Gedachten bij het CE VWO wiskunde B.

download CE (pdf) http://www2.cito.nl/vo/ex2015/VW-1025-a-15-1-o.pdf
download werkblad  http://www2.cito.nl/vo/ex2015/VW-1025-a-15-1-u.pdf
download CV (pdf) http://www2.cito.nl/vo/ex2015/VW-1025-a-15-1-c.pdf

Als je, zoals ik, sinds 2009 niet meer voor de klas staat en sindsdien ook geen examens meer hebt nagekeken, dan sta je zo langzamerhand toch wat verder van de stof af, en vooral ook van hoe de leerlingen ermee omgaan, welke kennis ze paraat hebben en welke fouten ze maken.
Maar toch kijk ik elk jaar weer met belangstelling uit naar de examens en probeer , vanuit mijn ervaringen uit een wat verder verleden inmiddels, enig zicht te krijgen op de vraag of het examen voldoet aan wat wiskunde B is of misschien zou moeten zijn en geef dan graag mijn mening en oordeel.
Het is daarbij vooral interessant om te kijken hoe bij zo’n examen de verdeling is tussen exact en niet-exact (c.q. gebruik GR), analyse en meetkunde, de hoeveelheid context en de mate van aanwezigheid van de verschillende onderwerpen zoals gonio, logaritmen en exponenten, differentiëren, integreren etc.

GR

Het heetste hangijzer is natuurlijk het gebruik van de grafische rekenmachine.

Er zijn 4 vragen waarin de GR gebruikt moet worden, dat betreft 18 van de 77 punten. Dat vind ik rijkelijk veel voor een VWO wiskunde B-examen. Het hangt er natuurlijk wel vanaf hoe het gebeurt.

… waar het niet nodig was.

In vraag 3 moet de vergelijking cos t = 2 cos (2t) worden opgelost.

Daar is de GR in feite niet bij nodig. Je kunt de vergelijking immers herleiden tot
4cos² t - cos t  - 2 = 0 en dan met de abc-formule berekenen dat

want  cos t moet negatief zijn omdat bij deze vraag de coördinaten moeten worden berekend van een punt A (sin t , cos t) dat onder de x-as ligt.
Maar deze exacte berekening is slechts een tweede alternatief van het CV.
Want helaas staat er “bereken” en niet “bereken exact” dus mag de genoemde vergelijking ook meteen met de GR worden opgelost. Voor het CV is dat het eerste alternatief…
De coördinaten moeten afgerond worden op één decimaal nauwkeurig, maar dat had na een exacte berekening ook in tweede instantie gevraagd kunnen worden.
Overigens, het blijkt dat y_A = cos t ≈ - 0,8 en dat is “mooi”, want 0,8² + 0,6² = 1, dus x_A is snel te vinden.
Voor de ligging van A en B (2 sin 2t , 2 cos 2t) geldt:
als cos t < 0 is op < ½ π, π> sin t > 0 en sin 2t < 0, en op <π, 1½ π> sin t < 0 en sin 2t > 0.
(A in IV en B in III resp. A in III en B in IV)
Deze vraag had dus eigenlijk best helemaal zonder GR gekund als er alleen een schets van de ligging van A en B, die op één horizontale lijn moesten liggen, gevraagd was (of als er een keuze had moeten worden gemaakt tussen 4 mogelijkheden).
Dit was dus een vraag waar veel meer in gezeten had  als het om echt B-werk gaat.

… waar het wel nodig was, maar…

Vraag 5 kan niet anders dan met een GR opgelost worden.

Het komt neer op het oplossen van de vergelijking
10 ^{- 7,32} + 10 ^{- 7, 032} = 10 ^{- 5,6 - 0,4m} na invullen van m = 4,30 en m = 3,58 in 10 ^{– 5,6 – 0,4m} en dan kun je dankzij die GR ook aan de slag met 1,41 · 10 ^-7 = 10 ^{- 5,6 - 0,4m} (en let op het gebruik van een afgeronde waarde). Dat is toch niet iets wat kenmerkend is voor een echt B-examen.
Bij vraag 7 moet eerst iets met log x gedifferentieerd worden, waarna met de GR met een beetje veel hulp in de stam van de opgave de snelheid waarmee de magnitude m verandert wordt uitgerekend, dat levert van de 3 punten 1 puntje voor GR-gebruik.  

...en waar het een overbodige vraag betrof.

Vraag 15. Daar moet je eerst met HB = 340 en F = 29400 de A uitrekenen met

  daarna h met A = 10π h en die invullen in  

en dan de vergelijking oplossen naar de variabele d.

A is “gelukkig” precies 8,82, maar voor h laat het CV de mogelijkheid open om met een afgerond getal verder te rekenen, waar dat in feite echt niet nodig was, want h = 0,882/π.
Deze vraag vraagt weinig specifiek B-kwaliteiten en voegt weinig zinvols toe aan dit examen. 
Al met al wel erg veel GR-gereken, soms onnodig ten koste van een exacte mogelijkheid, nominaal  16 op de 77 punten en dat is tamelijk veel voor een B-examen, ook vergeleken met de afgelopen jaren.

Meetkunde

Gelijke (middelpunts- en omtreks-)hoeken en raaklijnen aan cirkels waren de thema’s.

Twee opgaven, met elk twee vragen waarvan als slotvraag 17 van het examen één ging over tekenen met behulp van de meetkundige plaatsen bissectrice en parabool.
Op het NVvW-forum ging de discussie rond deze vraag deels over de bedoeling van “Licht je werkwijze toe”, een uitdrukking die niet vat onder de examen(werk)woorden. Gaat het hier om een verklaring waarom of om een beschrijving hoe je te werk gaat.
De beschrijving werkwijze is: teken de bissectrice  van de hoek, het (eerste) snijpunt met de parabool is het gevraagde punt N. De verklaring is dat vanwege de parabool N even ver ligt van brandpunt F als van richtlijn k en vanwege de bissectrice even ver van de benen k en l van de hoek, dus de cirkel gaat door F en raakt k en l.
Twee vragen, 8 en 9, over hoeken in cirkels en één over raaklijnen aan een cirkel, waarbij steeds het nodige bewezen diende te worden.
En dat levert veel alternatieve mogelijkheden op, waarvan, zo blijkt uit het NVvW-forum, lang niet alle mogelijkheden in het CV staan, terwjjl er door leerlingen ook heel wat bewijsvoeringen worden aangevoerd die dicht in de buurt komen, maar dan toch niet helemaal kloppen. Dan wordt het lastig punten geven.

“Bij gelijke bogen horen gelijke omtrekshoeken”??

Bij vraag 8 blijkt uit het gegeven dat er twee koorden in een cirkel even lang zijn en daar horen (volgens boog en koorde) even lange bogen bij. Alhoewel, de stelling staat precies andersom in de syllabus (terwijl van enkele andere stellingen het omgekeerde wel expliciet genoemd staan).

Bij de even lange bogen horen even grote middelpuntshoeken.  Er moet nu bewezen worden dat ook twee bijbehorende omtrekshoeken even groot zijn.  Die zijn elk de helft van de even grote middelpuntshoeken, dus aan elkaar gelijk.
Maar er blijken leerlingen, en zij niet alleen, die menen dat er ook een “officiële” stelling is die zegt dat bij gelijke bogen ook gelijke omtrekshoeken horen en die slaan dus de stap via middelpuntshoeken over. 
Dat is niet volgens de spelregels van het examen, maar blijkens de commentaren wordt die stelling wel bij enkele collega’s als algemeen geldend en dus toepasbaar in een bewijs geacht (zoals de stellingen in de bijlage) op het SE getolereerd.
Overigens, Getal & Ruimte geeft in de Terugblik in het betreffende hoofdstuk een bewijs van deze stelling, met behulp van congruente driehoeken, wat hier ook gekund had.
Hier steekt het bekende probleem de kop op dat bij bewijzen van eigenschappen die je zo kunt “zien” of bedrieglijk lijken op bestaande stellingen waarnaar (wel) verwezen mag worden leerlingen er bij bosjes invliegen.  
De meetkunde telde 18 van de 77 punten.

Analyse

In de vragen die de analyse betroffen ging het 7 keer om het bewijs van een bewering of formule en één keer om coëfficiënten van een formule af te leiden, wat een redelijke dosis gevarieerde algebraïsche activiteit vroeg.  Eigenlijk wel opvallend dat het resultaat van een gevraagde herleiding hier vaak dus al vooraf gegeven werd en het alleen nog gaat om de weg ernaartoe. Dat resultaat is dan weer een opstapje voor de volgende vraag.

Een bewijs vraagt om een redenering of exacte berekening, het woordje exact ontbreekt bij de examen(werk)woorden-definitie van “leid af”. In beide gevallen geldt in het algemeen  dat het gestelde controleren door middel van een of meer voorbeelden niet voldoet.
Er waren met de bewijzen 37 punten te verdienen, met het afleiden 4.
De opgave over gelijke hellingen bevatte twee van die exacte bewijsvragen. Het is een aardige mix van gonio, differentiëren (productregel) met toepassing van één van de gonio-formules op de bijlage en het oplossen van een goniometrische vergelijking, wat altijd pittige standaardkost  is en dan de schapen van de bokken scheidt.

Afleiden.

Dat afleiden kwam in vraag 4 voor en kon exact met behulp van een stelsel met 2 variabelen of met behulp van het afleiden van een formule die bij exponentiële groei hoort en dat laatste kon dan op de GR ook (niet-exact) met behulp van exponentiële regressie.

De formule is L = 10 ^{p+ qm} en met twee gegeven waarden van L en m moet dan afgeleid worden dat p = - 5,6 en q = - 0,4. Dan is voor sommige leerlingen de verleiding groot om, uitgaande van de al gegeven p en q te laten zien dat L en m voldoen. Wat natuurlijk niet de bedoeling is.
In vraag 6 wordt de leerlingen gevraagd om de variabele m in 10 ^{-5,6 – 0,4m} = C/x² vrij te maken. Merkwaardig in deze vraag is dat de coëfficiënten in het al gegeven antwoord
m = -14,0 – 2,5 log C + 5,0 log x niet “gewoon” als 14 en 5 genoteerd staan.
lijkbaar geldt 15,6 /  0,4 = 14,0 en 2 / 0,4 = 5,0. Dat heet dus een exacte berekening, neem ik aan.

Contexten

Er waren twee opgaven met een context, “Helderheid van sterren” , waarin met magnitudes en de helderheidsmaat lux gerekend wordt. In deze opgave komt dat afleiden, vraag 4, voor en verder o.a. de al genoemde vragen 5, 6 en 7.

De andere context-opgave is “Hardheid”, maar voor er echt gelezen moet worden zijn er al 2 analyse-vragen  gepasseerd, in vraag 12 het differentiëren van een wortelfunctie en daarmee een herleiding, die preludeert op vraag 13 en bedoeld is om een integraal, waarmee een oppervlakte van een boldeel moet worden berekend,  heel simpel te maken.
Daarna komt een meetkundige vraag waarin de stelling van Pythagoras aan de orde komt via een duidelijke tekening die ook los van de context geïnterpreteerd kan worden.
Dan volgt vraag 15, waarin de GR een hoofdrol speelt en waarover hierboven al eerder geschreven is.
Op die contexten heb ik weinig kritiek. Ze waren redelijk informatief en ter zake doende en de vragen werden er niet door “verduisterd”.

Dus…

Als je na een examen de commentaren leest dan is er altijd wel een aantal opmerkingen in de zin van “ik mis dit onderwerp” of “er had meer aandacht moeten worden besteed aan dat onderwerp”.

Wat mij betreft was dit examen een redelijke mix en variatie van onderwerpen, maar “het boek” staat natuurlijk vol met veel meer zaken die aan de orde hadden kunnen komen.  Iedereen zal z’n voorkeuren en liefhebberijen hebben en het ene jaar meer van zijn gading vinden dan het andere jaar.
En er zijn natuurlijk altijd meerdere invalshoeken om zo’n examen te bekijken. Als docent vanuit de praktijk van het onderwijs of als niet-docent vanuit andere belangen of interesses, bijvoorbeeld vanuit vervolgopleidingen die op de wiskunde voortborduren of wiskundig-beroepsmatig. Ik bekijk het vanuit datgene wat een leerling zou moeten weten en kunnen. De verleiding is groot om het examen te vergelijken met wat je zelf als wiskundige bagage meekreeg of wat aan kennis noodzakelijk zou kunnen of moeten zijn voor een vervolgopleiding. Ik bekijk het liever in het perspectief van de opleiding die de leerling gehad heeft, want daar is het een test van.
Dat houdt ook in dat daarin de (soms nog primaire of elementaire) middelen die de leerling ter beschikking staan meegewogen worden.  Het zijn nog geen wiskunde-studenten en de meeste worden dat ook niet.

… vond ik…

Ik vond dit examen niet al te moeilijk, soms best uitdagend, gevarieerd, maar redelijk evenwichtig.

Er zaten voldoende vragen bij die gebaseerd waren op basisvaardigheden en ook genoeg vragen op een pittiger niveau. Het “exacte” gehalte was net voldoende, want er was te veel louter GR en dan lang niet altijd zinvol in een B-examen. Ik kan ermee leven als de GR als sluitstuk in een denkproces wordt gebruikt of stappen uit handen neemt die essentieel zijn in een denkproces maar nog niet kunnen worden gemaakt door een B-leerling. Ook kan de GR prima dienen om een probleem te exploreren, hoewel dat CE-matig misschien minder realiseerbaar is(maar misschien in de nieuwe wiskunde B een kans krijgt in het SE?).
Maar als het al te A-achtig louter getalsmatig rekenen wordt dan haak ik af.
De startopgave Wortelfuncties, met integraalrekening, was een goede en niet te moeilijk of afschrikkend begin met een voor de leerlingen goed herkenbare vraagstelling.
De volgende opgave Cirkels en lijnen, met een parametervoorstelling van een cirkelbeweging, vroeg in eerste instantie ook tamelijk elementaire goniometrische waardenkennis, zodat een leerling die z’n zaakjes voor elkaar heeft vertrouwd op weg ging en niet meteen de mist in ging.
Het geheel leek me goed te maken binnen de gestelde tijd.
Ik vond het daarom een goed maakbaar examen waar een leerling zijn kwaliteiten adequaat kon tonen.

En nu maar afwachten wat mijn vakbroeders die er in de echte praktijk mee te maken kregen ervan vonden en hoe hun resultaten uitpakten.