Het ladderprobleem

Het probleem van de kruisende ladders.

 

In mijn archief vond ik het probleem van de kruisende ladders terug.

In onze wiskundesectie ging het probleem rond en de vraag was, hoe je dat nu het beste of het mooiste kon oplossen. Dat was nog uit de tijd vóór de grafische rekenmachine.

 Het probleem. In een steeg van onbekende breedte staan twee ladders kruislings opgesteld en wel zo, dat de voet A van de ene ladder tegen de ene muur staat en de top B tegen de andere, terwijl de andere ladder precies omgekeerd staat, CD. Het punt E waar de ladders (in het zijaanzicht) elkaar kruisen ligt 1 meter boven het straatoppervlak.

Als de ene ladder 3 meter lang is en de andere 2 meter lang, hoe breed is dan de steeg?

Op internet zijn een aantal oplossingen te vinden van dit probleem, met dezelfde en met andere getallen.

De oplossing die we toen vonden staat hieronder.

 

Ja, dat ging toen dus nog met inklemmen, want de vergelijking met de wortels die hierboven staat herleiden dat levert alleen maar meer problemen op. Daar kom ik nog even op terug.

Met de GR is het probleem meteen opgelost met het invoeren van twee formules en de optie intersect. x ≈ 1,2311857

In het verhaal hierboven staat: Zoek 2 getallen A en B met A + B = A ∙ B en A² – B² = 5

Uit de eerste relatie volgt B = A / (A – 1)

Ingevuld in de tweede relatie levert na herleiding:

A⁴ – 2A³ – 5A²  + 10A – 5 = 0

Dat is met de GR ook zo op te lossen en levert o.a. A ≈ 2,735723252

dus sqrt (9 – x²) ≈ 2,735723252

en dan is x ≈ 1,231185724

Overigens, als de ene ladder p meter lang is en de andere ladder q meter lang, het kruispunt h meter boven de grond en de steeg d meter breed, dan krijg je de relatie:

h / sqrt(p² – d²) + h / sqrt(q² – d²) = 1

 

Ik vind dit een aardig voorbeeld van het mathematiseren van een probleem. De echte wiskunde zit hem niet (alleen) in het oplossen van een (zelfs 4egraads-) vergelijking (voor zover die (eenvoudig dan wel exact) oplosbaar is) maar juist in het opstellen van die vergelijking.

Het vinden van de oplossing met de GR is dan het kersje op de taart, in plaats van een rekenkundig geploeter (met inklemmen).