Fouten, misverstanden of spraakverwarring? deel II

Over vraag 5 in het eindexamen VWO wiskunde C (“Spiraalvormen”) ontwikkelde zich in het NVvW-examenforum (ook) een discussie die over de formulering van deze vraag gaat.

Het blijkt dat waar gevraagd wordt naar de exponentiële afname van de afstanden tot het middelpunt ook het idee zou kunnen ontstaan dat het gaat over de exponentiële afname van de verschillen van die afstanden.

Dit naast het in de vorige blog besproken punt, waar het woord groeifactor in de context van exponentiële afname een verwarrende term wordt genoemd. Dat punt komt hier ook weer terug, met verschillende visies (en inderdaad een leerling die tot hetzelfde antwoord komt als Guus Balkema) (zie vorige blog).
De kritiek op de formulering werd als volgt in het forum besproken (de bijdragen zijn geanonimiseerd, het forum is alleen voor NVvW-leden die inloggen in te zien).

A: "De afstanden nemen af met een vaste groeifactor"
Is dit correct geformuleerd ??
Je zou denken dat de verschillen een exponentiële rij vormen.

Een leerling werd op door de formulering in zoverre op het verkeerde been gezet, dat ze het omgekeerde van de bedoelde groeifactor berekende.
Een andere leerling werkt idd met de verschillen
Hebben deze leerlingen TE goed gelezen ?

B: Formeel klopt het wat er staat. Als de afstanden exponentieel dalen, dalen de afnames ook exponentieel, en wel met dezelfde groeifactor (verschilrij van een meetkundige rij). Dat komt hier niet zo netjes uit, omdat er te weinig decimalen zijn weergegeven, maar een leerling die gaat kijken of de afnames verlopen volgens een vaste groeifactor komt dus in principe op hetzelfde antwoord. Maar ik deel natuurlijk de kritiek, want de schrijvers van deze vraag hebben het anders bedoeld, zie ook het CV.

C: Ik vind de formulering van de tekst boven vraag 5 ongelukkig, maar niet per se incorrect.
Er wordt gesproken over "afstanden in de tabel", maar niet per se de afstanden tussen de meetwaarden in de tabel. In de 2e rij van de tabel staan immers afstanden. De "afstanden in de tabel" zouden dus kunnen slaan op de weergegeven afstanden tot punt M of op de afstanden tussen de meetpunten in. In beide gevallen komt er hetzelfde getal uit voor de groeifactor, zoals hierboven betoogd.
Verder is in de inleidende tekst in het voorbeeld duidelijk gemaakt wat met deze (ongelukkige) formulering bedoeld wordt. Er staat "De afstand van het midden tot zo'n snijpunt neemt bij benadering steeds toe met dezelfde groeifactor." En vervolgens laten zij zien dat deze groeifactor zit tussen de afstanden tot punt M.
Hoewel te slordig geformuleerd vind ik het te ver gaan om te zeggen dat er een fout in het examen zit.

A: Het gaat me niet zozeer om het woord afstanden, maar om de uitdrukking NEMEN AF MET EEN VASTE GROEIFACTOR. Ze nemen af met een vast percentage, en er is een vaste groeifactor waarmee steeds het volgende getal kan worden berekend, maar de gebruikte formulering is m.i. niet correct.

C: Dat vind ik niet.
Het neemt af? Ja.
Hoe verloopt deze afname? Met een vaste factor.
Taalkundig zou het misschien wel correcter kunnen, maar ik vind de vraag hiermee niet echt fout.
Ik vermoed dat ik dezelfde zin regelmatig in de klas roep.

D: Ik denk (mosterd na de maaltijd?) dat A gelijk heeft, taalkundig gezien. Iets "neemt af met een percentage" en "er is een groeifactor". Ik moet alleen de eerste leerling nog tegenkomen die zoveel taalgevoel heeft dat-ie hierdoor (nota bene) in de war zou raken. De intentie van de vraag lijkt volstrekt helder, zoals C ook opmerkt. En ik denk dat ook ik in de klas dit soort dingen rustig zeg zonder algehele onrust te veroorzaken o.i.d.
Ergo: ik denk niet dat we dit een fout in het examen hoeven te vinden.

E: Ik vond de intentie helemaal niet helder. Ik heb zelf eerst flink zitten puzzelen wat de bedoeling zou kunnen zijn. ben het dus eens met A.

Samenvattende conclusie:

Een mooie opgave, maar hoe komt het dat die bij leerlingen en bij wiskundigen voor verwarring zorgt? Als we dat weten, kunnen we zulke problemen in de toekomst vermijden. Wie denkt hier het verlossende woord te kunnen spreken, wordt uitgenodigd actief aan de discussie deel te nemen en zijn inzicht aan deze blog toe te voegen.

 

Fouten, misverstanden of spraakverwarring? CE VWO wis A vraag 5, 6 "Spiraalvormen"

In WiskundE-brief 684 van 2 november (http://www.wiskundebrief.nl/) kaartte Guus Balkema de opgave Spiraalvormen uit het CE VWO wiskunde C, 1^e tijdvak (http://www2.cito.nl/vo/ex2014/VW-1026-a-14-1-o.pdf) aan.
Voor het correctievoorschrift, zie http://www2.cito.nl/vo/ex2014/VW-1026-a-14-1-c.pdf
Volgens hem zat er een fout in dit examen en zelfs beweerde hij dat foutie­ve antwoor­den goed gere­kend en correc­te antwoor­den fout gere­kend zouden zijn. Of nog sterker, dat ieder ant­woord correct zou zijn.
Zijn beschouwingen zijn interessant genoeg om op in te gaan.

Tijdscontext.

Over deze vraag is in het examenverslag in Euclides 90, 1 al opgemerkt:
"In de context Spiraalvormen werd onder andere een beroep gedaan op het kunnen rekenen met groeifactoren. Het omrekenen van groeifactoren is een veelgevraagde activiteit in examens, maar dan meestal in een tijdscontext.
Gezien de lage p'-waarden was de transfer om deze vaardigheid in een niet-tijd-gebonden-context om te zetten een brug te ver voor veel leerlingen. Vraag 6 leverde dan ook de laagste p'-waarde van het examen op".
Op het NVvW-examenforum en in de Centrale Examenbesprekingen zijn verder geen opmerkingen over deze opgave gemaakt die daarover gaan. In het forum kwam wel naar voren dat leerlingen de bekende foute “lineaire” aanpak bij deze vragen kozen.
Ten aanzien vraag 5, waar aan de hand van een tabel waarin de afstanden van de punten tot het midden in de getekende spiraal per draaiing van 45^o afnemen met een vaste groeifactor wordt gevraagd om dit aan te tonen voor alle in de tabel genoemde punten en deze groeifactor in drie decimalen nauwkeurig te berekenen, merkt Guus Balkema in WiskundE-krant 684 op:

"Factor of groei­factor?
Neem eens de meetkun­dige rij 1, ¹/₂, ¹/₄, ¹/₈, ...
Opeen­volgen­de termen nemen in die rij af met een factor 2. De groei­factor van de rij is dus ¹/₂. Op een vraag: "De termen in de rij nemen af met een vaste factor. Bepaal die factor in drie decima­len nauwkeu­rig" is het correc­te ant­woord 2.000.
Maar wat is nu het juiste ant­woord op vraag 5 van het examen?

 

De termen van de rij nemen af met een vaste groei­factor. Bepaal deze groei­factor in drie decima­len nauwkeu­rig.

De opper­vlakki­ge lezer denkt mis­schien: "Het is een dalende rij dus het moet een groei­factor kleiner dan 1 worden". De oplet­tende lezer denkt: "De termen van de rij nemen af met een vaste factor 2. Hier staat dat dat de groei­factor is". Wie heeft er gelijk?"


Groeifactor en exponentiële groei.

Nu is het onderwerp rijen geen onderdeel van het wiskunde C-programma, dus in feite valt dit betoog buiten de context van de genoemde opgave.
Maar ook het feit dat de opgave spreekt over een “groefactor” sluit een beschouwing over rijen, een discreet begrip, in feite uit. Men spreekt bij een meetkundige rij niet van een groeifactor maar van de reden of factor r = u(n+1) / u(n) met n = 0, 1, 2, 3…
Het begrip “groeifactor” is, in de VO–wiskunde zeker, per definitie gekoppeld aan exponentiële groei en heeft dus te maken met een continu proces.
In de opgave wordt dan ook gesteld: “De afstand van het midden tot zo’n snijpunt neemt bij benadering steeds toe met dezelfde groeifactor”. In het vervolg van de opgave wordt de spiraal van buiten naar binnen bekeken en nemen de afstanden af met een vaste groeifactor.
Ook in gevallen dat de groei in feite krimp is, wordt toch gesproken van groeifactor, zijnde gedefinieerd als de constante waarde N(t+1)/N(t) voor elke (reële) t.
Op een andere manier zien we het begrip groeifactor in de boeken terug bij de formule g = 1 + p/100, waarbij p het (vaste) percentage is, waarmee een hoeveelheid toe- (p > 0) of afneemt (p < 0).
Neemt iets met 10 % af, dan is p = -10 en de groeifactor g = 1 + -10/100 = 0,9.
Het is inderdaad zo dat er in het spraakgebruik uitdrukkingen voorkomen als “2 x zo groot” en “2 x zo klein”. Guus Balkema stelt dat in beide gevallen de factor van de toe- resp. afname 2 is. In de VO-wiskunde is het dacht ik communis opinio om dan te spreken van de groeifactoren 2, resp. ½.
Ik denk dat een VWO-wis-C-leerling wat dat betreft op zich in deze opgave geen echt probleem hoeft te ervaren als hij zijn zaken kende (afgezien van de eerder genoemde tijd-notie) en met 0,872 het juiste antwoord gaf.
Volgen Guus Balkema wordt een leerling die als groeifactor 1/0,872 geeft afgestraft terwijl dat antwoord volgens hem juist is terwijl de leerling die volgens het boekje 0,872 als antwoord geeft de punten krijgt, maar ze niet verdient.
Volgens mij dus niet.

Groeispiralen….

Over vraag 6 heeft Guus Balkema een stuk geschreven, waarin hij ook refereert aan correspondentie met College voor Examens en Toetsen.

Deze vraag 6 bewandelt zo ongeveer de omgekeerde weg van vraag 5. De leerlingen moeten op grond van twee gegeven punten, die 8 slagen van 45^o (één rondgang) van elkaar liggen, een nieuwe spiraal tekenen en daartoe de teruglopende afstanden van tussenliggende punten berekenen.
Het komt er op neer dat nu de groeifactor van buiten naar binnen ( 1/2 )^1/8 per 45^o is.
Het bezwaar van Guus Balkema tegen het antwoord in het correctievoorschrift blijkt naar mijn indruk te zijn, dat op grond van de inleiding op de vragen er vele antwoorden mogelijk zijn.
Daar staat namelijk dat bij een groeispiraal geldt de afstand van het midden tot zo’n snijpunt bij benadering steeds toeneemt met dezelfde groeifactor (en van buiten naar binnen dus afneemt met eenzelfde, omgekeerde, groeifactor).
Guus Balkema tekent op grond van dit principe en de zeven punten die op grond van het gegeven zijn te berekenen een aantal spiraalachtige krommen die daaraan voldoen.
Hij stelt nu dat er dus oneindig veel antwoorden mogelijk zijn, zo ongeveer net zoals er bij een toenamediagram ook oneindig veel grafieken kunnen worden getekend, die aan het toenamediagram voldoen.

… wat zijn dat eigenlijk?

Ik heb een paar redenen om dit inzicht te bestrijden.

Allereerst, terugkomend op een eerder argument, volgens mij maakt de opgave duidelijk dat hier sprake is van een continu exponentieel proces en niet van een tot 9 punten beperkt discreet proces. Daar verwijst de term groeifactor naar (en ook het naschrift van de opgave, waarin verwezen wordt naar de logaritmische spiraal, omdat de afstanden op roosterpapier waarvan de verticale as een logaritmische schaal heeft op een rechte lijn liggen).
Ten tweede geeft de spiraal in figuur 1 in deze opgave ook zonder meer aan dat er sprake is van een continu exponentieel proces zonder vreemde slingers of hoeken in de grafiek.
Volgens mij wordt in de stam van de opgave derhalve voldoende uit- en vastgelegd wat er onder een groeispiraal wordt verstaan en dus wat er van de leerling bij vraag 6 wordt verwacht.
Afgezien daarvan, het begrip “spiraal” heb ik nergens gekoppeld gezien aan de op zich fraaie figuren die Guus Balkema heeft getekend. Kijk ook maar eens op
(https://www.google.nl/search?q=spiralen&tbm=isch
Of lees wat Wikipedia over spiralen zegt: “: "Een spiraal is een curve die rond een bepaald punt draait en steeds dichter dit punt nadert of zich er steeds verder van verwijdert".
Of hieronder een citaat uit het boek ”In de Ban van de wiskunde” van Rik Verhulst. "Een groeispiraal heeft een zeer specifiek kenmerk: een raaklijn in een willekeurig punt van de spiraal snijdt de rechte door dat punt en het centrum van onder een constante hoek". Ook het artikel www.fi.uu.nl/wiskrant/artikelen/artikelen00-10/.../0401oktober_deruiter.pdf geeft een ander beeld.
Maar dat wil nog niet zeggen dat op een meer academisch niveau de zaken mogelijk anders gedefinieerd zijn dan zoals we de zaken in het wiskundeonderwijs aan onze leerlingen proberen te duiden. Dat is ook geen ramp, VO-wiskunde is inleidend en haalt wat dat betreft nog niet het onderste uit de mathematische kan. Zo diep kunnen die leerlingen nog niet reiken. En zo diep duikt men derhalve dus in de examen ook niet.

Geen goede opgave.

Dat neemt niet weg dat ik het bijvoorbeeld roerend eens ben met een opmerking in het NVvW-examenforum: “Ik vond dit een vreselijke vraag, zeker niet geschikt voor wiskunde C (leerlingen). Bij opgave 5 proberen ze nog wel het één en ander voor te doen, zodat een leerling misschien hetzelfde gaat doen bij 6, maar dat vind ik eerder een denkstap voor wiskunde A dan voor wiskunde C”.

In het HEWET-boekje ”Exponenten en logaritmen” van jaren her stonden als toepassingen enkele opgaven over de nautilusschelp en de spiraal, die verdacht veel op de examenopgaven lijken. Ik denk dat dat de beste plaats was geweest voor dit soort opgaven: als illustratie van het geleerde in de klas behandelen. Daarvoor leent zo’n context zich wondermooi!

Vragen moeten duidelijk zijn.

Guus Balkema liet weten over deze kwestie zijn ideeën op papier gezet te hebben en vervolgens als artikel aangeboden te hebben aan het blad “Euclides” van de NVvW. Helaas wordt dat niet geplaatst en dat is jammer, want één van de kernen van zijn betoog betreft het juist formuleren van (examen)vragen. En deze opgave geeft daar ook wel aanleiding toe gezien de verwarring waartoe hij bij leerlingen en ook bij collega’s leidde.

Ik denk wel dat we er als docenten en examenmakers baat bij hebben om elkaar scherp de maat te nemen bij het formuleren en evalueren van opgaven. Wat dat betreft is het jammer dat een discussie over deze examenopgaven, ook in verband met het spraakgebruik inzake exponentiële toe- en afname, niet aan de hand van een artikel in “Euclides” zal worden gevoerd.

Perspectieven.

Ten slotte: je kunt zo’n vraag bekijken vanuit verschillende perspectieven: vanuit het perspectief van een leerling, die zich de stof probeerde eigen te maken, vanuit het perspectief van de wiskundedocent die de stof probeerde over te brengen en vanuit het perspectief van een academicus die weer hoger boven de stof staat.

Het eerste perspectief bleek bij deze opgave geen blikveld op te leveren voor veel leerlingen. Toch zullen examenvragen degelijk rekening moeten houden met dit perspectief.
Het tweede perspectief staat ten dienste van het eerste perspectief om dat in de les te verbreden.
Van het derde perspectief dient men zich daarbij te allen tijde rekenschap te geven.

bronnen:

Guus Balkema (2014) Fout in het examen Wiskunde C van 29 mei 2014. WiskundE-brief 684 dd 2 november 2014, zie De wiskundE-brief op het web

Guus Balkema (2014) Groeispiralen voor Euclides. Kan aangevraagd worden door een lege email met de titel als onderwerp te sturen aan A.A.Balkema@uva.nl

N.B. Zie ook de volgende blog, waarin deze en andere kritiek op de formulering van vraag 5 aan de orde komt n.a.v. citaten uit het NVvW-examenforum.

Leuke rekenfoefjes

Kwadraten "halverwege" de gehele getallen.

 

(1½)² = (3/2)² = 9/4   = 2 ¼       = 1 · 2 + ¼   = 1² + 1 + ¼

(2½)² = (5/2)² = 25/4 = 6 ¼        = 2 · 3 + ¼   = 2² + 2 + ¼
(3½)² = (7/4)² = 49/4 = 12 ½       = 3 · 4 + ¼   = 3² + 3 + ¼

 

dus (9 ½)² is snel uit te rekenen met 9 · 10 + ¼  = 90 ¼  of  9² + 9 + ¼  = 90 ¼

vanwege       (n + ½)²  = n² + 2 · n · ½ + ( ½ )² = n² + n + ¼ = n(n + 1) + ¼

(Met dank aan David Dijkman)

 

Opvallende producenten van gebroken "rijg" getallen.

 

1 ½  · 2 2/3 = 3/2 · 8/3 = 4

2 2/3 · 3 ¾ = 8/3 · 15/4 = 10

3 ¾ · 4 4/5 = 15/4 . 24/5 = 18

4 4/5 · 5 5/6 = 24/5 · 35/6 = 28
5 5/6 · 6 6/7 = 35/6 · 48/7 = 40

Wat is er te vertellen over de rij 4, 10, 18, 28, 40, … ?

De quotiënten zijn 10/4, 18/10, 28/18,..  geven geen regelmaat.

De eerste verschillen zijn 6, 8, 10, 12, …

De tweede verschillen zijn 2,  2,  2, …

Dus er is sprake van een kwadratisch verband  x² + ax + b

x = 1 geeft   1 +   a + b = 4       dus   a + b = 3

x = 2 geeft   4 + 2a + b = 10      dus 2a + b = 6

Hieruit volgt dat a = 3 en b = 0  en dus x² + 3x als kwadratisch verband

8 8/9 · 9 9/10 = 8² + 3 · 8 = 88, reken maar na!

Om het wat anders te bewijzen:

 

Met dank aan Willem van Ravenstein.