Getallen waarvan de som gelijk is aan het product.

Een paar jaar geleden lanceerde een (wiskunde)leerboekenuitgever een Denkertje: van welke getallen is de som gelijk aan het product?  Je kon je oplossing inzenden en zo meedingen naar een prijs. Mijn oplossing van dit probleem ging als vogt (maar kwam niet in aanmerking voor die prijs):

 

a + b = a · b

 

Welke paren getallen a  en  b zijn er te vinden die voldoen aan deze eigenschap?

 

Behalve 2 + 2 = 2 · 2  valt je natuurlijk meteen  0 + 0 = 0 · 0 in.

 

Maar zijn er meer natuurlijke getallenparen, of misschien zelfs gehele getallenparen te vinden die aan deze voorwaarde voldoen of zijn het alleen niet-gehele rationele getallen, en welke getallen nog meer?

 

We herleiden de vorm:

a + b = a · b

a = a · b - b

a = b (a – 1)

b = a / (a – 1)  of b = 1 + 1 / (a – 1)

 

Een bekende orthogonale hyperbool.

de grafiek:

Gezien het asymptotisch gedrag is snel te zien dat deze grafiek niet door andere roosterpunten gaat dan (0,0) en (2,2). Er zijn dus geen andere paren gehele getallen te vinden die aan de eigenschap voldoen.

 

Verder is in te zien dat de beide getallen positief zijn of één van beide negatief. Beide negatief komt niet voor, want de som van twee negatieve getallen is negatief maar het product positief.

 

Als de beide getallen positief zijn dan ligt het ene getal tussen 1 en 2 en het andere getal is altijd groter dan 2.

 

Een paar getallenparen zijn  3 en  1 1/2  , 4 en  1 1/3 ,
in het algemeen dus  n  en  1 + 1 / (n - 1).

 

Als één van beide getallen negatief is, dan ligt het positieve getal tussen 0 en 1 en is de modulus van het negatieve getal altijd groter dan het positieve getal.

 

Een paar getallenparen met een positief en een negatief getal  zijn  -1 en  1/2 ,  -3  en  3/4  ,

dus in het algemeen  n  en  –n / (-n + 1)  met  n < 0.

 

Neem je  a = 1,1  dan is  b = 11 en zo krijg je ook de paren  1,01 en  101 ; 1,001 en  1001 enz.

Bij  a = 1,2  krijg je  b = 6  en achtereen volgens  1,02  en  60 ; 1,002  en  600 enz.

 

Een stapje verder: paren van twee (al dan niet gehele) rationale getallen.

 

Als a = p / q   is  b = (p / q) / (p / q – 1) = (p / q) / ((p - q) / q)) = p / (p – q)                    
(p geheel en q geheel, q ≠ 0)

 

Dit lever het inzicht op dat als van een breuk de teller 1 groter is dan de noemer, het andere getal geheel en  positief is (en 1 groter dan de noemer) en als de teller 1 kleiner is dan de noemer, het tweede getal geheel negatief is (en 1 kleiner dan het tegengestelde van de noemer)

 

a = (q + 1) / q  geeft  b = q + 1 en  a = (q – 1) / q  geeft  b = - q + 1

 

Zo ontstaan paren als  14/13  en  14  en  13/14  en  -13. Dit is weer oneindig te variëren.

 

Als  p  en  q  onderling ondeelbaar zijn en het verschil is niet 1 dan krijgen we twee breuken:

 

Voorbeelden zijn:

 

17/13  en  17/4    (als p > q dan zijn beide breuken positief en de tellers zijn gelijk)

 

13/17 en  -13/4    (als p < q dan zijn de paren tegengesteld van teken en de tellers zijn (op het teken na) gelijk)

 

( als p/q < 0  dan zetten we het teken voor de p en werkt de formule natuurlijk ook: 
-13/17  levert als tweede 13/30)

 

En als één van de getallen een wortel is?

 

a = √p  geeft na herleiding  b = p / ( p – 1 ) + √p / (p – 1)
 

Dit levert meteen het  fraaie paar  √2  en  2 + √2  op.

p = ½  levert na herleiding  ½√2  en  -1 - √2  op.

p = 3  levert het paar  √3  en  1½ + ½√3  op.
 

Zo zijn er oneindig veel paren te vormen, waarvan de ene een tweedemachtswortel uit een natuurlijk getal, dat geen kwadraat is, is en de andere een getal bestaande uit een rationaal getal plus een deel van dezelfde wortel.

 

Merk op dat het getal onder de wortel en het rationale deel van het tweede paar zelf ook weer voldoen aan de eigenschap waar het hier om gaat, het paar p en p / ( p – 1 ) , zoals 3 en 1½

 

Er zijn nog imaginaire en complexe getallen. Die kunnen via eenzelfde procedé worden onderzocht.

Enkele resultaten.

 

Voor de hand ligt  het paar  1 + i  en  1 – i.

 
Als  a = iy  dan is   b = (- y² + iy) / (-y² – 1)
 

Dat levert bijvoorbeeld het paar  i  en  1/2 - 1/2i  op.

 

Als a = x + iy   dan is  b = (x² – x + y² – iy) / ( (x – 1)² + y²)

Dat levert paren als 2 + i en   1½ - ½i  en  2 – i  en  1½ - ½i

En zo kun je ook nu weer oneindig doorgaan.

Maar na het vinden van zoveel mogelijkheden laten we de zoektocht hier eerst maar eindigen.