Niet/wel of wel/niet?

Nieuwe afrondregel wiskunde A, B en C..

Het College voor Toetsen en Examens heeft in de septembermededeling 2017 een nieuwe vakspecifieke regel over afronden bij het bestaande CV voor het CE wiskunde A, B en C gepubliceerd.

Deze luidt:

Voor wiskunde A, B en C:

4.a. Als bij een vraag doorgerekend wordt met tussenantwoorden die afgerond zijn, en dit leidt tot een ander eindantwoord dan wanneer doorgerekend is met niet-afgeronde tussenantwoorden, wordt bij de betreffende vraag één scorepunt in mindering gebracht. Tussenantwoorden mogen wel afgerond genoteerd worden.

4.b.  Uitzondering zijn die gevallen waarin door de context wordt bepaald dat tussenantwoorden moeten worden afgerond.

en alleen voor wiskunde A, C en niet voor B:

4.c. De aftrek voor fouten zoals bedoeld onder 4a en/of fouten bij het afronden van het eindantwoord bedraagt voor het hele examen maximaal 2 scorepunten. 

… als aanvulling op..

Dit is een aanvulling op aanpassingen in 2015, die als volgt luidden:

Voor wiskunde A, B en C:

1. Voor elke reken­fout wordt 1 score­punt in minde­ring ge­bracht tot het maximum van het aantal score­punten dat voor dat deel van die vraag kan worden gegeven.

2. De algeme­ne regel 3.6 geldt ook bij de vragen waarbij de kandida­ten de grafi­sche rekenma­chine (GR) gebrui­ken. Bij de betref­fende vragen geven de kandida­ten een toelich­ting waaruit blijkt hoe zij de GR hebben ge­bruikt.

en alleen voor wiskunde A, C en niet voor B:

3. Als de kandi­daat bij de beant­woor­ding van een vraag een notatie­fout heeft gemaakt en als gezien kan worden dat dit verder geen invloed op het eindant­woord heeft, wordt hier­voor geen score­punt in minde­ring ge­bracht.

met voorbeelden ter toelichting.

Er werd in september toegezegd dat later in 2016 een toelichting over het afronden op www.examenblad.nl  zal verschijnen.

In Euclides 92/3 (december 2016) publiceerde het CvTE inmiddels een toelichting op de nieuwe vakspecifieke regel met enkele voorbeelden van leerlingenuitwerkingen.
Deze is inmiddels door CvTE zelf gepubliceerd: klik hier

Daarin wordt in verband met regel 4.c. een aangepaste werkwijze bij de correctie van de examens wiskunde A en C uitgelegd. Daar maken we kennis met het begrip “compensatiescore”.

Maar daar wil ik het hier niet over hebben.

Merkwaardigheden.

Ik wil wijzen op een paar merkwaardigheden in Voorbeeld 3, waar uitgegaan wordt van een lineair model. Een lichaamsgewicht daal daarbij in 60 maanden van 133,20 kg naar 87,20 kg. Gevraagd wordt het gewicht weer 9 maanden later te berekenen en het eindantwoord op 1 decimaal af te ronden.

Een leerling wiskunde A/C die opschrijft

(133,20 – 87,20) / 60 = 0,76

en dan 87,20 – 9 x 0,76 = 80,3

heeft kennelijk wel doorgerekend met de gemiddelde afname per maand van 0,7666666667 en niet met 0,76, want anders was hij op 80,4 uitgekomen.

“Hier is dus sprake van een notatiefout” en op grond van regel 3, die alleen geldt voor wiskunde A/C worden er dan geen punten afgetrokken.

Had de leerling 87,20 – 9 x 0,76 = 80,4 dan had hij te vroeg afgerond en op grond van regel 4.a. wordt dan een punt afgetrokken.

Wel of geen notatiefout?

Bij wiskunde B worden notatiefouten (verschrijvingen) wèl aangerekend, maar in het artikel in Euclides staat nu bij de eerste uitwerking: “Omdat uit de verdere uitwerking blijkt dat juist is doorgerekend, is de schrijfwijze bij wiskunde B echter passabel”. Dat klopt wel met regel 4.a., maar voor wiskunde B vind ik dat een merkwaardige gang van zaken.

Immers: het gaat over een wiskunde B-leerling, die in de regel

(133,20 – 87,20) / 60 = 0,76

noch afrondt noch duidelijk maakt dat hij niet afrondt, door bijv. 0,7666… op te schrijven.

Wat in die regel staat is dus wiskundig gezien (een reken)fout.

In de volgende regel schrijft hij dan:

87,20 – 9 x 0,76 = 80,3

en met alle goede bedoelingen: wat er staat is (een reken)fout.

Dat je dat een wiskunde A/C leerling niet al te euvel wilt duiden, ik vind dat op VWO-niveau toch wel erg ver gaan, maar dat je het een wiskunde B-leerling niet aanrekent: dat gaat me te ver!

Afgezien daarvan: op deze wijze zet je de regel “Voor elke rekenfout of verschrijving in de berekening wordt 1 scorepunt in mindering gebracht tot het maximum van het aantal scorepunten dat voor dat deel van die vraag kan worden gegeven” voor wiskunde B op losse schroeven.

In hetzelfde voorbeeld staat ook nog, dat “fouten in wiskundige notaties de A/C-leerling niet altijd aangerekend moeten worden” waarmee er toch weer een discussieruimte is ontstaan omdat “als gezien kan worden dat dit verder geen invloed op het eindant­woord heeft” natuurlijk verschillend geïnterpreteerd kan worden. Maar goed, je kunt niet alles dichttimmeren.

Enkele opmerkingen.

Opmerking 1.

In het voorbeeld wordt gesproken over een lineair model. Dus het gaat over een benadering van de werkelijkheid. Zeker waar er geen rekening gehouden wordt met de verschillende lengtes van de maanden kun je je afvragen of de gewenste exacte berekening met niet-afgeronde tussenantwoorden wel zinvol (en verdedigbaar) is en of het gebruik afgerond 0,77 niet ook voldoet in het kader van het gekozen model. Als een leerling er blijk van geeft het wiskundige model juist te kunnen hanteren dan is aan de bedoeling van de vraag voldaan.  

Opmerking 2.

Een kandidaat die 0,76 opschrijft maar doorrekent met 0,77 of 0,766 en uitkomt op 80,3 rondt ook te vroeg af maar wekt de schijn dat hij met een niet-afgeronde waarde doorrekent.

Opmerking 3.

Vanwaar die nullen in 133,20 en 87,20? Dat zou zelfs tot de factor 0,80 kunnen leiden, misschien. En terzijde, de BMI wordt berekend met het lichaamsgewicht in hele kg.

Opmerking 4.

Behalve bij havo wiskunde A wordt in havo en vwo in het CV voor wiskunde gebruik gemaakt van ≈ als het gaat om een reken(tussen)stap waarbij afgerond wordt, zij het meestal tussen haakjes en dan behoeft dit niet in het antwoord van de kandidaat voor te komen. In het VMBO wordt gebruik gemaakt van de puntjesnotatie
(in de zin van (133,20 – 87,20) / 60 = 0,76… en 87,20 – 9 x 0,76…  = 80,3).
Het zo een goede zaak zijn als deze zinvolle notaties, die het rekenproces alleen maar kunnen verduidelijken, ook voor de leerling, consequent in de stofomschrijvingen, de boeken en de correctiemodellen wordt toegepast. Dit geldt zeker voor wiskunde B! Het voorkomt een ongewenste en in feite oneigenlijke toepassing van regel 4.a. bij wiskunde B.

Opmerking 5.

Wie de examenbesprekingen en fora volgt weet dat het onderwerp “afronden” een heet hangijzer is en het CvTE spreekt over “signalen uit het veld waaruit blijkt dat niet altijd duidelijk is hoe om te gaan met tussentijds afronden en het noteren van tussenantwoorden”.  Het zou een goede zaak kunnen zijn als het CvTE in het examenjaar 2017 proactief alle 1^e en 2^e correctoren vooraf oproept om hun eventuele afwijkende visies, vragen, problemen en meningsverschillen ten aanzien van afrondingen in het CV expliciet en gedocumenteerd te melden aan het CvTE, zodat het college een inventarisatie kan maken van de knelpunten en de meningen in het veld en niet alleen op signalen gaat wachten om daarna conclusies te trekken en regels te geven die aansluiten met de praktijk in de wiskundelessen.

N.B. 1. in het forum van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren is een discussie over de nieuwe regel gestart: https://www.nvvw.nl/forum#/discussion/731/nieuwe-vakspecifieke-regel-over-afronden (alleen voor leden toegankelijk)

N.B. 2. Ik heb me al eerder geuit over het feit dat het CvTE wat gemakkelijk over de verschillen tussen wiskunde A/C en wiskunde B heenstapt: http://aowiskunde.blogspot.nl/2016/11/rectificatieperikelen.html