Gepensioneerd en toch nog tijd om te bloggen.

Een aanvulling op twitter-account @eskorthof en dan met meer dan 140 tekens.

dinsdag 30 september 2014

Ook leuk!

a) ja, met het kwadraat van 29, resp. het kwadraat van 155
b) nee, en zelfs "integer"niet!
c)
 
n (n + 1) (n + 2) (n + 3) =
(n2 + n) (n2 + 5n + 6) =
n4 + 5n3 + 6n2 + n3 + 5n2 + 6n =
n4 + 6n3 + 11n2 + 6n

dit moet gelijk zijn aan een kwadraat – 1

dus moet n4 + 6n3 + 11n2 + 6n + 1 een kwadraat zijn.

dus moet dat te schrijven zijn als (n2 + an + 1)2 =
n4 + an3 + n2 + an3 + a2n2 + an + n2 + an + 1 =
n4 + 2an3 + (2 + a2) n2 + 2an + 1

dat is identiek met n4 + 6n3 + 11n2 + 6n + 1 als
2a = 6 en
(2 + a2) = 11

dus a = 3

n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = (n2 + 3n + 1)2

n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n2 + 3n + 1)2 - 1

dit geldt voor elke n, niet alleen voor gehelen:
 

1,1 · 2,1 · 3,1 · 4,1 = 5,512 -1

V2 (V2 + 1)(V2 + 2)(V2 + 3) = (3 + 3V2)2 – 1 ( ≈ 51,4558 )
 

zelfs -2 · -1 . 0 · 1 = (-1)2 - 1 = 0
en    0 · 1 · 2 · 3 = 12 – 1 = 0

Er is nog iets leuks met negatieve getallen:

-11 x -10 x -9 x -8 = ((-11)2+ 3 x -11 +1)2 -1

en

8 x 9 x 10 x 11 = (82 + 3 x 8 + 1)2 – 1

beide:
7920 = 892 – 1

inderdaad is n2 + 3n +1 gelijk aan
(-n – 3)2 + 3( -n - 3) + 1 (= n2 + 6n + 9 – 3n – 9 + 1)

 
met dank aan David Dijkman

Toevoeging: de oplossing die David Dijkman zelf geeft.
Het gebruik van het merkwaardige product

(a + b) (a - b) = a2 - b2

is toch wel bijzonder elegant!


 

 

Geen opmerkingen:

Een reactie posten