Gepensioneerd en toch nog tijd om te bloggen.

Een aanvulling op twitter-account @eskorthof en dan met meer dan 140 tekens.

woensdag 13 februari 2019

Magisch spel met enen.





In feite is hier uitgerekend (108+ 107 + 106 + 105 + 104 + 103 + 102 + 101 + 100)2

Bekend is het kwadrateren van bijvoorbeeld (a + b + c + d). 
Dat levert kwadraten en dubbele producten op:
(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

De uitkomst van 111111111 2  is een getal met 17 posities (iets groter dan 1016, een 1 met 16 nullen)

Op de eerste positie komt een 1, namelijk de coëfficiënt van (108)2 = 1016

Op de tweede positie komt de coëfficiënt van  1015.
Die komt van de term met het dubbele product 108 x 107 dus dat wordt 2.
(met tweetallen uit de reeks 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 kun je alleen 15 vormen met 8 + 7)

Op de derde positie komt de coëfficiënt van 1014.
Die komt van de termen: het kwadraat van 107 en het dubbele product 108 x 106 dus dat wordt 3

Op de vierde positie komt de coëfficiënt van 1013.
Die komt van de dubbele producten 108 x 105 en 107 x 106 en dat wordt dus 4

De coëfficiënt van 1012 is 1 + 2 + 2 =  5, want 12 kun je schrijven als 6 + 6 (kwadraat), 8 + 4 en 7 + 5 (dubbele producten)
De coëfficiënt van 1011 is 2 + 2 + 2 = 6, want 11 kun je schrijven als 8 + 3, 7 + 4 en 6 + 5
De coëfficiënt van 1010 is 1 + 2 + 2 + 2 = 7, want 10 kun je schrijven als 5 + 5, 8 + 2, 7 + 3 en 6 + 4

Merk op dat in de dubbelproducten de termen 101 en 100 tot hier niet aan de orde komen. Die komen eerst nu te pas:

De coëfficiënt van 109  is 2 + 2 + 2 + 2 = 8, want 9 kun je schrijven als 8 + 1, 7 + 2, 6 + 3 en 5 + 4.

De coëfficiënt van de “middelste” term met macht 108 is 1 + 2 + 2 + 2 = 9, want 8 kun je schrijven als 4 + 4, 8 + 0, 7 + 1, 6 + 2 en 5 + 3. 

Na 108 worden de coëfficiënten weer kleiner omdat het getal van de steeds lagere exponent alleen kan worden gevormd door steeds lagere getallen uit de reeks 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

De coëfficiënt van 107 is 2 + 2 + 2 + 2 = 8 want 7 kun je schrijven als 7 + 0,  6 + 1, 5 + 2 en 4 + 3

Je kunt ook achteraan beginnen:

Op de laatste positie komt een 1, namelijk de coëfficiënt van (100)2 = 1
Op de op één na laatste positie komt de coëfficiënt van 101 = 10
Die komt van term met het dubbele producten 100 x 101 dus dat wordt 2.
Op de volgende positie komt de coëfficiënt van 102.
Die komt van de termen: het kwadraat van 101 en he dubbele product 100 x 101

In het algemeen:                             
(10n + 10n-1 + 10n-2 + … + 102 + 101 + 100)2
102n       heeft coëfficiënt 1
102n-1     heeft coëfficiënt 2           10n x 10n-1 + 10n-1 x 10n
102n-2      heeft coëfficiënt 3           10n-1 x  10n-1 + 10n x 10n-2 + 10n-2 x 10n
enzovoort
Voor de “middelste” coëfficiënt moeten we onderscheid maken tussen een even en oneven aantal enen.

Oneven aantal enen.

We gaan uit van 2n + 1 enen. 
(102n + 102n-1 + 102n-2+ … + 102 + 101 + 100)2 
De “middelste” term bevat de macht  102n
Die wordt gevormd door het kwadraat van 10n
en de dubbele producten met machten met exponenten 2n + 0, 2n-1 + 1, 2n-2 + 2, 2n-3 + 3 t/m  
n+1 + n-1 dus n dubbele producten.
Dat zijn welgeteld 1 + 2n termen. 
Dus bij een oneven aantal enen staat in het middel van het kwadraat het getal 2n + 1.
Dit geldt alleen voor n = 0, 1, 2, 3, 4

Even aantal enen.

Bij (102n+1 + 102n + 102n-1+ … + 102 + 101 + 100)2 is het aantal enen even.
De “middelste” heeft ook hier de macht met exponent 2n+1.
Die wordt gevormd door de dubbele producten met machten met exponenten 2n + 0, 2n-1 + 1, 
2n-2 + 2, 2n-3 + 3 t/m  n+1 + n-1. Dat zijn n dubbele producten, dus 2n termen. 
Dus de “middelste” tem heeft coëfficiënt  2n.
Dit geldt alleen voor n = 1, 2, 3, 4

Want met 10 enen krijg je (helaas):

1111111111 x 1111111111 = 1234567900987654321

Van rechts af bekeken: de 0 van de 10 staat er wel, maar de 1 van de 10 komt bij de 9 links ervan opgeteld, dus die veranderd weer in 10, waarvan je weer alleen de 0 ziet, terwijl de 1 weer opgeteld wordt bij de linkerbuur 8 en dus 9 wordt. Daarna loopt het weer zoals het zou moeten.