Gedachten bij een reactie.

Gedachten bij de reactie van Frans van Haandel

http://aowiskunde.blogspot.nl/2016/08/reactie-op-reactie-van-frans-van-haandel.html

op mijn opmerkingen http://aowiskunde.blogspot.nl/2016/07/reactie-op-een-persoonlijk-perspectief.html

bij zijn blog https://onderwijzerblog.wordpress.com/2016/07/18/een-persoonlijk-perspectief-op-onderwijs2032-en-onderwijsvernieuwing/

Beste Frans,

Laat ik vooropstellen dat ik het met de strekking van je betoog op zeer veel punten eens kan zijn.

Alleen, ik ben niet iemand die mee huilt met de wolven in het bos (iets waar ik ook jou zeker niet van wil en zal beschuldigen!). Ik ben niet van het alarm-type. Het is zeker niet mijn bedoeling om zaken te bagatelliseren, ik probeer ze liever te analyseren en te relativeren dan te verabsoluteren, bijvoorbeeld door niet de kreet “rekenramp” in de mond te nemen. Het beeld dat van het huidige rekenonderwijs geschetst wordt in zijn zwartste scenario’s onderschrijf ik als zodanig dus niet. Ik zal niet ontkennen dat er zaken in het huidige rekenonderwijs anders en beter kunnen, maar het kind met het badwater weggooien, zo ver ga ik niet.

Ik heb sinds ik in 1971 in het onderwijs stapte (en voor die tijd tijdens het behalen van mijn bevoegdheden) met de regelmaat van de klok allerlei alarmbellen horen afgaan als het ging over rekenen en wiskunde. Je vindt er iets van terug in http://www.math.rug.nl/~broer/pdf/hovo8.pdf en dan blijkt er niets nieuws onder de zon. Het rinkelt al eeuwen zogezegd.

Tussen het lawaai van die alarmbellen, waarvan het effect meestal achteraf slechts nauwelijks of beperkt merkbaar was, heb ik zo goed mogelijk wiskunde proberen te geven. Zelf hebben we ook wel eens met die bellen geklingeld, zoals toen we poefschool waren in het HEWET-experiment, dat geen experiment was maar een schaamlap voor het gewoon invoeren ervan, terwijl het naar de mening van de proefscholen nog lang niet voldragen was. Tevergeefs, overigens

Je reactie op reactie op reactie deden bij mij een veelheid van gedachten naar boven komen. Het zijn geen stellingen, absolute waarheden, maar meer veronderstellingen en misschien vaak ook wishful thinking. Beschouw dit niet als een discussiestuk, maar lees het als een beschouwing, die wil staan in het licht van vele andere benaderingen en meningen en niet de polarisatie zoekt.

Individueel onderwijs.

Jij hebt je hoop gevestigd op het gepersonaliseerd leren als het gaat om het bijbrengen van een basisniveau rekenen en wiskunde bij elke leerling, ook bij degene die nu uit het peloton moeten lossen, o.a. dankzij digitale hulpmiddelen die kunnen zorgen voor individuele feedback en herhaling. Ik zal het in de praktijk niet meer meemaken maar vermoed dat het inderdaad een zinvolle aanvulling zou kunnen zijn op de taak van de docent.

Ik hoop namelijk niet dat het klassikale element van het lesgeven daardoor zou verdwijnen, het groepsgebeuren, samen de stof doorworstelen, van elkaars vragen en fouten leren, voordoen, nadoen, evalueren, nou ja, je kent het proces. Oefenen, herhalen, je fouten kunnen analyseren en afleren, dat is dan de volgende meer individuele fase na het groepsproces.

Het verbeteren van het te behalen niveau van de beheersing van de stof wordt niet alleen door deze factoren bepaald, daar spelen ook veel andere zaken in mee. Daagt de stof uit, is het nuttig, zinvol, toepasbaar, maar ook: wat maakt het leuk, wat genereert inzet en enthousiasme, hoe wordt de leerling er persoonlijk bij betrokken en gaat hij er voor? Is dit meer een kwestie van persoonlijke interactie docent-leerling of betreft dit ook belangstelling, inzet, capaciteiten en leervaardigheden van de leerling? Kunnen technische hulpmiddelen zoiets oplossen of overbruggen? Dan ben ik toch enigszins sceptisch. Ik denk dat de docent in dit proces voorop gaat.

Wiskunde als verplicht vak.

Afschaffen van de verplichting om de een of andere vorm van wiskunde te kiezen in de bovenbouw is een idee waar ik achter kan staan. Het is inderdaad misschien zinvoller en productiever die specifieke wiskunde die daar straks nodig is pas in het vervolgonderwijs aan te bieden en niet de hele VO-populatie te belasten met een grootste (of minder grote) gemene deler van de eisen die de hele breedte van vervolgopleidingen eisen of wensen, eventueel opgedeeld in A, B en/of C., waardoor het vlees noch vis dreigt te worden.

In het HAVO en VWO krijgen leerlingen meer vakken, waar ze later “niets” meer mee doen, maar toch op een voldoende niveau dienen te beheersen. Dat iedereen tot op een bepaald niveau ook wiskunde (en rekenen) krijgt en dat ook voldoende moet kunnen beheersen past in dit beeld. En dat daarbij een aspect van praktisch maatschappelijk nut en toepassing in het dagelijkse leven een rol speelt lijkt me dan voor de hand liggend. Ook in andere vakken gaat het niet (meer) om alleen het kunnen opsommen van feitjes of leren van woordjes en grammatica. Het kunnen duiden van informatie, aanbrengen van samenhang, plaatsen in contexten, toepassen in concrete situaties en gebruiken in de praktijk hoort er ook bij.

Basisniveau wiskunde.

Je stelling “dat bij wiskunde voor het grootste deel van de leerlingen bij hun diploma een 8 voor het onderbouwbasisniveau waardevoller zou zijn dan een 5 of 6 voor het bovenbouweindniveau” vind ik intrigerend en kan hem tot op zekere hoogte beamen.

Als het om het grootste deel van de leerlingen gaat dan heb ik daarbij wel mijn twijfels of dit, op zich waardevolle streven, realiseerbaar is, als ik kijk naar de grote breedte aan capaciteiten en competenties van de leerlingen in het VO. Ik herinner me het geploeter in 3 havo en heb pas door bijles ervaren hoe moeizaam het kan zijn op het vmbo.

Ik denk wel dat er een stevige evaluatie van de wiskunde- en rekendoelen in de onderbouw zou moeten plaatsvinden, en dit in overleg met de vervolgopleidingen en in aansluiting op wat er in de bovenbouw aan wiskunde gebeurt, om te bekijken welke minimumeisen er, per onderwijsniveau, gesteld zouden moeten worden aan zo’n basispakket. Het zal een zoeken zijn naar een evenwicht tussen wat het grootste deel van de leerlingen inderdaad op het niveau van een 8 moet kunnen presteren en wat als basis nodig is om verder te kunnen wat betreft de studie en de maatschappij. Pas je je aan aan de gemiddelde leerling of aan de te stellen eisen? Hier spelen natuurlijk ook het door jou genoemde arsenaal aan nieuwe leermiddelen, die door gepersonaliseerd leren de prestaties kunnen optimaliseren, een belangrijke rol. Je verwacht dat we die slag kunnen gaan maken de komende jaren, ik vermoed dat het echter nog een hele slag wordt.

In de bovenbouw zal het toch nodig zijn om verschillende bruggen te slaan naar de specifieke wensen en eisen van de gespecialiseerde vervolgopleidingen voor wie dat nodig heeft, en daarvoor wiskunde van verschillend (vervolg-)niveau en inhoud aan te bieden, maar inderdaad, iedereen verplichten is dan niet meer noodzakelijk als het eindniveau van de onderbouw maatschappelijk aanvaardbaar is.  Het vak ANW is afgeschoten, maar misschien is er een analoog vak te bedenken op schoolexamenniveau dat aspecten van wiskunde en aanverwante terreinen toegankelijk maakt voor diegenen die in de bovenbouw geen wiskunde kunnen of willen kiezen, een soort wiskunde C. Helaas, deze discussie komt als mosterd na de cTWO-maaltijd, die we een aantal jaren geleden hadden mogen nuttigen.

Staartdeling

Het betoog over de staartdeling vind ik terecht voor zover het die leerlingen betreft die op de een of andere manier later te maken krijgen met de exactere toepassing ervan bij bijvoorbeeld veeltermen, met die aantekening dat het ook daar een middel is en geen doel op zich. Als leerlingen de hapmethode hebben geleerd (waarbij in een aantal situaties de leraar toch al wel de doorstap maakt naar de echte staartdeling via de opvermenigvuldigs-methode, heb ik ervaren) dan is het op het moment dat, en zeker op het (intellectuele) niveau waarbij hij geplaatst wordt voor het uitdelen bij veeltermen, geen enkel probleem om dit algoritme alsnog onder de knie te krijgen.

Maar het is wat mij betreft een ervaringsfeit dat voor een aantal leerlingen de straatdeling een, weliswaar goed te leren, truc is die het gewenste resultaat oplevert (en die je dan door terugvermenigvuldigen kon controleren op zijn juistheid). In principe werd het resultaat van het toegepaste algoritme door de meeste leerlingen net zo klakkeloos aanvaard als nu een berekening met een rekenmachine, alleen kostte het wat meer tijd en moeite om het zelf uit te “rekenen”.

Ik geloof er niets van dat elke basisschoolleerling echt begrijpt waarom en hoe dat algoritme werkt. En eigenlijk stelde de middelbare-school-wiskunde mij ook pas echt in staat om te doorgronden wat de diepere betekenis was van dit algoritme. Ik kon het wel aanvoelen, maar had het niet kunnen beredeneren, terwijl ik het wel had kunnen “uitleggen”: doe dit en dan dat. Maar misschien is dat door diegenen die het wel meteen doorhadden moeilijk voor te stellen.

Ik denk dan aan een kilo kersen, zoals die vroeger bij ons aan tafel (met 9 man) werden verdeeld: eerst ieder 5, dan ieder nog 3 en dan voor ieder nog 2 kersen, de paar die dan overbleven waren een extra premie voor wie het op dat moment verdiende. We telden de kersen niet eerst om er daarna via een staartdeling achter te komen hoeveel ieder kreeg. Dit principe van verdelen kan met het principe van opvermenigvuldigen heel goed leiden tot een inzicht in de uiteindelijke staartdeling, waarna het algoritme van begrip en inzicht naar vaardigheid en routine kan gaan. En natuurlijk: een slimme leerling die heeft leren happen zal daarna al gauw de voorkeur geven aan de staartdeling, al was het alleen al omdat het sneller tot resultaat leidt hoewel het principe hetzelfde is. Hij zal misschien de hap-fase niet eens nodig hebben, maar hoeveel leerlingen zijn dat?

Maar waar gaat het in eerste instantie om: dat een leerling weet wat delen is en een deling op de een of andere manier kan uitvoeren of dat hij een bepaald algoritme kan uitvoeren?

Het leren van tafels lijkt me een onmisbare zaak voor vlotte en elementaire rekenvaardigheid, maar ik herinner me maar al te goed dat ik in een klas zat waar dat stampen van tafels ongeveer net zo ging als het stampen van psalmversjes, niet de betekenis maar de reproductie was belangrijk (met alle theologische misinterpretaties en schadelijke (?) geloofsafvalgevolgen van dien…). Ik weet niet of die z.g. charlatan-opmerking die je aanhaalt wel echt helemaal de plank misslaat. (Google maar eens op HULDEBIET)

Ik heb (had) in de klas weinig aan al die kreten die nu verzameld zijn in de link  http://www.beteronderwijsnederland.nl/content/uitspraken-rekenen ik heb (had) mijn leerlingen voor me en had hen wat uit te leggen, hun vragen te beantwoorden en hun fouten te corrigeren en af te leren en heb (had) geen boodschap aan al die slogans in de marges van het vigerende onderwijs, waarmee hotemetoten elkaar belaagden.

Het rekenniveau verandert.

Ik onderschrijf de stelling dat het rekenniveau inderdaad lager is, afgemeten aan wat vroeger geleerd en gekend werd. Om dat aan te tonen met een toets uit 1959 (voor een kleine populatie bestemd, toen) lijkt overtuigend, maar geeft een discutabel beeld, omdat ik (die in 1959 dat toelatingsexamen voor de HBS deed) ook niet (meer) in staat zou zijn geweest om dat toelatingsexamen uit 1924 te maken. Een rekenboekje van twee eeuwen geleden is voor ons ook niet meer maar even zo te begrijpen en de opgaven daarin te maken. (Ik schreef over dat examen in 1959 in mijn blog http://aowiskunde.blogspot.nl/2014/04/toelatingsexamen-hoofdrekenen-hbs.html )

Eén van de redenen is dat het rekenonderwijs qua doel en didactiek in de loop der eeuwen steeds is veranderd en aangepast, ik denk aan nieuwe pedagogische en didactische inzichten en de behoeften van de maatschappij en wetenschap. De eisen en doelen lijken steeds te zijn bijgesteld, voor het gevoel naar beneden, maar wellicht meer vanwege nut en rendement. Blijkbaar was al die kennis van toen niet meer nodig of meteen gewenst in latere situaties.

Ik denk dat de democratisering van het onderwijs, de openstelling voor steeds meer lagen en niveaus van de bevolking ook een reden is geweest om het onderwijs aan te passen aan een gemiddeld niveau en in te stellen op een gemiddeld rendement waarmee het onderwijs en de maatschappij goed kon leven en waarmee een leerling eventueel goed verder kon naar een hoger onderwijsniveau.

Ik denk dat het verminderde, of liever veranderde, rekenvermogen ook een oorzaak vindt in de rol die de rekenmachine in het onderwijs is gaan spelen. In plaats van hulpmiddel na het opbouwen van basisrekenvaardigheid lijkt de rekenmachine in plaats gekomen te zijn van die basisrekenvaardigheid. Dat is een didactische blunder geweest. Je kunt niet rekenen met een rekenmachine als je niet eerst het rekenen zelf hebt geleerd. De plaats die de nu andere digitale (reken-)hulpmiddelen zijn gaan innemen in het onderwijs geven de indruk dat die didactische blunder zo weer gemaakt kan gaan worden. Maar je kunt die middelen niet meer wegdenken of uitbannen en dus is het opportuun om te blijven zoeken naar de didactisch optimale inzet ervan. Die boot hebben we denk ik gemist bij de (grafische) rekenmachines. Bruikbare apparaten maar contraproductief ingezet, terwijl ik volhoud dat een rekenmachine mits op de juiste manier gebruikt (en o veel momenten niet gebruikt) een zinvolle en tevens noodzakelijke functie in de didactiek van het rekenen kan hebben. Uiteindelijk is het ding maatschappelijk niet meer te vermijden, wat het noodzakelijk maakt er goed mee om te kunnen gaan.

Ontwikkeling in het rekenonderwijs.

Het reken- en wiskundeonderwijs en -didactiek heeft naar mijn idee globaal gesproken gelijke tred proberen te houden met wat techniek en maatschappij bood en eiste, in die zin dat je kunt stellen dat hetgeen nuttig en noodzakelijk bleek uiteindelijk steeds overleefde en wat redundant was vanzelf afviel. Er zullen in de geschiedenis vast en zeker heel wat rekenmethoden en -middelen die vanuit toen nieuwe inzichten en didactieken gepresenteerd zijn ook weer gesneuveld zijn dan wel aangepast en/of geëvolueerd geïntegreerd geraakt in de mainstream van het onderwijs.

Ik denk dat het realistische rekenen in z’n uiterste vorm met al z’n blabla en poeha uiteindelijk datzelfde lot beschoren zal zijn, of eigenlijk al is. In de jaren 70 hadden we de wiskobas en wat zie je daar nog van terug met al die mooie boekjes over verzamelingen? Die rekenmachine zal mogelijk en hopelijk ook zijn te prominente plaats in het rekenonderwijs moeten afstaan aan betere rekendidactieken waarin het instrument slechts een bijrol vervult.  

Het is jammer dat de z.g. “rekenoorlog” vaak meer een strijd tussen ego’s lijkt dan dat het gaat om de beste manier van reken- (en wiskunde-) onderwijs. In ieder geval komt het mij over als een strijd in de marges van het vigerend onderwijs, dat ondanks of dankzij de tegenstrijdige inzichten gewoon doorgaat en probeert de beste resultaten te bereiken door niet te kiezen maar te delen. Onder collega’s, op studiedagen en conferenties en bij (na)scholing is die rekenoorlog in extremum geen hoog op de agenda staand punt. De strijd gaat vaak meer tussen kampen die over het onderwijs praten dan die het onderwijs zelf geven.

Het ware gewenst dat de kampen die elkaar bestrijden over en weer enig water in hun wijn zouden doen en erkennen dat er op het gebied van het reken- en wiskundeonderwijs niet slechts één enkele eenduidige waarheid bestaat maar dat er vele wegen naar Rome leiden, al naar gelang de gewenste soort route en voertuig en de beschikbare tijd.

Zoals in het onderwijs naast de reguliere scholen ook allerlei alternatieve vormen zoals jena-, montessori-, dalton-, freinet- en wat voor -onderwijs ook, met al hun voors en tegens, die elk hun principes hanteren (en andere soms bestrijden), zo zou ook in het reken- en wiskundeonderwijs vorm en inhoud kunnen mogen variëren, als maar de eindstreep met derzelver kwaliteitseisen gehaald wordt.

Rendement

“Het blijft de vraag of er met andere vormen van rekenonderwijs een groter rendement beklijft” is zeker geen retorische vraag, al was het alleen maar omdat experiment en ervaring, de praktijk van jaren (althans wat mij betreft) meer kan zeggen dan theoretisch empirisch onderwijsonderzoek, al neem ik daar graag kennis van. Die onderzoeken hebben in de loop der jaren zo’n kakofonie van uitkomsten opgeleverd, dat ik het dus liever dicht bij huis zoek: bij mijn leerlingen, in mijn klassen, op mijn school. En elke leerling, elke klas, elk jaar is het weer anders. In plaats van me door evidence-based principes het bos in te laten sturen, raak ik dan liever evidence-informed door het gesprek aan te gaan met collega’s, te studeren in de beschikbare literatuur en kennis te nemen van de steeds voortgaande discussies.

Ik schreef er over in http://aowiskunde.blogspot.nl/2015/12/realistische-of-traditionele.html

En wat wel zeker is: de veranderende situaties in maatschappij en techniek, de veranderende middelen die het onderwijs ter beschikking staan en vooral ook, de veranderende leerling maken dat het traditionele rekenen van een aantal decennia geleden niet zal kunnen terugkeren. Een aantal elementen zullen zeker behouden blijven of wellicht weer terugkeren, maar het rekenonderwijs op zich kent geen weg terug en zoekt de toekomst.

Laten we het hierbij voorlopig even laten.eonderwijs vorm en i