Dat gaf te denken

 

Het bovenstaande plaatje geeft stof tot nadenken.

Het principe is gebaseerd op het bekende haakjesrekenen.

Dat kan ook met een plaatje uitgelegd worden.

De oppervlakte van vierkant ABCD met zijde x is x ∙ x = x²

De oppervlakte van AGSE is (x – a) (x – b)

Merk op dat de oppervlakte van AGSE volgt uit de oppervlakte van ABCD door daar de stroken GBCH en EFCD af te halen, maar dan heb je de oppervlakte van rechthoek SFCH twee keer afgetrokken.

Dat betekent dat de oppervlakte van AGSE, en dus de uitkomst van (x – a) (x – b)

gelijk is aan de oppervlakte van ABCD min die van GBCH ( = a ∙ x) en EFCD ( = b ∙ x), met daar weer bij opgeteld de oppervlakte van SFCH ( = a ∙ b), die dubbel is geteld.

 

(x – a) (x – b) = x² – a ∙ x – b ∙ x + a ∙ b ( = (x - a - b) ∙ x + a ∙ b

Het volgendetekeningetje brengt de formule in deze vorm in beeld:

 

De grijze oppervlakte AGSE ( x - a)(x - b) is gelijk aan de gearceerde oppervlaktes samen
(x - a - b) ∙ x + a ∙ b, want de rechthoeken 1 en 2 boven EF tegen elkaar geschoven hebben dezelfde oppervlakte als de rechthoek 3, n.l. (x - b) ∙ b

Neem x = 100, dan krijg je

(100 – a) (100 – b) = 100 ∙ 100 – a ∙ 100 – b ∙ 100 + a ∙ b

                            = (100 – a – b) ∙ 100 + a ∙ b

Dat lijkt al helemaal op wat er in het plaatje staat.

Daar geldt in ieder geval voor dat a en b positieve gehele getallen zijn.

Alleen, de truc werkt verder natuurlijk alleen als a + b < 100  en ook als a ∙ b < 100,

want anders “past” 100 – a – b niet op de posities van de duizend- en honderdtallen

en a ∙ b niet op de posities van de tientallen en eenheden.

Het blijkt dat 1 en 99 toch ook voldoen

(100 – 1) (100 – 99) = (100 - 1 – 99) ∙ 100 + 1 ∙ 99 = 99 (= 99 ∙ 1)

Maar dat is misschien een triviaal geval, net als het geval met a = 0 en b = 100.

Het betekent wel, dat dus blijkbaar mag gelden: a + b ≤ 100

Ook a = 2 en b = 50 voldoen, want

(100 - 2)(100 – 50) = (100 – 2 – 50) ∙ 100 + 2 ∙ 50 = 4900 ( = 98 ∙ 50)

Dus mag ook a ∙ b ≤ 100 gelden.

Je kunt de “regel” veralgemeniseren:

(10ⁿ – a) (10ⁿ – b) = (10ⁿ – a – b) ∙ 10ⁿ + a ∙ b  met a + b ≤ 10ⁿ en a ∙ b ≤ 10ⁿ

Alleen: dan lukt het snelle hoofdrekenen toch niet echt meer!

Neen n = 3

967 ∙ 973 = (1000 – 33)(1000 – 27)         = (1000 – 33 – 27) ∙ 1000 + 33 ∙ 27

                                                              = 940 ∙ 1000 + 30² - 3²

                                                              = 940 891

En zou de regel behalve in het tientallig stelsel ook opgaan in een willekeurig g-tallig stelsel?

(gⁿ – a) (gⁿ – b) = (gⁿ – a – b) + a ∙ b  met a + b ≤ gⁿ en a ∙ b ≤ gⁿ

Dat moet ook wel kloppen.

Laten we het narekenen in het zestallig stelsel:

34 = 5 ∙ 6 + 4 = 54 = 6² – 1  en 31 = 5 ∙ 6 +1 = 51 = 6² – 5

34 ∙ 31 zou in het zestallig stelsel met de getallen a = 2 en b = 5 dus

a + b = 7 = 1.6 + 1

en 6² – 1 ∙ 6 – 1 = 6 ∙ 6 – 1 ∙ 6 – 1 = 5 ∙ 6 – 1 = 4 ∙ 6 +1 ∙ 6 - 1 = 4 ∙ 6 + 5 = 45

en a ∙ b = 10 = 1 ∙ 6 + 4 = 14 opleveren

dus dan wordt het 54 ∙ 51 = 4614

34 ∙ 31                            = 54 ∙ 51 = (100 – 2) (100 - 5)

=(6² – 2) (6² – 5)

= (6² – 2 - 5) ∙ 6² + 2 ∙ 5 ( = (6² – 7) ∙ 6² + 10)

= (6² – (1 ∙ 6 + 1)) ∙ 6²  + 1∙ 6 + 4

= (5 ∙ 6 - 1) ∙ 6² + 1 ∙ 6 + 4 

= (4 ∙ 6 +5) ∙ 6² + 1 ∙ 6 + 4

= 4 ∙ 6³ + 5 ∙ 6² + 1 ∙ 6 + 4 = 4514

= 1054

 

34 ∙ 31                           = 54 ∙ 51 = (5 ∙ 6 + 4 )(5 ∙ 6 + 1)

                                      = 25 ∙ 6² + 5 ∙ 6 ∙ 1 + 4 ∙ 5 ∙ 6 + 4 (= 25 ∙ 6² + 25 ∙ 6 + 4)

                                      = (4 ∙ 6 + 1) ∙ 6² + (4 ∙ 6 + 1 ) ∙ 6 +4

                                      = 4 ∙ 6³  + 1 ∙ 6² + 4 ∙ 6²  + 1 ∙ 6 + 2

                                      = 4 ∙ 6³ + 5 ∙ 6² + 1 ∙ 6 + 4

                                      = 1054

 

Dagblad Trouw heeft een wekelijkse rubriek "Nutteloze kennis", daarin zou het bovenstaande heel goed passen, ware het niet dat het wiskundige plezier om zoiets uit te dokteren toch wel  een vorm van nut is.