Gepensioneerd en toch nog tijd om te bloggen.

Een aanvulling op twitter-account @eskorthof en dan met meer dan 140 tekens.

maandag 27 juni 2016

Afstemming examens, curricula en syllabi bij wiskunde.


Vind jij wiskunde examens slecht afgestemd op de curricula?
Staan er vragen in examens die niet in syllabi staan?
Een paar vragen die op Twitter voorbijkwamen.

Hoewel ik als gepensioneerd docent verder af sta van de huidige praktijk en meer ervaring heb in HAVO wiskunde B en VWO wiskunde A wil ik vanuit mijn ervaring als docent en nadien vanuit het volgen van het wiskundeonderwijs en de examens, waarover ik in Euclides publiceerde, hierover wel enkele uitspraken doen.

Syllabi

Ik vind dat in de syllabi slechts een globale, redelijk beknopte en vrij algemene omschrijving gegeven wordt van de curricula die momenteel vigeren in het wiskunde-onderwijs in het VO. Het is een afbakening met rafelranden waarbinnen de speelruimte niet al te expliciet wordt weergegeven.
Er zijn aan de syllabi wel de nodige voorbeeldopgaven toegevoegd die een idee moeten geven van hoe die eindtermen moeten worden ingevuld en begrepen en met lijsten zoals “Algebra: specifieke en algemene en vaardigheden” wordt wel ongeveer duidelijk hoe bepaalde eindtermen bedoeld zijn, maar toch blijft er veel te gissen over, zoals in de (examen-)praktijk blijkt.
Wat ik bijvoorbeeld mis in de syllabi zijn volledige uitwerkingen van de voorbeeldopgaven op de manier zoals dat in de correctievoorschriften gebeurt, en eigenlijk nog uitgebreider dan daarin. Desnoods met een aantal alternatieven, zodat duidelijk is wat er verwacht kan of mag worden bij de gestelde vragen. Iets wat in de wiskundeboeken wel gebeurt, maar dan geautoriseerd door de schrijvers en niet de curricula-opstellers.

Boeken

Het lijkt er dus op dat de gedetailleerde uitwerking van de eindtermen is overgelaten aan de boekjesschrijvers, die overigens op hun beurt, naar ik begrepen heb, wel breder en dieper hebben kunnen kennismaken met de bedoelingen die de eindtermenopstellers en syllabischrijvers hadden met hun stofomschrijving. En (groten-)deels is daarbij natuurlijk voortgebouwd op een jarenlange traditie van wiskunde-onderwijs en derzelver didactiek.
De wijze waarop de eindtermen in de boeken zijn verwerkt kleuren uiteindelijk het onderwijs zoals dat in de klas gegeven wordt. En de docent geeft aan de inhoud van die boeken weer zijn eigen kleurnuances mee. De kleur die een docententeam aan zijn wiskunde-onderwijs wil geven wordt bepaald door de keuze van de methode. Toen ik in de jaren 70 als docent begon was er een duidelijk kleurverschil tussen “Moderne Wiskunde” en “Getal & Ruimte” en sindsdien zijn er methodes gekomen en gegaan die probeerden vanuit verschillende invalshoeken een eigen kleur te geven aan het wiskunde-onderwijs, maar ik krijg de laatste jaren de indruk dat de methodes allemaal een beetje naar elkaar toegegroeid zijn.

Docenten

Vanuit de wijze waarop een docent de wiskunde, met het boek in de hand, aan de leerling overbrengt zal hij zoeken naar de best aansluitende manier om die kennisoverdracht te toetsen.
Met andere woorden, je kunt ervan uitgaan dat het schoolexamen door de docent afgestemd wordt op hoe hij het vak onderwezen heeft en hoe de leerling bij het verwerven van zijn kennis kon terugvallen op het boek.
De curricula en de syllabi zijn daarbij niet de directe bronnen waarop de docent zich baseert, ze zijn als het ware gefilterd door de wijze waarop de methode ze heeft verwerkt. In dit verband is op te merken dat dat niet bij elke methode op precies dezelfde wijze gebeurt gezien de verwijzingen in het examenforum naar de eigen boeken, als er verschil van interpretatie bestaat van een correctievoorschrift.
Overigens kent iedere docent de ervaring dat een toets de mist in ging omdat hij te lang was of te moeilijk bleek, een vraag onduidelijk of soms onjuist of hoe dan ook, ondanks collegiale intervisie. Een vraag dan niet meetellen, de normering aanpassen of een herkansing bieden, het zal allemaal bij iedereen wel eens voorgekomen zijn.

Examenbundels

Natuurlijk zal de docent zich ook richten op het reservoir van examenopgaven en correctievoorschriften dat hem, in de leerling, ter beschikking staat. Die zullen ook mee de kleur bepalen van de lessen en van het schoolexamen. Een oude examenopgave is, met enige aanpassingen of beperkingen, vaak goed bruikbaar in een SE. Maar tijdens het bergbeklimmen zelf kun je het vaandel dat je op de top wilt plaatsen nog niet ontrollen.
Mijn ervaring met examenbundels, en met name de uitwerkingen daarin is, dat het soms nodig is om een “vertaalslag” te maken van wat er in de bundel staat naar zoals het op het bord stond. Daaruit blijkt wel, dat er binnen de wiskundewereld bepaald geen eenduidigheid bestaat over hoe een vraag beantwoord mot worden. In grote lijnen wel, maar in detail is er vaak discussie mogelijk zoals de examenbesprekingen en het examenforum ook genoegzaam duidelijk maken.

Examens

Als je de examenopgaven in de loop der jaren bekijkt, en dat kan eigenlijk heel goed met die examenbundels in de hand, dan krijg je de indruk dat zo langzamerhand het reservoir van standaardvragen zo’n beetje op begint te raken en de angst om in herhaling te vallen tamelijk groot lijkt te zijn. Met andere woorden, de vragen vertonen een tendens om steeds gekunstelder te worden en met name de contextopgaven lijken steeds vergezochter. De afstand tot de boekenwiskunde lijkt groter te worden. “Vroeger” had ik het idee dat er een soort verzameling van standaardvragen was die in de boeken voorbereid werden en in een (on)regelmatige cyclus terugkeerden in de een of andere, aangepaste en herschreven, vorm. Dan had je de klacht dat er bijvoorbeeld alweer geen gonio in zat of er weinig aan logaritme in het examen te vinden was. De variatie is tegenwoordig complexer.
Overigens leveren de examenartikelen in Euclides in de loop der jaren mogelijk een betere totaalindruk dan deze toch wel een beetje natte-vinger-achtige opmerkingen mijnerzijds.

Afstemming

Of bovenstaande nu betekent dat de vragen minder afgestemd zijn op de curricula is niet gemakkelijk te beantwoorden, juist ook omdat die curricula redelijk ruim geformuleerd zijn. Met de syllabi in de hand kun je nog heel wat kanten op en een vraag afschieten omdat deze niet overeenkomt met de syllabus levert wellicht meer discussie dan duidelijkheid op. Ik heb wat dat betreft overigens geen echt duidelijke afwijkingen in examens gezien van wat er in de eindtermen gevraagd wordt, maar vanwege de genoemde rafelranden blijven er in sommige gevallen altijd wel vaagtekens bestaan. Afgezien natuurlijk van foute formuleringen of uitwerkingen, die in de examenfora regelmatig gekritiseerd worden. Maar dan gaat het minder om afstemming op eindtermen dan om miskleunen.
In deze discussie speelt natuurlijk ook een ander thema een rol, namelijk: waren er voeger minder klachten, of nog liever: was er vroeger minder aanleiding om te klagen? Stonden de eindexamens een aantal jaren geleden minder ter discussie dan nu? Daarop kan ik geen uitsluitend antwoord geven, maar ik wijs er wel op dat zoiets als een examenforum een verworvenheid is van de laatste decennia. Zo’n forum zal het registreren en misschien ook het stimuleren van klachten zeker niet verminderd hebben. Ook een instituut als het LAKS en überhaupt de toename van de mondigheid van zowel docent als leerling zal bevorderend gewerkt hebben.

Aanpassing

Uiteindelijk zijn het de docenten die de leerlingen opleiden en hen toetsen op hun kennis. Dat de te verwerven kennis zinvol vastgesteld en duidelijk omschreven dient te zijn moge duidelijk zijn. Dat behalve de docent zelf ook centraler getoetst wordt of die kennis volgens de omschrijving aanwezig is is ook een gegeven waar ik niet aan torn. Maar dat de docent en de leerling bij dat centrale toetsen moet weten waar hij of zij aan toe is, dat staat als een paal boven water. En dat houdt in dat er een duidelijke en controleerbare link moet bestaan tussen wat er moet worden onderwezen, wat de docent doet, hoe het in de klas gebeurt, hoe het in de boeken staat en wat er uiteindelijk op een centraal examen geëist en gevraagd wordt. De kritiek die op de kennelijke afwezigheid van die link, of het slecht functioneren ervan, bestaat dient gehoord en gehonoreerd te worden.
De blogs die daaraan gewijd zijn verdienen derhalve alle aandacht.


P.S. Aan de inhoud en het samenstellen van curricula, wat, wie en hoe, wil ik hier voorbijgaan. Het gaat mij hier meer om het examineren zelf en het proces daaromheen, hoe de curricula ook luiden of tot stand kwamen.




dinsdag 7 juni 2016

GR en CE bij wiskunde B HAVO en VWO

links naar examens en correctievoorschriften:

Gebruik GR in CE VWO wiskunde B 2016 (1e tijdvak)

Alleen de vragen 2 en 5 steunen zwaar op het gebruik van de GR.
Bij vraag 5 is 1 van de 3 punten te verdienen zonder GR en bij vraag 2 is dat 1 van de 5 punten (nog afgezien van het feit dat je de afgeleide van de functie die al in vraag 1 gevraagd wordt nodig hebt).
Bij vraag 3 komt de GR alleen aan het eind te pas, na het nodige algebraïsche voorwerk, dat 4 van de 6 punten oplevert. Bij vraag 6 levert het voorwerk 2 van de 4 punten op.
Overigens kan gesteld worden dat het gebruik van de GR in vraag 2, 3 en 5 een omslachtig intoetsen van formules vraagt, wat op zich niets toevoegt aan het niveau van het examen.
De lengte van een kromme bepalen met een integraal zoals bij vraag 2 zal bij de meeste functies niet lukken zonder GR. Op zich is vraag 2 een acceptabele vraag.
Het bepalen van de vergelijking van een parabool bij vraag 3 was op zichzelf een mooie vraag, de rest van de vraag is stom knoppenwerk.
De vraag naar de afgeleide van z bij vraag 6 is te stellen, het berekenen van de maximale zuigersnelheid was een miskleun, waarover al de nodige staffen gebroken zijn. Misschien het doorrekenen met de tweede afgeleide een beter, wiskundig, perspectief geboden
Aan de overige vragen komt geen GR te pas.
Dat komt neer op 4 van 17 vragen met gebruik van GR, dat is nog geen 24 %, maar als we naar de punten kijken zijn er 9 van de 77 punten te verdienen met een juist gebruik van de GR, dat is de helft minder, nog geen 12 %.
Er zij de laatste jaren examens geweest waar de GR minder aan te pas kwam of minder omslachtigheid vroeg. Maar dat de GR te aanwezig of bepalend was voor dit examen kan moeilijk gesteld worden.
De mogelijkheid om vragen te stellen waaraan de GR niet te pas komt kan zeker (nog) beter benut worden dan dit jaar, in principe is 100 % mogelijk en voor dit niveau ook wenselijk. De mogelijkheid om vragen te stellen waarbij de GR een zinvolle rol speelt is dit jaar zeker niet erg benut.
Wat betreft het niveau van dit examen kreeg ik de indruk dat de kandidaten vrij stevig werden aangesproken op hun kennis en vaardigheden, er zaten pittige vragen bij, waar je je niet met een Jantje van Leijden af kon maken.

Gebruik GR in CE HAVO wiskunde B 2016 (1e tijdvak)

In dit examen worden regelmatig berekeningen gevraagd die ook met een gewone rekenmachine gedaan kunnen worden en geen gebruik maken van specifieke GR-opties.
Dat geldt bijvoorbeeld voor het percentage in vraag 1, de oppervlakte in vraag 3, de periode in vraag 7 en ook de P-waarden in vraag 9. Ook de vragen 12 en 14 zijn rekenvragen, waarvoor alleen een gewone rekenmachine nodig is. (wat in ieder geval duidelijk maakt dat een rekentoets een overbodigheid is op dit niveau)
Er zijn in feite alleen in vraag 5, 6, 8 en 13 specifieke GR-opties, het oplossen van een vergelijking, nodig. Dat betreft 15 van de 77 punten, waarvan overigens 7 voor het voorbereidende werk worden toegekend.
Dat wil zeggen, dat ruim 10 % van de punten met echte GR-vragen verdiend kunnen worden.
De rekenvragen, voor zover het echt rekenmachinerekenwerk vraagt, leveren wat dit rekenwerk zelf betreft ongeveer 15 punten op (bij vraag 1 en 3 is het een en al optellen en vermenigvuldigen aan de hand van ruimtelijke figuren).
Een enkele van deze rekenvragen zou niet misstaan in een HAVO wiskunde A-examen, zoals de vragen 12 en 14.
Vraag 7 (periode) en 9 (inzicht in een sinusoïde) passen goed bij het niveau van HAVO wiskunde B, wat ook geldt voor vraag 15, waar het logaritmebegrip wordt getoetst, en de logtoets gebruikt.
Zo kom ik op 12 à 13 vragen zonder GR of "gewoon" rekenwerk, dus meer "wiskunde" dan wat anders, rond 60 tot 65 %. Echt GR-werk was er in 20 % van de vragen.
HAVO wiskunde B bevatte voor het laatst ruimtemeetkunde-vragen, de Blokkendoos (en geen balkendoos) met 9 punten en vragen over een prisma met 9 punten.
Het accent lag te veel op het rekenwerk, maar niet te veel op de grafische rekenmachine. Er had meer algebra en analyse in mogen zitten. Het gebruik van de GR was voor dit niveau gepast, hoewel er best ook wat meer eigen vaardigheid bij het oplossen van vergelijkingen en andere algebraïsche vaardigheden gevraagd had mogen worden.