Procenten, decimalen en afrondingen.

 In het centrale examen HAVO Wiskunde A tijdvak 1 kwam de volgende vraag voor:

Huisartsen nemen een centrale positie in binnen de gezondheidszorg. De huisarts is namelijk het eerste aanspreekpunt voor mensen met vragen over gezondheid en ziekte. Veel mensen hebben dan ook regelmatig contact met hun huisarts, bijvoorbeeld door naar het spreekuur te gaan of een telefonisch consult te hebben. Deze contacten worden contactmomenten genoemd.

Volgens een medisch tijdschrift hadden in 2008 mannelijke patiënten gemiddeld 3,5 en vrouwelijke patiënten gemiddeld 4,7 contactmomenten met hun eigen huisarts.

Neem aan dat deze gegevens ook gelden voor huisarts Tineke Hoekstra.

Zij heeft in 2008 een huisartsenpraktijk met 912 mannelijke patiënten en dat is 52% van haar totale aantal patiënten.

Bereken voor Tineke in 2008 het totale aantal contactmomenten met al haar patiënten.

Bij deze opgave zijn veel kanttekeningen te maken.

Allereerst over procenten.

De methode Getal & Ruimte heeft als vuistregel "Geef procenten in één decimaal nauwkeurig" maar vult dit aan met de opmerking "Ga altijd na of de nauwkeurigheid van je antwoord past bij het gegeven probleem".

De voorbeelden en opgaven in G&R houden zich aan deze vuistregel, hoewel er bij gegeven percentages waarmee gerekend moet worden ook vaak van gehele aantallen procenten wordt uitgegaan, zoals hierboven.

Daarnaast noem ik een opmerking in de syllabus: "Er wordt van kandidaten bij wiskunde A niet verlangd dat zij kennis hebben van regels voor het aantal significante cijfers. Daarom zal bij vragen op het centraal examen worden aangegeven in welke nauwkeurigheid een antwoord dient te worden gegeven of er zal genoegen worden genomen met antwoorden in uiteenlopende aantallen decimalen".

In het SLO-(concept-)rapport "Tussendoelen wiskunde onderbouw HAVO-VWO" staat o.a. "De leerling kan situaties vertalen naar een bewerking, deze uitvoeren en het resultaat van een berekening afronden in overeenstemming met de gegeven situatie"  (waarbij de begrippen afronden en schatten worden genoemd).

Zowel syllabus als rapport doet de vraag rijzen of dit ook "de andere kant" op geldt: mag het in plaats van voor "uiteenlopende aantallen decimalen" ook gelden voor tientallen, honderdtallen enz. als dat beter "in overeenstemming is met de gegeven situatie"?

Het College voor Examens stelt zich op het standpunt dat het logisch is dat leerlingen hun antwoorden in dezelfde orde van grootte geven als in de opgave, tenzij dat anders in de vraag wordt aangegeven  Dit standpunt werd althans ingenomen ten aanzien van de vragen 13, 14 en 17 in dit examen, waarin kansen in de context in 2 decimalen voorkwamen. De te berekenen kansen werden in het CV bijvoorbeeld weergegeven als: 0,99 (of 99 %) (of nauwkeuriger). Bij vraag 17 was het antwoord: 0,70 (of 70 %) (of nauwkeuriger) en niet 0,7. Alleen bij vraag 13 ging dat mis: het antwoord was daar 0,0003, hoewel er niet om 4 decimalen gevraagd werd.

Terug naar de vraag uit het examen. Duidelijk is dat het hier gaat om bij de leerlingen het begrip van en  inzicht in het rekenen met procenten te testen.  Op zich biedt de vraag daar inderdaad getalsmatig een mooie insteek voor.  Alleen kun je je afvragen of dat in deze context zinvol gebeurt.

Die 912 is dus 52 % van het totaal. Dat getal 52 kan niet precies zijn, dan had 912 een veelvoud van 13 moeten zijn (zoals Gerard Koolstra al opmerkte in het NVvW-examenforum). Het is blijkbaar een afgerond getal tussen 51,5 en 52,5 en dat betekent dat het totale aantal patiënten kan liggen tussen 1771 en 1737, zeg maar ongeveer 1750.

(Was het percentage 52,0 % geweest, dan hadden alleen nog de aantallen 1753 t/m 1755 voldaan).

Bereken je met de eerder genoemde grenswaarden het aantal vrouwelijke patiënten, dan krijg je: 1771 × 0,485 ≈ 859 resp. 1737 × 0,475 ≈ 825.

Vervolgens moet er met de, ongetwijfeld weer afgeronde, getallen 3,5 en 4,7 worden doorgerekend. Daardoor wordt de foutmarge in het eindantwoord alleen maar groter. Gerard Koolstra heeft het nagerekend: 6987 t/m 7313 contactmomenten.

Natuurlijk zijn dit allemaal overwegingen waarmee je een HAVO-wiskunde-A-leerling niet kunt lastigvallen, het betreft zaken die ongetwijfeld vallen onder wat over het aantal significante cijfers werd gezegd. HAVO-leerlingen rekenen in zo'n geval natuurlijk 'rechttoe-rechtaan", zoals ze dat in de boeken (dachten)  geleerd (te) hebben.

Het correctievoorschrift denkt er (daarom) zo over:

• De praktijk telt 912 / 52 × 48 ≈ 842 vrouwelijke patiënten (2 punten)

• Het totale aantal contactmomenten van de mannen is 912 × 3,5 ( = 3192),

  dat van de vrouwen is 842 × 4,7 ( ≈ 3957)  (1 punt)

• Het antwoord: 3192 + 3957 = 7149 (1 punt)

Opmerkingen

− Er mag ook worden gerekend met 841 vrouwelijke patiënten.

− Het antwoord mag ook in tientallen worden gegeven dus tot 7150 worden afgerond.

Allereerst valt op dat niet eerst het totale aantal patiënten afzonderlijk wordt uitgerekend (912 / 0,52) en afgerond op een geheel getal (1754), eventueel in tientallen nauwkeurig (1750).  (Er is in het CV ongetwijfeld gedacht aan het gebruik van een verhoudingstabel omdat de factoren 0,52 en 0,48 niet voorkomen in het eerste bolletje).Toch wat vreemd als wel de tussenantwoorden 3192 en 3957 als gehelen gevraagd worden.

Vervolgens wordt het aantal 841 vrouwelijke patiënten ook goed gerekend, het aantal dat je krijgt als je 912 / 52 × 48 ( = 841,84…) naar beneden afrondt. (De mogelijkheid 840 (berekend met 1750) wordt niet genoemd).

En, ja hoor, het eindantwoord mag toch in tientallen! Hoewel 912 × 3,5 + 841 × 4,7 op 7144,7 dus eigenlijk in tientallen op 7140 uit zou komen.

Dat tussenantwoord 841 in plaats van 842 lijkt gebillijkt te worden omdat er kennelijk een soort regel zou bestaan, die zegt dat je bij aantallen personen altijd naar beneden moet afronden, omdat er nu eenmaal geen 0,84… persoon bestaat.

Maar is dat een echte, valide regel?

52,0 % van 319 personen is 0,520 × 319 = 165,88 dus… 166 personen, want 165 / 319 × 100 ≈ 51,7 % maar 166 / 319 × 100 ≈ 52,0 %

Als je 40 euro hebt en je geeft ieder persoon 6 euro, dan is 40 : 6 weliswaar 6,66.. maar je kunt maar 6 en niet 7 personen elk met die 6 euro blij maken (en je houdt zelf 4 euro over).

Aan de andere kant, als elke persoon 5 euro inlegt om samen een cadeau van 32 euro te kunnen kopen, heb je wel 7 personen nodig (en kun je nog wat extra's van 3 euro kopen) hoewel 32 : 5 = 6,4.

Ik denk dat deze vraag meer aan de bedoeling en de werkelijkheid had beantwoord als hij had geluid:
"Laat met een berekening zien dat het totale aantal contactmomenten dat Tineke in 2008 met al haar patiënten had ongeveer 7100 (of 7150 of 7200) was".

Dan had het rekenwerk zelf helemaal centraal gestaan zonder de besognes over afrondingen en decimalen die kennelijk geen rol moesten spelen.

In principe kan het dan in één keer in de rekenmachine: 912 / 52 × 48 × 4,7 + 912 × 3,5 ≈ 7149

Maar dat doe niet erg veel uit op wat de getallen in deze berekening voorstellen. Misschien voor HAVO-leerlingen op dit niveau geen probleem, maar als wiskundedocent krijg je toch ergens kromme tenen…

DE NVvW, de grafische rekenmachine en veel getwitter

 

In Euclides 88 / 7 wordt een gesprek weergegeven van een afvaardiging van het bestuur van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren met mensen van het College voor Examens.

Het ging o.a. over de grafische rekenmachine bij examens.  Er werd daar gemeld dat het CvE overweegt om de GR niet meer toe te staan bij de examens volgens het nieuwe wiskundeprogramma, dat in 2017 het CE HAVO en 2018 het CE VWO bereikt. De afvaardiging van de NVvW heeft “nogmaals benadrukt dat het examenprogramma ervan uitgaat dat de leerling een GR heeft. Dus ook op het eindexamen, anders doe je het programma geweld aan. Er moet voor gezorgd worden dat de machines alleen kunnen wat ze mogen”.

Misschien een beetje cryptisch, want is de NVvW nu voor of tegen de GR, om het maar even kort door de bocht te zeggen? In ieder geval wijst de vereniging hier op een discrepantie tussen het examenprogramma, zoals door cTWO ontwikkeld en de exameneisen, zoals het CvE die blijkbaar wil formuleren. Het kan inderdaad niet zo zijn dat in de klas de leerlingen een GR mogen gebruiken, maar op het examen niet. Of je nu voor of tegen de GR bent, die spagaat moet vermeden worden.

Er werd over dit gesprek inmiddels druk getwitterd. Collega @Kdenheijer twitterde: “Zo te lezen heeft het bestuur van NVvW bij het CvE gepleit voor de grafische rekenmachine. RAAR”. Ja, zo kun je het dan misschien lezen maar zo is het dus wellicht de bedoeling niet. Een volgende tweet: “Een gemiste kans om aan te sluiten bij de ontwikkeling van de andere exacte vakken”. Of die kans gemist wordt is nog een open vraag, er is nog twee jaar te gaan tot de invoering en 4 tot vijf jaar tot de examens en het hierboven genoemde gesprek geeft daarover geen indicatie

In ieder geval, @Kdenheijer stelt de vraag: “Noem mij één vervolgopleiding van het VWO waar men blij is met de grafische rekenmachine”. En dat zit je dus zo weer in een al jarenlang gevoerde discussie pro en contra de GR. Dat is dan misschien inmiddels een discussie die als hij zo gevoerd wordt te eng blijkt. Immers, die discussie kun je niet meer voeren zonder computers, tablets, digiborden, ICT, computeralgebra, GeoGebra , allerlei beschikbare digitale leer- en oefenstof, andere content en wat dies meer zij, erbij te betrekken.

Maar laten we het eerst hebben over die vervolgopleidingen. Misschien zijn ze niet blij met de GR, zich er niets van aantrekken doen ze niet (of misschien ook juist wel gezien de soms spastische reacties op de GR-vaardigheden van hun studenten) als je let op het feit dat het apparaat wel toegestaan wordt, maar vaak (net als op het examen wiskunde B) met beperkingen en niet ten koste van het ten toon spreiden van de gevraagde wiskundige of statistische kennis en inzicht die achter de berekening zit.

Dat spastische omgaan met de GR lijkt niet alleen te gelden voor de GR maar voor het hele curriculum wiskunde in het VO. In plaats van uit te gaan van wat hun studenten aan kennis en vaardigheid wel hebben verworven wordt er soms meer geklaagd over wat ze niet kunnen en weten. En toch zijn die curricula niet opgesteld buiten medeweten en medewerking van het vervolgonderwijs om. Helaas is het wensen- en eisenpakket van het WO en HBO zo divers en zijn er zoveel verschillende voorwaarden waaraan die curricula moeten voldoen dat het op een gegeven moment arbitrair wordt wat uiteindelijk in de steeds krimpende hoeveelheid uren in het VO nog aan de orde kan of moet komen. En dan speelt het hobbyisme van een aantal invloedrijke personen en instanties natuurlijk ook een rol. @NvVWiskunde treft dit aardig met de slagzin: “Het wiskundeonderwijs is als een pijp kaneel. Elk zuigt eraan en eist zijn deel”.

Ik merk gelukkig dat men op UTwente (wel) op zinvolle wijze aandacht weet te besteden aan de kenniskloof tussen VO en WO door beide kennis te laten nemen van elkaars verwachtingen en wensen zodat er betere aansluiting en overgang ontstaat. Bij cTWO hebben ze ook onderzoeken in dit verband bij de ontwikkeling van het nieuwe programma betrokken.

Maar goed, die GR dus. Ik kan me het vak wiskunde A (en C) niet voorstellen zonder GR en de plannen met statistiek van cTWO  zullen zo’n apparaat ook beslist nodig maken, tenzij de ontwikkelingen rond tablets zo snel gaan dat de GR overbodig wordt. Inmiddels zijn er immers ook als apps voor iPads, die een GR kunnen vervangen. Zoals in het gesprek tussen NVvW en CvE al genoemd, echter, zullen er op he examen in feite alleen machines kunnen worden toegestaan waarbij ongewenste mogelijkheden “op slot” kunnen en dat schijnt dan weer niet mogelijk te zijn. Het zijn dan de ontwikkelaars en producenten van de GR die zichzelf uit de markt prijzen door hun GR-kerstboom zo vol op te tuigen met zaken die de gebruiker de wiskunde uit de hand (en het hoofd) neemt, dat de machine, wat betreft de exameneisen, omvalt. Dat zou kunnen beteken dat de GR, of in bredere zin, ICT, alleen in het schoolexamen een rol kan spelen. Het centraal examen moet dan met beperktere middelen kunnen worden gemaakt.

Overigens: zoals ik al in Euclides bepleitte: als de berekeningen met de GR, het vermelden van de opties,  op zich niet meer beloond worden op het examen, maar het noteren van de wiskunde die eraan vooraf gaat en ten grondslag ligt de volle waardering krijgt, dan kan de rol van de GR teruggedrongen worden tot wat hij moet zijn: een rekenmachine en geen wiskundemachine. Het dient op het examen te gaan om het wiskundige “wat” en niet om het reken-technische “hoe”. Dus geen rekenmachinetaal, maar wiskundetaal. Je ziet dat ook terug in het WO als de rekenmachine wordt toegestaan: niet ter vervanging van de wiskunde of statistiek, maar ter aanvulling, in plaats van tabellenboekje etc.

Wat betreft wiskunde B: een duidelijke formulering van de vraagstelling en daarbij een duidelijk beeld van waaraan het antwoord moet voldoen zal op het centraal examen kunnen leiden tot het nutteloos maken van de GR. Het “algebraïsch” en “exact” moet standaard zijn, de hoofdzaak vormen en dient niet expliciet gevraagd te worden. Zet er desnoods bij dat de GR toegestaan wordt in die gevallen dat dat wel de bedoeling is, en dan alleen daar!

Ten slotte: er waren nog veel meer reacties op Twitter naar aanleiding van het door @Kdenheijer veronderstelde pleidooi van de NVvW ten gunste van de GR. Je zag hier en daar sporen van een op leven en dood gevoerde stammenstrijd in wiskundeland, compleet met complottheorieën en de suggestie van “onder één hoedje spelen”.  Daar bemoei ik me maar niet mee, ik ontloop die modder liever en houd niet van op de persoon spelen. En de verwijzingen naar ellenlange stellingnames op de BON-website heb ik ook ongelezen gelaten: veel te lang en veel te vaak door links onderbroken (zowel letterlijk als figuurlijk…). Er blijven hier zo een aantal tweets van een eenzaam roepende in de desert onbesproken.

Als uitsmijter een citaat uit een handleiding vakdidactiek van de lerarenopleiding van UTwente uit 2007:

De grafische rekenmachine op de universiteit

De grafische rekenmachine is in Nederland vooral in gebruik op het voortgezet onderwijs. Op universiteiten is dit tot nu toe nauwelijks het geval. Vermoedelijk is die situatie in Amerika anders. Amerikaanse calculusboeken besteden immers uitgebreid aandacht aan het gebruik van de GR. Bij veel boeken zijn speciale aanvullende math labs verkrijgbaar, met practicumopdrachten die met de GR gemaakt kunnen worden. Wellicht zal ook in Nederland, nu de meeste eerstejaars studenten met de GR zijn opgeleid en zo’n apparaat bezitten, de grafische rekenmachine op de universiteiten een rol van betekenis gaan spelen.

Zes jaar later is het dus kennelijk nog steeds een vraag wat die rol is en of het WO “blij” is met de GR.