Meneer van Dale is in de Waal verdronken.

Pieter Steinz heeft een boek geschreven “Meneer van Dale wacht op antwoord”  (uitgave Prometheus, ISBN 978 90 446 0260 9, allen tweedehands verkrijgbaar) waarin hij het heeft over de rijtjes die we op de lagere school leerden, vroeger. Jaartallen, plaatsnamen, maar ook Meneer van Dale: de volgorde van rekenkundige bewerkingen, ook bekend als “Men Vaart De Waal Op en Af”, “voor velen is deze geheimzinnige spreuk het enige overblijfsel van vier jaar wiskunde op de middelbare school”.
“Leren was memoriseren” schrijft hij, “men leerde rekenen met tafels” en “er waren nauwelijks vakken waarbij geen gebruik werd gemaakt van rijtjes en ezelsbruggetjes”. Met de theoretische kennis van MVDWOA zou Pieter Steinz niet ver gekomen zijn om sommen uit te rekenen, zegt hij, en dat is niet alleen de schuld van zijn gebrekkige wiskunde: er bleken hem bij nader onderzoek nogal wat bezwaren te kleven aan deze regel.
Pieter Steinz citeert iemand die aangeeft dat de juiste volgorde moet zijn MW, VD, OA waarbij binnen de gemaakte groepjes van twee sprake is van gelijkwaardigheid: “Meneer Wortel Vindt Deze Oplossing Afdoende”.
Een andere suggereert de “Men Vaart”-regel te eindigen met “Op en Af en Af en Op”

Ed de Moor schrijft in de Nieuwe Wiskrant van april 1995 uitgebreid over van Dale onder de kop “Weg met Van Dalen”. Hij begint: “met de invoering van de zakrekenmachine in de basisschool en de basisvorming is tevens het probleem van de volgorde van de bewerkingen weer actueel geworden. (…) De meeste zakrekenmachines zijn anders geprogrammeerd (…) dan het ezelsbruggetje Meneer van Dale Wacht Op Antwoord”.

REKENMACHINE EN VOLGORDE.

Ed de Moor onderscheidt in zijn artikel twee soorten zakrekenmachines: eenvoudigere machientjes die lineair werken en machientjes die tegenwoordig als “wetenschappelijk” zouden worden aangeduid en nu alom voorgeschreven en in gebruik zijn in het VO.

Lineaire machientjes rekenen zodra je een bewerkingstoets indrukt meteen verder: als je achter elkaar 6 + 5 x 3 intikt, dan zie je na het indrukken van de x meteen het resultaat van 6 + 5 en rekent de machine verder met het getal 11. Na de 3 en de = is het resultaat 33. De rekenmachine op mijn mobieltje werkt ook zo.
Het lijkt en beetje zoals we vroeger op de lagere school “hoofdrekenen” deden. Meester zei “zes” en dan  “plus” en dan “vijf” en dan wist je “elf!”, vervolgens “keer” en dan “drie” en dan kwam je op 33. We zouden het nu noteren als ( 6 + 5 ) x 3.
Dit soort machientjes behandelt trouwens + en - zowel als x en : op zich in volgorde van notatie:
7 – 4 + 2 = 3 + 2 = 5 en niet 7 – 6 = 1 en   12 : 2 x 3 = 6 x 3 = 18 en niet 12 : 6 = 2. Ze volgen Meneer van Dale dus niet in de zin van + voor  – en x voor : .
“Wetenschappelijke” rekenmachines  berekenen 6 + 5 x 3 als 6 + 15 met als resultaat 21.
Op een tweeregelige machine  tik je dat eerst helemaal in op het scherm. Op zo’n rekenmachine kun je trouwens het ”hoofdrekenen” van vroeger imiteren door na elk getal op de enter(=)-toets te drukken. Helaas, zoiets leidt soms dan weer tot brei-notaties als 6 + 5 = 11 x 3 = 33.
Op oudere machientjes met één regel “wachten" deze na bijv. + 3 of – 4 als het ware even met het optellen of aftrekken op wat de volgende bewerking zal zijn om eventueel eerst te vermenigvuldigen of te delen.
Waarom dit verschil tussen rekenmachines? Misschien omdat rekenen meestal vanuit een context gebeurt, bijvoorbeeld zoals bij taxikosten met basistarief  € 3 en daarna € 2 per km  na 5 km de ritprijs van 3 + 2 x 5 = 13 euro opleveren?
Maar als je eerst 5 en dan 2 candybars van  2 euro koopt dan kost je dat 5 + 2 candybars  x 2 = 14 euro. Dat lijkt op 5 + 2 x 2 = 14 (of 5 + 2 = 7 x 2 = 14...) en op een lineaire machine werkt het dus ook zo.
In het huidige rekenonderwijs schrijven we in het laatste geval ( 5 + 2 ) x 2 en de “wetenschappelijke “ RM weet er dan dankzij haakjes wel raad mee. (Simpele lineaire machientjes hebben geen haakjes).
In ieder geval, geen enkele rekenmachine rekent met  + en – resp. x en :  in de zin van  die ouderwetse Van Dale.
En deden we dat bij algebra op de HBS in feite ook al niet al gewoon zo?
3a – 5b + 6a = 3a + 6a - 5b = 9a – 5b.
Gelijksoortige termen bij elkaar nemen. Het teken voor de term bepaalde of het erbij of eraf ging. En niemand die dacht aan 3a – (5b +6a) = -3a – 5b in dit geval, toch?
Ik hoorde van sommige basisschoolleerlingen inderdaad bij 7 - 4 + 2 dat ze zeiden: 7 eraf 4, erbij 2.

WAAR KOMT “VAN DALE” VANDAAN?

Van Dale schijnt een louter lokaal Nederlands verschijnsel te zijn. Internationaal blijken andere conventies te bestaan die gebaseerd zijn op lineairiteit bij + en -, resp. x en : . De MVDWOA-regel is niet uit de wiskunde afkomstig, maar een lagere-school-rekenconventie die al meer dan een eeuw bestaat. In 1881 beriep onderwijzer J. van der Veer zich op het toen bekende handboek van Badon, Ghijben en Strootman, waarin gesteld werd dat de volgorde MVDWOA diende te zijn. Leerlingen van hem hadden een berekening a : b x c uitgerekend als (a : b) x c wat hen door een andere onderwijzer zo geleerd was, terwijl Van der Veer meende dat het a : ( b x c) moest zijn. Zijn vraag hierover in Het Schoolblad leverde een stoet van reacties voor en tegen. (Dat is tegenwoordig soms niet anders...)
In 1907 schrijft de rekendidacticus Van Pelt over de “innigheid” van product en quotiënt. 6 x 9 + 4 x 4 betekent dat 6 x 9 vermeerderd moet worden met 4 x 4, dus vermenigvuldigen gaat voor optellen. Wiskundig/rekenkundig gezien in principe  misschien een arbitraire kwestie, maar bij toegepast rekenen in de zin van 6 x 7 gulden + 5 x 4 gulden = 42 +  20 gulden =  62 gulden verklaarbaar in en land van kooplieden als Nederland.
Het er in gestampte regeltje Meneer Van Dale (in de zin van 7 - 4 + 2 = 7 -6 = 1) is dus al voordat de rekenmachines de volgorde-dienst lijken te hebben uitgemaakt al niet  meer vanzelfsprekend, zeker geen internationale norm en steeds onderhevig geweest aan de nodige kritiek.
Maar andersom, de volgorde die(wetenschappelijke) rekenmachines volgen was, buiten Nederland zeker, al een procedure die als valide werd erkend en toegepast, zeker in de wiskunde.

MENEER VAN DALE OP DE SCHOP

Het Doelenboek Eindtoets Basis Onderwijs uit 1995 omzeilt het probleem Van Dale nog door te stellen dat in eindtoetsen opgaven waarbij het gebrek aan eenstemmigheid t.a.v. de rekenvolgorde een rol kan spelen waar nodig haakjes geplaatst zullen worden om aan te geven welke bewerking het eerst moet worden uitgevoerd.

Maar in de nieuwere wiskunde- en rekenmethoden van die tijd  is al geen plaats meer voor Meneer Van Dale en doen nieuwe conventies, naar internationale standaard, hun definitieve intrede. Veelal wordt aangesloten bij de lineaire ("van-links-naar recht")aanpak bij + en -, resp. x en :, waarbij de laatsten prioriteit hebben boven de eerste, wat dus neerkomt op het eerder genoemde MW VD OA.
“Getal en Ruimte” had in 1994 van die geheugensteunbriefjes in haar tweedeklasboeken afgedrukt, waarop stond (worteltrekken was nog niet aan de orde):  

Ed de Moor noemt als één van zijn slotconclusies: ”De volgorde van bewerkingen wordt bij toepassingen door de context bepaald. Indien nodig worden bij formele berekeningen haakjes geplaatst.”

Hij noemt ook nog een artikel van P. J. G. Vredenduin in Euclides jaargang 54, no. 3 (1978) “Haakjes” waarin wordt gesteld dat met behulp van formele wiskundetaal de bewerkingsregels precies kunnen worden gedefinieerd.

ZOEKEN NAAR NIEUWE CONVENTIES

Dhr. J. Maassen, voormalig secretaris van de NVvW, liet mee eens weten dat een nomenclatuurcommissie uit 1973 bepaalde:

-          machtsverheffen gaat voor vermenigvuldigen; vermenigvuldigen gaat voor optellen en aftrekken.

-          delen geeft men aan door een horizontale breukstreep, niet door  :

-          het teken  : wordt gebruikt in verhoudingen en evenredigheden.

Dat zou het “probleem” van  4 : 2 x 8 oplossen: 

Geen misverstand meer mogelijk.

In 1992 werd een nieuwe nomenclatuurcommissie ingesteld om te komen tot voorstellen die zouden passen bij het nieuwe leerplan wiskunde voor de onderbouw, de basisvorming. Deze commissie produceerde een conceptrapport ter becommentariëring, waarin o.a. voorgesteld werd om vermenigvuldigen en delen in de volgorde van links naar rechts te doen.

Een bezwaar tegen deze regel zou gelegen zijn in een vorm als 5p : 2p. Immers, daar staat eigenlijk 5 x p : 2 x p en als je daar deze regel consequent op toepast krijg je ((5 x p) : 2) x p = 2 ½ p². Dat zou volgens dhr. Maassen toch weer moeten leiden tot invoering van de horizontale breukstreep voor het delen.

Maar als p = 3 staat er  in feite 15 : 6 = 2 ½ , dacht ik… En ik heb het al eerder genoemd, 2p + 5p, twee termen opgeteld, wordt en werd ook niet opgevat als (2 x p + 5) x p, 2p en 5p werden beschouwd als termen, waarbij (zou je kunnen zegen) de vermenigvuldiging al plaatsvond. Dat lijkt weer een beetje op die “innigheid”.

En algebraïsch is 2p + 5p = (2 + 5)p = 7p.

Het leek mij dus een beetje een geconstrueerd tegenargument waar wel wat tegenin te brengen is.

Tot invoering van die breukstreep in plaats van :  is het niet meer gekomen. De nieuwe boeken zijn met de aanbevelingen van deze commies aan de haal gegaan en de voorstellen zijn met de invoering van het nieuwe leerplan zo niet de jure dan wel de facto van kracht geworden.

Een citaat uit dit conceptrapport:

INGESTAMPTE REGELTJES.

Ja, dat erin gestampte regeltje Meneer Van Dale “geldt dus niet meer”. Eigenlijk geldt er geen enkel regeltje, het zijn allemaal afspraken en conventies die we met elkaar maken om het zo te doen en niet anders. Het zijn arbitraire keuzes, zij het gebaseerd op het rekenen in de praktijk.

Het erin stampen van dit “regeltje” had ook weinig nut als inderdaad het rekenwerk gekoppeld werd aan de context, die uiteindelijk bepaalde wat er uitgerekend werd en hoe dat moest. Hooguit kun je dan twisten over hoe je die rekenprocedure noteert om die duidelijk te maken aan een ander.
Die Meneer Van Dale domweg toepassen en oefenen op getallen met de bewerkingen +, -, x en :  en dan controleren of  dit “regeltje” juist gevolgd is, dat waren natuurlijk zinloze exercities. Dat sommetjes maken werd door velen op de lager school dan ook gehaat. Het was abstracte nietszeggend gegoochel met getallen, dat je nu eenmaal “zo” moest doen en het “waarom” was niet aan de orde en voor velen niet duidelijk.
Maar ook andere conventies toepassen op alleen maar cijfersommetjes is iets waar je vraagtekens bij kunt zetten als er geen verbinding is met contexten waarin die getallen en bewerkingen hun doel en zin krijgen.
Natuurlijk is “droog” oefenen met getallen nodig, maar dat zal vast zinvoller lukken als daaraan een traject is vooraf gegaan waarin met begrip en inzicht een basis is gelegd die leerlingen bewust maakt van de samenhang en betekenis van wat ze aan het doen zijn.
We kennen meer van die lagere-school-mantra’s: “delen door een beuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde” . Ik las in “Didactische oriëntatie voor wiskundeleraren” van Dr. Joh. H . Wansink in deel II de nodige kritische opmerkingen over deze regel en het invoeren van breuken op blz. 170 en 180.
Gelukkig leren de leerlingen geen louter mechanisch rekenen meer en wordt er ook aan het door Wansink bekritiseerde veelal ontbreken van inzicht nu veel meer gedaan.
Overigens: het is Van Dalen en niet Van Dale, de naamgever komt  van het Groot Woordenboek der Nederlandse Taal, en hij kan vanuit de wiskunde nog lang op antwoord wachten.