De GR in het CE (en ICT in het SE)

In WiskundE-brief 648 (http://www.wiskundebrief.nl/) schrijft Jan van Doorn een bijdrage, getiteld “ICT: wel in de les, niet op het CE” waar ik een aantal kanttekeningen bij wil plaatsen.

De "gewone"rekenmachine.

Allereerst bleef ik haken bij het zinnetje: “en ik heb leerlin­gen nog leren werken met een rekenli­niaal, met logarit­metabel­len en met goniota­fels” . In dat tijdbeeld ontbreekt één fase,  namelijk die van de (gewone) rekenmachine, toen nog met een éénregelig venster. Na de logaritmetabellen, goniotafels en het geschuif met de rekenmachine betekende die een enorme versnelling wat betreft het bijkomende rekenwerk, waar een leerling zich voorheen eerst met kladblaadje, tabel of lineaal doorheen moest worstelen. Maar ook toen was er al de discussie over het te snelle gebruik van de machine bij basaal rekenen dat ook uit het hoofd of even op papier moest kunnen. (De discussie over de rekenvaardigheid van leerlingen was er toen ook al…)

Het is alweer lang geleden, maar was het niet zo dat die rekenmachine pas in een hogere klas werd ingevoerd (net zoals de rekenliniaal) of dat er altijd proefwerken waren waarbij hij niet gebruikt mocht worden?
Wel kan ik me nog herinneren dat er een gevoelige “botsing” ontstond tussen wat sommige leerlingen nog op de basisschool leerden en wat die rekenmachine deed: Meneer van Dalen bleek verleden tijd, maar het kostte nog de nodige moeite om hem echt bij het oud vuil te zetten.

Tegenwoordig zijn die “gewone” rekenmachines, met hun natural display en allerlei handigheidjes die het rekenen steeds meer uit de handen (en het hoofd) van de leerling nemen, een stuk gelikter geworden. In de lagere klassen van het VO en bij vakken waar op het CE wel gerekend wordt maar geen GR meer gebruikt mag worden (het worden er steeds meer…) is deze “technologie” van alweer jaren geleden nog steeds aanwezig en in gebruik. Op elke computer, laptop, telefoon of tablet is de “gewone” rekenmachine in uitgebreidere of beperktere vorm wel te vinden of te downloaden.

ICT.

Jan van Doorn houdt een pleidooi dat verder gaat dan het gebruik van rekenmachines via deze ICT-systemen en wijst op program­ma’s die eenvou­diger te bedie­nen zijn dan de GR, die veel betere beelden leveren en die ook nog eens exacte antwoor­den kunnen geven. “Wij moeten in ons moderne onder­wijs onze leerlin­gen stimule­ren om met deze program­ma’s kennis te maken”.

Daar kun je helemaal achter staan en wat meer is: daar staan al veel wiskunde docenten met woord en daad achter, want er is al een scala aan ICT-toepassingen die in de klas gebruikt worden, hetzij in het computerlokaal, hetzij in laptopklassen, hetzij op iPad-scholen. Velen van ons kennen bijvoorbeeld Geogebra, maar er zijn natuurlijk nog meer applets, computeralgebra- en meetkundesystemen die in de klas, op het digibord of in een computerpracticum te gebruiken zijn en waarvoor het nodige, ook digitaal, cursusmateriaal dat aanvullend op of in plaats van het lesboek gebruikt kan worden. De wiskundeboeken zelf lopen er tegenwoordig bijna mee voorop om elkaar de loef af te steken.
Een andere mogelijkheid bieden een nieuwe generatie grafische rekenmachines, zoals Ti-Nspire, die meer werken zoals computeralebrassystemen en betere beelden opleveren. Deze rekenmachines zijn ook leverbaar met een echt computeralgebrasysteem, dat ook analytisch kan manipuleren met algebraïsche expressies in plaats van er alleen numerieke berekeningen mee maken. Overigens, ook zonder zo’n CAS zijn de GR’s tegenwoordig  “in staat”  om numerieke antwoorden in een exacte vorm te geven, iets waarvan ik vind dat het niet de bedoeling moet zijn. Ik wil hierbij ook nog wel even opmerken, dat wat mij betreft die Ti-Nspire wegens z’n vele knopjes inderdaad niet valt onder de categorie “eenvoudiger te bedienen”, alhoewel ik steeds weer meemaak dat de huidige generatie leerlingen nauwelijks moeite heeft het hanteren van knoppen op zich (behalve dan, als het wiskundig inzicht vraagt, soms). De CAS-versies zijn overigens op het examen niet toegestaan.

Mogelijkheden in het SE.

Jan van Doorn constateert dat de ICT-toepassingen die via computer-omgevingen wel in de klas aan de orde kunnen komen, niet op het CE aan bod kunnen en mogen komen. “Wat wel in de les moge­lijk is, kan dus niet op het CE worden toege­staan. De vraag is of dat wel zo erg is. Het gebruik van ICT is geen doel maar slechts een middel”. Zoals boven opgemerkt, ICT vindt al veel toepassingen in de klas.

Hier past een volgende kanttekening bij: naast het Centraal Examen bestaat er ook een Schoolexamen en de school, c.q. de sectie en de wiskundedocent heeft een redelijk grote vrijheid om die in te vullen. In dat SE kan toch de nodige ruimte geboden worden aan het werken met en het toetsen van wiskundige kennis en vaardigheid met behulp van ICT. Daarnaast, een PO of een PWS geven ook de ruimte om in dit verband aardige dingen te doen. Een beetje googlen levert de nodige mooie voorbeelden op.

Opgemerkt mag ook worden dat daar waar de GR in het HO en WO geen grote rol meer speelt, maar daar blijkbaar bij een aantal toetsen nog wel op tafel mag komen, die computeralgebrasystemen en andere ICT-toepassingen wel een belangrijk aspect van de opleiding vormen. Het is evident dat een eerste introductie en kennismaking in het VO daarbij een goede aanloop daartoe kan vormen.

De GR in het CE en het toekennen van punten. 

Wat betreft de rol van de GR in het huidige CE heb ik eens gekeken naar de laatste examens in het eerste tijdvak van VWO wiskunde A en wiskunde B.
Wiskunde A: in 7 van de 21 vragen (31 van de 83 punten) worden specifieke opties van de GR gebruikt, anders dan puur rekenen. 15 van die 31 punten gaan naar het mathematiseren van het probleem, 7 ervan (8,5 % van de punten) worden gegeven voor het aangeven hoe de GR gebruikt wordt en 9 voor het daarna geven van het antwoord in de correcte vorm.
Overigens kwam er één vraag voor, waarin een plot van een grafiek een rol speelde.
Wiskunde B: in 3 van de 19 vragen wordt een specifieke optie van de GR gebruikt (daar waar de algebraïsche kennis van de leerling hem zou beletten de opgave verder te maken), dat zijn 12 van de 79 punten, die onderverdeeld zijn in 6 punten voor het opstellen van het mathematisch model waarin gerekend moet worden, 3 punten voor het aangeven hoe de GR gebruikt moet worden (4 %) en 3 punten voor het formuleren van het antwoord op de vraag.

In http://aowiskunde.blogspot.nl/2014/04/vermelde-gr-opties-geef-er-geen-punten.html  (ook te vinden in Euclides jaargang 88 nummer 4 , maart 2013) schreef ik ook: “Gebruik GR-opties: geef er op het CE geen punten voor!”  Ik vind (ook) dat de wiskunde beloond moet worden, niet het knoppenwerk. Het correct opschrijven van de vergelijking die opgelost moet worden of de kans die berekend moet worden is van meer belang dan de knopjes die ervoor moet worden ingedrukt. Kern van mijn betoog is ongeveer dat het niet gaat om "hoe" een leerling iets berekent, maar "wat" hij berekent, als het op gebruik van de GR aankomt.

Bij wiskunde A zal dat bij havo en vwo in het CE de nodige puntenverschuivingen opleveren als de wiskunde meer beloond wordt en het gebruik van GR-opties niet meer, bij wiskunde B valt de “schade” nogal mee. En daar is het geklaag over de rol van de GR in het CE wat mij betreft ook wat overdreven. Met die aantekening, dat het niet de stof of de opgaven zijn die de GR “promoten” maar het de leerlingen  zelf zijn, die bij het minste of geringste naar de GR grijpen, ook als dat niet de bedoeling of niet toegestaan is. Dat vraagt dus om discipline.
Dat zou enerzijds in de klas aangepakt moeten worden: houd ook SE-toetsen zonder GR en train de leerlingen consequent op de terminologieën van het examen, zodat ze weten bij welke formuleringen de GR wel en wanneer niet op tafel mag komen. Anderzijds zou de CvE in de examens zich ook consequent en duidelijk aan eenduidige uitdrukkingen moeten houden (een Examenvragenvoorbeeldlijst) die duidelijk maken wanneer de GR wel en wanneer niet gebruikt mag worden (zie mijn examenartikel in Euclides jaargang 89, nummer 1 september 2013). Zet desnoods een rekenmachiensymbooltje voor de opgave, net zoals bij de rekentoetsen, desnoods met al dan niet een rood kruis erdoor.

Een  andere vraagstelling?

Jan van Doorn bepleit een vraagstelling op het CE in de zin van:

-          Als in een examen­op­dracht staat "Bereken A" dan moet het voldoen­de zijn wanneer er een bondige, volledi­ge en correc­te wiskun­dige uitdruk­king voor A wordt gegeven. Een uitdruk­king die door een reken­program­ma zou kunnen worden geëvalu­eerd. Afrond­instruc­ties moeten in het examen komen te verval­len.

-          De op­dracht "bereken algebra­ïsch" kan geheel komen te verval­len. Er blijven slechts twee catego­rieën over. Je bere­kent iets exact, zonder gebruik van ICT, of je bere­kent iets algebra­ïsch waarbij een met behulp van ICT evalu­eerbare wiskun­dige uitdruk­king als ant­woord voldoet. Het wiskun­deland­schap wordt er een stuk over­zichte­lijker en aantrek­kelij­ker van.

Ik denk dat er bij wiskunde B op deze manier misschien te werken is, maar bij wiskunde A toch echt niet.

Daar spelen de termen “algebraïsch” en “exact” (zie de Examen(werk)woorden) geen rol, wordt die kennis niet van de leerlingen in die mate verwacht en zijn leerlingen na het mathematiseren van een probleem in een aantal gevallen niet in staat om zelf tot een bondige, volledige en correcte wiskundige uitdrukking te komen. En of afrondinstructies dan achterwege kunnen blijven? Het is inherent aan het vak dat leerlingen zich bezighouden met een zinvolle interpretatie van de numerieke antwoorden die hun berekeningen opleveren. Gezien de eeuwige discussie over het afronden in examenfora zal het toch wel nodig blijven, duidelijkheid te (blijven) scheppen inzake afronden van benaderde numerieke antwoorden.

En het lijkt me haast onmogelijk om een aantal statistische en stochastische opgaven te maken zonder grafische rekenmachine.

(Overigens, ik denk dat het pleidooi van Jan van Doorn ook voor wiskunde B niet houdbaar zal blijken: iets berekenen bij wiskunde A is meestal heel iets naders dan iets berekenen bij wiskunde B, een kans is heel wat anders dan een wortel-antwoord met behulp van de abc-formule. Misschien kan hij een paar voorbeelden geven van wat hij precies bedoelt met “een uitdrukking die door een rekenprogramma zou kunnen worden geëvalueerd”, “exact, zonder gebruik ICT” en “algebraïsch, waarbij een met behulp van ICT evalueerbare wiskundige uitdrukking als antwoord voldoet”. Ik denk dat we van de ene discussie over terminologieën in de andere zullen vervallen).

De (G)R terug in z'n hok.

Ten slotte, Jan van Doorn stelt: “Leerlin­gen zullen de rekenma­chine voor de eenvou­digste bereke­ningen blijven gebrui­ken zolang zij daar nooit op worden afgere­kend. Door de rekenma­chine niet toe te staan op het cen­traal examen, hebben zij ineens een hele goede reden om hun elemen­taire reken­vaardig­heden op pijl te houden”.

Ik denk dat de crux dus zit bij het feit dat “zij daar nooit op worden afgerekend”. Het niet toestaan is in feite, bij wiskunde B, al aan de orde als je kijkt naar het aantal vragen wat zonder GR moet en kan worden opgelost.

Als de (grafische) rekenmachine niet meer in het B-examen gebruikt mag worden, dan kan het volgende uit de syllabus geschrapt worden:

-         In algemene zin geldt dat de grafische rekenmachine (GR) vooral wordt gebruikt in die gevallen waarin een algebraïsche oplossing op het kennisniveau van de wiskunde B leerling niet goed mogelijk is. Een kandidaat moet dan ook kunnen beoordelen of een vraag kan worden beantwoord met een algebraïsche aanpak of dat de GR moet worden ingezet om een benaderende oplossing te vinden. In de vraagstelling van het examen kan worden aangeduid met een indicatie dat een exact antwoord wordt verwacht.

Met andere woorden, als de GR niet meer gebruikt mag worden, dan zal dat bij wiskunde B leiden tot een beperking en vereenvoudiging van een aantal vraagmogelijkheden.

Bij wiskunde A is het haast onvoorstelbaar een examen te maken zonder dat de GR voor de beantwoording gebruikt wordt.
Maar dat neemt niet weg dat het beperken van de rol van de GR een goede reden voor leerlingen om elementaire rekenvaardigheden op peil te houden kan en moet zijn. Maar dan ook een doel van de docent. Alleen: op peil houden betekent ook, dat er al een peil moet zijn aangebracht, en dan hebben we het over basisonderwijs en onderbouw. In de bovenbouw moet dat peil aanwezig zijn! Daar moet in het BO en de onderbouw aan gewerkt zijn.
Wat betreft de onderbouw: waarom zouden we niet een eerste jaar wiskundeonderwijs kunnen hebben waar geen enkele rekenmachine aan te pas komt?

Een historische vergissing?
Jan van Doorn schrijft: “Het toe­staan van een rekenma­chine bij het toetsen van wiskun­dige kennis en vaardig­heden is een histori­sche vergis­sing en zet onze leerlin­gen op een verkeer­d spoor. Op het examen moet ge­toetst worden wat een leer­ling aan kennis en vaardig­heden bezit. Het gebruik van de rekenma­chine ont­neemt ons daarbij het zicht op de bekwaam­heid van de leer­ling in het elemen­taire rekenen”.
Ik ben het daar niet mee eens. In het begin wordt al aangegeven, dat we het ook vroeger nooit zonder rekenhulpmiddelen hebben gesteld, alhoewel het tijdsbeslag van die hulpmiddelen hun inzet het gebruik ervan beperkte, wat ten gunste kwam van het toetsen van andere wiskundige kennis en vaardigheden. Maar de toetsing daarvan moest dan wel weer deels beperkt blijven tot vraagstukken die zonder die hulpmiddelen binnen het kader van die kennis en vaardigheden kon worden aangepakt. Terzijde: hoe toepassen van die hulpmiddelen (logaritmetafel, goniotabel en in feite ook de rekenliniaal) vroeg op zich al de nodige wiskundige kennis en vaardigheden.

Ik denk dat er heel goed ook met gebruik van het hulpmiddel (grafische) rekenmachine getoetst kan worden wat een leerling aan kennis en vaardigheden bezit als er wijs en verstandig met toepassing en gebruik wordt omgesprongen. Lees daarover in de syllabi.

En om van een historische vergissing te spreken? Als je zelf in een andere rekencultuur bent groot gegroeid dan is de neiging om dat zo te stellen misschien voor de hand liggend. Ik vraag me af hoe straks de generatie die opgegroeid is met het huidige rekenonderwijs er op terugkijkt, zeker als het in de erna komende generaties weer anders wordt aangepakt.
Zoals mijn evaluatie van de vwo-wiskunde-examens laat zien ontneemt de GR, zeker niet bij wis B, maar voor een belangrijk deel ook niet bij wis A, het zicht op de bekwaamheid van de leerling. Het CE is daarbij geen toets in het elementair rekenen. Die (voortgaande) toets heeft al vanaf de basisschool plaatsgevonden of moeten plaatsvinden.
Dat we in het huidige onderwijs de leerlingen op het verkeerde spoor zetten door de rol die wij (maar ook andere vakken, waarin van alles en nog wat “even” met een rekenmachine wordt uitgerekend) aan de rekenmachine toekennen en didactisch te kort schieten om die rol in te perken en zijn plaats te wijzen, daar ben ik het wel mee eens.
Maar, ik verwijs naar de examenfora, het zijn helaas vaak docenten zelf die zich niet aan de conventies willen houden en tegen beter weten of alle regels en afspraken in op het examen nog punten willen geven voor GR-gebruik waar dat niet de bedoeling of toegestaan is. Ja, dan is het dweilen met de kraan open.