discussie, of vaak meer strijd, tussen allerlei didactisch-pedagogische opvattingen, meningen en op onderzoek gebaseerde stellingnames over hoe het reken- en wiskundeonderwijs gegeven moet worden en welke vorm en inhoud het precies moet hebben (om die te duiden met zijn uitertsen: de controverse tussen traditioneel en realistisch rekenen) neemt www.curiculum.nu  een plaats in die naar het lijkt dichter staat bij de opvattingen die het rekenen de laatste decennia gedomineerd hebben en die regelmatig onder flinke kritiek staan en weer de andere kant opschuiven. Maar hier zien we een paar opmerkingen die daar enige afstand van lijken te nemen: automatiseren en tafels memoriseren. Zij het dat het “aanleren van verschillende rekenstrategieën” zeker niet ieders zegen heeft. Steeds meer docenten kiezen voor het aanleren en inoefenen van één rekenalgoritme voor een bepaald type berekening en kiezen daarbij vaak voor de traditionele manier van doen.

“Wiskunde is betekenisvol omdat het van belang is dat leerlingen leren met gegevens om te gaan, verbanden leren zien en deze weer te geven in een formule met variabelen.”

“Een formule is een middel om efficiënter met complexere situaties om te kunnen gaan, zoals het gebruik van de abc-formule bij het oplossen van een tweedegraadsvergelijking. Bij het omzetten van een complexe situatie in een (woord)formule, wordt de wiskundige bekwaamheid Schematiseren en modelleren verder ontwikkeld”.

Ik pik nog een paar opmerkingen uit het tussenrapport. In het deel waarin deze opmerkingen staan gaat het met name over lineaire formules en dus lijngrafieken. Maar veel verbanden en ook vormen laten zich niet vertalen in lijnen en wiskundig in lineaire formules. De paraboolvorm, de cirkel, de exponentiële ontwikkeling, een omgekeerd evenredig verband, de sinusoïde, de noem-maar-op, het zijn allemaal vormen die in het dagelijkse leven kunnen voorkomen, en waar we de wiskundeleerling mee mogen confronteren, c.q. ze hen niet mogen onthouden. De digitale hulpmiddelen van tegenwoordig maken het wat dat betreft een docent het een stuk gemakkelijker om hiermee aan de slag te gaan en de leerling daarmee kennis te laten maken en ermee uit te dagen.

Ten slotte:

“Afhankelijk van het uitstroomperspectief…”

Deze zinsnede kwam ik een paar keer tegen, althans hij viel me op. Maar de Rijn bij Lobith trekt zich niks aan van zijn uitstroomperspectief, de vertakkingen van de delta in het westen. De rivier stroom rustig ons land verder binnen.
Ik zou het goed vinden dat leerlingen niet op deze manier bekeken en alvast gedetermineerd worden maar dat onafhankelijk van het uitstroomperspectief, zo dat al aanvankelijk aanwezig kan zijn, er brede delta van uitstroommogelijkheden wordt gecreëerd en ze daarvoor voldoende toe worden uitgerust.



Het expertteam rekenen en wiskunde 
https://curriculum.nu/adviesgroep-inhoudelijk-experts/#1537193583957-8aaf5b44-e96d bestaat uit de volgende personen:

Paul Drijvers: Ik ben hoogleraar in de didactiek van de wiskunde bij het Freudenthal Instituut”

Ronald Keijzer: “Ik ben één van de auteurs van de TAL-boeken voor de bovenbouw van de basisschool”

Jurriaan Steen: “Ik ben sinds augustus 1918 aangesteld als practor van het practoraat Rekenen” https://www.practoraten.nl/practoraten/rekenen/

Jan Karel Lenstra: “Ik was nauw betrokken bij diverse KNAW-adviezen en visiedocumenten” https://www.knaw.nl/nl

Helaas geen Jan van der Craats, maar ook geen Anne van Streun, noch Frans van Haandel, laat staan Joost Hulshof, of Jos Tolboom of Marcel Schmeiers. Of Ben Wilbrink of Swier Garst. En dat rijtje zou langer kunnen... 

“Als we met een wiskundige bril naar de wereld kijken”. Er zijn in de wereld vele “we”’s en er zijn vele wiskundige brillen waarmee “we” naar de wereld kunnen kijken, alsook is het begrip “wereld” in dit verband niet eenduidig, maar vertoont die ‘wereld’ zich in vele vormen, gedaanten en is de beeldvorming zelden voor iedereen hetzelfde. Dat gezegd hebbende meen ik dat www.curriculum.nu en zeker het ontwikkelteam rekenen en wiskunde, ook gezien haar beperkte samenstelling, best een toontje lager mag zingen als het gaat om zoiets omvattends als een curriculum: een plan voor het leren.

Magisch spel met enen.

In feite is hier uitgerekend (10⁸+ 10⁷ + 10⁶ + 10⁵ + 10⁴ + 10³ + 10² + 10¹ + 10⁰)²

Bekend is het kwadrateren van bijvoorbeeld (a + b + c + d). 

Dat levert kwadraten en dubbele producten op:

(a + b + c + d)² = a² + b² + c² + d² + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

De uitkomst van 111111111 ²  is een getal met 17 posities (iets groter dan 10¹⁶, een 1 met 16 nullen)

Op de eerste positie komt een 1, namelijk de coëfficiënt van (10⁸)² = 10¹⁶

Op de tweede positie komt de coëfficiënt van  10¹⁵.

Die komt van de term met het dubbele product 10⁸ x 10⁷ dus dat wordt 2.

(met tweetallen uit de reeks 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 kun je alleen 15 vormen met 8 + 7)

Op de derde positie komt de coëfficiënt van 10¹⁴.

Die komt van de termen: het kwadraat van 10⁷ en het dubbele product 10⁸ x 10⁶ dus dat wordt 3

Op de vierde positie komt de coëfficiënt van 10¹³.

Die komt van de dubbele producten 10⁸ x 10⁵ en 10⁷ x 10⁶ en dat wordt dus 4

De coëfficiënt van 10¹² is 1 + 2 + 2 =  5, want 12 kun je schrijven als 6 + 6 (kwadraat), 8 + 4 en 7 + 5 (dubbele producten)

De coëfficiënt van 10¹¹ is 2 + 2 + 2 = 6, want 11 kun je schrijven als 8 + 3, 7 + 4 en 6 + 5

De coëfficiënt van 10¹⁰ is 1 + 2 + 2 + 2 = 7, want 10 kun je schrijven als 5 + 5, 8 + 2, 7 + 3 en 6 + 4

Merk op dat in de dubbelproducten de termen 10¹ en 10⁰ tot hier niet aan de orde komen. Die komen eerst nu te pas:

De coëfficiënt van 10⁹  is 2 + 2 + 2 + 2 = 8, want 9 kun je schrijven als 8 + 1, 7 + 2, 6 + 3 en 5 + 4.

De coëfficiënt van de “middelste” term met macht 10⁸ is 1 + 2 + 2 + 2 = 9, want 8 kun je schrijven als 4 + 4, 8 + 0, 7 + 1, 6 + 2 en 5 + 3. 

Na 10⁸ worden de coëfficiënten weer kleiner omdat het getal van de steeds lagere exponent alleen kan worden gevormd door steeds lagere getallen uit de reeks 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

De coëfficiënt van 10⁷ is 2 + 2 + 2 + 2 = 8 want 7 kun je schrijven als 7 + 0,  6 + 1, 5 + 2 en 4 + 3

Je kunt ook achteraan beginnen:

Op de laatste positie komt een 1, namelijk de coëfficiënt van (10⁰)² = 1

Op de op één na laatste positie komt de coëfficiënt van 10¹ = 10

Die komt van term met het dubbele producten 10⁰ x 10¹ dus dat wordt 2.

Op de volgende positie komt de coëfficiënt van 10².

Die komt van de termen: het kwadraat van 10¹ en he dubbele product 10⁰ x 10¹

In het algemeen:                             

(10ⁿ + 10^n-1 + 10^n-2 + … + 10² + 10¹ + 10⁰)²

10²ⁿ       heeft coëfficiënt 1

10^2n-1     heeft coëfficiënt 2           10ⁿ x 10^n-1 + 10^n-1 x 10ⁿ

10^2n-2      heeft coëfficiënt 3           10^n-1 x  10^n-1 + 10ⁿ x 10^n-2 + 10^n-2 x 10ⁿ

enzovoort

Voor de “middelste” coëfficiënt moeten we onderscheid maken tussen een even en oneven aantal enen.

Oneven aantal enen.

We gaan uit van 2n + 1 enen. 

(10²ⁿ + 10^2n-1 + 10^2n-2+ … + 10² + 10¹ + 10⁰)² 

De “middelste” term bevat de macht  10²ⁿ

Die wordt gevormd door het kwadraat van 10ⁿ

en de dubbele producten met machten met exponenten 2n + 0, 2n-1 + 1, 2n-2 + 2, 2n-3 + 3 t/m  

n+1 + n-1 dus n dubbele producten.

Dat zijn welgeteld 1 + 2n termen. 

Dus bij een oneven aantal enen staat in het middel van het kwadraat het getal 2n + 1.

Dit geldt alleen voor n = 0, 1, 2, 3, 4

Even aantal enen.

Bij (10²ⁿ⁺¹ + 10²ⁿ + 10^2n-1+ … + 10² + 10¹ + 10⁰)² is het aantal enen even.

De “middelste” heeft ook hier de macht met exponent 2n+1.

Die wordt gevormd door de dubbele producten met machten met exponenten 2n + 0, 2n-1 + 1, 

2n-2 + 2, 2n-3 + 3 t/m  n+1 + n-1. Dat zijn n dubbele producten, dus 2n termen. 

Dus de “middelste” tem heeft coëfficiënt  2n.

Dit geldt alleen voor n = 1, 2, 3, 4

Want met 10 enen krijg je (helaas):

1111111111 x 1111111111 = 1234567900987654321

Van rechts af bekeken: de 0 van de 10 staat er wel, maar de 1 van de 10 komt bij de 9 links ervan opgeteld, dus die veranderd weer in 10, waarvan je weer alleen de 0 ziet, terwijl de 1 weer opgeteld wordt bij de linkerbuur 8 en dus 9 wordt. Daarna loopt het weer zoals het zou moeten.

Een beter examen?

https://www.nrc.nl/nieuws/2018/06/01/eindexamens-hebben-veel-te-lange-lappen-tekst-a1604990

Mijn reactie op de column van Karin den Heijer in de NRC over het samenstellen van examens.

Karin den Heijer heeft het o.a. over het examen wiskunde. Bij de vakken wiskunde A en C dienen de leerlingen zich inderdaad door lappen tekst heen te werken voor ze zich een beeld zouden kunnen vormen van wat nu eigenlijk de vraag is, maar bij wiskunde B, het laatste VWO-examen kom ik eigenlijk maar één onderdeel (Sheffield Winter Garden) tegen waar de opgave in de (con-)tekst wordt ge- ofwel verstopt. Je kunt je afvragen waarom dat nodig is en of de vraagstelling op zich ook sec geformuleerd had kunnen worden, misschien zelfs met de mogelijkheid om er een exact antwoord op te geven. Wat vinden bijvoorbeeld die hoogleraren en docenten HBO of VO daar nou van?

Karin’s voorstel is om de examens door te laten rekenen door hoogleraren, nadat de toetsenmakers, niet alleen VO-docenten, maar ook docenten die lesgeven in het eerste jaar van het MBO, HBO en WO het hebben opgesteld. Dat lijkt me enerzijds een goed en constructief idee, maar aan de andere kant zie ik een paar haken en ogen, als je ze zo noemen wilt.

Ik denk dat de docenten uit het vervolgonderwijs niet alleen graag mee willen praten en denken over de inhoud van het examen maar misschien nog liever over de inhoud van het curriculum. Op dat punt leven er veel wensen, omdat het huidige curriculum volgens een aantal vervolgopleidingen niet goed aansluit en dus (veel) te wensen over laat. Dit ondanks het Ctwo-project waarbij gestreefd werd naar inspraak van die vervolgopleidingen. 

Maar vermoedelijk zal, als die wensen ten aanzien van het curriculum ter tafel komen, er een veelheid en verscheidenheid aan verlangens genoemd worden die moeilijk in een bondig curriculum optimaal kunnen worden verenigd, omdat die vervolgopleidingen nogal zeer divers zijn. Eigenlijk laat dat Ctwo-project, net als elke curriculum-wijziging in het verleden, al zien dat elke poging weer tot nieuwe kritiek en verlangens leidt.

En gaat het niet alleen over de inhoud van het examen maar ook over het curriculum dan spelen, ondanks het feit dat Karin bij het opstellen van de examens didactici en onderwijskundigen wil uitsluiten, juist ook onderwijskundige en didactische aspecten een voorname rol, domweg omdat docenten zelf nu eenmaal vanuit hun beroep en opleiding, hun expertise en ervaring, daarmee “besmet” zijn.  En op dit punt is er ook de nodige verscheidenheid, zo niet vel tegenstelling.

Je kunt deze kennelijke obstakels constateren en het erbij laten, maar ik steun toch Karin de Heijer’s voorstel, want als je er niet aan begint dan verandert er niets. Maar het zal altijd leiden tot compromissen. Hopelijk zijn die beter dan de huidige vormen van examinering. 

Karin den Heijer noemt ook de al te taligheid van het examen biologie en dat het examen Nederlands geen Nederlands toetst. Er zijn natuurlijk veel meer vakken en het lijkt me zinvol om de discussie over de voorgestelde opzet te verbreden naar alle vakken.  Is het voorstel zinvol, is het mogelijk, kan de eventuele kritiek op de huidige examens er adequaat mee opgelost worden? Wat willen we precies toetsen en hoe willen we dat? En wie zijn wij, dat we iets kunnen veranderen?