Wederkerige vergelijkingen

x⁴ – 3x³ + 4x² – 3x + 1 = 0

is een even wederkerige vergelijking van de eerste soort omdat het een n-degraadsvergelijking met even graad is en de coëfficiëntenrij 1, -3, 4, -3, 1 gelezen van links naar rechts gelijk aan de coëfficiëntenrij gelezen van rechts naar links.

Zie verderop voor een algemene oplossingsmethode voor dit geval  en voor andere wederkerige vergelijkingen.

x = 1 is hier een oplossing, want 1 – 3 + 4 – 3 + 1 = 0

x – 1 /  x⁴ – 3x³ + 4x² – 3x + 1 \ x³ – 2x² + 2x - 1

                  x⁴ – x³

                -2x³  + 4x²

                -2x³  + 2x²

                            2x² – 3x

                            2x² – 2x

                                 -x  + 1

                                 -x  + 1

                                         0

en x³ – 2x² + 2x – 1 is ook weer wederkerig, maar dan oneven en van de tweede soort, omdat de coëfficiëntenrij 1, -2, 2, -1 gelezen van links naar rechts tegengesteld is aan de coëfficiëntenrij van rechts naar links.

x³ – 2x² + 2x – 1 =       

x³ – 1 – 2x² + 2x =

(x – 1) (x² + x + 1) – 2x (x – 1) =

(x – 1) (x² – x + 1)

dus de vergelijking is te herleiden tot:

(x – 1)² (x² – x + 1) = 0

de discriminant van x² – x + 1 is -3 dus de enige (dubbele ) oplossing van deze vergelijking is x = 1

Er zijn ook oneven wederkerige vergelijkingen van het eerste soort. Die zijn van de 2n+1-de graad.

Bij een wederkerige vergelijking van de tweede soort, even of oneven  is de coëfficiëntenrij gelezen van links naar rechts tegengesteld aan de coëfficiëntenrij gelezen van rechts naar links.

Bij een even wederkerige vergelijking van de tweede soort en de 2n-de graad ontbreekt daardoor de term xⁿ in het midden.

In het algemeen zijn de oplossingsmethoden:

eerste soort even        → stel  x + 1/x = t dan wordt  x² + 1/x² = t² – 2

Een even wederkerige (of reciproke) vergelijking van de eerste soort heeft een vorm die, als het bijvoorbeeld een 4^e-graafdsvergelijking is, ter herleiden is tot:

x⁴  + ax³ + bx² + ax + 1 = 0
deel deze vergelijking term voor term door x², dan krijg je
x² + ax + b + a/x +  1/x² = 0
x² + 1/x² + a (x + 1/x) + b = 0
stel x + 1/x  = t
dan wordt t² = (x + 1/x)² = x² + 2 · x · 1/x  + 1/x² = x² + 1/x² + 2
ofwel x² + 1/x² = t² – 2

invullen geeft:      t² – 2 + at + b = 0   dus     t² + at + b – 2 = 0

Deze vierkantsvergelijking is met bekende middelen op te lossen.

Een oplossing t leidt tot de vierkantsvergelijking x² – tx + 1 = 0 waarmee de oorspronkelijke vergelijking kan worden opgelost.

eerste soort oneven    → bevat de factor x + 1

Een oneven wederkerige vergelijking van de eerste soort kan er als volgt uitzien:

x⁵ + ax⁴ + bx³ +bx² + ax + 1  = 0
dat wordt
x⁵ + 1 + ax (x³ + 1) + bx² (x + 1) = 0
Hier passen we het foefje                  x²ⁿ⁺¹ + 1 = (x + 1 ) (x²ⁿ – x^2n-1 +… - x + 1) toe.
(x + 1) (x⁴ – x³ + x² – x + 1) + ax (x + 1) (x² – x + 1) + bx² (x + 1) = 0
(x + 1) (x⁴ – x³ + x² – x + 1 + ax (x² – x + 1) + bx) = 0
(x + 1) (x⁴ + (a – 1) x³ – (a  + b – 1) x² + (a – 1) x + 1) = 0
dus x = -1 of x⁴ + (a – 1) x³ – (a  + b – 1) x² + (a  - 1) x + 1 = 0 en dat is een even wederkerige vergelijking van de eerste soort.
(Je kunt dus x + 1 uitdelen op de manier zoals in de inleiding)

tweede soort even                → bevat de factor x² - 1

Een even wederkerige vergelijking van de tweede orde kan als vorm hebben:

x⁴  - ax³ + ax - 1 = 0
LET OP: noodzakelijkerwijze ontbreekt de derde, middelste term bij deze vorm.

x⁴ – 1 – ax³ + ax = 0

(x² – 1)(x² + 1) – ax (x² – 1) = 0
(x² – 1) (x² – ax + 1) = 0
De oplossingen zijn -1, 1 en de eventuele oplossingen van de vierkantsvergelijking
x² – ax + 1 = 0
(Hier kun je dus x² – 1 uitdelen)

tweede soort oneven           → bevat de factor x - 1

Een oneven wederkerige vergelijking van de tweede orde zou er zo uit kunnen zien:

x⁵ - ax⁴ + bx³ – bx² + ax – 1 = 0
dat wordt
x⁵ – 1 – ax (x³ – 1) + bx² (x – 1) = 0
Nu kan het analoge foefje       xⁿ – 1 = (x – 1) (x^n-1 + x^n-2 + .. + x + 1) worden toegepast:
(x – 1) (x⁴ + x³ + x² + x + 1) – ax (x – 1) (x² + x + 1) + bx² ( x – 1) = 0
(x – 1)  (x⁴ + x³ + x² + x + 1 – ax (x² + x + 1} + bx² = 0
(x – 1)  (x⁴ – (a – 1) x³ – (a – b – 1) x² – (a – 1) x + 1) = 0
dus  x = 1 of x⁴ – (a – 1) x³ + (b – a + 1) x² – (a – 1) x + 1) = 0 en dat is weer een even wederkerige vergelijking van de eerste soort.
(Met dezelfde opmerking: x – 1 uitdelen)

met dank aan:

http://www.math10.com/problems/reciprocal-equation-problems/easy/

http://users.telenet.be/freddy.lippens/freddy.lippens/transformaties/vkv_en_horner2.htm 

zie ook:

www.fi.uu.nl/wiskrant/artikelen/274/274juni_hietbrink.pdf