Ook leuk!

a) ja, met het kwadraat van 29, resp. het kwadraat van 155
b) nee, en zelfs "integer"niet!
c)

 

n (n + 1) (n + 2) (n + 3) =

(n² + n) (n² + 5n + 6) =
n⁴ + 5n³ + 6n² + n³ + 5n² + 6n =
n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n

dit moet gelijk zijn aan een kwadraat – 1

dus moet n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n + 1 een kwadraat zijn.

dus moet dat te schrijven zijn als (n² + an + 1)² =

n⁴ + an³ + n² + an³ + a²n² + an + n² + an + 1 =
n⁴ + 2an³ + (2 + a²) n² + 2an + 1

dat is identiek met n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n + 1 als

2a = 6 en
(2 + a²) = 11

dus a = 3

n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = (n² + 3n + 1)²

n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n² + 3n + 1)² - 1

dit geldt voor elke n, niet alleen voor gehelen:

 

1,1 · 2,1 · 3,1 · 4,1 = 5,51² -1

V2 (V2 + 1)(V2 + 2)(V2 + 3) = (3 + 3V2)² – 1 ( ≈ 51,4558 )
 
zelfs -2 · -1 . 0 · 1 = (-1)² - 1 = 0
en    0 · 1 · 2 · 3 = 1² – 1 = 0

Er is nog iets leuks met negatieve getallen:

-11 x -10 x -9 x -8 = ((-11)²+ 3 x -11 +1)² -1

en

8 x 9 x 10 x 11 = (8² + 3 x 8 + 1)² – 1

beide:
7920 = 89² – 1

inderdaad is n² + 3n +1 gelijk aan
(-n – 3)² + 3( -n - 3) + 1 (= n² + 6n + 9 – 3n – 9 + 1)

 

met dank aan David Dijkman

Toevoeging: de oplossing die David Dijkman zelf geeft.
Het gebruik van het merkwaardige product

(a + b) (a - b) = a² - b²

is toch wel bijzonder elegant!