Leuke rekenfoefjes

Kwadraten "halverwege" de gehele getallen.

 

(1½)² = (3/2)² = 9/4   = 2 ¼       = 1 · 2 + ¼   = 1² + 1 + ¼

(2½)² = (5/2)² = 25/4 = 6 ¼        = 2 · 3 + ¼   = 2² + 2 + ¼
(3½)² = (7/4)² = 49/4 = 12 ½       = 3 · 4 + ¼   = 3² + 3 + ¼

 

dus (9 ½)² is snel uit te rekenen met 9 · 10 + ¼  = 90 ¼  of  9² + 9 + ¼  = 90 ¼

vanwege       (n + ½)²  = n² + 2 · n · ½ + ( ½ )² = n² + n + ¼ = n(n + 1) + ¼

(Met dank aan David Dijkman)

 

Opvallende producenten van gebroken "rijg" getallen.

 

1 ½  · 2 2/3 = 3/2 · 8/3 = 4

2 2/3 · 3 ¾ = 8/3 · 15/4 = 10

3 ¾ · 4 4/5 = 15/4 . 24/5 = 18

4 4/5 · 5 5/6 = 24/5 · 35/6 = 28
5 5/6 · 6 6/7 = 35/6 · 48/7 = 40

Wat is er te vertellen over de rij 4, 10, 18, 28, 40, … ?

De quotiënten zijn 10/4, 18/10, 28/18,..  geven geen regelmaat.

De eerste verschillen zijn 6, 8, 10, 12, …

De tweede verschillen zijn 2,  2,  2, …

Dus er is sprake van een kwadratisch verband  x² + ax + b

x = 1 geeft   1 +   a + b = 4       dus   a + b = 3

x = 2 geeft   4 + 2a + b = 10      dus 2a + b = 6

Hieruit volgt dat a = 3 en b = 0  en dus x² + 3x als kwadratisch verband

8 8/9 · 9 9/10 = 8² + 3 · 8 = 88, reken maar na!

Om het wat anders te bewijzen:

 

Met dank aan Willem van Ravenstein.