Puzzelen met Thales

Een leuk puzzeltje daagt altijd uit tot nadere analyse.

Via Twitter stuurde Simon Pampena  @mathemaniac  het onderstaande puzzeltje door, dat binnen 10 seconden moest worden opgelost. De vraag is: hoe goot is x?

In iets meer tijd was dit puzzeltje de wereld al rond geretweet.

 

je moet het even "zien", maar dan is het puzzeltje snel opgelost. x = 8 - 3 =5
Het bewijs?

Teken in rechthoek MBAC ook de diagonaal MA.
In een rechthoek zijn de diagonalen even lang, dus BC = MA.
MA is straal van de cirkel, dus MA = MQ
Hieruit volgt dat MQ = BC, dus x + 3 = 8

Zo'n rechte hoek met hoekpunt op de cirkel doet je denken aan de stelling van Thales, zeker als je de benen verlengt tot de cirkelrand.

Ik dacht daarom aan het volgende:

 

Verleng het lijnstuk AB loodrecht op MP tot het de cirkel in D snijdt.

Wegens cirkelsymmetrie is AB = BD

Idem geldt AC = CE.

Er is nu sprake van twee gelijkvormige driehoeken ABC en ADE.

Immers, er ontstaat zo vanuit hoek A een snavelfiguur met verhoudingen AC : AE = AB : AD = 1 : 2.

Dan is DE = 2 ∙ BC

De Omgekeerde Stelling van Thales (Van een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel) toegepast op driehoek ADE leert dat M op DE ligt en dus DE middellijn is.

Dan is DE = 2 ∙ r en dus  BC = r
z = r en x = r – y
dus is x = z – y

Er is een andere manier om het gestelde aan te tonen.

In de bovenstaande figuur zijn drie congruente driehoeken ABC, BDM en CME aanwezig.

Ze hebben alle drie een rechte hoek en verder is AB = BD = CM en AC = BM = CE.
Dus geldt z = r

De juistheid van de Omgekeerde Stelling van Thales is in die figuur  snel in te zien:

De hoeken  ●  en  *  zijn samen gelijk aan een rechte hoek, dus is hoek DME een gestrekte hoek en DE middellijn en derhalve vormen de punten A, D en E een driehoek met omgeschreven cirkel, waarvan M het middelpunt is.

De Stelling van Thales zelf (Een driehoek ingeschreven in een cirkel, en waarvan één zijde een middellijn van de cirkel vormt, is een rechthoekige driehoek) is zoals bekend snel aan te tonen door het punt op de cirkel te verbinden met het middelpunt, waardoor twee gelijkbenige driehoeken ontstaan.

In de oorspronkelijke driehoek met de middellijn zijn de hoeken samen 180 ^o.

Dus 2 ∙ ● + 2 ∙ * = 180^o  en derhalve vormen ● + * een rechte hoek.

 

 

(Dankzij de regel van de buitenhoek, die gelijk is aan de niet aanliggende binnenhoeken vormen de gelijke hoeken in de gelijkbenige driehoeken samen een gestrekte hoek).

Overigens: Van de Stelling van Thales en zijn Omgekeerde is eigenlijk niet bekend welke de kip en welke het eis is,  ze komen regelmatig in de literatuur verwisseld voor.