Grafiek met een horizontaal lijnstuk.

De grafiek van de constante functie f : x → 3 is een horizontale rechte lijn met formule (vergelijking) y = 3.

Het is ook mogelijk om een grafiek met een horizontaal lijnstuk erin te creëren.
Neem de grafiek van de functie  f : x → | x – 3 | + | x – 6 |

 

Merk op dat in deze grafiek een horizontaal lijnstuk voorkomt op het x-interval  [ 3 , 6 ], die samenvalt met de horizontale lijn  y = 3.

Immers er geldt voor deze functie op dit interval:

| x – 3 | = x - 3, omdat  x – 3 ≥ 0  en | x – 6 | = - (x – 6) = 6 – x omdat  x – 6 ≤ 0
En dus is f (x) = x – 3 + 6 – x = 3

Lossen we de vergelijking | x – 3 | + | x – 6 | = 3 op, dan is  3 ≤  x ≤ 6 de (enige) oplossing.
Immers, voor x < 3 wordt de vergelijking 3 – x + 6 – x = 3, maar de oplossing x = 3 voldoet niet.
En voor x > 6 wordt de vergelijking x – 3 + x – 6 = 3, waarvan de oplossing x = 6 ook niet voldoet.
Voor 3 ≤ x ≤ 6 wordt de vergelijking x – 3 – 6 + x = 3 ofwel  0x = 0 en dus voldoet elke x op dit interval.

Het is gemakkelijk na te gaan dat de grafiek van  f : x → | x – a | + | x – b |  met b > a een recht lijnstuk vertoont op het x-interval [ a , b ]  dat samenvalt met de horizontale lijn y = b – a
Met andere woorden: de oplossing van de vergelijking | x – a | + | x – b | = b – a is  a ≤  x ≤  b

Als je in Google als zoekopdracht  sqrt(x+3-4*sqrt(x-1))+sqrt(x+8-6*sqrt(x-1)) opgeeft verschijnt de volgende grafiek:

 

  

Het opvallende hierin is het horizontale lijnstuk op het interval [ 5 , 10 ] dat samenvalt met de horizontale
lijn y = 1.

Dat is interessant om nader te onderzoeken.

Als je verder kijkt bij deze zoekopdracht wordt het duidelijk hoe dit allemaal zit en ook samenhangt met de grafiek van  f : x → | x – a | + | x – b |

Allereerst, het gaat hier om de functie  f : x → √ ( x + 3 - 4√ ( x – 1 ) ) + √ ( x + 8 - 6√ ( x – 1 ) )
Dat betekent allereerst dat  x ≥ 1
Hoe zie je de getallen 1, 5 en 10 hierin terug?
Die 1 zal wel verband hebben met de term  x – 1 onder het wortelteken. Hoe dat komt blijkt als volgt.

Uit de grafiek blijkt dat de oplossing van de vergelijking
√ ( x + 3 - 4√ ( x – 1 ) ) + √ ( x + 8 - 6√ ( x – 1 ) ) = 1  gelijk is aan  5 ≤ x ≤ 10

Met dank aan de oplossing die ik op Google vond kun je schrijven:
√ ( x  - 4√ ( x – 1 ) + 3) + √ ( x - 6√ ( x – 1 ) + 8 ) = 1 
De handigheid zit hem in de substitutie t = √ ( x – 1 ) , omgewerkt tot  t ² = x – 1 en dus  x = t ² + 1
Dat invullen geeft (onder de voorwaarde dat t  ≥ 0):
√ ( t ² + 1 - 4t + 3 ) + √ ( t ² + 1 – 6t + 8 ) = 1 
√ ( t ² - 4t + 4 ) + √ ( t ² - 6t + 9 ) = 1
√ ( t – 2 )²  +  √ ( t – 3 )² = 1
| t – 2 |  + | t – 3 |  = 1
En hierboven hebben we gesteld dat dan de oplossing  2 ≤ t ≤ 3 is.
Met x = t ² + 1  geeft dat  5 ≤ x ≤ 10

Dat betekent dat de grafiek van de functie

f : x → √ ( x + a²  - (b – a) – 2a√ ( x – ( b – a ) ) ) + √ ( x + b² – (b – a) – 2b√ ( x – ( b – a ) ) )
een horizontaal lijnstuk, dat samenvalt met de horizontale lijn y = b – a  laat zien op
het interval [ a² + b - a , b² + b - a]
want de vergelijking √ ( x + a² - (b – a) – 2a√ ( x – (b – a) ) ) + √ ( x + b² - (b – a) – 2b√ ( x – (b – a) ) ) = b – a
is via de substitutie
t  = √ ( x – (b – a ) ) en dus  x = t ² + b - a om te werken tot  √ ( t ² – 2at + a² ) + √ ( t ² – 2bt + b² ) = b – a
en dus  | t – a | + | t – b | = b – a  met als oplossing  a ≤  t  ≤  b

Uitgaande van  b – a = p kun je stellen, dat de grafiek van

f : x → √ ( x + a²  - p  – 2a√ ( x –  p ) + √ ( x + b² – p – 2b√ ( x – p ) een horizontaal lijnstuk heeft op het interval
[ a² + p , b² + p] dat samenvalt met de horizontale lijn y = p   (waarbij b > a en  p = b – a)

Neem a = 1 en b = 3, dan is p = 2 en de functie wordt:

f : x → √ ( x - 1 - 2√ ( x – 2) ) + √ (x + 7 - 6√ ( x – 2 ) )
Het interval voor het lijnstuk is dan [ 3, 11]

 

De grafieken bestaan  links een rechts uit een kromme of een deel ervan, maar niet altijd:

Maar als a ≤ 0 valt het linkerdeel weg.
Want de oplossing van | t – a | + | t – b | = b – a  was  a ≤  t  ≤  b, maar er gold t ≥ 0
Dus is de oplossing bij a ≤ 0 gelijk aan  0 ≤  t  ≤  b
En geldt voor x :  b - a  ≤ x ≤ b² + b – a.
Vanwege de wortel in het functievoorschrift is het domein  [b – a , → >, dus de grafiek begint bij x = b –a met het horizontale lijnstuk

Neem je  a = 0 en b = 3,  dan is  p = 3 en  is de functie
f : x → √ ( x – 3) + √ ( x + 6  – 6√ ( x – 3 ) ),
waarvan de grafiek een recht lijnstuk heeft van (3, 3) tot en met (12,3)

In het algemeen: √ ( x – p) + √ ( x + p²  - p – 2p√ ( x – p ) ) = p  heeft als oplossing p  ≤  x  ≤  p² + p
( t = √ ( x – p) invullen geeft | t | + | t – p |  =  p met  t  ≥ 0, dus 0 ≤ t ≤ p en x =  t² + p)

Voor a < 0 treedt de volgende situatie op:

Bij a = -2 en b = 2 krijg je dus p = 4 en wordt de functie
f : x → √ ( x + 4√ ( x – 4 ) ) + √ ( x  – 4√ ( x – 4 ) ), waarvan de grafiek een recht lijn stuk vertoont van
(4,4) tot en met (8,4).

t = √ (x – 4), dus x = t ² + 4 en je krijgt |t + 2| + |t – 2| = 4, met oplossing -2 ≤ t ≤ 2, maar  t kan niet negatief zijn, dus is de oplossing 0 ≤ t ≤ 4.
Vandaar dat het interval voor x gelijk is aan [ 4 , 8].

Neem je a = -c en b = c met c > 0 dan is de functie

 f : x → √ ( x + c² - 2c + 2c√ ( x – 2c ) ) + √ ( x + c² - 2c  – 2c√ ( x – 2c) )
en is het interval voor het rechte lijnstuk [0, c² + 2c]

Je kunt a en b niet beide negatief nemen, want dan levert a ≤ t ≤ b (≤ 0) en een conflict op met

de substitutie  t = √ (x – 2c), wat inhoudt dat in ieder geval  t ≥ 0 moet zijn.

Maar ondertussen wordt het wel een puur gegoochel met lettertjes, dus stoppen we hier maar.