Rekenhulpmiddelen in het VO

LOGARTIMETAFELS

In mijn loopbaan als HBS-leerling, student wiskunde en tenslotte docent wiskunde hebben verschillende rekenhulpmiddelen mij, en het onderwijs, ten dienste gestaan.

Allereerst was daar de logaritmetafel, waarin ook tabellen voor sinus, cosinus en tangens opgenomen , alsmede log sin etc. en als ik het wel heb ook zoiets van rentetafels, maar dat was voor economie.
In zo’n logaritmetafel zocht je de mantisse van een getal op, dat was de 10^de log van een getal, maar dan het deel na de komma. Het deel voor de komma heette de wijzer.
De tafel bestond uit de mantissen van de getallen 0001 t/m 9999, de drie eerste cijfers zocht je op in de voorkolom, het vierde in de bovenrij en dan vond je op het snijpunt de mantisse. Het hing van de tafel af of je de mantisse in 4 of 5 decimalen vond.
De mantisse van  8054 is bijvoorbeeld 9060.
Dat wil dan zeggen, dat log 8,054 = 0,9060, log 80,54 =1,9060 en bijvoorbeeld log 8054 = 3,9060
Dat getal voor de komma, voor de mantisse, de wijzer, geeft dus het aantal cijfers van het oorspronkelijke getal aan minus 1.
Je kon zo de logaritme van een getal bepalen aan de hand van de 4 eerste cijfers van dat getal en het aantal cijfers voor de komma.
Omdat log a + log b = log ab  werd het vermenigvuldigen van getallen teruggebracht tot het optellen van de logaritmes.
Terugzoeken ging dan als volgt. Als log x = 2,8815 dan was 100 < x < 1000 (dus 3 cijfers voor de komma).
De mantisse 8815 leverde teruggezocht 7615 op, dus x = 761,5.
Helaas, ik heb al m’n logaritmetafels weggegooid, maar op http://nl.wikipedia.org/wiki/Logaritmetafel is er nog van alles over te lezen.
Nodig had ik ze dan ook niet meer, want na een interim-periode met rekenlinialen kwamen de rekenmachines.

REKENLINILALEN

Ik maakte voor het eerst kennis met het fenomeen rekenliniaal toen ik ging studeren. Toen moesten we Aristo Studio aanschaffen om te gebruiken bij natuurkundepractica waar we met de metingen die we deden snel moesten kunnen doorrekenen. Dat ging gepaard met significante cijfers en foutenanalyses. Daar doen we bij wiskunde eigenlijk helemaal niet aan…

Dit “voor het eerst” klopt niet helemaal, want mijn vader, werktuigbouwkundige die in z’n werkkamer een groot tekenbord had staan waar hij op calqueerpapier ontwerpen uittekende voor stalen dakconstructies , stond constant te schuiven met een heel fraai exemplaar van mooi hout en ja, was het ivoor of wat ook, dat ik inmiddels geërfd heb. Een gedegen Duits merk Faber. Die oude rekenlinialen kan ik niet laten liggen bij een rommelmarkt, ze zien er zo fraai uit, ik heb er nog ergens eentje gekocht.
Wat rekenen op de universiteit betreft: we hadden ook nog college Numerieke Analyse, dat gevolgd werd door een practicum, waar we met een ingewikkelde telmachine waaraan driftig gedraaid moest worden onze berekeningen moesten maken. Ik geloof iteratieve processen of iets dergelijks, ’t Is al lang geleden en het practicumschrift heb ik ook al niet meer.
Ik herinner me dat je moest blijven draaien tot een bepaalde stand zichtbaar was en dan weer een slag terug moest. Zouden die apparaten nog ergens liggen?
In ieder geval, toen ik 1971 het onderwijs instapte had de Mammoetwet en daarmee ook de Moderne Wiskunde zijn intreden gedaan. En op een gegeven moment kwamen er aan die wiskunde ook rekenlinialen te pas. Wolters-Noordhoff leverde ze o.a., en als je de methode Moderne Wiskunde gebruikte dan zat je daar dan ook aan vast.
Ook Aristo leverde schoolrekenlinialen van het type Scholar .
Ik heb zo in de loop der jaren nog wel wat meer schoollinialen van andere merken gescoord, Ahrend en Kent,  en ook nog een paar zakrekenliniaaltjes, daar moest je bijna een vergrootglas bij gebruiken en de nauwkeurigheid, toch al niet zo erg groot bij die schoollinialen, leed ook wel aardig onder het formaat.
Ik geloof dat het maar een vrij korte periode is geweest dat we met die linialen rekenden en ik kan me niet herinneren dat het een groot succes was, noch dat het eenvoudig was om de principes van dit tuig adequaat aan de vrouw/man/mens te brengen. De rekenmachines namen het bewind over.
Toch zijn er uit die tijd op menige school nog levensgrote demonstratie-rekenlinialen aanwezig die je aan het bord kon hangen om het allemaal voor te doen. Ik heb hem naderhand in mijn lokaal laten hangen want het was een leuk hulpmiddeltje bij de uitleg van logaritmische schalen. Eigenlijk wel apart maar toch leuk om het eens met de klas over te hebben, dat je als je over eenzelfde lengte verschuift, je niet met een zelfde waarde optelt, maar met eenzelfde waarde vermenigvuldigt.

REKENMACHINES.

De eerste rekenmachines die ik me herinner, nog voor ze echt ingevoerd werden, hadden volgens mij oplichtende cijfertjes die opgebouwd waren uit rode puntjes.  Later werden dat led-schermpjes.

De eerste echte rekenmachine waar je wat mee kon, een “wetenschappelijke” was wat mij betreft de Prinztronic, die ik van een leerling kocht voor 69 gulden. Hij betrok die van een broer op de HTS of zoiets. Ik heb er mijn vader meteen een kado gedaan. Je kon er in principe alles mee en er gingen 4 AA-batterijen in.
Als je een functietoets gebruikte, dan verscheen er in het scherm een F, er volgde enige tijd geknipper en ja, dan kwam na korte tijd het antwoord van de berekening, in 4 tot 6 decimalen.
Maar ineens waren er van die kleine apparaatjes voor de leerlingen op de markt, met grijze lcd-schermpjes en knoopcellen als batterijen en met alle basisfuncties en geheugenfuncties zoals we die lang op de “gewone” rekenmachientjes hadden.
De school waar ik werkte liet ze door de verstrekker van de spullen die de leerlingen nog aan moesten schaffen naast het boekenpakket dat ze via de school kregen aan de leerlingen verkopen. Het zal wel te maken hebben gehad met de meest winstgevende inkoop die die firma kon doen, maar regelmatig veranderde merk en dus uiterlijk van de leerlingenmachines die geleverd werden. Om goed uit te kunnen blijven leggen was je genoodzaakt je dan ook in het bezit te stellen van zo’n apparaat, want soms zaten de knopjes net even anders. Dus dat resulteerde in een reeks vrijwel identieke rekenmachientjes in mijn collectie.
De school waar ik later kwam te werken liet de leerlingen zelf hun machientje aanschaffen en schreef een type voor.  De CASIO fx 82. Maar ja, die firma verbeterde haar product regelmatig, dus verscheen er steeds weer een nieuw type fx, dat weer net iets beter of geavanceerder was, meer kon of er even wat anders uit zag. Vooral de overstap op het tweeregelig scherm veranderde de mogelijkheden van het apparaat op een gegeven moment ineens nogal. Dan was het helemaal nodig om zo’n nieuwe te hebben. (en ondertussen hield de Aldi of Kijkshop uitverkoop van het oude model en zat je met verschillende systemen in de klas ondank het voorschrift)
Zodoende heb ik een hele collectie fx-en, waaronder de L, LB, TL, super fx, MS en ES, de laatsten met tweeregelig scherm en de ES ook nog met natural display. O ja, ik heb er ook nog eens eentje aangeschaft die zichzelf via een zonnecel oplaadde.
Ondertussen bestookte Texas Instruments de scholen met de TI 30 die zich steeds verder ontwikkelde, welke ontwikkeling gelijke tred hield met de CASIO fx.

GRAFISCHE REKENMACHINE.

Met de komst van de Tweede Fase deed de grafische rekenmachine zijn intreden in de bovenbouw.

Nog voor dat het zover was had ik al een Texas Instruments TI 81 die veel functies en mogelijkheden had van de latere TI 83, die vrij massaal in het VO werd ingevoerd, naast de GR die CASIO leverde. Apparaten waar je een aardige cent voor moest neertellen, dus de ontwikkeling van die markt sindsdien kostte je een aardige duit wilde je dat bijhouden.
Mijn TI 83 heb ik niet meer, die is, nadat ik de TI 84 en vervolgens de TI 84 Plus Silver Edition had aangeschaft, met de 84 op school achter gebleven ten behoeve van het GR-voorpracticum in de derde klassen. Die eerste TI 83 was  hier en daar wat beperkter an de updates nadien. Bepaalde verdelingsfuncties gingen maar tot n = 1000.
De TI 84 Plus SE heb ik nog steeds “dagelijks” in gebruik, ik heb hem up-to-date gehouden door steeds het nieuwste besturingssysteem te downloaden, ik zit nu op 2.55 geloof ik. En ik mag er graag even mee uitproberen wat er allemaal nog meer, of anders, mee kan.  Maar hij is inmiddels naar mijn gevoel (ruim0 ingehaal;d door de CASIO fx-CG20 en de TI-nspire.
Voor in de klas heb in een lay-overscherm mogen aanschaffen, dat je op een overheadprojector kon leggen. Die kon je aansluiten op de TI 84 en zo een schermafbeelding projecteren. Leuk om zaken uit te leggen en te demonstreren. En ook Sierpinski en de eenheidscirkel tot leven te brengen, zoals ze in de handleiding staan.
Ik heb een keer leerlingen een PO laten maken over TI 84 met de opdracht om uit te zoeken wat er allemaal verder nog mee kan buiten dat wat je in de les gebruikt inclusief programmeren en downloaden van programmaatjes. Sommige leerlingen zijn dan wel erg inventief, hoor. Daar staat tegenover dat sommige collega’s regelmatig bij mij aanklopten omdat zij niet wisten hoe bepaalde zaken nu op de TI 84 moesten of niet snapten wat een leerling er nu weer mee uitspookte. Pas nog de SOLVER….
Daarnaast heb ik uit louter nieuwsgierigheid de TI 89 aangeschaft, die met computer algebra aan de slag gaat. 
En de TI 92, een heel apart geval: het lijkt wel een tablet, hij stikt van de knopjes en elke keer als ik er wat mee wil dan moet ik daar eerst weer een studie van maken. Maar het is mooi speelgoed: een groter scherm met hogere definitie, met mooie toepassingen.
En dan de laatste ontwikkeling van Texas Instruments, de TI-nspire. Ik had er eerst een met verwisselbaar toetsenblok. Die kon je ook laten werken als een TI 84 met een toetsenblok identiek aan de 84. Met het andere toetsenblok kon je echt gebruik maken van de veel betere specificaties van de TI-npire, o.a. een scherm met hogere definitie, veel verschillende scherminstellingen en rekenmodes. Wat dat betreft had het wel iets van de CASIO GR. Er zit een woud aan knopjes op het toetsenblok,  wat ook betekent dat het even heel anders werken is dan met een TI 84. Hij kan ook veel meer, niet alleen breuken en wortels invoeren zoals je ze schrijft, maar ook de uitvoer is desgewenst in “exacte” vorm, net zoals de nieuwste CASIO’s.
Ik ben inmiddels overgestapt op de grijze CAS-versie en heb die eerste blauwe versie aan een ander over gedaan.
Inmiddels is er dus weer een nieuwe TI-nspire op de markt met mooie kleurtjes.
En met de digiborden van tegenwoordig kun je via de laptop alles wat je met de GR wilt berekenen demonstreren in de klas. Er is een hele santekraam van software omheen gebouwd  die op allerlei manieren het onderwijs rond de GR kan ondersteunen.
Met de CASIO’s heb ik weinig ervaring. Er is een lange serie opeenvolgende modellen verschenen, die steeds verder evolueerden. Ik heb er wel een paar, de wat oudere CFX en de nieuwste CG, maar als je de TI gewend bent is het soms wel zoeken hoe het nu weer op de CASIO moet. Maar als je tweede corrector bent van een school waar ze gebruikt worden is die kennis toch wel redelijk onmisbaar om het “beschrijven hoe het antwoord met de GR gevonden is” adequaat te kunnen evalueren.
Aan de HP en Sharp ben ik maar niet begonnen.

DIDACTISCHE WAARDE.

Het gebruik van de logtafels was een voor mijn gevoel tijdrovende klus bij het rekenen, ook als het om op- en terugzoeken van gonio ging. Daar hebben de rekenmachines wel een voordeel gebracht.

Het principe van logaritme en machten met grondtal 10 dat aan de basis van de logaritmetafels staat was een mooie kapstok om die begrippen in de praktijk te laten functioneren, maar het begrip en inzicht zal aan een (groot?) aantal leerlingen die moeizaam het spoorboekje dat bij deze “truc” hoorde  volgde voorbij gegaan zijn.
De rekenliniaal op zich was geloof ik een miskleun in de onderbouw van het voortgezet onderwijs. Er kwam te veel bij kijken om er een goed en effectief gebruik van te maken. Ik denk dat het apparaat, zoals dat in hogere technische en exacte opleidingen heeft gefunctioneerd, daar indertijd beter op z’n plaats was, omdat op dat niveau voldoende inzicht aanwezig kon zijn in implicaties van het toch wat complexere gebruik.
De “gewone” rekenmachine heeft enerzijds weinig functioneel tabellengebruik overbodig gemaakt en anderzijds soms te gemakkelijk de mogelijkheid aan leerlingen geboden om zaken te gaan berekenen die ze ook zelf op andere manier met hun eigen hersens hadden kunnen uitvoeren. De scheiding tussen waar het met de rekenmachine kon en met de rekenmachine mocht is niet altijd scherp en consequent doorgevoerd.
Dat ding mag best regelmatig gewoon van tafel en vervangen worden door hersens, pen en papier.
Over de grafische rekenmachines zijn de discussies nog lang niet ten einde, zeker niet na het laatste examen waarbij het soms een (te) grote en dubieuze rol is gaan spelen op momenten dat dat niet de bedoeling was.
Het zou heel wat waard zijn als in de examenopgaven domweg klip en klaar duidelijk zou worden aangegeven wanneer wel en wanneer geen GR gebruikt mag worden, zeker bij wiskunde B, en dan bij het laatste vak liever zo weinig mogelijk. Ook de GR moet een hulpmiddel blijven als aanvulling op het eigen kennen en kunnen van de leerling, op die momenten dat het kunnen en kennen te kort zou schieten (of misschien te veel tijd zou vragen) om een bewerking of het resultaat daarvan, die of dat  in het kader van de vraag zinvol en nuttig is om dat kunnen en kennen ook in die context te testen, uit te voeren.
De GR dient geen middel op zich te zijn waarvan het gebruik op examens getest dient te worden. Het gaat op een examen om de wiskunde, het gebruik en de toepassing daarvan, niet om knoppenvaardigheid en kunnen uitvoeren van trucjes met het apparaat.