De vermenigvuldigingsstroken van Genaille-Lucas.

De vermenigvuldigingsstroken van Genaille-Lucas.

 

 

 

Hoe werkt het?

 

Om 52749 met 4 te vermenigvuldigen leg je de stroken  5, 2, 7, 4, and 9 van links naar rechts naast de "index" strook. Kijk dan in de 4e rij en begin rechts bij het cijfer dat bovenaan staat en volg dan de driehoeken naar links.

 

 

 52749 x 4 = 210996

Merk op dat de tafels van 1 t/m 9 in deze stroken “verborgen” zitten.

(afgezien van de laatste regel van elk: 10 · .. = .. )
Het laatste cijfer van een getal uit een tafel vind je in de betreffende kolom per rij op de eerste regel, bijvoorbeeld in kolom 4:
de tafel van 4:        4, 8, 2, 6, 0 enz.
Het tiental in een antwoord staat steeds in de kolom “index” vooraan als je de punt van de driehoek naar links volgt:
bij 4 hoort 0, bij 8 hoort 0, bij 2 hoort 1 (dus 12), bij 6 hoort 2 (dus 24).

Het principe is gebaseerd op het “onthouden” dat je bij kolomvermenigvuldiging doet.

Bij 0 onthouden wijst de driehoek naar positie 1, het bovenste getal in de strook links ervan.
Bij 1 onthouden wijst de driehoek naar positie 2, het 2^e getal in de kolom.

 Hoe zit dat eigenlijk?

Kijk naar de volgende vermenigvuldiging:

.	.	.	7	x
				6
.	.	.	y	z

6 · 7 = 42

op de plaats van y komt 2 als x 0 of 1 is, want "0 onthouden"

op de plaats van y komt 3 als x 2 of 3 is, want dan "1 onthouden"
op de plaats van y komt 4 als x 4 is
op de plaats van y komt 5 als x 5 of 6 is
op de plaats van y komt 6 als x 7 of 8 is
op de plaats van y komt 7 als x 9 is

in kolom 7, rij 6 staan de getallen 2, 3, 4, 5, 6, 7 onder elkaar.
in kolom x, rij 6 die rechts naast kolom 6 komt te liggen zal de driehoek wijzen naar deze getallen, 2, 3, 4, 5, 6, 7  afhankelijk van de waarde van x.
is x = 0 0f x = 1 dan wijst de driehoek naar 2, op z komt 0 resp. 6
is x = 2 of x = 3 dan wijst de driehoek naar 3, op z komt 2 resp. 8
is x = 4 dan wijst de driehoek naar 4, op z komt 4
enz.

bijvoorbeeld:

.	.	.	7	3
				6
.	.	.	3	8

En nu verder:

.	.	7	3	x
				6
.	.	y	z	p

Hier hangt de waarde van z af van de vermenigvuldiging 6 · x

Als x = 8, dan is 6 · 8 = 48:         dus “8 opschrijven 4 onthouden”.
Dan verder rekenen: 6 · 3 = 18 en 18 + 4 = 22, dus “2 opschrijven, 2 onthouden”.
Dan 6 · 7 = 43 en 42 + 2 = 44, dus “2 opschrijven, 2 onthouden”.
Dus als x = 8 dan is p = 8, z = 2 en y = 4
Nu liggen van links naar rechts naast elkaar de stroken 7, 3 en 8
Kijken we in kolom 8 en rij 6, dan is het eerste, bovenste cijfer dat we aflezen 8.
Dus 8 opschrijven, 4 onthouden.
De driehoek wijst in kolom 3, rij 6 (5^e positie) een 2 aan.
Dat klopt, want  6 · 3 = 18, en 18 + 4 = 22, dus 2 opschrijven en 2 onthouden.
De driehoek in kolom 3, rij 6 wijst in kolom 7 (3^e positie) een 4 aan,
want 6 · 7 = 42,
en 42 + 2 = 44, dus 4 opschrijven en 4 onthouden.  

Hoe moet je nu de punten van de driehoeken richten in kolom 4 rij 7?

.	.	4	x	.
				7
.	.	y	z	.

In rij 7 en kolom 4 staan de cijfers 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4 onder elkaar.

Wijst de driehoek in kolom x naar 8 of  9, dan levert de vermenigvuldiging 7 · x dus 28 of
28 + 1 op en dat betekent “2 onthouden”  en wijst de driehoek in kolom 7 naar de 3^e positie.
Wijst de driehoek in kolom x naar 0, 1, 2, 3, 4 dan levert de vermenigvuldiging 28 + 2 = 30 of meer op, dus “3 onthouden” op en wijst de driehoek in kolom x naar de 4^e positie.
N.B. 7 · 9 = 63, (dan komt op de plaats van z minimaal 3 en maximaal
6 + 3 = 9 te staan) dus wat “onthouden” moet worden is maximaal 6, dus 7 · x  lever maximaal 28 + 6 = 34 op, dus
“4 opschrijven en 3 onthouden”.
De kolom gaat dus niet verder dan 4.

Hoe zet je nu zo’n strook in elkaar?

Bijvoorbeeld kolom 3, rij 8.

.	.	3	x	.
				8
.	.	y	z	.

Dat heeft te maken met  3 · 8 = 24

Dus in de kolom cijfers staat bovenaan een 4.
8 · 9 = 72, dus als x = 9 dan wordt z minimaal 2 en maximaal  2 + 7 = 9 en is het “7 onthouden”
Dus het laatste cijfer uit de kolom is 4 + 7 = 1
In de kolom komen te staan  4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1
De 4 komt van  8 · 3 = 24 (zonder “onthouden” van  de vermenigvuldiging 
8 · x), dus
“4 opschrijven, 2 onthouden” . De driehoek moet dan naar positie 3 wijzen.
Bij de cijfers 5, 6, 7, 8, 9 heeft de vermenigvuldiging 8 · x  resp. 1, 2, 3, 4, 5 “onthouden”  opgeleverd, wat vervolgens “2 onthouden” oplevert, dus ook dan wijst de driehoek naar positie 3.
Bij 0 en 1 is er 6 en 7 “onthouden”  en wordt het “3 onthouden”, dus wijst de driehoek naar positie 4.

Zo kun je elke strook per rij construeren.
Maar wat knap bedacht!