Het Centraal Examen HAVO wiskunde B en de grafische rekenmachine.

DE GR-CONTROLE.

 

Er is veel te doen geweest over de grafische rekenmachines in de aanloop tot de wiskunde-examens, dit jaar.

Er konden programmaatjes op gedownload worden die niet de bedoeling waren, te veel konden wat de leerling elf moest kunnen, en die moesten vooraf verwijderd zijn.
Aan de school om dat te controleren. Ik ben benieuwd hoe dat gegaan is en of er nog stoute kandidaten zijn betrapt.
In feite gaat het alleen om de TI 84 van Texas Instruments heb ik begrepen. De CASIO’s en de GR’s van andere merken worden in dit verband niet genoemd en lijden blijkbaar niet aan dat euvel.
In feite zou je dus het probleem meteen kunnen oplossen als je de TI 84 verbiedt, dus van de lijst toegestane GR’s afvoert. Maar dat zal wel niet gebeuren, want Texas Instruments is marktleider en je zou er ook ontzettend veel leerlingen, die een TI 84 hebben, mee duperen.
Maar toch iets om vanaf 2015 eens wat serieuzer mee om te gaan?
Overigens, ook de CASIO is niet van alle smetten vrij, zoals ik hieronder zal toelichten.
Maar laat ik het hebben over de rol van de GR in het CE HAVO wiskunde B.

MEETKUNDE

Vijf vragen van het examen (22 punten van de 78)  betroffen twee meetkunde-opgaven, over een bloembak en over een theezakje. Twee vragen betroffen tekenwerk, bij de bloembak moest met oppervlaktes en inhouden, o.a. van een kegeldeel, gerekend worden, bij het theezakje werd Pythagoras in de ruimte toegepast.

Het rekenwerk bij de bloembak betrof geen specifieke GR-opties, het had allemaal ook met een gewone rekenmachine uitgerekend kunnen worden (en eigenlijk misschien ook wel exact) , het rekenen met Pythagoras, eigenlijk narekenen van gegeven wortelgetallen, moest inderdaad exact. Bij deze opgaven speelde de GR dus nauwelijks of geen specifieke rol.

TWEE KEER: GR NODIG.

Er waren verder maar twee vragen, vraag 1 en vraag 13, waar de GR wel op zijn specifieke mogelijkheden werd aangesproken, namelijk het oplossen van vergelijkingen die niet al te gemakkelijk of absoluut niet “met de hand” hadden kunnen worden opgelost. In beide gevallen hoefden de grafiek al niet meer geplot te worden, want die stonden al in de opgave.  

Vraag 1 betrof een logistisch groeimodel waarvan moest worden bepaald wanneer de halve limietwaarde bereikt werd, maar zo kinkt het moeilijker dan  de vraag zelf luidde. Als startvraag wel leuk, maar als inzichtvraag niet bijster.
Bij vraag 13 ging het over de verticale afstand tussen twee grafieken, die minder dan een bepaalde waarde moest zijn.  Een routinevraag in feite, die meer inzicht vraagt.
Je kunt je afvragen of deze opgaven zo iets toevoegen aan het niveau van het examen en of het benodigde inzicht ook op andere manier verkregen had kunnen worden, zonder gebruik te maken van de GR.
In ieder geval, er waren 7 van de 78 punten met deze vraag te verdienen, waarvan 2 specifiek voor het benoemen van de GR-inzet.

TWEE KEER: GR MISSCHIEN NODIG.

 

Bij vraag 3 (4 punten) moest de vergelijking -2 ( t – 2 ) ² + 64 = 40 opgelost worden. Dat hoefde niet exact, maar dat kon wel. Het CV geeft beide mogelijke antwoorden, exact en benaderd,  maar de beschrijving hoe die gevonden kunnen worden is in beide gevallen gelijk, namelijk 1 punt.
Dat is zuur voor de echte B-leerling die de vergelijking inderdaad exact oplost.
Bij vraag 4 (3 punten) moet een groot getal (één of meer keer) in een gebroken formule worden ingevuld om de limietwaarde te vinden, maar dat kon ook door de formule af te schatten. Het laatste lijkt dan toch echt meer op wiskunde dan het eerste, zeker als het onderzoek naar de limietwaarde niet meer hoeft in te houden dan het domweg invullen van één of meer grote getallen. Maar de beloning is gelijk.

EXACT

Acht à negen van de 19 vragen dienen exact aangepakt te worden en dan blijft de GR dus uit!
Dat zijn 32 tot 34 punten. Maar er zit een addertje onder het exacte gras waar ik verderop op terugkom.
Bij deze exacte opgaven komt o.a. voor : differentiëren, extreme waarden en raaklijn, het oplossen van een gebroken vergelijking, een vergelijking van het type AB =AC daarna een wortelvergelijking met kwadrateren en nog logaritmische vergelijkingen. Een mooie doorsnede van het B-repertoire.
Alhoewel, gonio komt minimaal aan bod,  exponenten eigenlijk helemaal niet.

EXACT EN TOCH GR?

Er is iets aan de hand met vraag  12. Daar moet het minimum van een functie exact uitgerekend worden  voor  x = √2. En dan geschreven worden in de vorm a√b.

Invullen levert voor het minimum: √2 - 1/6 (√2)³ en dan wordt er dus van de kandidaten verwacht om dat netjes te herleiden tot de gevraagde vorm.
Dat kan prima met de CASIO! Je mist dan wel de tussenstap die in het CV half om half genoemd wordt (in één regel staat zowel de  tussenstap als het antwoord) maar “natuurlijk” weet een leerling wel dat (√2)³ gelijk is aan 2√2 en heeft hij die stap impliciet gemaakt…
Die zogenaamde natural display of hoe je het maar noemen wilt gooit hier dus roet in het exacte eten.

ALGEBRAÏSCH

Bij twee opgaven staat dat er iets op algebraïsche wijze moet worden aangetoond. Dat wil dus zeggen: stap voor stap, zonder gebruik te maken van specifieke opties en de grafische mogelijkheden van de GR. Zeg maar: de GR mag alleen worden gebruikt als “gewone” rekenmachine. Je hoeft niet met exacte waarden (door) te rekenen ook.

Bij vraag 2 (4 punten) moet op algebraïsche wijze aangetoond worden dat een gegeven functie in een bepaald punt continu aansluit bij een andere gegeven functie, dus functiewaarden  moeten in dat punt gelijk zijn en de afgeleide functiewaarden ook.
Wat algebraïsch moet is het bepalen van die afgeleiden, daar kan dus niet met de optie dx/dy gewerkt worden. Maar hoe bepaal je die (afgeleide) functiewaarden op zich “stap voor stap” en hoe controleer je dat er geen gebruik is gemaakt van specifieke opties van de GR? Het CV maakt er overigens geen punt van en vraagt alleen maar om de eindantwoorden van die berekeningen.
Hoeveel leerlingen zullen hier toch via “verboden” opties de  gevraagde waarden gevonden hebben?
Het andere algebraïsche aantonen, in vraag 6 (4 punten), is een kwestie van differentiëren met de kettingregel, dus geen ontkomen aan. De GR speelt dan geen enkele rol.

TEN SLOTTE.

Wiskunde B is geen wiskunde A. De GR hoort bij wiskunde B geen integrerende rol te spelen, maar slecht als bijkomstig hulpmiddel te dienen in die gevallen waarin het eventjes nodig is als de kennis en vaardigheid van de leerling te kort zou schieten om een probleem op te lossen. Maar er zijn genoeg problemen te bedenken waarbij de kennis en vaardigheid niet te kort hoeft te schieten en de GR gemist kan worden.

Mijn conclusie bij dit examen is: de rol ban de GR is voldoende klein, er waren voldoende vragen zonder GR.
Bij wiskunde A ligt dat wel anders, het vak zou onmogelijk worden zonder GR. Daar kun je van de leerlingen niet die kennis en vaardigheid verwachten die een GR bij het oplossen van de daar aan de orde zijnde opgaven overbodig maken. Om maar te noemen de statistiek en kansrekening, het werken met bestanden en tabellen en het hanteren van formules.
Maar regelmatig kom je opmerkingen tegen dat wiskunde A een onding is, niets wezenlijks inhoudt en nergens voor nodig is (voor vervolgopleidingen bijvoorbeeld). Maak er maar wiskunde B van, is soms de leus, met als toevoeging dat iedereen wiskunde kan leren. Die geluiden klinken met name uit de “conventionele” hoek.

Ik kan hierover alleen maar opmerken, dat het al van oudsher is dat er leerlingen zijn die wel en die geen wiskunde kunnen, met daartussenin nog een hele schakering. Daarom hadden ze vroeger al HBS B en HBS A, gymnasium β en gymnasium α, en wat waren die A’s en α’s vroeger blij dat ze het geploeter met wiskunde achter zich konden laten!

Mijn ervaring met wiskunde A is dat in ieder geval de groep leerlingen die toch nog iets aan wiskunde doet en er nog iets van opsteekt en meeneemt naar de vervolgopleiding tegenwoordig veel groter is dan vroeger in de tijd van HBS en gymnasium.

Het vak wiskunde A blijft na 2015 dan ook bestaan, gelukkig! Net als wiskunde B.

 

De examenopgaven en het correctievoorschrift zijn te vinden op http://www.cito.nl/onderwijs/voortgezet%20onderwijs/centrale_examens/schriftelijke_examens_havovwo/examens_havovwo_2014/havo_ce_tv1