Huisvlijt en open dagen.

Op https://1drv.ms/f/s!As6DtSsUWoCrgZIHUrflsHqH4UNrFA heb ik een paar pdf's geupload van figuren die ik in de loop der jaren getekend heb en uitvergroot aan de wand van mijn klaslokaal  heb gehangen.

Tenminste, het bestand aowiskunde.001 is geen illustratie maar een (bekend) puzzeltje om van een vouwblad een kubusje in elkaar te vouwen. Dat was altijd een leuk weggevertje op de open dag.

aowiskunde002 is een poging om uit te leggen waarom je bij een piramide de inhoud berekent met de formule 1/3 x oppervlakte grondvlak x hoogte. Het maakt een beetje plausibel waar die 1/3 op gebaseerd is.
Het aardige bij deze kubus-verdeeld-in-drie-piramides is dat een vmbo-collega wiskunde zijn handige timmer-collega wist te inspireren tot het maken van een driedimensionaal model: je kon de kubus uitklappen tot de drie piramides.
Toen de verbindingen kapot gingen en de drie piramides los van elkaar raakten hebben we het model ook nog vaak dankbaar gebruikt op Open dagen: maak van die piramides maar eens een kubus...

aowiskunde003 is nog uit de "gouden dagen" dat we in HAVO wiskunde B nog druk bezig waren met het tekenen van doorsneden. Ik heb het voor de leerlingen gemaakt als een "exstention" bij een tekenopgave uit het boek. Daar had je een mooi werkschrift bij.

Ik had dit spul ook in de prullenbak kunnen gooien maar ergens was het me daar toch te dierbaar voor!

En, ach ja, die open dagen!
 



(a + b)^2 , (a + b)^3 , Pascal, Pythagoras, Newton en Fermat.

Het berekenen  van  (a + b)² kan op verschillende manieren verduidelijkt worden.

 

(a + b)² = (a + b) (a + b)

 

Via de distributieve eigenschap  a (p + q ) = a · p + a · q, kortweg geschreven als ap + aq

is  (a + b) (a + b) te schrijven als  (a + b) · a + (a + b) · b

en dankzij de commutatieve eigenschap van het vermenigvuldigen  ( 2 × 3 = 3 × 2 )  als

a (a + b) + b ( a + b) =  a · a  +  a · b + b · a + b · b = a² + 2ab + b²

 

Je moet van het product (a + b) (a + b) de a en de b uit de linkerfactor elk vermenigvuldigen met de letters uit de rechterfactor:  a .a + a . b + b · a + b · b

 

De Driehoek van Pascal  laat ook mooi zien wat er gebeurt:

Je begint bovenaan met het getal 1. Ga je linksaf dan betekent dat "× a", ga je rechtsaf, dan betekent dat "× b".

In het midden komen twee wegen samen,  die beide ab opleveren.

 

 

Het kwadraat (a + b)²  kan ook heel mooi geïllustreerd worden met een vierkant  (vier even lange zijden en vier rechte hoeken).

 

 

P, Q, R en S liggen op de zijden van vierkant ABCD zo, dat  AP = BQ = RD = SA.

Dan is PB = QC = CR = DS.

Stel AP = a en PB = b, dan is de zijde van het vierkant gelijk aan a + b en de oppervlakte (a + b)²

 

De lijnen PR en SQ verdelen het vierkant in twee kleinere vierkanten met oppervlaktes  a² en b² en twee even grote rechthoek met zijden a en b en oppervlakte ab.

 

Het is nu duidelijk dat (a + b)² = a² + 2ab + b².

 

Het vierkant ABCD kan ook anders verdeeld worden: K, L, M en N liggen op de zijden van het vierkant zo, dat AK = BL = CM = DN. Dan is  KB = LC = MD = NA

Stel AK = a en KB = b, dan is de zijde weer gelijk aan a + b en de oppervlakte is weer gelijk aan

(a + b)² = a² + 2ab + b².

De lijnstukken KL, LM, MN en NK verdelen het vierkant in vier even grote rechthoeken, met elk als oppervlakte ½ ab dus in totaal 2ab, en een vierhoek KLMN.

 

Nu is KLMN weer een vierkant

(zijden van congruente driehoeken en elke hoek is 180^o - * - ● = 90 ^o )

 

De oppervlakte  van vierkant KLMN is gelijk aan de oppervlakte van vierkant ABCD verminderd met de oppervlakte van de vier driehoeken.

 

Stel KL = c. dan is de oppervlakte van vierkant KLMN gelijk aan  c² en geldt er:

 

c² = (a + b)² – 2ab en dus is c² = a² + b² , de Stelling van Pythagoras.

 

Er zijn heel wat gehele positieve getallenparen te vinden, waarvoor de stelling geldt: 3, 4 en 5 of 5, 12 en 13 of  8, 15, 17.

En natuurlijk ook oneindig veel reële getallen: 1, 2 en √5  of  √3, √5 en 2√2.

Als lengetn horen ze allemaal bij rechthoekige driehoeken.

 

En nu (a + b)^3.

 

Bekijk de kubus en ontdek dat de inhoud ervan (a + b)³ is.

In de kubus bevinden zich twee kleinere kubussen met  ribbe a resp. b, dus inhouden a³ resp. b³.

 

Aan de kubus met ribbe a zitten drie balken vast met zijden a, a en b en dus inhoud a²b.

Aan de kubus met ribbe b zitten drie balken vast met ribben a, b en b en dus inhoud ab².

 

Hieruit volgt dat  (a+b)³ = a³ +3 a²b + 3 ab² + b³

 

In feite moet voor (a+b)³ het product (a + b) (a + b) (a + b)  uitgewerkt worden, dus

(a + b) (a + b) · a + (a + b) (a + b) · b = (a² + 2ab + b²) · a + (a² + 2ab + b²) · b enz.

 

 

De uitwerking van de tweede en derde macht van (a + b) met de driehoek van Pascal is in feite natuurlijk niets anders dan een toepassing van het Binomium van Newton.

 

 

En is er nu ook een stelling die zegt dat a³ +b³ = c³?

Zou je bijvoorbeeld de kubus van hierboven ook verdelen kunnen in een deelkubus met inhoud c³ zodat een aantal lichamen ontstaat met totale inhoud 3a²b + 3ab², zodat c² = (a + b)³ - 3a²b  - 3ab² = a³ + b³ ?

 

De formule geldt bijvoorbeeld als je voor a, b of c de juiste 3^e-machtswortels kiest, bijvoorbeeld a = ³√3 en b = ³√5, dan is c = 2, of a = 2, b = ³√19, dan is c = 3. Maar drie positieve gehele getallen, dat lukte nog niemand.

Het zal dus ook niet erg lukken om zo'n kubus in een kubus te vinden, analoog aan het vierkant in het vierkant bij de stelling van Pythagoras hierboven.

 

Fermat vermoedde al dat er geen drie positieve gehele getallen a, b en c te vinden zijn waarvoor deze formule en alle formules van het type a ⁿ + b ⁿ = cⁿ  gelden, als n geheel is en n >2. Hij stelde een bewijs ervoor gevonden te hebben, maar dat is nooit aangetroffen. Er is jaren geprobeerd om dit vermoeden van Fermat te bewijzen en uiteindelijk schijnt het ook wel gelukt te zijn, maar zo triviaal als de Stelling van Pythagoras lijkt te zijn, zo ingewikkeld was dat bewijs voor het vermoeden van Fermat uiteindelijk te leveren.

Google je "De laatste stelling van Fermat, dan is er veel te vinden, bijvoorbeeld http://www.rekenmeemetabc.nl/?artikel=16

 

 

Kom je over het rekenen, dan kom je over de staart(deling).

Staatsecretaris Sander Dekker van OCW schijnt iets gezegd te hebben over de staartdeling. Wat hij precies zei weet ik niet meer, de tweet kon ik niet meer achterhalen, maar het kwam er op neer dat volgens hem dit algoritme niet uit het rekenonderwijs verdwenen was.
Daar kwam van enkele kanten de nodige kritiek op, hij zou jokken, want met de principes van het zogenaamde realistische rekenen, dat gebaseerd is op inzicht, begripsvorming en het ontwikkelen van eigen rekenstrategieën zouden alle algoritmes overboord gezet zijn.
Deze RR-soep wordt echter, als je de rekenmethodes erop naslaat, niet zo heet gegeten als hij lijkt te worden opgediend.  Daar waar de scholen en docenten zelf hun didactische keuzes kunnen maken en hun methodes kunnen kiezen blijkt dat er toch nog wel tamelijk conventioneel gerekend wordt of dat er naar tussenvormen gezocht is, die het best aansluiten bij docent en leerling.
Het leren kiezen van eigen rekenstrategieën door leerlingen sluit in feite ook in dat er naast nieuwe rekenvormen  ook "oude" algoritmen aangeboden worden, zodat de leerling inderdaad kan kiezen en eigen strategieën kan ontwikkelen. De ene leerling zal zich sneller zo'n, vaak nogal abstract, conventioneel algoritme eigen kunnen maken, de ander zal het rekenen eerder onder de knie krijgen als hij snapt waar hij mee bezig is via een realistische methode.

WORTELTREKKEN.
Ik herinner me dat op mijn lagere school een algoritme werd uitgelegd om de wortel uit een getal te bepalen. We konden dat "kunstje" toen feilloos nadoen, "we", dat waren de leerlingen die later naar de HBS gingen, de meeste anderen hadden er geen vat op. Het trucje was ik jaren later ook weer helemaal kwijt. Het kwam hier op neer:
Neem het getal 2809. 
Verdeel het van achteren naar voren in groepjes van 2 cijfers: 28 09
Zoek het hoogste kwadraat dat niet groter is dan 28, dat is dus 5² = 25.  (n.b. 50² = 2500, dus zit je met 50 al in de buurt)
We onthouden de 5 en trekken 25 van 28 af, blijft over 3.
We gaan verder met 309.
Zoek nu een getal dat begint met  2 × 5 = 10, dus 10..  zodat  10.. vermenigvuldigd met het getal dat op de puntjes staat niet groter is dan 309, dat is dus 3 want 103 × 3 = 309.
De wortel uit 2809 is dan 53.
De voortgang van dit algoritme is gebaseerd op (50 + x)² = 2500 + 100x + x² 
en  100x + x² = (100 + x) · x
maar daar wist ik op de lagere school natuurlijk niets van. Omdat ik dit principe niet snapte raakte ik de truc weer kwijt, maar kan hem nu op grond van kennis en inzicht restaureren en snap ik wat ik deed.
(Overigens, de wortel uit 11 gaat net zo, maar dan zet je achter de komma groepjes van twee nullen:
11, 00 00.
3² = 9 dus blijft over 2,00 00 (en 2 × 3 = 6)
6,.. ×  0,.. mag niet groter dan 2,00 00 zijn:   6,3 × 0,3 = 1,89, blijft over 0,11 00 (en 2 × 3,3 = 6,6)
6,6.. × 0,0..  mag niet groter zijn dan 0,11 00:   6,61 × 0,01 = 0,0661, blijft over 0,0439 (en 2 x 3,31 = 6,62 )
6,62.. × 0,00.. mag niet groter zijn dan 0,0439:   6,626 × 0,006 = 0,039756 enz.
De reeksontwikkeling van de wortel van 11 is dus 3,316…).

STAARTDELING.
Het begrip is  nog geen verleden tijd, de vorm is alleen veranderd, maar in wezen gebeurt er nog hetzelfde. En de didactiek die er achter steekt  om het anders op te schrijven en uit te leggen past in die van het tegenwoordige rekenen en legt ook uit wat er gebeurt.



 

De klassieke staartdeling staat in figuur 1.

Het hoe en waarom is niet in dit algoritme af te lezen. Je doet het gewoon zo.
En als je het antwoord niet gelooft, dan reken je gewoon terug. Zie figuur 2.
Dat terugrekenen is gebaseerd op   (a + b) ×  c = a × c + b × c (zowel de eenheden als de tientallen van 79 vermenigvuldigen met 314) en grappig is dat hier een vrij duidelijke intuïtieve toepassing plaatsvindt van de distributieve eigenschap en dat het feit dat de 7 staat voor 70 recht gedaan wordt.
In dat licht vind ik de methode van staartdelen van figuur 3 eigenlijk veel beter dan die van de klassieke manier.
Je ziet dat het om 300, 10 en 4 gaat, de opbouw  314. De betekenis van de cijfers, die bij de oude manier maar gewoon achter elkaar gezet werden, krijgen hier al doende onmiddellijk hun rekenkundige verklaring.
En iedereen die de klassieke manier geleerd heeft snapt onmiddellijk wat hier gebeurt. En omgekeerd vermoed ik dat iemand die deze nieuwe manier geleerd heeft en goed onder de knie heeft snel door heeft hoe de klassieke manier werkt en er misschien zelfs vanwege z'n compactheid al snel op over stapt, als dat nodig is.

HAPJES.

En dan komen we bij de laatste figuur, de methode waar door een aantal rekenkundigen en aanverwanten nogal over gevallen wordt of waar althans lacherig over gedaan wordt.
Als je op internet naar voorbeelden van deze methode zoekt, bijvoorbeeld http://www.youtube.com/watch?v=3wE3VN9_3dI  dan kan ik me die lacherigheid wel een beetje voorstellen, want het wordt me nogal een verhaal. Maar in principe gebeuren er dezelfde zaken als bij de methode van figuur 3, (en eigenlijk dus ook 1), alleen wordt er niet onmiddellijk, consequent en doelgericht gezocht naar de grootste factor, die het product met 79 dat niet groter maakt dan 248.
Maar de methode werkt wel en ik kan me heel goed voorstellen dat hij ook voor leerlingen die het allemaal niet zo snel hebben met rekenen heel bevattelijk is. Zie daarvoor iets verderop.
Heeft een leerling inmiddels door hoe het werkt dan lijkt me de stap naar figuur 3 snel te zetten en de wat slimmere leerlingen zullen dan gauw doorhebben dan het de moeite loont om naar die grootste factor  van 79 die het product niet groter dan 248 maakt te zoeken. Dan ben je immers sneller klaar.
En dan heb ik het nog niet eens over de rol van het schatten, dat bij dit soort sommen ook om de hoek komt kijken, daar deden we voeger niet zo erg veel op uit, we gingen gewoon "rekenen".
En ten slotte, stel je voor dat een kind een hoeveelheid voetbalplaatjes over een aantal leerlingen moet verdelen, bijvoorbeeld 276 plaatjes over 12 leerlingen.
Wat doet zo'n leerling? Die geeft elke leerling eerst bijvoorbeeld 5, ziet dat dat niet opschiet en geeft elk daarna 10.  En daarna bijvoorbeeld 4 en nog eens 4.  (Één voor één uitdelen ligt bij dit aantal niet erg voor de hand).
(Ja, zelfs bij het klaverjassen wordt er vaak zo, met "hapjes" gedeeld, hoewel de uitkomst al vast staat).
Pakt zo'n leerling een kladblaadje en gaat zij of hij zo'n deling op papier maken, op de één of de andere wijze? Dacht het niet (zo'n kind pakt nog eerder een rekenmachine…).
En wat doen wij als wij 24806 moeten delen door 79? Pakken we pen en papier? Maken we een nette staartdeling? Ik denk dat de greep naar de rekenmachine voor de meesten van ons meer voor de hand ligt!
Dat de staartdeling qua begrip en qua algoritme nog steeds aanwezig is in het PO kan  nagelezen worden op bijv. http://tm.thiememeulenhoff.nl/allestelt/pagina.asp?pagkey=33646

Conventioneel versus realistisch rekenen: voor mij ligt de "waarheid" in het midden. Vroeger was het ook niet alles net zo min als het in het huidige rekenonderwijs het realistisch rekenen je-van-het zou zijn.

Net zo goed als er tegen het rekenen van vroeger het nodige in te brengen is zal er ook  tegen het realistisch rekenen de nodige didactische kritiek mogelijk zijn, maar dat geldt omgekeerd ook in positieve zin.
Daar kan mee aan de slag gegaan worden en wordt ook mee aan de slag gegaan. De aanwezige rekenexpertises kunnen leiden tot beter rekenonderwijs als ze niet tegenover elkaar staan maar samen zoeken naar de beste synthese. Zie ook het slot van de brief van de staatsecretaris van 6 november over het verbeteren van de rekenvaardigheid. http://t.co/0DDuIA6qez
Maar het realistisch rekenen afdoen op grond van ongetwijfeld voorkomende vreemde rekenexcessen, losse uitspraken, voorbeelden of citaten, kennelijke fouten, onbedoelde onjuistheden, vergissingen en incidenten, gepaard gaande met sneren naar personen en instanties, dat schiet niet op.

De RRR weer in de maand: Rekenen, Rekentoets, Rekenmachine

WAT ER AAN VOORAFGING.

In zijn opstel “Rekentoetsen en de wetgever - een parlementair ongeval” (http://www.benwilbrink.nl/projecten/rekentoetsen_en_de_wetgever.htm) beschrijft Ben Wilbrink de geschiedenis van het ontstaan van het huidige rekenonderwijs, dat in de wandelgangen vaak als “realistisch rekenen” wordt aangeduid, en als een aanleiding noemt hij de New Math in de VS die dreigde over te waaien naar Europa.

Wat ik me ervan herinner is dat begin jaren 70 hier het wiskundeonderwijs helemaal op de schop ging met de introductie van de z.g. “moderne wiskunde” op de middelbare school en in het verlengde daarvan, of liever voorafgaande daaraan de z.g. wiskobas op de basisschool. Van die laatste vertelden bevriende onderwijzers me toen dat hen verteld werd dat deze verandering een politieke basis had: om de veronderstelde achterstand op de Sovjet Unie op technisch-wetenschappelijk gebied (na haar ruimtevaartsuccessen met de Spoetnik en Yuri Gagarin) zo snel mogelijk in te lopen.

Ook in andere landen van Europa is tegelijkertijd, op de toppen van de New Math-golven, nieuwe wiskunde van de grond gekomen. De Belgische exponent was de wiskundige Papy.

Kenmerkend van die moderne wiskunde was de verzamelingenleer als uitgangspunt. Wolters-Noordhoff lanceerde de methode “Moderne Wiskunde” waarin de boeken in de eerste leerjaren gebaseerd waren op de zogenaamde Schotse Methode, die nogal afweek van de toen traditionele algebra en meetkunde.

Op de markt verschenen daarom populairwetenschappelijke boekjes om ouders en verder wie er maar van kennis wilde nemen uit te leggen wat die moderne wiskunde inhield. Ondanks dat was dit het begin van het tijdperk dat ouders hun kinderen niet meer konden helpen bij het huiswerk omdat ze zelf de wiskunde vroeger anders geleerd hadden.

Die wiskobas heeft zich vanaf 1990 ontwikkeld tot contextrijk, realistisch rekenonderwijs, waarbij de nadruk ligt op begrijpen wat je doet en niet op het abstract inoefenen van rekenregels en rekenprocedures. De “moderne wiskunde” is opgeschoven naar realistisch wiskundeonderwijs dat leerlingen ertoe probeert krijgen dat ze (concrete) problemen en situaties kunnen oplossen met behulp van eigen strategieën en inzichten vanuit een kritische zin en dat ze zo gaan vertrouwen op eigen denkkracht en hopelijk is het plezier in wiskunde daarbij een gunstig bijeffect.

 

WEL AAN VERNIEUWING TOE…

Blijkbaar bood het reken- en wiskundeonderwijs voor 1970 geen of onvoldoende perspectief op een snelle effectieve verbetering van het opleidingsniveau van leerlingen in de exacte richtingen.

Als ik terugga naar mijn eigen schooltijd kan ik me alleen maar herinneren dat de rekenboekjes op de lagere school muf roken en dus kennelijk al jarenlang in gebruik waren. Ik leerde er prima rekenen mee, maar ik had niet het idee dat dat voor alle leerlingen in de klas gold. En ook de wiskundeboeken op de HBS wekten niet de indruk dat ze erg modern waren, al heb ik me prima door de stof daar geslagen. Maar ook daar waren voldoende leerlingen aan wie die wiskunde niet besteed was en die na 3 jaar ploeteren er weinig van meenamen om vervolgens een fraai HBS-A-diploma te halen. Je krijgt achteraf de indruk dat er een beetje cynisch werd omgesprongen met al die leerlingen aan wie dat rekenen en die wiskunde niet of minder besteed was. Nou, dan maar niet, we gaan wel verder met de bollebozen die het wel kunnen.

Met andere woorden, ik heb achteraf het idee dat het reken- en wiskundeonderwijs wel toe was aan vernieuwing. Zo’n 20 tot 25 jaar na de oorlog veranderden de tijden, de technologieën en de denkpatronen en was het inderdaad nodig om meer mensen voor het innemen van hun plaats in de samenleving een goede basisvaardigheid aan te leren op het gebeid van rekenen, wiskunde, techniek. De wiskundige en didactische vooroorlogse kaders voldeden niet meer. Of dat ook een basisidee achter de “reken- en wiskunderevolutie” van de jaren 70 is geweest, los van dat inlopen van die achterstand op de Russen, ik weet het niet, maar ik vermoed het wel.

WAS CONVENTIONEEL REKENEN VAN VROEGER BETER?

Ben Wilbrink refereert aan het kennelijke feit dat die “revolutie” is ingevoerd zonder het nodige empirische onderzoek naar werkzaamheid en veiligheid van het nieuwe middel. De nieuwe ideeën zijn door het Freudenthal Instituut volgens hem onmiddellijk in de praktijk geïntroduceerd en inmiddels is door diverse kanten aangetoond dat de grondslagen waarop dit realistisch rekenen gebaseerd is geen wetenschappelijke basis heeft.

Grote bezwaren die steeds klinken tegen het realistisch rekenen zijn o.a. dat rekenvaardigheid (zoals kennelijk voor 1970 nog aanwezig?) niet of onvoldoende aan bod komt, mede omdat de leerlingen van een rekenmachine gebruik mogen en kunnen maken. Het “gewone”, contextloze rekenen, het cijferen zoals we dat op de lagere school deden, zoals bijvoorbeeld in het boek van Jan van der Craats en Rob Bosch “Basisboek rekenen”.

Ongetwijfeld zullen er wetenschappelijke onderzoeken zijn die aantonen dat dit conventionele rekenen de leerlingen meer leert, dat het beter beklijft en dat die leerlingen daarmee beter toegerust de huidige maatschappij binnen kunnen stappen: àlle leerlingen, of zo veel mogelijk. Maar er zal toch ook aangetoond kunnen worden dat het niet nodig is dat datgene waarvoor het nieuwe rekenen in plaats kwam, het ouderwetse rekenen, weer uit de mottenballen gehaald moet worden?

Als ik naar die huidige maatschappij kijk dan zie ik toch een wereld die niet meer erg aansluit op het conventionele rekenen zoals ik vroeger op school leerde. Nou ja, mijn kaasboer rekent nog wel op de verpakking met een potloodje uit wat al die verschillende aankopen bij hem bij elkaar kosten, maar in de supermarkt komt er tegenwoordig al geen kassière meer aan te pas. Als ik de krant lees of door de stad loop wordt ik bijna verpletterd door allerlei aanbiedingen in getallen uitgedrukt, waar ik met mijn lagere school op zich weinig meer mee kan. En iedereen loopt met een apparaatje in de hand allerlei toetsjes (sic) in te drukken.

Ik kan heel goed meegaan met de gedachte dat in het huidige rekenonderwijs de slinger erg doorgeslagen is of dreigt door te slaan naar de, zeg maar, realistische kant en dat een aantal aspecten van de conventionele of traditionalistische kant te veel onder het tapijt zijn geveegd. Maar voor mij houdt dat niet in dat we dan maar helemaal terug moeten (of zelfs: terug kunnen) naar de situatie voor, zeg maar New Math. Dat zal ook wel de bedoeling van de oppositie tegen het huidige rekenonderwijs niet zijn.

NIET MEER TEGEN TE HOUDEN.

Één van de redenen van het niet terug kunnen is dat er een generatie docenten het onderwijs instroomt en al deels het lesgebeuren bezet heeft die zelf opgegroeid en opgevoed is in de stijl van dat realistische rekenen en die moderne wiskunde. Die ervaren dat als net zo vanzelfsprekend als de oudere generatie die anders onderwezen kreeg en hun basis als uitgangspunt nemen. Krijg je die (weer) “terug”? Hoewel niets onmogelijk is, in de jaren 70 is ook heel het wiskundige onderwijsvolk omgeschoold (en later weer voor wiskunde A enzovoorts, enzovoorts), blijft toch je eigen basis je eigen referentiepunt voor je didactisch handelen.

En wil je ze omscholen, dan moet dat geen echt terugscholen worden, maar ombuigen naar een nieuwe reken- en wiskunde-didactiek en -methodiek die dan echt in die zin nieuw is dat hij aansluit bij de eisen van vandaag, zowel  als bij de maatschappelijke als de onderwijskundige eisen van voor- en vervolgopleidingen, maar ook bij de uiteenlopende niveaus, leervaardigheden en begripsvorming van leerlingen.

Daar ligt de uitdaging van het momenten het is te hopen dat politiek en onderwijs deze handschoen opnemen.

REKENVAARDIGHEID

Rekenen is niet alleen kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen maar ook het omgaan met getallen, het interpreteren van getalgegevens, het juiste gebruik van deze getallen in toepassingen, waarbij optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen een belangrijke rol spelen en uitgangspunt vormen, en het omgaan van de resultaten van deze bewerkingen, het op de juiste waarde kunnen schatten van de uitkomsten.

Het versmallen van rekenvaardigheid tot het kunnen weergeven van de stappen die je bij het kunstje om het getalsmatige antwoord te vinden hebt toegepast zondermeer, de algoritmes op zich, lijkt me een heilloze weg gezien de rol die getallen in onze huidige maatschappij spelen. Het helemaal loslaten van de context, je (alleen) richten op de abstractie van het rekenen zelf, ik geloof er niet in.

Dat wil niet zeggen dat er een fundament nodig is dat gelegd wordt op basis van, zeg maar, conventioneel rekenen, maar daar moet het dan zeker niet mee stoppen. Net zo min als we leren dat x + x gelijk is aan 2x en er verder niets mee zouden doen.

Dat wil voor mij ook niet zeggen dat de didactiek per se en alleen die moet zijn van het conventionele rekenen van voor de jaren 70, ik geloof beslist dat andere rekenmethoden die leiden naar dezelfde antwoorden net zo goed haar tienduizenden kunnen verslaan. Voor zover ik kennisgemaakt heb met dat nieuwe rekenen en met hoe de leerlingen ermee omgaan en ervan leren lijkt me dat voor een zekere categorie een meer productieve en effectieve didactiek dan zoals ik het vroeger leerde. Zweren bij de staartdeling en al de andere manieren verbannen uit het onderwijs lijkt mij te kort door de bocht.

REKENTOETS

Ben Wilbrink schreef zijn opstel om duidelijk te maken dat de rekentoetsen die in het voortgezet onderwijs zijn ingevoerd op de wijze zoals ze nu afgenomen zijn, zowel de wijze waarop als inhoudelijk, ondeugdelijk zijn.

Men leze zijn opstel. Ik deel veel van de kritiek die op de rekentoetsen neerdaalt, zoals die in zijn opstel staat en ook verklankt is in vele WiskundE-brieven.

De toetsen meten geen rekenvaardigheid omdat de pure algoritmische rekenvaardigheid zelf niet aan bod komt. Er wordt alleen naar het resultaat van de eventuele rekenvaardigheid gekeken, het antwoord telt en niet de manier waarop het antwoord berekend is. Omdat de leerlingen zich eerst door tekst, context en plaatje, moet heen worstelen voor hij aan het beantwoorden, vaak in meerdere stappen, toekomt, lijken het meer op intelligentietesten dan op rekenvaardigheidstesten. Het multiple choice systeem dat bij vele vragen gehanteerd wordt is wat mij betreft een discutabele testvorm, omdat beantwoording via meerdere strategieën kan plaatsvinden, om niet te spreken van “op de gok” en wat meet je dan nog?

Dat de rekentoetsen daarbij door sommigen ook nog gezien wordt als de ultieme exponent van het kwaad dat realistisch rekenen heet, laat ik hier verder maar buiten de discussie.

Als zodanig is het label “rekentoets” voor de toetsen, zoals nu ontwikkeld, niet juist te noemen zeker als je voor “rekenen” en “rekenvaardigheid” de definities hanteert zoals o.a. Ben Wilbrink doet in zijn opstel.

Maar betekent dat dat de leerlingen niet getest mogen of moeten worden op hun kunnen omgaan met de rol die getallen in allerlei opzichten spelen in onze maatschappij? Een beetje wiskunde A / C op een eenvoudiger niveau.

REKENMACHINE

En dan: Ben Wilbrink vindt dat bij een toets op rekenvaardigheid het gebruik van een rekenmachine toestaan van de gekke is, ook testpsychologisch, want scores zijn niet interpreteerbaar als aanwijzing voor rekenvaardigheid. Dit standpunt hangt samen met zijn visie op rekenvaardigheid en als het gaat om het testen van rekenalgoritmes dat een volkomen terecht bezwaar.

Maar als het gaat om omgaan met getallen zoals ze vanuit de dagelijkse werkelijkheid op ons toekomen, lijkt me de rekenmachine een inmiddels niet meer uit te sluiten apparaat. Het is in principe al volkomen geïntegreerd in onze maatschappij, want er wordt daar eigenlijk nergens meer gerekend op de manier die bijvoorbeeld Ben Wilbrink wil testen. Ik had het al over het feit dat iedereen tegenwoordig met een toetsgevalletje in z’n handen staat waarmee hij niet alleen spelletjes doet, communiceert en beelden uitwisselt, maar ook naslagwerk doet en … rekent.

Ik denk dat we achter de feiten aan gaan (of liever, blijven) lopen als we menen de rekenmachine (nog) uit te kunnen sluiten bij het reken- en wiskundeonderwijs. Dat wil niet zeggen dat in alle stadia van het funderende rekenonderwijs en bij elke toets of examen de rekenmachine maar in alle gevallen beschikbaar moet zijn of gebruikt moet worden. Ben Wilbrink merkt heel terecht op dat dat werken met de rekenmachine helemaal niet zo eenvoudig te blijkt zijn, zeker niet voor leerlingen met gebrekkige rekenvaardigheid, en dat wie rekenvaardigheden niet meer onderhoudt omdat gebruik van de rekenmachine zo aantrekkelijk is, die rekenvaardigheden zal verliezen. Dat sluit de rekenmachine niet uit maar vraagt om een duidelijke plaats ervan in het rekenonderwijs.

EN NU?

Het wachten is op nieuwe wegen in het rekenen, waarin algoritmische rekenvaardigheid een fundamentele en centrale plaats krijgt en houdt, maar waarin de stap naar contextrijke realistisch rekenen ook gemaakt wordt om de aansluiting met de werkelijkheid om ons heen niet te verliezen en waar op zinvolle wijze de rekenmachine de plaats krijgt die hij anders toch niet meer zal afstaan. Daar zouden rekendidactiek en de curricula en punt van moeten maken: de rekenmachine terugdringen naar de plek waar hij hoort

Computers hebben het leren schrijven niet afgeschaft, evenzo zullen rekenmachines het leren rekenen niet dienen af te schaffen. Maar woordjes goed kunnen spellen is wat anders dan een opstel schrijven, en zo is met getalletjes kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen wat anders dan de getallenwereld om ons heen te lijf gaan.

Het verbaast me, ten slotte dat in de “strijd” om het rekenen en de rekentoets eigenlijk zo weinig geluiden, meningen, protesten uit het veld te horen zijn. Je hoort steeds dezelfde mensen, een handjevol dat niet voor de klas staan en eigenlijk steeds hetzelfde groepje docenten dat vanuit hun ervaring spreekt. Dat is eigenlijk vreemd, want in het onderwijsveld mogen de veronderstelde experts te vinden zijn, de mensen die in de dagelijkse praktijk bezig zijn met deze materie. Of heeft Kneyber dan toch gelijk “Veel leraren hebben nooit nagedacht over hoe je de kwaliteit van het onderwijs op orde houdt en controleert. Die lamlendige houding heeft de deur wagenwijd opengezet voor een onderwijsinspectie die probeert allerlei zaken te meten en te vergelijken. Dat is een logische consequentie, maar de toenemende aandacht voor Citoscores, examencijfers en leerwinst schaadt het onderwijs en daarmee de leerling”. (Trouw, 8-10-2013)

Om te eindigen met een quote uit Ben Wilbrink’s opstel: “Natuurlijk moet er hard worden gewerkt om Nederlandse leerlingen weer aan het rekenen te krijgen. De huidige rekentoetsen van het Cito zijn echter onderdeel van het probleem, niet van de oplossing”. Dat harde werken dient opbouwend en doelgericht te zijn en niet een soort loopgravenoorlog, zoals het soms, vruchteloos, op Twitter wel lijkt.

De GR in het CE (en ICT in het SE)

In WiskundE-brief 648 (http://www.wiskundebrief.nl/) schrijft Jan van Doorn een bijdrage, getiteld “ICT: wel in de les, niet op het CE” waar ik een aantal kanttekeningen bij wil plaatsen.

De "gewone"rekenmachine.

Allereerst bleef ik haken bij het zinnetje: “en ik heb leerlin­gen nog leren werken met een rekenli­niaal, met logarit­metabel­len en met goniota­fels” . In dat tijdbeeld ontbreekt één fase,  namelijk die van de (gewone) rekenmachine, toen nog met een éénregelig venster. Na de logaritmetabellen, goniotafels en het geschuif met de rekenmachine betekende die een enorme versnelling wat betreft het bijkomende rekenwerk, waar een leerling zich voorheen eerst met kladblaadje, tabel of lineaal doorheen moest worstelen. Maar ook toen was er al de discussie over het te snelle gebruik van de machine bij basaal rekenen dat ook uit het hoofd of even op papier moest kunnen. (De discussie over de rekenvaardigheid van leerlingen was er toen ook al…)

Het is alweer lang geleden, maar was het niet zo dat die rekenmachine pas in een hogere klas werd ingevoerd (net zoals de rekenliniaal) of dat er altijd proefwerken waren waarbij hij niet gebruikt mocht worden?
Wel kan ik me nog herinneren dat er een gevoelige “botsing” ontstond tussen wat sommige leerlingen nog op de basisschool leerden en wat die rekenmachine deed: Meneer van Dalen bleek verleden tijd, maar het kostte nog de nodige moeite om hem echt bij het oud vuil te zetten.

Tegenwoordig zijn die “gewone” rekenmachines, met hun natural display en allerlei handigheidjes die het rekenen steeds meer uit de handen (en het hoofd) van de leerling nemen, een stuk gelikter geworden. In de lagere klassen van het VO en bij vakken waar op het CE wel gerekend wordt maar geen GR meer gebruikt mag worden (het worden er steeds meer…) is deze “technologie” van alweer jaren geleden nog steeds aanwezig en in gebruik. Op elke computer, laptop, telefoon of tablet is de “gewone” rekenmachine in uitgebreidere of beperktere vorm wel te vinden of te downloaden.

ICT.

Jan van Doorn houdt een pleidooi dat verder gaat dan het gebruik van rekenmachines via deze ICT-systemen en wijst op program­ma’s die eenvou­diger te bedie­nen zijn dan de GR, die veel betere beelden leveren en die ook nog eens exacte antwoor­den kunnen geven. “Wij moeten in ons moderne onder­wijs onze leerlin­gen stimule­ren om met deze program­ma’s kennis te maken”.

Daar kun je helemaal achter staan en wat meer is: daar staan al veel wiskunde docenten met woord en daad achter, want er is al een scala aan ICT-toepassingen die in de klas gebruikt worden, hetzij in het computerlokaal, hetzij in laptopklassen, hetzij op iPad-scholen. Velen van ons kennen bijvoorbeeld Geogebra, maar er zijn natuurlijk nog meer applets, computeralgebra- en meetkundesystemen die in de klas, op het digibord of in een computerpracticum te gebruiken zijn en waarvoor het nodige, ook digitaal, cursusmateriaal dat aanvullend op of in plaats van het lesboek gebruikt kan worden. De wiskundeboeken zelf lopen er tegenwoordig bijna mee voorop om elkaar de loef af te steken.
Een andere mogelijkheid bieden een nieuwe generatie grafische rekenmachines, zoals Ti-Nspire, die meer werken zoals computeralebrassystemen en betere beelden opleveren. Deze rekenmachines zijn ook leverbaar met een echt computeralgebrasysteem, dat ook analytisch kan manipuleren met algebraïsche expressies in plaats van er alleen numerieke berekeningen mee maken. Overigens, ook zonder zo’n CAS zijn de GR’s tegenwoordig  “in staat”  om numerieke antwoorden in een exacte vorm te geven, iets waarvan ik vind dat het niet de bedoeling moet zijn. Ik wil hierbij ook nog wel even opmerken, dat wat mij betreft die Ti-Nspire wegens z’n vele knopjes inderdaad niet valt onder de categorie “eenvoudiger te bedienen”, alhoewel ik steeds weer meemaak dat de huidige generatie leerlingen nauwelijks moeite heeft het hanteren van knoppen op zich (behalve dan, als het wiskundig inzicht vraagt, soms). De CAS-versies zijn overigens op het examen niet toegestaan.

Mogelijkheden in het SE.

Jan van Doorn constateert dat de ICT-toepassingen die via computer-omgevingen wel in de klas aan de orde kunnen komen, niet op het CE aan bod kunnen en mogen komen. “Wat wel in de les moge­lijk is, kan dus niet op het CE worden toege­staan. De vraag is of dat wel zo erg is. Het gebruik van ICT is geen doel maar slechts een middel”. Zoals boven opgemerkt, ICT vindt al veel toepassingen in de klas.

Hier past een volgende kanttekening bij: naast het Centraal Examen bestaat er ook een Schoolexamen en de school, c.q. de sectie en de wiskundedocent heeft een redelijk grote vrijheid om die in te vullen. In dat SE kan toch de nodige ruimte geboden worden aan het werken met en het toetsen van wiskundige kennis en vaardigheid met behulp van ICT. Daarnaast, een PO of een PWS geven ook de ruimte om in dit verband aardige dingen te doen. Een beetje googlen levert de nodige mooie voorbeelden op.

Opgemerkt mag ook worden dat daar waar de GR in het HO en WO geen grote rol meer speelt, maar daar blijkbaar bij een aantal toetsen nog wel op tafel mag komen, die computeralgebrasystemen en andere ICT-toepassingen wel een belangrijk aspect van de opleiding vormen. Het is evident dat een eerste introductie en kennismaking in het VO daarbij een goede aanloop daartoe kan vormen.

De GR in het CE en het toekennen van punten. 

Wat betreft de rol van de GR in het huidige CE heb ik eens gekeken naar de laatste examens in het eerste tijdvak van VWO wiskunde A en wiskunde B.
Wiskunde A: in 7 van de 21 vragen (31 van de 83 punten) worden specifieke opties van de GR gebruikt, anders dan puur rekenen. 15 van die 31 punten gaan naar het mathematiseren van het probleem, 7 ervan (8,5 % van de punten) worden gegeven voor het aangeven hoe de GR gebruikt wordt en 9 voor het daarna geven van het antwoord in de correcte vorm.
Overigens kwam er één vraag voor, waarin een plot van een grafiek een rol speelde.
Wiskunde B: in 3 van de 19 vragen wordt een specifieke optie van de GR gebruikt (daar waar de algebraïsche kennis van de leerling hem zou beletten de opgave verder te maken), dat zijn 12 van de 79 punten, die onderverdeeld zijn in 6 punten voor het opstellen van het mathematisch model waarin gerekend moet worden, 3 punten voor het aangeven hoe de GR gebruikt moet worden (4 %) en 3 punten voor het formuleren van het antwoord op de vraag.

In http://aowiskunde.blogspot.nl/2014/04/vermelde-gr-opties-geef-er-geen-punten.html  (ook te vinden in Euclides jaargang 88 nummer 4 , maart 2013) schreef ik ook: “Gebruik GR-opties: geef er op het CE geen punten voor!”  Ik vind (ook) dat de wiskunde beloond moet worden, niet het knoppenwerk. Het correct opschrijven van de vergelijking die opgelost moet worden of de kans die berekend moet worden is van meer belang dan de knopjes die ervoor moet worden ingedrukt. Kern van mijn betoog is ongeveer dat het niet gaat om "hoe" een leerling iets berekent, maar "wat" hij berekent, als het op gebruik van de GR aankomt.

Bij wiskunde A zal dat bij havo en vwo in het CE de nodige puntenverschuivingen opleveren als de wiskunde meer beloond wordt en het gebruik van GR-opties niet meer, bij wiskunde B valt de “schade” nogal mee. En daar is het geklaag over de rol van de GR in het CE wat mij betreft ook wat overdreven. Met die aantekening, dat het niet de stof of de opgaven zijn die de GR “promoten” maar het de leerlingen  zelf zijn, die bij het minste of geringste naar de GR grijpen, ook als dat niet de bedoeling of niet toegestaan is. Dat vraagt dus om discipline.
Dat zou enerzijds in de klas aangepakt moeten worden: houd ook SE-toetsen zonder GR en train de leerlingen consequent op de terminologieën van het examen, zodat ze weten bij welke formuleringen de GR wel en wanneer niet op tafel mag komen. Anderzijds zou de CvE in de examens zich ook consequent en duidelijk aan eenduidige uitdrukkingen moeten houden (een Examenvragenvoorbeeldlijst) die duidelijk maken wanneer de GR wel en wanneer niet gebruikt mag worden (zie mijn examenartikel in Euclides jaargang 89, nummer 1 september 2013). Zet desnoods een rekenmachiensymbooltje voor de opgave, net zoals bij de rekentoetsen, desnoods met al dan niet een rood kruis erdoor.

Een  andere vraagstelling?

Jan van Doorn bepleit een vraagstelling op het CE in de zin van:

-          Als in een examen­op­dracht staat "Bereken A" dan moet het voldoen­de zijn wanneer er een bondige, volledi­ge en correc­te wiskun­dige uitdruk­king voor A wordt gegeven. Een uitdruk­king die door een reken­program­ma zou kunnen worden geëvalu­eerd. Afrond­instruc­ties moeten in het examen komen te verval­len.

-          De op­dracht "bereken algebra­ïsch" kan geheel komen te verval­len. Er blijven slechts twee catego­rieën over. Je bere­kent iets exact, zonder gebruik van ICT, of je bere­kent iets algebra­ïsch waarbij een met behulp van ICT evalu­eerbare wiskun­dige uitdruk­king als ant­woord voldoet. Het wiskun­deland­schap wordt er een stuk over­zichte­lijker en aantrek­kelij­ker van.

Ik denk dat er bij wiskunde B op deze manier misschien te werken is, maar bij wiskunde A toch echt niet.

Daar spelen de termen “algebraïsch” en “exact” (zie de Examen(werk)woorden) geen rol, wordt die kennis niet van de leerlingen in die mate verwacht en zijn leerlingen na het mathematiseren van een probleem in een aantal gevallen niet in staat om zelf tot een bondige, volledige en correcte wiskundige uitdrukking te komen. En of afrondinstructies dan achterwege kunnen blijven? Het is inherent aan het vak dat leerlingen zich bezighouden met een zinvolle interpretatie van de numerieke antwoorden die hun berekeningen opleveren. Gezien de eeuwige discussie over het afronden in examenfora zal het toch wel nodig blijven, duidelijkheid te (blijven) scheppen inzake afronden van benaderde numerieke antwoorden.

En het lijkt me haast onmogelijk om een aantal statistische en stochastische opgaven te maken zonder grafische rekenmachine.

(Overigens, ik denk dat het pleidooi van Jan van Doorn ook voor wiskunde B niet houdbaar zal blijken: iets berekenen bij wiskunde A is meestal heel iets naders dan iets berekenen bij wiskunde B, een kans is heel wat anders dan een wortel-antwoord met behulp van de abc-formule. Misschien kan hij een paar voorbeelden geven van wat hij precies bedoelt met “een uitdrukking die door een rekenprogramma zou kunnen worden geëvalueerd”, “exact, zonder gebruik ICT” en “algebraïsch, waarbij een met behulp van ICT evalueerbare wiskundige uitdrukking als antwoord voldoet”. Ik denk dat we van de ene discussie over terminologieën in de andere zullen vervallen).

De (G)R terug in z'n hok.

Ten slotte, Jan van Doorn stelt: “Leerlin­gen zullen de rekenma­chine voor de eenvou­digste bereke­ningen blijven gebrui­ken zolang zij daar nooit op worden afgere­kend. Door de rekenma­chine niet toe te staan op het cen­traal examen, hebben zij ineens een hele goede reden om hun elemen­taire reken­vaardig­heden op pijl te houden”.

Ik denk dat de crux dus zit bij het feit dat “zij daar nooit op worden afgerekend”. Het niet toestaan is in feite, bij wiskunde B, al aan de orde als je kijkt naar het aantal vragen wat zonder GR moet en kan worden opgelost.

Als de (grafische) rekenmachine niet meer in het B-examen gebruikt mag worden, dan kan het volgende uit de syllabus geschrapt worden:

-         In algemene zin geldt dat de grafische rekenmachine (GR) vooral wordt gebruikt in die gevallen waarin een algebraïsche oplossing op het kennisniveau van de wiskunde B leerling niet goed mogelijk is. Een kandidaat moet dan ook kunnen beoordelen of een vraag kan worden beantwoord met een algebraïsche aanpak of dat de GR moet worden ingezet om een benaderende oplossing te vinden. In de vraagstelling van het examen kan worden aangeduid met een indicatie dat een exact antwoord wordt verwacht.

Met andere woorden, als de GR niet meer gebruikt mag worden, dan zal dat bij wiskunde B leiden tot een beperking en vereenvoudiging van een aantal vraagmogelijkheden.

Bij wiskunde A is het haast onvoorstelbaar een examen te maken zonder dat de GR voor de beantwoording gebruikt wordt.
Maar dat neemt niet weg dat het beperken van de rol van de GR een goede reden voor leerlingen om elementaire rekenvaardigheden op peil te houden kan en moet zijn. Maar dan ook een doel van de docent. Alleen: op peil houden betekent ook, dat er al een peil moet zijn aangebracht, en dan hebben we het over basisonderwijs en onderbouw. In de bovenbouw moet dat peil aanwezig zijn! Daar moet in het BO en de onderbouw aan gewerkt zijn.
Wat betreft de onderbouw: waarom zouden we niet een eerste jaar wiskundeonderwijs kunnen hebben waar geen enkele rekenmachine aan te pas komt?

Een historische vergissing?
Jan van Doorn schrijft: “Het toe­staan van een rekenma­chine bij het toetsen van wiskun­dige kennis en vaardig­heden is een histori­sche vergis­sing en zet onze leerlin­gen op een verkeer­d spoor. Op het examen moet ge­toetst worden wat een leer­ling aan kennis en vaardig­heden bezit. Het gebruik van de rekenma­chine ont­neemt ons daarbij het zicht op de bekwaam­heid van de leer­ling in het elemen­taire rekenen”.
Ik ben het daar niet mee eens. In het begin wordt al aangegeven, dat we het ook vroeger nooit zonder rekenhulpmiddelen hebben gesteld, alhoewel het tijdsbeslag van die hulpmiddelen hun inzet het gebruik ervan beperkte, wat ten gunste kwam van het toetsen van andere wiskundige kennis en vaardigheden. Maar de toetsing daarvan moest dan wel weer deels beperkt blijven tot vraagstukken die zonder die hulpmiddelen binnen het kader van die kennis en vaardigheden kon worden aangepakt. Terzijde: hoe toepassen van die hulpmiddelen (logaritmetafel, goniotabel en in feite ook de rekenliniaal) vroeg op zich al de nodige wiskundige kennis en vaardigheden.

Ik denk dat er heel goed ook met gebruik van het hulpmiddel (grafische) rekenmachine getoetst kan worden wat een leerling aan kennis en vaardigheden bezit als er wijs en verstandig met toepassing en gebruik wordt omgesprongen. Lees daarover in de syllabi.

En om van een historische vergissing te spreken? Als je zelf in een andere rekencultuur bent groot gegroeid dan is de neiging om dat zo te stellen misschien voor de hand liggend. Ik vraag me af hoe straks de generatie die opgegroeid is met het huidige rekenonderwijs er op terugkijkt, zeker als het in de erna komende generaties weer anders wordt aangepakt.
Zoals mijn evaluatie van de vwo-wiskunde-examens laat zien ontneemt de GR, zeker niet bij wis B, maar voor een belangrijk deel ook niet bij wis A, het zicht op de bekwaamheid van de leerling. Het CE is daarbij geen toets in het elementair rekenen. Die (voortgaande) toets heeft al vanaf de basisschool plaatsgevonden of moeten plaatsvinden.
Dat we in het huidige onderwijs de leerlingen op het verkeerde spoor zetten door de rol die wij (maar ook andere vakken, waarin van alles en nog wat “even” met een rekenmachine wordt uitgerekend) aan de rekenmachine toekennen en didactisch te kort schieten om die rol in te perken en zijn plaats te wijzen, daar ben ik het wel mee eens.
Maar, ik verwijs naar de examenfora, het zijn helaas vaak docenten zelf die zich niet aan de conventies willen houden en tegen beter weten of alle regels en afspraken in op het examen nog punten willen geven voor GR-gebruik waar dat niet de bedoeling of toegestaan is. Ja, dan is het dweilen met de kraan open.