Cool en Wiskunde (5)

Het is wat betreft Thomas Cool voor leerlingen verwarrend dat (georiënteerde) hoeken tegen de klok in worden gemeten. Er komen hierbij vragen op. Waarom draait de klok eigenlijk tegen de oriëntatie van het assenstelsel in? En hoe zit dat met die oriëntatie in een x,y,z-assenstelsel? En hoe past de kurkentrekkerregel daar bij? Wanneer dit zou kunnen worden uitgelegd kan hij er mee leven, maar volgens Cool wordt het helaas niet uitgelegd. Waar hij dat vandaan haalt, weet ik niet; docenten vertellen vaak meer dan in een boek staat…

Volgens Thomas Cool is een hoek "gedefinieerd" als een vlakdeel tussen twee snijdende lijnen. Dat is wel erg ruim, je kunt daar intuïtief wel even iets mee, maar het gaat er toch meer om over hoeveel graden je de ene lijn om het snijpunt kunt draaien zodat die samenvalt met de andere. Dat sluit mooi aan bij het spraakgebruik dat iemand zich 180 graden omgedraaid heeft. De geodriehoek heeft ook niets met dat vlakdeel, die richt zich op die twee snijdende (halve) lijnen. En later kun je dat rotatieprincipe weer identificeren met (lengtes van) bogen op de eenheidscirkel.

(ax + by < c en px + qy <  r leggen volgens mij een vlakdeel vast, met kleiner-of-gelijk inclusief halve lijnen, die op hun beurt een hoek vormen)

Thomas Cool gaat hoeken meten met "slagen in het rond", maar wat hij onder een hoek verstaat of hoe hij ze meet (bogen met een liniaal??) is niet meteen duidelijk. Wel duidelijk is dat 2π (waarbij π de verhouding omtrek tot diameter is) voor hem niet voldoet.

Hij voert de hoofdletter theta:  Θ in (voor de verhouding omtrek tot straal) in plaats van 2π. (De schrijfwijze van theta is overigens een cirkelachtig symbool met daarin een soort middellijn, dat toch wel!).

De straal van een cirkel met een omtrek van één meter is dan 1/ Θ (meter). Die cirkel met een omtrek van één meter is voor Thomas Cool ook een "eenheidscirkel". Dat is nieuw, dat die Napoleontische meter, een arbitraire eenheidmaat, ineens hetzelfde is als de "eenheid" die wiskundigen gebruiken, namelijk de afstand van 0 tot 1 op de getallenlijn en die juist onafhankelijk gekozen wordt van enige lengtemaat! Hoe je die afstand tussen 0 en 1 ook kiest, de rest van het verhaal is onafhankelijk van die keuze als er steeds vanuit diezelfde eenheid gewerkt wordt. Kiest de één een el, de ander een hokje en een derde 3,5 cm, het maakt niet uit bij de definitie van de sinus van een hoek, zijnde de y-coördinaat van het snijpunt van het tweede been van een georiënteerde hoek die de positieve x-as als eerste been heeft met de eenheidscirkel. Op het ruitjesbod is het resultaat hetzelfde als in het ruitjesschrift.

Thomas kan op het bord misschien gemakkelijk een cirkel tekenen met omtrek 1 m, maar een leerling kan dat niet in zijn schrift. En hoe je bij zo'n meter-cirkel de hoeken meet in "slagen in het rond", dat moet ik ook nog even uitvinden.

In ieder geval raakt de leerling wel compleet geïsoleerd van de gang van zaken in de buitenwereld wat betreft zijn kennis en inzichten in hoeken. Denk maar eens aan lengte- en breedte-bepalingen op de globe.

Thomas Cool vindt sinus en cosinus ondoorgrondelijke termen en voert de, voor mij even ondoorgrondelijk, termen xur en yur in. Het wordt mij niet duidelijk wat daar het echte voordeel van is.

Op zichzelf is er natuurlijk niets mis mee om in plaats van naar de verhouding van omtrek en diameter te kijken naar de verhouding van omtrek en straal, maar omtrek en diameter zijn wel de twee onmiddellijk waar te nemen en intuïtief aan te voelen eigenschappen van een cirkel, "rondom" en "hoe breed" (denk aan…  Θ), een straal ligt een waarneming dieper. Zelfs de Bijbel wist er al van.

En het lijkt me ongeveer gelijk staan met bijvoorbeeld het invoeren van het twaalftallig stelsel als je π wilt afschaffen ten gunste van de verhouding omtrek / straal. Het lijkt me ook weinig zinvol, althans het uiterst vele werk niet waard, het scheelt immers maar een factor 2. En "een hele slag rond" is een net zo arbitrair uitgangspunt als "je omdraaien" of "haaks".