Huisartsen nemen een centrale positie in binnen de gezondheidszorg. De huisarts is namelijk het eerste aanspreekpunt voor mensen met vragen over gezondheid en ziekte. Veel mensen hebben dan ook regelmatig contact met hun huisarts, bijvoorbeeld door naar het spreekuur te gaan of een telefonisch consult te hebben. Deze contacten worden contactmomenten genoemd.
Volgens een medisch tijdschrift hadden in 2008 mannelijke patiënten gemiddeld 3,5 en vrouwelijke patiënten gemiddeld 4,7 contactmomenten met hun eigen huisarts.
Neem aan dat deze gegevens ook gelden voor huisarts Tineke Hoekstra.
Zij heeft in 2008 een huisartsenpraktijk met 912 mannelijke patiënten en dat is 52% van haar totale aantal patiënten.
Bereken voor Tineke in 2008 het totale aantal contactmomenten met al haar patiënten.
Bij deze opgave zijn veel kanttekeningen te maken.
Allereerst over procenten.
De methode Getal & Ruimte heeft als vuistregel "Geef procenten in één decimaal nauwkeurig" maar vult dit aan met de opmerking "Ga altijd na of de nauwkeurigheid van je antwoord past bij het gegeven probleem".
De voorbeelden en opgaven in G&R houden zich aan deze vuistregel, hoewel er bij gegeven percentages waarmee gerekend moet worden ook vaak van gehele aantallen procenten wordt uitgegaan, zoals hierboven.
Daarnaast noem ik een opmerking in de syllabus: "Er wordt van kandidaten bij wiskunde A niet verlangd dat zij kennis hebben van regels voor het aantal significante cijfers. Daarom zal bij vragen op het centraal examen worden aangegeven in welke nauwkeurigheid een antwoord dient te worden gegeven of er zal genoegen worden genomen met antwoorden in uiteenlopende aantallen decimalen".
In het SLO-(concept-)rapport "Tussendoelen wiskunde onderbouw HAVO-VWO" staat o.a. "De leerling kan situaties vertalen naar een bewerking, deze uitvoeren en het resultaat van een berekening afronden in overeenstemming met de gegeven situatie" (waarbij de begrippen afronden en schatten worden genoemd).
Zowel syllabus als rapport doet de vraag rijzen of dit ook "de andere kant" op geldt: mag het in plaats van voor "uiteenlopende aantallen decimalen" ook gelden voor tientallen, honderdtallen enz. als dat beter "in overeenstemming is met de gegeven situatie"?
Het College voor Examens stelt zich op het standpunt dat het logisch is dat leerlingen hun antwoorden in dezelfde orde van grootte geven als in de opgave, tenzij dat anders in de vraag wordt aangegeven Dit standpunt werd althans ingenomen ten aanzien van de vragen 13, 14 en 17 in dit examen, waarin kansen in de context in 2 decimalen voorkwamen. De te berekenen kansen werden in het CV bijvoorbeeld weergegeven als: 0,99 (of 99 %) (of nauwkeuriger). Bij vraag 17 was het antwoord: 0,70 (of 70 %) (of nauwkeuriger) en niet 0,7. Alleen bij vraag 13 ging dat mis: het antwoord was daar 0,0003, hoewel er niet om 4 decimalen gevraagd werd.
Terug naar de vraag uit het examen. Duidelijk is dat het hier gaat om bij de leerlingen het begrip van en inzicht in het rekenen met procenten te testen. Op zich biedt de vraag daar inderdaad getalsmatig een mooie insteek voor. Alleen kun je je afvragen of dat in deze context zinvol gebeurt.
Die 912 is dus 52 % van het totaal. Dat getal 52 kan niet precies zijn, dan had 912 een veelvoud van 13 moeten zijn (zoals Gerard Koolstra al opmerkte in het NVvW-examenforum). Het is blijkbaar een afgerond getal tussen 51,5 en 52,5 en dat betekent dat het totale aantal patiënten kan liggen tussen 1771 en 1737, zeg maar ongeveer 1750.
(Was het percentage 52,0 % geweest, dan hadden alleen nog de aantallen 1753 t/m 1755 voldaan).
Bereken je met de eerder genoemde grenswaarden het aantal vrouwelijke patiënten, dan krijg je: 1771 × 0,485 ≈ 859 resp. 1737 × 0,475 ≈ 825.
Vervolgens moet er met de, ongetwijfeld weer afgeronde, getallen 3,5 en 4,7 worden doorgerekend. Daardoor wordt de foutmarge in het eindantwoord alleen maar groter. Gerard Koolstra heeft het nagerekend: 6987 t/m 7313 contactmomenten.
Natuurlijk zijn dit allemaal overwegingen waarmee je een HAVO-wiskunde-A-leerling niet kunt lastigvallen, het betreft zaken die ongetwijfeld vallen onder wat over het aantal significante cijfers werd gezegd. HAVO-leerlingen rekenen in zo'n geval natuurlijk 'rechttoe-rechtaan", zoals ze dat in de boeken (dachten) geleerd (te) hebben.
Het correctievoorschrift denkt er (daarom) zo over:
• De praktijk telt 912 / 52 × 48 ≈ 842 vrouwelijke patiënten (2 punten)
• Het totale aantal contactmomenten van de mannen is 912 × 3,5 ( = 3192),
dat van de vrouwen is 842 × 4,7 ( ≈ 3957) (1 punt)
• Het antwoord: 3192 + 3957 = 7149 (1 punt)
Opmerkingen
− Er mag ook worden gerekend met 841 vrouwelijke patiënten.
− Het antwoord mag ook in tientallen worden gegeven dus tot 7150 worden afgerond.
Allereerst valt op dat niet eerst het totale aantal patiënten afzonderlijk wordt uitgerekend (912 / 0,52) en afgerond op een geheel getal (1754), eventueel in tientallen nauwkeurig (1750). (Er is in het CV ongetwijfeld gedacht aan het gebruik van een verhoudingstabel omdat de factoren 0,52 en 0,48 niet voorkomen in het eerste bolletje).Toch wat vreemd als wel de tussenantwoorden 3192 en 3957 als gehelen gevraagd worden.
Vervolgens wordt het aantal 841 vrouwelijke patiënten ook goed gerekend, het aantal dat je krijgt als je 912 / 52 × 48 ( = 841,84…) naar beneden afrondt. (De mogelijkheid 840 (berekend met 1750) wordt niet genoemd).
En, ja hoor, het eindantwoord mag toch in tientallen! Hoewel 912 × 3,5 + 841 × 4,7 op 7144,7 dus eigenlijk in tientallen op 7140 uit zou komen.
Dat tussenantwoord 841 in plaats van 842 lijkt gebillijkt te worden omdat er kennelijk een soort regel zou bestaan, die zegt dat je bij aantallen personen altijd naar beneden moet afronden, omdat er nu eenmaal geen 0,84… persoon bestaat.
Maar is dat een echte, valide regel?
52,0 % van 319 personen is 0,520 × 319 = 165,88 dus… 166 personen, want 165 / 319 × 100 ≈ 51,7 % maar 166 / 319 × 100 ≈ 52,0 %
Als je 40 euro hebt en je geeft ieder persoon 6 euro, dan is 40 : 6 weliswaar 6,66.. maar je kunt maar 6 en niet 7 personen elk met die 6 euro blij maken (en je houdt zelf 4 euro over).
Aan de andere kant, als elke persoon 5 euro inlegt om samen een cadeau van 32 euro te kunnen kopen, heb je wel 7 personen nodig (en kun je nog wat extra's van 3 euro kopen) hoewel 32 : 5 = 6,4.
Ik denk dat deze vraag meer aan de bedoeling en de werkelijkheid had beantwoord als hij had geluid:
"Laat met een berekening zien dat het totale aantal contactmomenten dat Tineke in 2008 met al haar patiënten had ongeveer 7100 (of 7150 of 7200) was".
"Laat met een berekening zien dat het totale aantal contactmomenten dat Tineke in 2008 met al haar patiënten had ongeveer 7100 (of 7150 of 7200) was".
Dan had het rekenwerk zelf helemaal centraal gestaan zonder de besognes over afrondingen en decimalen die kennelijk geen rol moesten spelen.
In principe kan het dan in één keer in de rekenmachine: 912 / 52 × 48 × 4,7 + 912 × 3,5 ≈ 7149
Maar dat doe niet erg veel uit op wat de getallen in deze berekening voorstellen. Misschien voor HAVO-leerlingen op dit niveau geen probleem, maar als wiskundedocent krijg je toch ergens kromme tenen…
Geen opmerkingen:
Een reactie posten