Breuken delen: een heet hangijzer?

Ik ben al een paar jaar het onderwijs  “uit” en van al dat rekenen waar de laatste tijd zoveel om te doen is heb ik niet veel meer meegekregen. Ook ben ik niet “bij” gebleven op het gebied van de veranderingen in het rekenonderwijs op de basisschool. Maar je hoort wel eens wat: geen staartdeling meer maar iets met “hapjes” en veel gedoe over breuken. Of elke verandering een verbetering is kan ik wat dit betreft niet nagaan, maar verbeterd kon er ongetwijfeld wel wat worden, want al in mijn eigen lagereschooltijd blijkt rekenen, en vooral er iets van begrijpen en doorgronden, een groot struikelblok en dat lijkt sindsdien niet erg veel veranderd.

Schiet me te binnen dat ik als jong docentje rond 1970 te maken kreeg met “wiskobas” (wiskunde op de basisschool,) een rekenmethode die naar het schijnt gelanceerd werd om onze technologische achterstand op Rusland in te lopen, want dat land was de Westerse wereld voorbij gestreefd op het gebied van de ruimtevaart, of zo’n soort redenering. De werkboeken die we zagen bevatten echter grote onzin: een volledig verkeerde conceptie van de verzamelingenleer en de basisscholen die we toen adviseerden hebben weer snel het “gewone” rekenboek uit de kast gehaald.

Er zijn van die ijzeren wetten  uit mijn (lagere) schooltijd, die nog steeds blijven nadreunen in mijn oren. Naast bijvoorbeeld  “stam plus t” of “1600 Slag bij Nieuwpoort” is dat een beroemde regel als “Mijnheer van Dalen wacht op antwoord”, die iets zou zeggen over de volgorde waarin je de rekenbewerkingen moet toepassen: machtsverheffen, vermenigvuldigen, delen, worteltrekken, optellen, aftrekken. Een heilige slogan indertijd.

Mijnheer van Dalen heeft als zodanig afgedaan, de regels liggen niet zo vastgeklonken als deze beste man wilde doen geloven. Haakjes gooiden roet in het eten, of liever, ordende de volgorde waar van Dalen ons in de steek dreigde te laten en vermenigvuldigen werd geen voorrang (meer) vergund boven delen, net zo goed als dat optellen niet (meer) werd toegestaan boven aftrekken. We doen ze sinds jaren alweer gemeenlijk in de volgorde waarin ze staan. De regel blijkt achteraf alleen nog voor verwarring en misverstanden te zorgen, het streven is tegenwoordig om met haakjes eenduidigheid te creëren als een berekening voor meer uitleg vatbaar zou kunnen zijn.

Als het op rekenen aankomt levert het onderdeel breuken voor menigeen de meeste hoofdbrekens. Ook hier zijn van die standaardkreten die iedereen zich nog wel zal herinneren uit zijn kinderjaren, en ook van later: “gelijke noemers maken” of “gelijknamig maken” en ook “delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde”. Braaf toegepast bleef dit laatste voor veel rekenaars een soort adacadabra, dat je maar gewoon domweg moest toepassen om het juiste antwoord te vinden.

De uitleg van a/b : x/y = a/b · y/x =ay / bx komt er geloof ik op neer dat je van de deling een breuk maakt met a/b in de teller en x/y in de noemer.

Dus (a/b) / (x/y)

Dan ga je teller a/b en noemer x/y met y vermenigvuldigen     (y · x/y = x)

Dan krijg je (y · a/b) / x

Vervolgens vermenigvuldig je teller en noemer met  1/x      (x · 1/x = 1)

De breuk wordt: ((y · a/b) · 1/x) / 1= a/b · y · 1/x =  a/b · y/x

Daar worden echter achter elkaar even een heleboel rekenregeltjes toegepast. Zou het op die manier duidelijker en begrijpelijker geworden zijn?

Met getallen en horizontale breukstrepen is het vast wel inzichtelijker te maken.

 

 

De regel werkt dus en is als zodanig niet een achterhaald relikwie zoals Mijnheer van Dalen, maar voor de hand liggend is hij niet, zeker niet qua uitleg.

Natuurlijk, het inzicht “delen door 2 is vermenigvuldigen met 1/2” geeft het adagium dat delen door een getal neerkomt op vermenigvuldigen met het omgekeerde een sterke rekenkundige status, zij het dat dat omkeren in zo’n geval een rekenkundige handeling is die niet voor iedere rekenleek duidelijk is. Delen door ½ is vermenigvuldigen met 2, maar is het voor iedereen duidelijk wat het omgekeerde van ½ is?

En die regel lijkt trouwens sterk op zoiets als “aftrekken van een getallen is optellen van het tegengestelde”, maar dat is echt een theoretische regel die in de dagelijkse praktijk niet functioneert.

Op de middelbare school natuurlijk wel, want 5 – (-2) = 5 + 2 = 7.

En tegenwoordig gaat het geloof ik dus zo:

a/b : x/y = ay/by : bx/by = ay / bx.

Je maakt de breuken gelijknamig en deelt teller door teller (en het lijkt wel: noemer door noemer, dat is dan 1 en dat valt weg).

Het lijkt op: a/b + x/y = ay / by + bx / by = (ay + bx) / by

En natuurlijk: a/b - x/y = ay / by - bx / by = (ay - bx) / by

(Opnieuw: gelijknamig maken. Alleen: de noemers worden nu niet opgeteld of afgetrokken…)

(En hé: a/b · x/y = ax / by, alweer die noemer by…)

Hoe leg je uit dat a/b : x/y = ay/by : bx/by = ay / bx?

Je deelt de pizza in b stukjes en elk stukje nog eens in y stukjes, dan heb je by stukjes.

Als je a van die b-stukje hebt, dan heb je daarna ay van die by-stukjes.

ay/by : bx/by is de vraag waarmee je het aantal by moet vermenigvuldigen om het aantal ax te krijgen, analoog aan p : q is het getal waarmee je q moet vermenigvuldigen op p te krijgen ( p/q, want p/q . q = p)

Anders gezegd:  hoe vaak gaat bx op ay?

Even met getallen dan maar:

5/7 : 2/3 veranderen we dus in 15/21 : 14/21

De taart is in 7 stukken verdeeld en die 7 stukken elk in 3 stukken: totaal 21 stukken.

We hadden 5 1/7e-stukken en dat zijn nu 15 1/21e-stukken.

Met welke factor moeten wie de 14 1/21e-stukken vermenigvuldigen om die 15 1/21e-stukken te krijgen?

Het antwoord is: 15/14 keer.

Of anders gezegd: waarmee moet je 14/21 vermenigvuldigen om 15/21 te krijgen?

Een breuk bestaat niet voor niks uit een teller (boven de streep) en een noemer (onder de streep).

a/b betekent dat je een aantal van a stukken 1/b hebt:  a · 1/b

Als je twee gelijknamige breuken optelt, bijvoorbeeld ay/by + bx/by, dan tel je dus ay stukken 1/by op bij bx van die stukken ofwel ay · 1/by + bx · 1/by = (ay + bx) · 1/by.

Als je twee gelijknamige breuken deelt , dan wil je weten waarmee je de tweede breuk moet vermenigvuldigen om de eerste te krijgen:

a/y : b/y = x  houdt in:  x · b/y = a/y. Dan is x = a/b  want a/b ·  b = a

(waarmee vermenigvuldig je b stukken 1/y om a stukken 1/y te krijgen?).

Ik vind dat steeds terugkomen van die gelijknamige noemers eigenlijk wel aardig en voor mijn gevoel is het delen van breuken met de nieuwe manier op een wat elementairder niveau plausibel te maken dan op de vroegere manier.

 

Er is wat mij betreft dus niets tegen om die ijzeren wet van vroeger te vervangen door een nieuw principe.

In ieder geval, die oude ijzeren wet heeft geen grotere rechtsgeldigheid omdat het nu eenmaal een oude ijzeren wet is. Meneer van Dalen, volgens Bartjens, rekenconst…, we hebben in de rekengeschiedenis zo al heel wat achter ons gelaten wat wel klopt(e) maar nu minder opgeld doet.

Het is al veel van die oude ijzeren wetten vergaan zoals de old soldiers: They just fade away, zij het dat historische wiskundige en rekenkundige genootschappen ze soms weer opdiepen om er van te genieten, want er zit soms veel fraais bij, al zijn ze niet meer zo bruikbaar of soms achterhaald.

Toch lijkt het er op dat er in het reken- en wiskundeonderwijs een heftige strijd gevoerd wordt tussen enkele groepen die elkaar op leven en dood bestrijden als het gaat om oude ijzeren regels als “Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde”.

Het lijkt daarbij meer om of tegen personen (en instituten) te gaan dan om verdraagzaamheid en argumenten om van de stijl waarop de strijd gevoerd wordt maar te zwijgen.

Of misschien is dat schijn en zijn de (enkele?) verdedigers van deze oude ijzeren regels alleen nog maar bezig met een achterhoedegevecht? Ze zijn wel vasthoudend.

Is het echter nou zo'n halszaak? Wat doet het er toe?
Als de leerlingen nou eindelijk maar eens wat beter zouden gaan rekenen!

En nieuwe tijden brengen straks wéér nieuwe veranderingen en discussies.