CE wiskunde: geeft geen punten voor de GR, geef punten voor wiskunde!

Examenwoordenlijst: "een toelichting is vereist".

In de nieuwe examenwoordenlijst van het CvE komt de zinsnede "Bij gebruik van de GR moet(en) de gebruikte optie(s) vermeld worden" uit de nomenclatuurlijst niet meer voor, maar het CV zelf ondervangt dat met de vakspecifieke regel 2, waarin staat dat bij vragen waarbij de GR moet worden gebruikt verslag gedaan moet worden hoe dat gebeurt.

Ik vroeg me af of we eigenlijk niet zonder die laatste CV-regel kunnen, dus zonder de eis van de beschrijving van de gebruikte GR-opties (na het aangeven van het wiskundig oplossingsmodel). Voegt het vermelden van het knoppenverhaal iets toe als de wiskundige verantwoording en beantwoording al (correct en volledig) op papier staan?

Wat mij betreft: schaf het geven van punten voor het beschrijven van GR-opties af! En vraag naar de wiskunde en beloon die!

Als ik kijk in de CV's dan wordt daar vaak een punt gegeven voor "beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost" soms met toevoeging (met de GR). Dat gaat dan vaak met y1 en y2 invullen, een geschikt venster kiezen en dan via intersect een snijpunt bepalen tussen 2 grafieken. Maar inmiddels hebben de grafische rekenmachines daar ook andere mogelijkheden voor via (equotation) solvers, voorgeprogrammeerde abc-formules en dergelijke.

Vaak is het daarbij dan een punt van discussie dat het CV een punt geeft voor het eerst opstellen van de vergelijking die moet worden opgelost, maar of het dan terecht is om die punt ook toe te kennen als die vergelijking impliciet wel verderop blijkt te zijn opgelost in de gevolgde GR-procedure, maar niet expliciet genoteerd is.

Mij lijkt het me een beter begaanbare toekomstige weg als er voortaan geëist wordt dat de op te lossen vergelijking in correcte wiskundige taal door de kandidaat genoteerd wordt waarna de oplossingen volgen, zònder een GR-verantwoording en een punt daarvoor. Want als de oplossingen juist zijn dan heeft de kandidaat ongetwijfeld de juiste (routine-)handelingen gepleegd en hoeft hij daar niet (soms meerdere malen voor eenzelfde optie binnen één examen) voor beloond te worden. Als de oplossingen fout zijn dan wordt hij ook niet beloond voor een goed bedoelde maar verkeerd uitpakkende beschrijving van zijn, soms in het kader van de vraag nergens op slaande, GR-handelingen, waarvan je soms ook niet eens kunt nagaan wàt er fout kan zijn gegaan bij de invoer.

De zinsnede "een toelichting is vereist” moet dus (alleen) slaan op een wiskundige verantwoording wat de kandidaat doet en niet op hoe die het doet. Dat "wat" is dan het opstellen van een vergelijking vanuit de context waarin de vraag aangeboden wordt met de intentie die te willen oplossen. Als het vinden van het antwoord buiten de algebraïsche competenties valt is het vinden ervan met de GR niet van belang, de oplossing zelf en het beantwoorden daarmee van de vraag wel.

Wordt er, alleen bij de B-vakken, aan de vraag "algebraïsch" of "exact" toegevoegd, dan zegt de woordenlijst dat er stap voor stap gewerkt moet worden (zonder GR) en in die gevallen is de beloning voor "beschrijven hoe deze vergelijking wordt opgelost" (zonder GR) terecht. Dan staan de stappen die tot de oplossing leiden in principe in het antwoordmodel nader gepreciseerd.

Dit niet langer belonen van routinehandelingen met de GR met opties als intersect, solve of wat dan ook voorkomt ook dat bij een verkeerde oplossingsrichting, die op minder of meer gespannen voet staat met het aan de vraag verbonden oplossingsmodel, het omschrijven van het GR-gebruik, vooral als het een andere optie is of een te eenvoudige toepassing, toch wordt beloond; een onterechte vorm van sprokkelen volgens mij.

Het niet met punten belonen voor het beschrijven van de GR-opties maakt meteen ook de discussies over hoe dat dan moet gebeuren overbodig. Dat beschrijven kan nogal variëren, van uiterst summier tot uitgebreid met het benoemen van alle ingevoerde parameters. De syllbi en CV’s blijven in gebreke op dit punt, er is geen duidelijkheid en eenduidigheid.

 

Een ander moment waarop de GR wordt ingezet zijn, bij de A-vakken, berekeningen met betrekking tot binomiale en normale kansverdelingen.

Ook hier is het zo dat het CV vaak eerst een punt geeft voor de beschrijving van de binomiale of normale verdeling die aan de orde is, inclusief een expliciete vermelding van de parameters, waarna dan gevraagd wordt te beschrijven hoe met de GR de betreffende kans wordt uitgerekend. En dan is ook hier weer het dilemma aan de orde, of je geen punten hoeft af te trekken als  bijvoorbeeld een notatie als P(4,5 ≤ X <5,5 | μ = 5,4; σ = 1,9) ontbreekt en dat volledig is voldaan  aan de vraag met alleen de notatie normalcdf(4.5, 5.5, 5.4, 1.9) (en mijn TI dan netjes vraagt om lower, upper, μ en σ: een kind kan de was doen!)

Vergelijkbaar is "het aantal hooikoortslijders X is binomiaal verdeeld met n = 135 en p = 0,13" en "beschrijven hoe P (X ≤ 26 | n = 135, p = 0,13) berekend kan worden" (expliciet vermeld en gewaardeerd met punten in het CV) waar de leerlingen meteen "in de aanval" gaan met binomcdf (135, 0.13, 26). Mijn TI vraagt keurig om de trials, p en X. Moet je een invuloefening belonen?

Wat mij betreft leren we de kandidaten de zaken wiskundig formeel correct op te schrijven, dus aangeven wat voor verdeling het is, met welk parameters en welke kans er berekend moet worden, compleet met de P- notatie inclusief wat achter de | moet komen te staan. Dat is de wiskunde.

Als je bij eenvoudige berekeningen met +, -, ×, :, sin, cos etc. een intypfout maakt wordt die ook afgestraft en krijg je ook geen punt voor de goede GR-bedoeling als je zou aangeven hoe je de GR wilde gebruiken. Laat dat in deze gevallen ook zo zijn, zeker nu het gebruik van de GR steeds verder versimpelt en trucmatig wordt door vereenvoudigde invoer en hulpprogrammaatjes.

Ongetwijfeld zijn er meer gevallen waarin de GR gebruikt wordt maar die niet onder het bovenstaande vallen, ik denk aan het gebruik van dy/dx of lijsten, maar ik denk dat ook daar de correcte wiskundige notatie van de bedoelde oplossingsstrategie goed "gecanoniseerd" kan worden zonder dat het GR-gebruik op zich, het noemen van opties of hoe dan ook, beloond wordt.

 

Ik ben het HAVO wiskunde A examen 2012 eerste tijdvak nog eens nagelopen op het gebruik van de GR: dat was 10 keer, waarvan zo'n 5 keer een vergelijking moest worden opgelost, of eigenlijk vaker, want bij vraag 16 is de vergelijking normalcdf (-10^99, x, 178,14) = 0,05 aan de orde, die dankzij voorgeprogrammeerde solve-instellingen gereduceerd wordt tot een invuloefening. Via invNorm vraagt de TI bij mij dan om de oppervlakte (area), μ en σ. Een normaalkromme met de juiste gegevens op de juiste plaats of  P(X ≤ x | μ = 178, σ = 14) = 0,05 noteren lijkt me toch veel meer van inzicht te getuigen.

Vermeldenswaard is nog dat het opstellen van een lineaire formule bij vraag 21 heel snel en eenvoudig kon met de optie LinReg en de groeifactor van vraag 11 met ExpReg. In het eerste geval worden er in het CV geen nadere eisen gestel aan de berekening, in het tweede wordt de normaal gebruikelijke berekening expliciet vermeld.

Vraag 12 leende zich, gezien de discrete context, trouwens naast de intersect-aanpak ook voor een oplossing via een tabel met gehele waarden voor de variabele.

 

Kijk ik naar HAVO wiskunde B 1^e tijdvak 2012, dan komt in het CV 3 keer de opmerking "beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden" (en inderdaad, het mag zonder GR geprobeerd worden, maar het eventuele meerwerk wordt niet extra beloond). De GR komt dus weinig aan bod.

Daarnaast telde ik 6 vragen waarvan de oplossing exact of algebraïsch moest worden gevonden. De te maken stappen, die in het CV expliciet vermeld staan, leveren daar dan ook wel navenant meer punten op.

Op het VWO speelt bij wiskunde B het gebruik van integraalopties van de GR een rol. Ook hier is het toepassen van deze opties dankzij zaken als natural textbook display vervallen tot een simpele invuloefening, het overnemen van de opgestelde integraal. Dus: beloon het opstellen en juist noteren, niet het invoeren.

Overigens, die natural display verkoopt stiekem exacte knollen voor benaderde citroenen door antwoorden in de vorm van breuken of wortels dan wel met pi te geven.

Er is nog enige tijd te gaan voor de zaken in 2015 weer op de schop gaan en twee of drie jaar later geëxamineerd worden. Misschien is het dus een punt van discussie in de aanloop van de komende wijzigingen om ons nog eens goed te bezinnen op de rol van de GR, maar met name ook op de beloning van de rol die de GR speelt bij het oplossen van wiskundige problemen. Gaat het ons nou om knoppenvaardigheid of om het tonen van wiskundig inzicht? De vraag is dus: heeft het weergeven van de wiskundige oplossingscontext meer waarde dan het aangeven van de GR-procedure die in die context wordt toegepast.

Wat mij betreft: weer de GR-taal en de knoppentaal- op het CE, ken er geen punten aan toe en eis van de leerlingen dat ze op wiskundige wijze duidelijk maken wat ze aan het doen zijn.

 

(eerder in een kortere versie gepubliceerd in Euclides)