Gepensioneerd en toch nog tijd om te bloggen.

Een aanvulling op twitter-account @eskorthof en dan met meer dan 140 tekens.

woensdag 10 april 2019

“Als we met een wiskundige bril naar de wereld kijken”

Opmerkingen bij www.curiculum.nu  over rekenen en wiskunde.

In de onderwijswereld heeft www.curriculum.nu na Onderwijs2032 veel stof doen opwaaien, voor zover het “het veld" bereikte, want binnen de scholen is niet overal de grote opwinding aanwezig, maar ook niet het proces en het doel ervan op zich even sterk bekend. Het hele idee achter de campagne Onderwijs2032 http://magazine.onderwijs2032.nl/onderwijs2032-in-de-praktijk  is in de gewone en sociale media uitgebreid becommentarieerd en het vervolg erop, de uitwerking in de vorm van www.curriculum.nu vond naast medewerkers en meedenkers ook veel kritiek, zowel wat betreft de algemene onderwijsfilosofie, of moet je in een aantal gevallen spreken van onderwijsideologie, als de visie op nieuwe curricula voor de vakken, ja zelfs de samenvoeging ervan, waardoor enkele zelfstandige vakken lijken te verdwijnen.

In de discussies, de kritiek, klinkt ook duidelijk de vraag naar draagvlak door. De betrokkenheid van “het veld” blijkt niet al te groot, het meedenken en meepraten trekt geen grote aantallen docenten naar de bijeenkomsten, of lijkt geen grote aantallen reacties op de uitnodigingen te laten zien, om te laten horen wat men vindt van de plannen en ideeën van de z.g. ontwikkelteams. De mensen van www.curriculum.nu hebben hier een ander idee over dan de buitenwacht.

Een belangrijk punt van kritiek is het gebrek aan participatie vanuit de onderwijswetenschap en de vakwetenschappen en de wetenschappelijke onderbouwing van de filosofieën, ideeën, visies en eerste plannen tot curriculumherziening. Er wordt overal dan druk gestrooid met verwijten en aantijgingen als zich beroepen op pseudowetenschap, het aanhalen van niet-valide bronnen en zegslieden, onvoldoende evidence-based voorstellen en te weinig evidence-informed onderbouwing. In de z.g. tussenproducten zien de critici weinig terug van hun kritische opmerkingen.

Ik hoor ook kritiek op de samenstelling van de ontwikkelteams en de vakexpertgroepen, als zouden die selectief zijn samengesteld en niet voor iedereen toegankelijk zijn geweest. Dat is moeilijk na te gaan maar in het licht van de van te voren al vaststaande kaders waarbinnen gedacht, gewerkt en gestreefd moest gaan worden is het goed mogelijk dat personen die zich niet duidelijk positief verhielden tot de filosofie van Onderwijs2032 en www.curriculum.nu  niet pasten in het profiel van de gewenste deelnemers aan de teams en groepen.

Wat betreft rekenen en wiskunde bevatte het vierde tussenproduct https://curriculum.nu/wp-content/uploads/2019/01/Vierde-tussenproduct-Rekenen-en-Wiskunde.pdf 
 van het ontwikkelteam rekenen en wiskunde https://curriculum.nu/ontwikkelteam/rekenen-en-wiskunde/ een paar passages die in het betreffende onderwijsveld meer de wenkbrauwen deden fronsen dan dat ze de handen op elkaar kregen.

“Van het onderwerp breuken wil het OT in het primair onderwijs alleen nog begripsvorming en rekentaal aanbieden. In het voortgezet onderwijs wordt aan de leerlingen voor wie dit relevant is formeel rekenen met breuken aangeboden.”

Het staat er letterlijk: het formele rekenen met breuken wil men opschuiven naar het VO, en dan alleen voor wie het relevant is. Ik denk dat onderstaande reactie er een is die duidelijk maakt dat dat wat betreft een heleboel docenten geen goed idee is.

Het schijnt dat het idee erachter zit is, dat dat formele rekenen voor veel PO-leerlingen te moeilijk is en dat er weinig van begrepen wordt en beklijfd. Ook is het in het huidige digitale tijdsgewricht niet meer een opportuun onderwerp om aan te leren, de zakjapanner kan het werk overnemen. Op VO-niveau, en dan alleen bij leerlingen die het nodig hebben, zou het aanleren ervan meer zin, succes en nut hebben.

Of dat allemaal zo is, dat moet dan nog even onderbouwd worden. ik denk dan ook aan de functie van het aanleren van het formele breukrekenen in cognitief, pedagogisch en didactisch opzicht en dan net alleen gericht op het rekenen zelf. Het is een flagrante breuk met het schoolrekenen tot nu toe en een miskenning van wat er al die jaren in het lagere onderwijs qua rekenen gebeurde en gepresteerd is. Niet dat het voor iedereen als resultaat een vlot met breuken rekenende persoon opleverde, maar een betere evaluatie van resultaat, nut, noodzaak en effect van het breukrekenen in het PO, niet alleen voor het rekenen zelf en “voor later” zou de ideeën van dit OT misschien wel kunnen vloeren, dan wel mogelijk kunnen onderbouwen, maar we weten het niet.

En niemand heeft het over het spel van het rekenen, gewoon de aardigheid van het sec rekenen op zich, een lol die van het abstracte contextloze rekenen uitging, zoals ik dat zelf op de lagere school ervoer en dat door zulke beperkingen alleen maar armer wordt.

“Het OT meent dat rekenen met geld tegenwoordig – met een veelheid aan digitale geldtransacties en euro's – sterker verbonden is met decimale getallen dan in het verleden. Daarom heeft het team het voornemen rekenen met geld als context te beschouwen voor het rekenen met decimale getallen en geld niet meer als aparte maat binnen de grote opdracht Meten en Meetkunde te beschouwen”.

Dit lijkt me een eenzijdige en historisch onjuiste visie op het verband tussen geld en decimale getallen, want juist (ook) met contant geld moeten handelen en dus rekenen vroeg al een vaardig kunnen rekenen met decimalen, toen net zo goed, of misschien wel meer, als nu. En juist tegenwoordig is het rekenen met en betalen van geld vaak een kwestie van het overlaten aan digitale hulpmiddelen, die zich wel over die decimalen buigen, hoewel natuurlijk een rekenkundig inzicht in de processen voor de controle op wat die apparaten doen van belang is. Maar contant geld kennen de leerlingen over een poosje niet meer.

Afgezien daarvan, decimalen blijven niet beperkt tot de twee waarmee bij geld in centen wordt gerekend (of nog erger, op meervouden van 5 cent wordt afgerond). Van millimeters naar meters heb je er meer nodig.

“Ook het aanbod van bewerkingen wordt uitgebreid met machtsverheffen, worteltrekken en logaritmen. Ook hier is het van belang dat leerlingen niet alleen de eigenschappen van deze bewerkingen leren, maar ook de relaties tussen die bewerkingen doorzien en gebruiken (bijvoorbeeld de relatie tussen machtsverheffen en worteltrekken en de voorrangsregels die gelden bij meerdere bewerkingen in een opgave)”

Deze zinsnede haalde ik ook uit het tussenproduct en dat is met enige verbazing, want waar het breukrekenen wat betreft z’n essentie uit het PO dreigt te verdwijnen en het abstractieniveau van de breukalgoritmes  voor het PO te hoog lijkt, wordt hier ineens een onderwerp naar voren geschoven dat in het VO steeds een lastige horde is. Ik doel dan op het begrip logaritme, en in het verlengde van machtsverheffen exponentiële ontwikkelingen.

“Het OT meent dat de onderbouw van havo en vwo te veel algebra bevat en daarmee te veel voorbereidt op wiskunde B en te weinig op wiskunde A. Dit heeft geleid tot de gedachte om in de onderbouw havo en vwo niet-lineaire vergelijkingen alleen nog met behulp van ICT te laten oplossen. In de bovenbouw worden oplossingsprocedures in de bovenbouw aangeboden aan de leerlingen voor wie dat relevant is”.

Dit was, net zoals de OT-opmerking over breuken, een standpunt dat veel ophef teweeg heeft gebracht. Je kunt hier een aantal opmerkingen bij plaatsen.

-         - Welke algebra in de onderbouw van HAVO en VWO is er dan te veel? En waarom is het dan te veel? En dient het daar alleen maar om voor te bereiden op wiskunde B?
-        -  Je kunt het ook omkeren: bevat wiskunde A dan niet te weinig wiskunde als toepassing van de wiskunde die, zij het steeds verder uitgedund in de loop van de decennia, in de onderbouw wordt gegeven?
-         - Wordt het wiskundecurriculum in de bovenbouw niet (nog meer) overladen als daar naast een stuk basisvaardigheid ook de toepassing en verdieping voldoende inhoud moet krijgen?
-         - Is het leren van het toch betrekkelijk kleine beetje algebra in de onderbouw alleen maar een kwestie van nut en noodzaak voor de bovenbouw of is het doel misschien toch wat breder en ruimer en draagt het bij aan de “algemene ontwikkeling”  (wat ook zou kunnen gelden voor breukrekenen)? 
-         -  Is het typerend voor het OT dat er staat “meent” in plaats van dat het OT met steekhoudende, onderwijskundig en wetenschappelijk onderbouwde argumenten komt, zodat er geen sprake is van een mening maar van een gefundeerd oordeel?
-          - Waar bij cTWO het vervolgonderwijs nog een duidelijk woordje meesprak vraag ik me af of hier ooit wel doorgedacht wordt over wat er na het VO komt en over hoe een leerling toch zo lang mogelijk zo veelzijdig mogelijk opgeleid zou kunnen worden zodat door al die stofbeperkingen zijn alternatieven niet dichtgemetseld worden.

“Leerlingen leren de bijbehorende rekenen-wiskundetaal, verschillende rekenstrategieën en rekenprocedures zowel voor exact rekenen als voor schattend rekenen. Ze leren basisvaardigheden automatiseren (vlot uitvoeren)  en in sommige gevallen te memoriseren (direct weten, zoals bijvoorbeeld de tafels van vermenigvuldiging)”

In de eindeloze discussie, of vaak meer strijd, tussen allerlei didactisch-pedagogische opvattingen, meningen en op onderzoek gebaseerde stellingnames over hoe het reken- en wiskundeonderwijs gegeven moet worden en welke vorm en inhoud het precies moet hebben (om die te duiden met zijn uitertsen: de controverse tussen traditioneel en realistisch rekenen) neemt www.curiculum.nu  een plaats in die naar het lijkt dichter staat bij de opvattingen die het rekenen de laatste decennia gedomineerd hebben en die regelmatig onder flinke kritiek staan en weer de andere kant opschuiven. Maar hier zien we een paar opmerkingen die daar enige afstand van lijken te nemen: automatiseren en tafels memoriseren. Zij het dat het “aanleren van verschillende rekenstrategieën” zeker niet ieders zegen heeft. Steeds meer docenten kiezen voor het aanleren en inoefenen van één rekenalgoritme voor een bepaald type berekening en kiezen daarbij vaak voor de traditionele manier van doen.

“Wiskunde is betekenisvol omdat het van belang is dat leerlingen leren met gegevens om te gaan, verbanden leren zien en deze weer te geven in een formule met variabelen.”

“Een formule is een middel om efficiënter met complexere situaties om te kunnen gaan, zoals het gebruik van de abc-formule bij het oplossen van een tweedegraadsvergelijking. Bij het omzetten van een complexe situatie in een (woord)formule, wordt de wiskundige bekwaamheid Schematiseren en modelleren verder ontwikkeld”.

Ik pik nog een paar opmerkingen uit het tussenrapport. In het deel waarin deze opmerkingen staan gaat het met name over lineaire formules en dus lijngrafieken. Maar veel verbanden en ook vormen laten zich niet vertalen in lijnen en wiskundig in lineaire formules. De paraboolvorm, de cirkel, de exponentiële ontwikkeling, een omgekeerd evenredig verband, de sinusoïde, de noem-maar-op, het zijn allemaal vormen die in het dagelijkse leven kunnen voorkomen, en waar we de wiskundeleerling mee mogen confronteren, c.q. ze hen niet mogen onthouden. De digitale hulpmiddelen van tegenwoordig maken het wat dat betreft een docent het een stuk gemakkelijker om hiermee aan de slag te gaan en de leerling daarmee kennis te laten maken en ermee uit te dagen.

Ten slotte:

“Afhankelijk van het uitstroomperspectief…”

Deze zinsnede kwam ik een paar keer tegen, althans hij viel me op. Maar de Rijn bij Lobith trekt zich niks aan van zijn uitstroomperspectief, de vertakkingen van de delta in het westen. De rivier stroom rustig ons land verder binnen.
Ik zou het goed vinden dat leerlingen niet op deze manier bekeken en alvast gedetermineerd worden maar dat onafhankelijk van het uitstroomperspectief, zo dat al aanvankelijk aanwezig kan zijn, er brede delta van uitstroommogelijkheden wordt gecreëerd en ze daarvoor voldoende toe worden uitgerust.



Het expertteam rekenen en wiskunde 
https://curriculum.nu/adviesgroep-inhoudelijk-experts/#1537193583957-8aaf5b44-e96d bestaat uit de volgende personen:

Paul Drijvers: Ik ben hoogleraar in de didactiek van de wiskunde bij het Freudenthal Instituut”

Ronald Keijzer: “Ik ben één van de auteurs van de TAL-boeken voor de bovenbouw van de basisschool”

Jurriaan Steen: “Ik ben sinds augustus 1918 aangesteld als practor van het practoraat Rekenenhttps://www.practoraten.nl/practoraten/rekenen/

Jan Karel Lenstra: “Ik was nauw betrokken bij diverse KNAW-adviezen en visiedocumentenhttps://www.knaw.nl/nl

Helaas geen Jan van der Craats, maar ook geen Anne van Streun, noch Frans van Haandel, laat staan Joost Hulshof, of Jos Tolboom of Marcel Schmeiers. Of Ben Wilbrink of Swier Garst. En dat rijtje zou langer kunnen... 

“Als we met een wiskundige bril naar de wereld kijken”. Er zijn in de wereld vele “we”’s en er zijn vele wiskundige brillen waarmee “we” naar de wereld kunnen kijken, alsook is het begrip “wereld” in dit verband niet eenduidig, maar vertoont die ‘wereld’ zich in vele vormen, gedaanten en is de beeldvorming zelden voor iedereen hetzelfde. Dat gezegd hebbende meen ik dat www.curriculum.nu en zeker het ontwikkelteam rekenen en wiskunde, ook gezien haar beperkte samenstelling, best een toontje lager mag zingen als het gaat om zoiets omvattends als een curriculum: een plan voor het leren.










woensdag 13 februari 2019

Magisch spel met enen.





In feite is hier uitgerekend (108+ 107 + 106 + 105 + 104 + 103 + 102 + 101 + 100)2

Bekend is het kwadrateren van bijvoorbeeld (a + b + c + d). 
Dat levert kwadraten en dubbele producten op:
(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

De uitkomst van 111111111 2  is een getal met 17 posities (iets groter dan 1016, een 1 met 16 nullen)

Op de eerste positie komt een 1, namelijk de coëfficiënt van (108)2 = 1016

Op de tweede positie komt de coëfficiënt van  1015.
Die komt van de term met het dubbele product 108 x 107 dus dat wordt 2.
(met tweetallen uit de reeks 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 kun je alleen 15 vormen met 8 + 7)

Op de derde positie komt de coëfficiënt van 1014.
Die komt van de termen: het kwadraat van 107 en het dubbele product 108 x 106 dus dat wordt 3

Op de vierde positie komt de coëfficiënt van 1013.
Die komt van de dubbele producten 108 x 105 en 107 x 106 en dat wordt dus 4

De coëfficiënt van 1012 is 1 + 2 + 2 =  5, want 12 kun je schrijven als 6 + 6 (kwadraat), 8 + 4 en 7 + 5 (dubbele producten)
De coëfficiënt van 1011 is 2 + 2 + 2 = 6, want 11 kun je schrijven als 8 + 3, 7 + 4 en 6 + 5
De coëfficiënt van 1010 is 1 + 2 + 2 + 2 = 7, want 10 kun je schrijven als 5 + 5, 8 + 2, 7 + 3 en 6 + 4

Merk op dat in de dubbelproducten de termen 101 en 100 tot hier niet aan de orde komen. Die komen eerst nu te pas:

De coëfficiënt van 109  is 2 + 2 + 2 + 2 = 8, want 9 kun je schrijven als 8 + 1, 7 + 2, 6 + 3 en 5 + 4.

De coëfficiënt van de “middelste” term met macht 108 is 1 + 2 + 2 + 2 = 9, want 8 kun je schrijven als 4 + 4, 8 + 0, 7 + 1, 6 + 2 en 5 + 3. 

Na 108 worden de coëfficiënten weer kleiner omdat het getal van de steeds lagere exponent alleen kan worden gevormd door steeds lagere getallen uit de reeks 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

De coëfficiënt van 107 is 2 + 2 + 2 + 2 = 8 want 7 kun je schrijven als 7 + 0,  6 + 1, 5 + 2 en 4 + 3

Je kunt ook achteraan beginnen:

Op de laatste positie komt een 1, namelijk de coëfficiënt van (100)2 = 1
Op de op één na laatste positie komt de coëfficiënt van 101 = 10
Die komt van term met het dubbele producten 100 x 101 dus dat wordt 2.
Op de volgende positie komt de coëfficiënt van 102.
Die komt van de termen: het kwadraat van 101 en he dubbele product 100 x 101

In het algemeen:                             
(10n + 10n-1 + 10n-2 + … + 102 + 101 + 100)2
102n       heeft coëfficiënt 1
102n-1     heeft coëfficiënt 2           10n x 10n-1 + 10n-1 x 10n
102n-2      heeft coëfficiënt 3           10n-1 x  10n-1 + 10n x 10n-2 + 10n-2 x 10n
enzovoort
Voor de “middelste” coëfficiënt moeten we onderscheid maken tussen een even en oneven aantal enen.

Oneven aantal enen.

We gaan uit van 2n + 1 enen. 
(102n + 102n-1 + 102n-2+ … + 102 + 101 + 100)2 
De “middelste” term bevat de macht  102n
Die wordt gevormd door het kwadraat van 10n
en de dubbele producten met machten met exponenten 2n + 0, 2n-1 + 1, 2n-2 + 2, 2n-3 + 3 t/m  
n+1 + n-1 dus n dubbele producten.
Dat zijn welgeteld 1 + 2n termen. 
Dus bij een oneven aantal enen staat in het middel van het kwadraat het getal 2n + 1.
Dit geldt alleen voor n = 0, 1, 2, 3, 4

Even aantal enen.

Bij (102n+1 + 102n + 102n-1+ … + 102 + 101 + 100)2 is het aantal enen even.
De “middelste” heeft ook hier de macht met exponent 2n+1.
Die wordt gevormd door de dubbele producten met machten met exponenten 2n + 0, 2n-1 + 1, 
2n-2 + 2, 2n-3 + 3 t/m  n+1 + n-1. Dat zijn n dubbele producten, dus 2n termen. 
Dus de “middelste” tem heeft coëfficiënt  2n.
Dit geldt alleen voor n = 1, 2, 3, 4

Want met 10 enen krijg je (helaas):

1111111111 x 1111111111 = 1234567900987654321

Van rechts af bekeken: de 0 van de 10 staat er wel, maar de 1 van de 10 komt bij de 9 links ervan opgeteld, dus die veranderd weer in 10, waarvan je weer alleen de 0 ziet, terwijl de 1 weer opgeteld wordt bij de linkerbuur 8 en dus 9 wordt. Daarna loopt het weer zoals het zou moeten.





vrijdag 1 juni 2018

Een beter examen?



Mijn reactie op de column van Karin den Heijer in de NRC over het samenstellen van examens.

Karin den Heijer heeft het o.a. over het examen wiskunde. Bij de vakken wiskunde A en C dienen de leerlingen zich inderdaad door lappen tekst heen te werken voor ze zich een beeld zouden kunnen vormen van wat nu eigenlijk de vraag is, maar bij wiskunde B, het laatste VWO-examen kom ik eigenlijk maar één onderdeel (Sheffield Winter Garden) tegen waar de opgave in de (con-)tekst wordt ge- ofwel verstopt. Je kunt je afvragen waarom dat nodig is en of de vraagstelling op zich ook sec geformuleerd had kunnen worden, misschien zelfs met de mogelijkheid om er een exact antwoord op te geven. Wat vinden bijvoorbeeld die hoogleraren en docenten HBO of VO daar nou van?
Karin’s voorstel is om de examens door te laten rekenen door hoogleraren, nadat de toetsenmakers, niet alleen VO-docenten, maar ook docenten die lesgeven in het eerste jaar van het MBO, HBO en WO het hebben opgesteld. Dat lijkt me enerzijds een goed en constructief idee, maar aan de andere kant zie ik een paar haken en ogen, als je ze zo noemen wilt.
Ik denk dat de docenten uit het vervolgonderwijs niet alleen graag mee willen praten en denken over de inhoud van het examen maar misschien nog liever over de inhoud van het curriculum. Op dat punt leven er veel wensen, omdat het huidige curriculum volgens een aantal vervolgopleidingen niet goed aansluit en dus (veel) te wensen over laat. Dit ondanks het Ctwo-project waarbij gestreefd werd naar inspraak van die vervolgopleidingen. 
Maar vermoedelijk zal, als die wensen ten aanzien van het curriculum ter tafel komen, er een veelheid en verscheidenheid aan verlangens genoemd worden die moeilijk in een bondig curriculum optimaal kunnen worden verenigd, omdat die vervolgopleidingen nogal zeer divers zijn. Eigenlijk laat dat Ctwo-project, net als elke curriculum-wijziging in het verleden, al zien dat elke poging weer tot nieuwe kritiek en verlangens leidt.
En gaat het niet alleen over de inhoud van het examen maar ook over het curriculum dan spelen, ondanks het feit dat Karin bij het opstellen van de examens didactici en onderwijskundigen wil uitsluiten, juist ook onderwijskundige en didactische aspecten een voorname rol, domweg omdat docenten zelf nu eenmaal vanuit hun beroep en opleiding, hun expertise en ervaring, daarmee “besmet” zijn.  En op dit punt is er ook de nodige verscheidenheid, zo niet vel tegenstelling.
Je kunt deze kennelijke obstakels constateren en het erbij laten, maar ik steun toch Karin de Heijer’s voorstel, want als je er niet aan begint dan verandert er niets. Maar het zal altijd leiden tot compromissen. Hopelijk zijn die beter dan de huidige vormen van examinering. 
Karin den Heijer noemt ook de al te taligheid van het examen biologie en dat het examen Nederlands geen Nederlands toetst. Er zijn natuurlijk veel meer vakken en het lijkt me zinvol om de discussie over de voorgestelde opzet te verbreden naar alle vakken.  Is het voorstel zinvol, is het mogelijk, kan de eventuele kritiek op de huidige examens er adequaat mee opgelost worden? Wat willen we precies toetsen en hoe willen we dat? En wie zijn wij, dat we iets kunnen veranderen?


maandag 29 januari 2018

Delen door een GETAL is vermenigvuldigen met het omgekeerde.


Op Twitter kwam onlangs de volgende vraag voorbij:
Crowdsourcing ideas. All responses welcome: why does 1/2 ÷ 1/4 = 1/2 × 4?”
en daaraan toegevoegd
“You have a different way of looking at this? Anything you've got I'm open to.
En daar volgde natuurlijk een stroom van reacties op. Hieronder een weergave van mijn reacties.


Het (bekende ?) regeltje.

Vooral degenen die opgevoed zijn met de traditionele rekenmethodes zullen meteen zeggen: “Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde”. Als één van de (vele) kritiekpunten om de huidige realistische rekenmethodes geldt dat deze regel niet meer gekend wordt omdat de breuken in het verdomhoekje zijn geraakt. Het tij lijkt wat dat betreft weer te keren, getuige bijvoorbeeld de volgende pagina uit een boek van Getal & Ruimte:



Er was één opvallende reactie, die stelde dat het vermenigvuldigen met 4 als je moet delen door ¼ een regel “by common agreement” was. Dus geen “why” maar just “because” en zo heeft misschien menig scholier deze regel ook geleerd en toegepast. Dat is zo omdat het zo is en doe het nou maar want dan klopt het antwoord.

Vanzelfsprekend?

Misschien is het dat op grond van de redenering (een soort definitie van delen: als p : q = r dan is
r x q = p en andersom) : als a ÷ 1/b = c dan is c × 1/b = a wat betekent dat c = a × b (tussenstap: links en rechts x b, dus c x 1/b x b = a x b). Maar dat is geen triviale zaak, zeker niet voor leerlingen van de basisschool en dus wat mij betreft dus geen standaardafspraak zonder verder bewijs of uitleg. Anders zou het net zoiets zijn als het uit je hoofd opleren dreunen van de tafels alsof het psalmversjes (googel maar eens op "huldebiet") betrof zonder te snappen wat dat vermenigvuldigen nu precies inhoudt, bijvoorbeeld wel hardop kunnen zeggen “twee keer drie is zes” zonder ook maar enige begrip van en inzicht in ••• + ••• = •••••• (ofwel 2 x 3 = 3 + 3 = 6)

Het waarom.

Maar waarom is het dus, dat als je deelt door een breuk, je net zo goed kunt vermenigvuldigen met het omgekeerde.? Omdat dat gemakkelijke gaat of is er ook een logische verklaring voor?
Nou, er zijn er verschillende te geven.
Bijvoorbeeld omdat delen door 1 een stuk gemakkelijker is. Zorg dus dat de deler 1 wordt door deeltal en deler met hetzelfde getal te vermenigvuldigen. (1/2×4)÷(1/4×4)=(1/2×4)÷1=1/2×4. (je laat uiteindelijk ÷ 1 weg) of nog anders: 1/2 staat tot 1/4 is als 1/2 × 4 staat tot 1/4 x 4 dus als 2 staat tot 1. 
Je kunt het ook op een andere manier uitleggen.  Omdat uit 4 x 3 = 12 volgt dat 12 : 3 = 4 kun je zeggen: 
2 × 1/4 = 1/2 en dus 1/2 ÷ 1/4=  2. Dat laat wel zien dat : 1/4 neerkomt op x 4, maar verklaart helaas niet echt die factor 4 die het delen door 1/4 vervangt. En dit idee gaat lang niet altijd op.

Of op deze manier.

Een andere manier van uitleggen dan. Dat gaat met het Amerikaanse muntstelsel gemakkelijker dan met het Europese. In de USA hebben zo quarters (zoals onze kwartjes vroeger), half dollar munten, dollar-munten en -biljetten en 2 dollar-biljetten.
 

Hoeveel quarters gaan er in een half dollar? dus 1/2 : 1/4. Dat is bijna dezelfde vraag als: hoeveel half dollars gaan en in een dollar. Je verdubbelt de bedragen/getallen: 2 x 1/2 :  2 x 1/4.
En had je de bedragen/getallen verviervoudigd, dan kreeg je de vraag: hoeveel dollar gaan er in 2 dollar?
 ½ ÷ ¼ = 1 ÷ ½ = 2 ÷ 1.
Dat doet (weer) denken aan onze verhoudingstabellen.
Iets algemener.

Een wat algemenere benadering van “delen door een getal” geeft de volgende redenering:
a ÷ b = a × 1 ÷ b = a × 1/b , dus de regel is in feite: delen door een GETAL is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde. De regel geldt dus niet alleen voor breuken maar voor èlk getal waar je door deelt. Natuurlijk is elk geheel getal ook als een breuk te schrijven, maar toch: de regel is zo algemener.
Om 4 pizza’s over 7 personen te verdelen kun je als volgt te werk gaan: verdeel eerst elke pizza in 7 gelijke delen en neem van elke pizza één deel per persoon:  4 ÷ 7 = 4 × 1/7 .



Deze redenering vond ik bij Jan van de Craats. https://staff.science.uva.nl/j.vandecraats/#breukencursus
Dat 4 : 7 ook 4 x 1/7 is, is misschien een open deur of een omweg omdat je ook meteen zonder pizza’s wel wist dat 4 : 7 = 4/7 , maar als je 2/3 : 5 wilt uitrekenen dan is dit wel gemakkelijk: 
2/3 : 5 = 2/3 x 1 : 5 = 2/3 x 1/5 = 2/15.

Delen anders definiëren?

Je zou a ÷ b = a × 1/b als een soort definitie van delen kunnen poneren, maar naar mijn idee is delen dan een abstract en een betekenisloos begrip geworden dat niet intuïtief aansluit met wat delen in de praktijk inhoudt.
Op de manier waarop Jan van de Craats deze regel liet zien met pizza’s krijgt het wel iets vanzelfsprekends. Hij formuleert het zo: “Delen door een heel getal is hetzelfde als vermenigvuldigen met de bijbehorende breuk met teller 1.
Voorbeeld: 5 : 7 is hetzelfde als 5 × 1/7”.

Nog een uitleg.

Jan van de Craats merkt op dat als je een getal eerst vermenigvuldigt met 5, en de uitkomst daarna weer door 5 deelt, dan krijg je het getal weer terug waar je mee begonnen was: 
7 × 5 : 5 = 35 : 5 = 7 Dat geldt voor alle getallen, dus ook voor breuken!
Al eerder merkte hij op dat vermenigvuldigen met 4/7 hetzelfde is als eerst vermenigvuldigen met 4, en dan delen door 7, dus bijvoorbeeld 3 x 4/7 = 3 x 4 : 7. 
Bij deze vermenigvuldigen met 4/7 moet je om op het begingetal 3 uit te komen de vermenigvuldiging weer ongedaan maken, 3 x 4/7 : 4/7 = 3. Dus dan moet je delen door 4 en vermenigvuldigen met 7, ofwel vermenigvuldigen met 7 en delen door 4. 
Dus 3 x 4 : 7 x 7 : 4  = 3, ofwel  3 x 4/7 x 7/4 = 3

3 x 4/7 : 4/7 = 3 is dus hetzelfde als 3 x 4/7 x 7/4 = 3. 
Delen door 4/7 is hetzelfde als vermenigvuldigen met 7/4!

Dus “In het algemeen: delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk.” Aldus Jan van de Craats’ uitleg van de regel.

En zo leerde ik het:
Als uitsmijter Pete Seeger over het eeuwige waarom “Why oh why?” “Because, because!”
https://www.youtube.com/watch?v=KbzOPQO40Ps

TOEVOEGING: Één van de reacties op de vraag van Steven Delpome (@NA_Dellsey op Twitter) (die hij stelde, omdat één van z'n kinderen van school thuiskwam met die vraag) luidde: 
a/(1/b) asks ‘how many times does 1/b go into a?’. To answer, we recognize that 1/b goes into 1, b times. And 1 goes into a, a times. So 1/b goes into a, ab times.  Thus a/(1/b)=ab. Clear as mud.














donderdag 11 januari 2018

Een paar wiskundige trucjes ontsluierd.


Wiskundig trucje I

Een getal bestaat uit 3 cijfers, waarvan het cijfer voor de honderdtallen groter is dan het cijfer voor de eenheden.
Bijvoorbeeld het getal 321.
Keer het getal om. je krijgt 123.
Trek het tweede getal van het eerste af:  321 – 123 = 198.
Keer dit antwoord om. Je krijgt 891.
Tel het laatste getal bij dat antwoord op: 198 + 891 = 1089

Er komt op deze manier bij een getal met drie cijfers altijd 1089 uit, als het cijfer voor de honderdtallen naar groter is dan het cijfer voor de eenheden.
Dus:

  312
  123
  099      (je moet de 0 wel noteren!)
  990 +
1089

Hoe kan dat?

abc         wordt  omdat c < a en b-1 < b    vanwege het lenen         a – 1   b – 1 + 10   c + 10
cba                                                                                                                c                  b           a    
                                                                                                                   a-1-c   b-b-1+10   c+10-a              

( b-b-1+10 = 9, er zijn dus na deze stap altijd 9 tientallen)

de volgende stap
   a-1-c   9   c+10-a
c+10-a   9     a-1-c +
        10   8           9

Want (tientallen)  9 + 9 = 18 = 8 + 10, 8 tientallen en 1 honderdtal
En (honderdtallen):  a-1+c + c+10-a = 9 en daar komt 1 honderdtal bij.                                                                                                                                             

Wiskundig trucje II

Nummer links en rechts de vingers van je hand van 6 tot en met 10. (de duim is 6, de pink is 10)
Houd nu een vinger links tegen een vinger rechts.
Het product van de getallen op de beide vingers blijkt nu gelijk te zijn aan:
Wat betreft de tientallen
Tel het aantal vingers vanaf de duim (6) t/m de vinger met het gekozen getal links en tel dat op bij het aantal vingers rechts vanaf de duim (6) t/m de vinger met het gekozen getal.
Wat betreft de eenheden:
Vermenigvuldig het aantal niet getelde vingers links met het aantal niet getelde vingers rechts.

Bijvoorbeeld:   6 x 9 = 54

 
   

Links is het aantal vingers tot en met de 6 dus 1.
Rechts is het aantal vingers tot en met de 9 dus 4.
1 + 4 = 5  en 5 x 10 = 50

Links zijn er nog 4 niet geteld en rechts is dat er 1.  4 x 1 = 4
En inderdaad: 50 + 4 = 54

Hoe kan dat?

Op de x-de vinger, vanaf de duim geteld, staat het getal x + 5.
Dus als je links de x-de vinger en rechts de y-e vinger kiest, dan is het product:
(x + 5) (y + 5 ) = 25 + 5x + 5y + xy.

Je hebt links dus x vingers geteld en 5 – x vingers niet geteld. Rechts y resp. 5 – y .

x + y  tientallen levert voor het product: (x + y) x 10 = 10x + 10y
De eenheden leveren voor het product (5 – x) (5 – y) = 25 – 5x – 5y + xy                                                                                                                                                                                                                                         
Het getal is dus  10x + 10y + 25 – 5x – 5y + xy = 25 + 5x + 5y + xy

De cirkel geblokt?

Op Facebook plaatste Wiskundelessen het volgende probleem.

Ik vond de volgende oplossing:




donderdag 4 januari 2018