Ik heb over
dit onderwerp geen nieuw standpunt of inzicht, maar dat neemt niet weg dat een
thema als dit niet voor discussie vatbaar zou zijn, want dat blijft ze
voortdurend. Het lijkt me dus zinvol om daarover in gesprek te blijven en elkaar
rekenschap te blijven geven van de standpunten die hierover ingenomen worden,
maar wel in het licht van "de eisen van deze tijd" en niet te zeer
met een "hang naar het verleden". Er mag in dit opzicht gelden dat
een soort wiskundige Ostalgie naar hoe geweldig het allemaal was in de tijd dat
men vond dat het ook niet zo geweldig was niet aan de orde moet zijn.
Het echte doel van ons wiskundeonderwijs valt in twee subthema's uiteen: welk doel en hoe het te bereiken. Ik vind "creatief oplossingsvermogen" als doel wat te smal, voor mij telt naast de "vaardigheid" met name de "filosofie" (De aanhalingen zijn termen uit het betoog van Jos v.d. Ende over dit onderwerp).
Het echte doel van ons wiskundeonderwijs valt in twee subthema's uiteen: welk doel en hoe het te bereiken. Ik vind "creatief oplossingsvermogen" als doel wat te smal, voor mij telt naast de "vaardigheid" met name de "filosofie" (De aanhalingen zijn termen uit het betoog van Jos v.d. Ende over dit onderwerp).
Wat mij betreft is wiskundeonderwijs op VO-niveau minder een kwestie van
leerlingen met basisvaardigheden en -technieken onderlegd klaarmaken voor het vervolgonderwijs
dan wel het vormen en trainen van en in een bepaalde denkwijze. Dat daarbij
"collatoral" is dat leerlingen een flinke mate van basisvaardigheden
opdoen is vanzelfsprekend: om een spel te kunnen spelen, of liever nog, om de
tactiek en de denkwijze die bij het spelen nodig zijn te doorgronden, zijn het leren
en kennen van de spelregels en het hebben en trainen van voldoende
"balcontrole" noodzakelijke voorwaarden. Je kunt het vergelijken met
de plaats die het leren van schaken in sommige onderwijsvormen krijgt, minder
om schaakkampioenen te creëren dan om de denkwijze die aan het spel ten
grondslag ligt te laten landen.
Toen ik ging studeren was, naast de tamelijk elementaire algebraïsche
vaardigheid, de training om tot op zekere hoogte exact en abstract te denken en
daarmee de wiskundige vorming van mijn geest de basis voor het verder leren en
studeren, ik heb even zovele basisvaardigheden los moeten laten of opnieuw of
anders moeten aanleren. Dat nieuwe viel als zaad in een daartoe soms redelijk
geprepareerde akker, met overigens vergelijkbare resultaten als in de Bijbelse
parabel…
Hoe dat doel te bereiken, daarover heeft een veelstemmig koor van vakdidactici zich in de loop der jaren uitgelaten, zowel voor als na de jaren 70, en in de praktijk hebben talrijke collega's in de eigen klassensituatie er weer hun eigen draai aan gegeven. Andere tijden vragen daarbij andere methoden en de vervolgopleidingen, voor mij iets minder doel, maar het is wel praktisch noodzakelijk om er rekening mee te houden, hebben hun invloed daarbij ook doen gelden. Daarbij mag overigens worden opgemerkt dat de vervolgopleidingen zich vaak minder aantrokken of zich op de hoogte stelden van wat aan de orde was of zou kunnen komen in het middelbaar wiskundeonderwijs dan andersom. Maar goed: zie toe wat cTWO nog voor elkaar gaat brengen!
Hoe dat doel te bereiken, daarover heeft een veelstemmig koor van vakdidactici zich in de loop der jaren uitgelaten, zowel voor als na de jaren 70, en in de praktijk hebben talrijke collega's in de eigen klassensituatie er weer hun eigen draai aan gegeven. Andere tijden vragen daarbij andere methoden en de vervolgopleidingen, voor mij iets minder doel, maar het is wel praktisch noodzakelijk om er rekening mee te houden, hebben hun invloed daarbij ook doen gelden. Daarbij mag overigens worden opgemerkt dat de vervolgopleidingen zich vaak minder aantrokken of zich op de hoogte stelden van wat aan de orde was of zou kunnen komen in het middelbaar wiskundeonderwijs dan andersom. Maar goed: zie toe wat cTWO nog voor elkaar gaat brengen!
Op een
gegeven moment kwam het functieonderzoek van vroeger aan de orde. Nou, ik kan
me herinneren dat van die leerlingen die de B-kant kozen en dus geroepen waren
tot enige wezenlijke wiskunde er toch een flink aantal niet in slaagde om daar
iets van te brouwen. En een functieonderzoek als analytische vaardigheid heeft
weinig zin als het niet verder komt dan een (hopelijk) fraaie grafiek en er
geen vervolg is in een toepassing, maar ja, dan kreeg je weer het probleem van
de stapelopgave. Dan zaten leerlingen 45 minuten van de 50 te staren naar hun
halflege ruitjespapier.
Of neem het strijdpunt statistiek dat in de discussie aan de orde kwam. Ik weet dat er genoeg collega's zijn die statistiek (en kansrekening) geen echte wiskunde vinden. Ik vind de stelling dat dit niet in het wiskundeonderwijs zou horen een soort stelling die weer scheiding tussen algebra en meetkunde lijkt op te roepen, goniometrie weer apart wil zetten en misschien zelfs mechanica weer als zelfstandig vak terug wil laten keren. Op zichzelf het overdenken waard, maar het argument om het niet aan te bieden omdat het vervolgonderwijs het anders aanpakt vind ik niet zo zwaarwegend, zoals ik al liet doorschemeren. Als dat het criterium is blijft er weinig wiskunde om in het VO te onderwijzen over. Misschien is goed statistisch onderricht en in een juiste wiskundige context, mogelijk zelfs met GR, wel van grote vormende waarde om als basis te dienen voor latere opleidingen, ook al doen die het anders en vooral technischer. Het vak speelt een grote rol in de huidige wetenschap en maatschappij, wiskundig valt er veel zinnigs over te zeggen en mee te doen.
Over het wiskundeonderwijs sinds 1970, zoals ik dat heb meegemaakt, hebben regelmatig allerlei klokkenluiders, die precies wisten waar de klepel hing, de noodklok geluid. Het was bijna net een carillon, zo veelstemmig klonk dat soms. Die strijd hoort blijkbaar bij (wiskunde)onderwijs en zal nog wel in vele nieuwe toonaarden voortduren, ik heb wel het idee dat er vaak daarbij sprake is van achterhoedegevechten door traditionalisten in een slag die weinig strijders uit de jongere generatie docenten meer trekt.
Of neem het strijdpunt statistiek dat in de discussie aan de orde kwam. Ik weet dat er genoeg collega's zijn die statistiek (en kansrekening) geen echte wiskunde vinden. Ik vind de stelling dat dit niet in het wiskundeonderwijs zou horen een soort stelling die weer scheiding tussen algebra en meetkunde lijkt op te roepen, goniometrie weer apart wil zetten en misschien zelfs mechanica weer als zelfstandig vak terug wil laten keren. Op zichzelf het overdenken waard, maar het argument om het niet aan te bieden omdat het vervolgonderwijs het anders aanpakt vind ik niet zo zwaarwegend, zoals ik al liet doorschemeren. Als dat het criterium is blijft er weinig wiskunde om in het VO te onderwijzen over. Misschien is goed statistisch onderricht en in een juiste wiskundige context, mogelijk zelfs met GR, wel van grote vormende waarde om als basis te dienen voor latere opleidingen, ook al doen die het anders en vooral technischer. Het vak speelt een grote rol in de huidige wetenschap en maatschappij, wiskundig valt er veel zinnigs over te zeggen en mee te doen.
Over het wiskundeonderwijs sinds 1970, zoals ik dat heb meegemaakt, hebben regelmatig allerlei klokkenluiders, die precies wisten waar de klepel hing, de noodklok geluid. Het was bijna net een carillon, zo veelstemmig klonk dat soms. Die strijd hoort blijkbaar bij (wiskunde)onderwijs en zal nog wel in vele nieuwe toonaarden voortduren, ik heb wel het idee dat er vaak daarbij sprake is van achterhoedegevechten door traditionalisten in een slag die weinig strijders uit de jongere generatie docenten meer trekt.
De grote kracht van het wiskundeonderwijs zou volgens een bijdrage in het genoemde forum het aanwakkeren van een creatief oplossingsvermogen zijn. Maar de grote kracht van de wiskundeonderwijzers zou daarbij ook moeten zijn om mee te gaan met waar de leerlingen mee bezig zijn, wat hen en hun denken beweegt en hun leefwereld en toekomst bepaalt. Geen ruitjespapier en tabellenboekjes, maar de alom aanwezige en door hen gebruikte digitale hulpmiddelen. Een wiskundeles zonder een "tweede scherm" in de klas zou al net zo obscuur moeten zijn als tegenwoordig een tv-programma zonder dat scherm. Het vraagt om een creatief oplossingsvermogen van docenten om hierop in te spelen en de doelen van het wiskundeonderwijs mede daarmee te realiseren. Daarover lees ik (nog) nergens iets bij collega’s die zich, zeg maar, “behoudend" opstellen, maar die "tabletten" zullen wel geslikt moeten worden.
Als ik voor
mezelf spreek, ik heb dus in de loop van 40 jaar heel wat veranderingen in het wiskundeonderwijs
meegemaakt. Die waren meestal onafwendbaar en je kon niet anders dan erin
meegaan en er het beste van maken.
The proof of the pudding was vaak the eating en al doende kwam soms dan de smaak, soms bitter, maar ook wel zoet.
Als saillant voorbeeld van de onafwendbaarheid noem ik het HEWET-project begin jaren 80, waarvan mijn school proefschool was. Na een jaar experimenteren kwamen we als proefscholen samen tot de slotsom dat het programma niet voldragen was en invoering beter kon wachten. Maar die evaluatie had al geen zin meer, want er was al besloten tot invoering nog voor het experiment beëindigd was…
Ik wil nog iets zeggen over "de eisen der tijd", "aansluiten bij de belevingswereld" en het "tweede scherm", waarover ik het eerder had.
Ik bedoel hier o.a. mee, dat we niet meer met griffels op leitjes schrijven (en het meteen met een spons weer moeten uitvegen), dat er naast boeken ook andere (interactieve) bronnen zijn waaruit we kunnen putten en dat naast het ruitjesschrift er ook ander manieren zijn om je (hopelijk verworven) kennis vast te leggen en te tonen.
Misschien loopt men met laptops en i-pads in de klas soms wel wat hard van stapel (ik las over een school die toch maar weer naar de boeken greep) maar onmiskenbaar hebben deze "tweede schermen" (naast het al massaal aanwezige digibord) op veel scholen een plaats verworven.
En waar leerlingen bij andere vakken en in studie-uren steeds meer gebruik kunnen maken van computers, er steeds meer content komt die dat gebruik (goed en zinvol) mogelijk maakt en leerlingen buiten en binnen de school op een heel andere wijze aan het leren en verwerken zijn dan, ik zeg maar even, wij vroeger, kun je je kop voor deze ontwikkeling niet in het zand steken. Ik noem maar DWO, GeoGebra, AlgebraKit en bijvoorbeeld de uitgebreide digitale en interactieve ondersteuning door de leerboeken.
(Ik woon
vlak bij de Universiteit Twente, met veel beta-studenten, waar ik iedereen zie
lopen met een laptop en zalen vol studenten achter de computer zie: dat is toch
niet alleen tekstverwerken, denk ik dan. En je ziet ze trouwens nooit met pen
en papier een straatdeling maken…)The proof of the pudding was vaak the eating en al doende kwam soms dan de smaak, soms bitter, maar ook wel zoet.
Als saillant voorbeeld van de onafwendbaarheid noem ik het HEWET-project begin jaren 80, waarvan mijn school proefschool was. Na een jaar experimenteren kwamen we als proefscholen samen tot de slotsom dat het programma niet voldragen was en invoering beter kon wachten. Maar die evaluatie had al geen zin meer, want er was al besloten tot invoering nog voor het experiment beëindigd was…
Ik wil nog iets zeggen over "de eisen der tijd", "aansluiten bij de belevingswereld" en het "tweede scherm", waarover ik het eerder had.
Ik bedoel hier o.a. mee, dat we niet meer met griffels op leitjes schrijven (en het meteen met een spons weer moeten uitvegen), dat er naast boeken ook andere (interactieve) bronnen zijn waaruit we kunnen putten en dat naast het ruitjesschrift er ook ander manieren zijn om je (hopelijk verworven) kennis vast te leggen en te tonen.
Misschien loopt men met laptops en i-pads in de klas soms wel wat hard van stapel (ik las over een school die toch maar weer naar de boeken greep) maar onmiskenbaar hebben deze "tweede schermen" (naast het al massaal aanwezige digibord) op veel scholen een plaats verworven.
En waar leerlingen bij andere vakken en in studie-uren steeds meer gebruik kunnen maken van computers, er steeds meer content komt die dat gebruik (goed en zinvol) mogelijk maakt en leerlingen buiten en binnen de school op een heel andere wijze aan het leren en verwerken zijn dan, ik zeg maar even, wij vroeger, kun je je kop voor deze ontwikkeling niet in het zand steken. Ik noem maar DWO, GeoGebra, AlgebraKit en bijvoorbeeld de uitgebreide digitale en interactieve ondersteuning door de leerboeken.
Ik vind ook niet dat wiskunde een vak is in de zin van "take it or leave it", kies het of niet, maar dat het qua grondbeginselen naast bijvoorbeeld talen een basisvak is, waarin iedereen enige bekwaamheid moet trachten te verwerven, omdat dat maatschappelijk relevant is. En daarom geloof ik er ook niet in dat het vak in eerste aanzet (puur) abstract gehouden zou moeten worden. Hoe formuleerde van Hiele zijn theorieën op dit punt ook al weer? Daarin stond de abstractie ook niet aan het begin van de beroemde drieslag.
Je kunt erover discussiëren of we niet te ver zijn doorgeslagen met die
contextrijke wiskunde en verhaaltjessommen, maar het lijkt me na de voorgaande
opmerking onontkoombaar dat (ook) de realistische wiskunde een plaats krijgt in
de onderbouw. Die abstractie kan later, als ook de pubergeesten wat rijper zijn
en er enige scheiding der geesten in A-, B- of C-richting plaatsvindt, z'n
plaats wel krijgen en dan meer succes hebben (ik zag op dit punt het licht pas
echt op de universiteit).
Ik hoop dat veel docenten het vak wiskunde geven "omdat het zo ontzettend
mooi is", maar om dat als ultieme reden en doel te formuleren? En of dat in die
5 à 6 jaar aan alle leerlingen overdraagbaar is? Je bent naast wiskundige toch
ook didacticus en een beetje pedagoog, dat zijn ook mooie aspecten van het
docentenberoep, je bent met jonge mensen bezig.
Ten slotte de GR. Ik ben het er helemaal mee eens dat dat instrument door
voortdurende toevoegingen van applicaties en mogelijkheden z'n doel voorbijgestreefd
is en misschien al was op het moment dat het werd ingevoerd. Maar ik vermoed
dat er in de onderwijswereld toch wel didactici te vinden zijn die wel degelijk
kunnen uitleggen wat het nut ervan zou of had kunnen zijn in het onderwijs, al
hoef je het daar dan niet mee eens te zijn. Uiteindelijk gaat wiskunde op de
universiteit ook niet zonder CAS en wordt toegepaste wiskunde in andere vakken
uiteindelijk ook dankbaar met behulp van ICT aangewend.
Inhoudelijke
argumenten zullen er beslist wel zijn, maar ze worden niet door iedereen als zodanig
geaccepteerd. Ik vind dat de syllabus het aardig zegt:
Bij wiskunde A en C is het wiskundegereedschap bedoeld om contextproblemen mee te analyseren en op te lossen. Omdat in toepassingen veelal met benaderende waarden (van grootheden) wordt gewerkt, ligt het niet voor de hand om exacte antwoorden te eisen. In veel gevallen zal de GR daarbij zinvol kunnen worden ingezet. Bij wiskunde B daarentegen zullen zeker ook meer abstracte vraagstukken voorkomen die met behulp van algebra moeten worden geanalyseerd of waarvoor een algebraïsch bewijs moet worden geleverd. Daarbij speelt de GR geen rol.
Bij wiskunde A en C is het wiskundegereedschap bedoeld om contextproblemen mee te analyseren en op te lossen. Omdat in toepassingen veelal met benaderende waarden (van grootheden) wordt gewerkt, ligt het niet voor de hand om exacte antwoorden te eisen. In veel gevallen zal de GR daarbij zinvol kunnen worden ingezet. Bij wiskunde B daarentegen zullen zeker ook meer abstracte vraagstukken voorkomen die met behulp van algebra moeten worden geanalyseerd of waarvoor een algebraïsch bewijs moet worden geleverd. Daarbij speelt de GR geen rol.
De forumdiscussie
is nog te vinden op
onder de topic-titel “Artikel niet geplaatst in Euclides” maar de site wordt
binnenkort beëindigd.
Bijdragen
op andere blogs zijn te vinden op:
