Een niet zo'n goed voorbeeld?

De volgende voorbeeldopgave komt voor in de Syllabus Centraal Examen 2018 VWO wiskunde B, waarin het nieuwe examenprogramma wordt toegelicht.

https://www.hetcvte.nl/document/syllabus_wiskunde_b_vwo_2018_nader

8   Gegeven is de functie f (x) = 2^{x – 3} + 3

a.    Bepaal de asymptoot van de grafiek van de inverse functie.
b.    Op de grafiek van f ligt een punt met y = 16 waarin de helling van de grafiek 9,0 is.
     Van welk punt van de grafiek van de inverse functie weet je dan ook de helling en
     hoe groot is die?

Uitwerking

a.    De grafiek van f heeft horizontale asymptoot y = 3 dus de inverse heeft verticale asymptoot x = 3.
b.    Op de grafiek van f ligt het punt (16, 3 + ²log 13).
Op de grafiek van de inverse ligt dan het punt (16, 3 + ²log 13) met helling 9,0^-1 ≈ 0,11

Het is een voorbeeld bij Subdomein B4 Inverse functies:

De kandidaat kan de inverse van een functie begripsmatig hanteren, opstellen en gebruiken.

Parate kennis De kandidaat kent:
• de voorwaarden waaronder een functie een inverse functie heeft.
Parate vaardigheden
De kandidaat kan:
1. van de machtsfuncties, de exponentiële functies en de logaritmische functies het functievoorschrift van de inverse functie opstellen;
2. bij de grafiek van een functie de grafiek van de inverse functie tekenen.
Productieve vaardigheden
De kandidaat kan:
3. van een samengestelde functie het functievoorschrift van de inverse functie opstellen;
4. de eigenschappen van de inverse functie en haar grafiek interpreteren in een gegeven probleemsituatie.

Wat wordt hier van een kandidaat verwacht?

In de opgave komt de uitdrukking “bepaal” voor.
Deze is in de lijst Examen(werk)woorden gedefinieerd als: “De wijze waarop het antwoord gevonden wordt is vrij; een toelichting is vereist”.

Kijken we naar vraag a dan is de vraag, of en hoe het bepalen van de asymptoot van de grafiek van f toegelicht moet worden, of dat het hier een (semi-)standaardsituatie is, waarvan de asymptoot meteen gekend en genoteerd mag en kan worden.

De grafiek van f ontstaat uit de standaardgrafiek y = 2^x door de translatie  (3,3) (als vector)
De standaardgrafiek heeft als horizontale asymptoot y = 0 dus de getransleerde grafiek heeft als horizontale asymptoot y = 3.
De verticale asymptoot van de grafiek van de inverse functie is dan x = 3.

Het mag dus blijkbaar korter dan in deze 3 zinnen.

Weer die decimalen...

Vraag b roept meer vragen op.

Gezien de rol die y in vraag a speelt zou het allereerst beter zijn geweest om hier te spreken van een punt met y-coördinaat 16.
Het getal 9,0 roept ook vaagtekens op. Hier had beter kunnen staan dat de helling bij benadering in 1 decimaal 9,0 is. De bedoeling en  mate van exactheid van 9,0 wordt nu in het midden gelaten.
De uitwerking gaat daarna in de fout daar bij het betreffende punt op de grafiek van f de coördinaten om te wisselen. Het is natuurlijk het punt (3 + ²log 13, 16).
Blijkbaar is hier het (eventueel exact) oplossen van de vergelijking  2^{x – 3} + 3 = 16 niet nodig om de x-coördinaat van het punt uit te rekenen, hoewel dat voor de hand zou liggen. De oplossing valt voorshands zo uit de lucht.

Gezien het gegeven van de helling als 9,0 (bedoeld als een afgeronde waarde die dus tussen 8,5 en 9,5 ligt en kennelijk niet als het exacte getal 9) zou het voor een leerling tamelijk logisch zijn dat de x-coördinaat ook in 1 decimaal berekend had mogen worden (met die gezegende GR…) , dus had het antwoord ook (16 ; 6,7) kunnen zijn.

Er staat immers niets in de vraagstelling over algebraïsch of exact.

En ten slotte het antwoord.

Dat zou dan 9,0^-1 ≈ 0,11 moeten zijn?  Waarom nu ineens twee decimalen? Waar wordt dat gevraagd?
Afgezien nog van het feit dat 9,0, op 1 decimaal afgerond, een getal uit de range 8,5 ≤  x  < 9,5 vertegenwoordigd, wat betekent dat het omgekeerde tussen 0,117.. en 0, 105… ligt, wat inhoudt dat ook 0,12 zou hebben gekund...
Maar waarom zou een leerling niet in staat zijn om algebraïsch te verifiëren dat f ’(x) = 2^{x – 3}∙ ln 2 is en dus de helling f ‘(3 + ² log 13) = 13 ∙ ln 2 ≈ 9,0109…
of zelfs, als 2^{x – 3} + 3 = 16 met de GR is opgelost en dus x = 6,7004… oplevert,
dat f ‘(6,7004…) ≈ 9,0109… oplevert dank zij de ANS-toets.

En zou het een groot probleem zijn om y = 2^{x – 3} + 3 om te werken tot x = 3 + ²log (y – 3)
wat uiteindelijk levert, dat f ^INV ‘ (x) = 1 /((x – 3) ln (2)) ?

Overigens, de opgave geeft geen aanleiding om te veronderstellen dat de opgave suggereert dat  13 ∙ ln (2) = 9,0 (exact gelijk aan). Het is wel duidelijk dat  in dit verband 13 ∙ ln (2) ≈ 9,0 (afgerond op 1 decimaal) wordt bedoeld, maar de onzorgvuldige formulering en vraagstelling levert toch wel de nodige vaagheden en punten van kritiek op.

Uit het veld heeft al vaker de roep geklonken om meer duidelijkheid rond decimalen en afronden. Deze voorbeeldopgave gaat op dit punt opnieuw de mist in en komt aan deze roep niet tegemoet.

Ook wat betreft de vraag wat van een kandidaat nu precies verwacht moet worden als het om een adequate en volledige beantwoording gaat van de gestelde vragen maakt deze voorbeeldopgave weinig duidelijk. Laat staan hoe een eventuele score er in een correctievoorschrift zou uitzien.
Vooral de vraagstelling “Van welk punt van de grafiek van de inverse functie weet je dan ook de helling en hoe groot is die?” is van een dermate vaagheid en onduidelijkheid ten aanzien van wat van de leerling verwacht wordt dat hierin de syllabus weinig houvast geeft.  Zoiets hoort in een exact vak als wiskunde B niet thuis.

Dat wil overigens niet zeggen dat de opgave op zich niet een hele aardige is, waarin veel aspecten van de algebraïsche kennis hadden kunnen worden getest bij een goede vraagopbouw.
 

Die is er voor een docent die zijn vak verstaat prima uit te halen!