Vermelde GR-opties: geef er GEEN punten voor!!

In het Nomenclatuurrapport 2007 van de NVvW komt de zinsnede "Bij gebruik van de GR moet(en) de gebruikte optie(s) vermeld worden" voor. Het College voor Examens heeft inmiddels een groot deel van dit nomenclatuurrapport een officiële status gegeven in de z.g. “Examen(werk)woorden"-lijst, maar deze regel komt daarin niet voor. Het CV bij de examens lijkt dat ook overbodig te maken omdat daarin de vakspecifieke regel 2 is opgenomen, waarin staat dat bij vragen waarbij de GR moet worden gebruikt verslag gedaan moet worden hoe dat gebeurt.

Geen GR-taal maar wiskunde-taal belonen.

Ik vraag me af of we op het examen eigenlijk niet zonder die regel kunnen, dus zonder de eis van een beschrijving van de gebruikte GR-opties, na het aangeven van het wiskundige oplossingsmodel. Voegt het vermelden van dat knoppenverhaal iets toe als de wiskundige verantwoording al op papier staat?

Wat mij betreft: schaf het geven van een punt voor "beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost" soms met toevoeging" (met de GR)" af. En vraag er wiskunde voor in de plaats.

Bij voorbeeld: het correctiemodel van vraag 5 in het examen HAVO wiskunde A 2012 tijdvak 1 geeft eerst een punt voor "De vergelijking 16· 0,88^t = 4 moet opgelost worden" en daarna een punt voor "Beschrijven hoe deze vergelijking (met de GR) kan worden opgelost". Bij de examencorrectie ontstaat dan vaak de discussie of het eerste punt ook verdiend is als alleen de tweede stap correct gemaakt is en impliciet blijkt dat de leerling, bewust of onbewust, de juiste vergelijking opgelost heeft, dus als er alleen zoiets staat als y₁ = 16· 0,88^x en y₂ = 4, interesect geeft x = 10,644 waarna het antwoord op de vraag volgt. Volgens mij wordt dan het kunstje in plaats van de wiskunde beloond terwijl juist die vergelijking de wiskundige kern van de oplossingsstrategie vormt.

Inmiddels hebben veel grafische rekenmachines trouwens ook andere mogelijkheden voor: via (equotation) solvers, voorgeprogrammeerde abc-formules en dergelijke en hoe deze greep in de trukendoos verantwoord moet worden door een leerling, daarover zijn geen richtlijnen.

Niet hoe, maar wat.

Het lijkt mij in de toekomst een wiskundig beter begaanbare weg toe als er voortaan geëist wordt dat de kandidaat wel de op te lossen vergelijking in correcte wiskundige taal noteert en daarna de oplossingen, maar dan zònder een GR-verantwoording en een punt daarvoor. Want als de oplossingen juist zijn dan heeft de kandidaat ongetwijfeld de juiste (routine-)handelingen op z'n GR gepleegd en hoeft hij daar niet (soms vaak meerdere malen in een examen) voor beloond te worden. Als de oplossingen fout zijn dan wordt hij ook niet beloond voor een goed bedoelde maar verkeerd uitpakkende beschrijving van zijn GR-handelingen, waarvan je soms niet kunt nagaan wàt er fout kan zijn gegaan.

De zinsnede "een toelichting is vereist" bij de opdracht "bereken" kan, als het niet gaat om een exacte of algebraïsche berekening, dus beter slaan op een wiskundige verantwoording van wat de kandidaat doet en niet op hoe die het doet. Dat "wat" is dan het opstellen van een vergelijking vanuit de context waarin de vraag aangeboden wordt met de intentie die te willen oplossen. Het "hoe", een meestal wat schimmig, in soms cryptische en vaak erg onvolledige “GR-taal”, weergegeven verhaal dat meer op programmeren dan op rekenen lijkt, is toch minder belangrijk?

Wordt er, bij de B-vakken, echter aan de vraag "algebraïsch" of "exact" toegevoegd, dan is het natuurlijk de bedoeling, zowel volgens het Nomenclatuurraport als in lijst Examen(werk)woorden, dat er stap voor stap gewerkt moet worden (zonder GR) en in die gevallen is de beloning voor "beschrijven hoe deze vergelijking wordt opgelost" terecht, omdat het het weergeven van een eigen denkproces is. Dan zullen de stappen op zich in het antwoordmodel ook meestal nader gepreciseerd en gewaardeerd worden.

Het niet langer belonen van basis- en routinehandelingen met de GR zoals intersect, solve of wat dan ook voorkomt overigens ook dat een verkeerde oplossingsrichting die op minder of meer gespannen voet staat met context van de vraag het omschrijven van het GR-gebruik toch wordt beloond, omdat formeel voldaan wordt aan wat er in het CV staat. Een wat mij betreft ongewenst vorm van sprokkelen.

GR en kansrekening.

Naast het oplossen van vergelijkingen zijn er bij wiskunde A (en C) andere situaties waar de GR wordt ingezet zijn, zoals berekeningen met betrekking tot binomiale en normale kansverdelingen.

Ook hier is het zo dat het CV vaak eerst een punt geeft voor de beschrijving van de binomiale of normale verdeling die aan de orde is, inclusief een expliciete vermelding van de parameters, waarna dan gevraagd wordt te beschrijven hoe met de GR de betreffende kans wordt uitgerekend. En dan is ook hier weer het dilemma aan de orde, of je de punten moet geven voor bijvoorbeeld een notatie als P(4,5 ≤ X <5,5 | μ = 5,4; σ = 1,9) of dat aan de opdracht al voldaan is met de notatie normalcdf(4.5, 5.5, 5.4, 1.9) (en mijn TI dan netjes vraagt om lower, upper, μ en σ: een kind kan de was doen!)

Vergelijkbaar zijn de bijvoorbeeld in het CV met punten beloonde stappen "het aantal hooikoortslijders X is binomiaal verdeeld met n = 135 en p = 0,13" en "beschrijven hoe P (X ≤ 26 | n = 135, p = 0,13) berekend kan worden" waar leerlingen vaak meteen "in de aanval" gaan met alleen het opschrijven van binomcdf (135, 0.13, 26). Mijn TI vraagt keurig om de trials, p en x value als je binmocdf aanklikt. Moet je een invuloefening belonen?

N.B. Het CV is in zulke gevallen tamelijk expliciet als het gaat om wat er opgeschreven moet worden, maar elk jaar is er in de examenfora discussie of het met “minder” kan.

Wat mij betreft leren we de kandidaten (en eisen we dat ook op het CE) om de zaken wiskundig formeel correct op te schrijven, dus aangeven wat voor verdeling het is, met de bijbehorende parameters, en welke kans er berekend moet worden, zo mogelijk compleet met de P- notatie inclusief wat achter het | moet komen te staan en nemen we geen genoegen met impliciete GR-taal. Dàt is de wiskunde.

Als je bij eenvoudige berekeningen met +, -, ×, :, sin, cos, wortel of exponent etc. een intypfout maakt wordt die ook afgestraft en krijg je ook geen punt voor de goede GR-bedoeling als je zou aangeven hoe je de GR wilde gebruiken. Laat dat in andere gevallen ook zo zijn, zeker nu het gebruik van de GR steeds verder versimpelt en trucmatig wordt dankzij de "hulpvaardigheid" van de producenten ervan.

GR in CE (uit 2012)

Ik ben het HAVO wiskunde A examen 2012 eerste tijdvak nog eens nagelopen op het gebruik van de GR.: dat was 10 keer, waarvan zo'n 5 keer een vergelijking moest worden opgelost, of eigenlijk vaker, want bij vraag 16 is de vergelijking normalcdf (-10^99, x, 178,14) = 0,05 aan de orde, die dankzij voorgeprogrammeerde solve-instellingen gereduceerd wordt tot een invuloefening. Via invNorm vraagt de TI bij mij om de oppervlakte (area) μ en σ. Een normaalkromme met de juiste gegevens op de juiste plaats of  P(X ≤ x | μ = 178, σ = 14) lijkt me toch veel meer van inzicht te getuigen.

Vermeldenswaard is nog dat het opstellen van een lineaire formule bij vraag 21 heel snel en eenvoudig kon met de optie LinReg en de groeifactor van vraag 11 met ExpReg. In het eerste geval worden er in het CV geen nadere eisen gestel aan de berekening, in het tweede wordt de gebruikelijke berekening expliciet vermeld.

Vraag 12 leende zich, gezien de discrete context, trouwens naast de intersect-aanpak ook voor een oplossing via een tabel met gehele waarden voor de variabele.

Kijk ik naar HAVO wiskunde B, dan komt in het CV 3 keer de opmerking "beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden" (en inderdaad, het mag zonder GR geprobeerd worden, maar het eventuele meerwerk wordt niet extra beloond).

Daarnaast telde ik 6 vragen waarvan de oplossing exact of algebraïsch moest worden gevonden. De te maken stappen, die in het CV expliciet vermeld staan, leveren dan ook navenant meer punten op.

Op het VWO speelt bij wiskunde B het gebruik van integraalopties van de GR een rol. Ook hier is het toepassen van deze opties dankzij zaken als natural textbook display vervallen tot een simpele invuloefening, het overnemen van de opgestelde integraal. Overigens, die natural display verkoopt stiekem exacte knollen voor benaderde citroenen door antwoorden in de vorm van breuken of wortels dan wel met pi te geven.

Kortom, er is nog enige tijd te gaan voor de zaken in 2015 weer op de schop gaan en twee of drie jaar later geëxamineerd worden. Misschien is het dus een punt van discussie in de aanloop van de komende wijzigingen om ons nog eens goed te bezinnen op de rol van de GR, maar met name ook op waardering en de beloning van de rol die de GR speelt bij het oplossen van wiskundige problemen. Gaat het ons nou om knoppenvaardigheid of om het tonen van wiskundig inzicht? De vraag is dus: heeft het weergeven van de wiskundige oplossingscontext meer waarde dan het aangeven van de GR-procedure die in die context wordt toegepast?

(gebaseerd op een eerder door mij gepubliceerd artikel in Euclides, maart 2013)

lees ook: http://aowiskunde.blogspot.nl/2013/10/de-gr-in-het-ce-en-ict-in-het-se.html