Gepensioneerd en toch nog tijd om te bloggen.

Een aanvulling op twitter-account @eskorthof en dan met meer dan 140 tekens.

maandag 29 januari 2018

Delen door een GETAL is vermenigvuldigen met het omgekeerde.


Op Twitter kwam onlangs de volgende vraag voorbij:
Crowdsourcing ideas. All responses welcome: why does 1/2 ÷ 1/4 = 1/2 × 4?”
en daaraan toegevoegd
“You have a different way of looking at this? Anything you've got I'm open to.
En daar volgde natuurlijk een stroom van reacties op. Hieronder een weergave van mijn reacties.


Het (bekende ?) regeltje.

Vooral degenen die opgevoed zijn met de traditionele rekenmethodes zullen meteen zeggen: “Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde”. Als één van de (vele) kritiekpunten om de huidige realistische rekenmethodes geldt dat deze regel niet meer gekend wordt omdat de breuken in het verdomhoekje zijn geraakt. Het tij lijkt wat dat betreft weer te keren, getuige bijvoorbeeld de volgende pagina uit een boek van Getal & Ruimte:



Er was één opvallende reactie, die stelde dat het vermenigvuldigen met 4 als je moet delen door ¼ een regel “by common agreement” was. Dus geen “why” maar just “because” en zo heeft misschien menig scholier deze regel ook geleerd en toegepast. Dat is zo omdat het zo is en doe het nou maar want dan klopt het antwoord.

Vanzelfsprekend?

Misschien is het dat op grond van de redenering (een soort definitie van delen: als p : q = r dan is
r x q = p en andersom) : als a ÷ 1/b = c dan is c × 1/b = a wat betekent dat c = a × b (tussenstap: links en rechts x b, dus c x 1/b x b = a x b). Maar dat is geen triviale zaak, zeker niet voor leerlingen van de basisschool en dus wat mij betreft dus geen standaardafspraak zonder verder bewijs of uitleg. Anders zou het net zoiets zijn als het uit je hoofd opleren dreunen van de tafels alsof het psalmversjes (googel maar eens op "huldebiet") betrof zonder te snappen wat dat vermenigvuldigen nu precies inhoudt, bijvoorbeeld wel hardop kunnen zeggen “twee keer drie is zes” zonder ook maar enige begrip van en inzicht in ••• + ••• = •••••• (ofwel 2 x 3 = 3 + 3 = 6)

Het waarom.

Maar waarom is het dus, dat als je deelt door een breuk, je net zo goed kunt vermenigvuldigen met het omgekeerde.? Omdat dat gemakkelijke gaat of is er ook een logische verklaring voor?
Nou, er zijn er verschillende te geven.
Bijvoorbeeld omdat delen door 1 een stuk gemakkelijker is. Zorg dus dat de deler 1 wordt door deeltal en deler met hetzelfde getal te vermenigvuldigen. (1/2×4)÷(1/4×4)=(1/2×4)÷1=1/2×4. (je laat uiteindelijk ÷ 1 weg) of nog anders: 1/2 staat tot 1/4 is als 1/2 × 4 staat tot 1/4 x 4 dus als 2 staat tot 1. 
Je kunt het ook op een andere manier uitleggen.  Omdat uit 4 x 3 = 12 volgt dat 12 : 3 = 4 kun je zeggen: 
2 × 1/4 = 1/2 en dus 1/2 ÷ 1/4=  2. Dat laat wel zien dat : 1/4 neerkomt op x 4, maar verklaart helaas niet echt die factor 4 die het delen door 1/4 vervangt. En dit idee gaat lang niet altijd op.

Of op deze manier.

Een andere manier van uitleggen dan. Dat gaat met het Amerikaanse muntstelsel gemakkelijker dan met het Europese. In de USA hebben zo quarters (zoals onze kwartjes vroeger), half dollar munten, dollar-munten en -biljetten en 2 dollar-biljetten.
 

Hoeveel quarters gaan er in een half dollar? dus 1/2 : 1/4. Dat is bijna dezelfde vraag als: hoeveel half dollars gaan en in een dollar. Je verdubbelt de bedragen/getallen: 2 x 1/2 :  2 x 1/4.
En had je de bedragen/getallen verviervoudigd, dan kreeg je de vraag: hoeveel dollar gaan er in 2 dollar?
 ½ ÷ ¼ = 1 ÷ ½ = 2 ÷ 1.
Dat doet (weer) denken aan onze verhoudingstabellen.
Iets algemener.

Een wat algemenere benadering van “delen door een getal” geeft de volgende redenering:
a ÷ b = a × 1 ÷ b = a × 1/b , dus de regel is in feite: delen door een GETAL is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde. De regel geldt dus niet alleen voor breuken maar voor èlk getal waar je door deelt. Natuurlijk is elk geheel getal ook als een breuk te schrijven, maar toch: de regel is zo algemener.
Om 4 pizza’s over 7 personen te verdelen kun je als volgt te werk gaan: verdeel eerst elke pizza in 7 gelijke delen en neem van elke pizza één deel per persoon:  4 ÷ 7 = 4 × 1/7 .



Deze redenering vond ik bij Jan van de Craats. https://staff.science.uva.nl/j.vandecraats/#breukencursus
Dat 4 : 7 ook 4 x 1/7 is, is misschien een open deur of een omweg omdat je ook meteen zonder pizza’s wel wist dat 4 : 7 = 4/7 , maar als je 2/3 : 5 wilt uitrekenen dan is dit wel gemakkelijk: 
2/3 : 5 = 2/3 x 1 : 5 = 2/3 x 1/5 = 2/15.

Delen anders definiëren?

Je zou a ÷ b = a × 1/b als een soort definitie van delen kunnen poneren, maar naar mijn idee is delen dan een abstract en een betekenisloos begrip geworden dat niet intuïtief aansluit met wat delen in de praktijk inhoudt.
Op de manier waarop Jan van de Craats deze regel liet zien met pizza’s krijgt het wel iets vanzelfsprekends. Hij formuleert het zo: “Delen door een heel getal is hetzelfde als vermenigvuldigen met de bijbehorende breuk met teller 1.
Voorbeeld: 5 : 7 is hetzelfde als 5 × 1/7”.

Nog een uitleg.

Jan van de Craats merkt op dat als je een getal eerst vermenigvuldigt met 5, en de uitkomst daarna weer door 5 deelt, dan krijg je het getal weer terug waar je mee begonnen was: 
7 × 5 : 5 = 35 : 5 = 7 Dat geldt voor alle getallen, dus ook voor breuken!
Al eerder merkte hij op dat vermenigvuldigen met 4/7 hetzelfde is als eerst vermenigvuldigen met 4, en dan delen door 7, dus bijvoorbeeld 3 x 4/7 = 3 x 4 : 7. 
Bij deze vermenigvuldigen met 4/7 moet je om op het begingetal 3 uit te komen de vermenigvuldiging weer ongedaan maken, 3 x 4/7 : 4/7 = 3. Dus dan moet je delen door 4 en vermenigvuldigen met 7, ofwel vermenigvuldigen met 7 en delen door 4. 
Dus 3 x 4 : 7 x 7 : 4  = 3, ofwel  3 x 4/7 x 7/4 = 3

3 x 4/7 : 4/7 = 3 is dus hetzelfde als 3 x 4/7 x 7/4 = 3. 
Delen door 4/7 is hetzelfde als vermenigvuldigen met 7/4!

Dus “In het algemeen: delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk.” Aldus Jan van de Craats’ uitleg van de regel.

En zo leerde ik het:
Als uitsmijter Pete Seeger over het eeuwige waarom “Why oh why?” “Because, because!”
https://www.youtube.com/watch?v=KbzOPQO40Ps

TOEVOEGING: Één van de reacties op de vraag van Steven Delpome (@NA_Dellsey op Twitter) (die hij stelde, omdat één van z'n kinderen van school thuiskwam met die vraag) luidde: 
a/(1/b) asks ‘how many times does 1/b go into a?’. To answer, we recognize that 1/b goes into 1, b times. And 1 goes into a, a times. So 1/b goes into a, ab times.  Thus a/(1/b)=ab. Clear as mud.














1 opmerking:

  1. Joost Hulshof noemt ergens dat deze regel ook heel goed kan worden uitgelegd via het gelijknamig maken van breuken:
    2/3 : 4/7 = 14/21 : 12/21 = 14/12 (= 7/6) bedoelt hij dan misschien. Van de 2e naar de 3e stap vraagt dat wellicht enige uitleg, maar als je het tweede lid als een breuk met in de teller 14/21 en in de noemer 12/21 schrijft dan is het erg plausibel door teller en noemer met 21 te vermenigvuldigen.
    Ik zet daar een klein vraagteken bij, want hier “verdwijnt”, bij de eerste schrijfwijze al helemaal, de noemer 21, terwijl dat bij bijvoorbeeld
    2/3 + 4/7 = 14/21 + 12/21 = 26/21 niet gebeurt.
    En je zult je leerlingen zo maar op het idee brengen om het met vermenigvuldigen ook te doen:
    2/3 x 4/7 = 14/21 x 12/21 want ja, dan wordt het er niet eenvoudiger op.
    Misschien kun je als je leerlingen enige algebra hebben gehad wel het volgende laten zien:
    2/3 : 4/7 = a, dus a x 4/7 = 2/3 ofwel 4/7 a = 2/3
    links en rechts vermenigvuldigen met 7 en delen door 4 levert a = 2/3 x 4 : 7 = 2/3 x 7/4
    want 7/4 x 4/7 a = a

    BeantwoordenVerwijderen