Vermelde GR-opties: geef er GEEN punten voor!!

In het Nomenclatuurrapport 2007 van de NVvW komt de zinsnede "Bij gebruik van de GR moet(en) de gebruikte optie(s) vermeld worden" voor. Het College voor Examens heeft inmiddels een groot deel van dit nomenclatuurrapport een officiële status gegeven in de z.g. “Examen(werk)woorden"-lijst, maar deze regel komt daarin niet voor. Het CV bij de examens lijkt dat ook overbodig te maken omdat daarin de vakspecifieke regel 2 is opgenomen, waarin staat dat bij vragen waarbij de GR moet worden gebruikt verslag gedaan moet worden hoe dat gebeurt.

Geen GR-taal maar wiskunde-taal belonen.

Ik vraag me af of we op het examen eigenlijk niet zonder die regel kunnen, dus zonder de eis van een beschrijving van de gebruikte GR-opties, na het aangeven van het wiskundige oplossingsmodel. Voegt het vermelden van dat knoppenverhaal iets toe als de wiskundige verantwoording al op papier staat?

Wat mij betreft: schaf het geven van een punt voor "beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost" soms met toevoeging" (met de GR)" af. En vraag er wiskunde voor in de plaats.

Bij voorbeeld: het correctiemodel van vraag 5 in het examen HAVO wiskunde A 2012 tijdvak 1 geeft eerst een punt voor "De vergelijking 16· 0,88^t = 4 moet opgelost worden" en daarna een punt voor "Beschrijven hoe deze vergelijking (met de GR) kan worden opgelost". Bij de examencorrectie ontstaat dan vaak de discussie of het eerste punt ook verdiend is als alleen de tweede stap correct gemaakt is en impliciet blijkt dat de leerling, bewust of onbewust, de juiste vergelijking opgelost heeft, dus als er alleen zoiets staat als y₁ = 16· 0,88^x en y₂ = 4, interesect geeft x = 10,644 waarna het antwoord op de vraag volgt. Volgens mij wordt dan het kunstje in plaats van de wiskunde beloond terwijl juist die vergelijking de wiskundige kern van de oplossingsstrategie vormt.

Inmiddels hebben veel grafische rekenmachines trouwens ook andere mogelijkheden voor: via (equotation) solvers, voorgeprogrammeerde abc-formules en dergelijke en hoe deze greep in de trukendoos verantwoord moet worden door een leerling, daarover zijn geen richtlijnen.

Niet hoe, maar wat.

Het lijkt mij in de toekomst een wiskundig beter begaanbare weg toe als er voortaan geëist wordt dat de kandidaat wel de op te lossen vergelijking in correcte wiskundige taal noteert en daarna de oplossingen, maar dan zònder een GR-verantwoording en een punt daarvoor. Want als de oplossingen juist zijn dan heeft de kandidaat ongetwijfeld de juiste (routine-)handelingen op z'n GR gepleegd en hoeft hij daar niet (soms vaak meerdere malen in een examen) voor beloond te worden. Als de oplossingen fout zijn dan wordt hij ook niet beloond voor een goed bedoelde maar verkeerd uitpakkende beschrijving van zijn GR-handelingen, waarvan je soms niet kunt nagaan wàt er fout kan zijn gegaan.

De zinsnede "een toelichting is vereist" bij de opdracht "bereken" kan, als het niet gaat om een exacte of algebraïsche berekening, dus beter slaan op een wiskundige verantwoording van wat de kandidaat doet en niet op hoe die het doet. Dat "wat" is dan het opstellen van een vergelijking vanuit de context waarin de vraag aangeboden wordt met de intentie die te willen oplossen. Het "hoe", een meestal wat schimmig, in soms cryptische en vaak erg onvolledige “GR-taal”, weergegeven verhaal dat meer op programmeren dan op rekenen lijkt, is toch minder belangrijk?

Wordt er, bij de B-vakken, echter aan de vraag "algebraïsch" of "exact" toegevoegd, dan is het natuurlijk de bedoeling, zowel volgens het Nomenclatuurraport als in lijst Examen(werk)woorden, dat er stap voor stap gewerkt moet worden (zonder GR) en in die gevallen is de beloning voor "beschrijven hoe deze vergelijking wordt opgelost" terecht, omdat het het weergeven van een eigen denkproces is. Dan zullen de stappen op zich in het antwoordmodel ook meestal nader gepreciseerd en gewaardeerd worden.

Het niet langer belonen van basis- en routinehandelingen met de GR zoals intersect, solve of wat dan ook voorkomt overigens ook dat een verkeerde oplossingsrichting die op minder of meer gespannen voet staat met context van de vraag het omschrijven van het GR-gebruik toch wordt beloond, omdat formeel voldaan wordt aan wat er in het CV staat. Een wat mij betreft ongewenst vorm van sprokkelen.

GR en kansrekening.

Naast het oplossen van vergelijkingen zijn er bij wiskunde A (en C) andere situaties waar de GR wordt ingezet zijn, zoals berekeningen met betrekking tot binomiale en normale kansverdelingen.

Ook hier is het zo dat het CV vaak eerst een punt geeft voor de beschrijving van de binomiale of normale verdeling die aan de orde is, inclusief een expliciete vermelding van de parameters, waarna dan gevraagd wordt te beschrijven hoe met de GR de betreffende kans wordt uitgerekend. En dan is ook hier weer het dilemma aan de orde, of je de punten moet geven voor bijvoorbeeld een notatie als P(4,5 ≤ X <5,5 | μ = 5,4; σ = 1,9) of dat aan de opdracht al voldaan is met de notatie normalcdf(4.5, 5.5, 5.4, 1.9) (en mijn TI dan netjes vraagt om lower, upper, μ en σ: een kind kan de was doen!)

Vergelijkbaar zijn de bijvoorbeeld in het CV met punten beloonde stappen "het aantal hooikoortslijders X is binomiaal verdeeld met n = 135 en p = 0,13" en "beschrijven hoe P (X ≤ 26 | n = 135, p = 0,13) berekend kan worden" waar leerlingen vaak meteen "in de aanval" gaan met alleen het opschrijven van binomcdf (135, 0.13, 26). Mijn TI vraagt keurig om de trials, p en x value als je binmocdf aanklikt. Moet je een invuloefening belonen?

N.B. Het CV is in zulke gevallen tamelijk expliciet als het gaat om wat er opgeschreven moet worden, maar elk jaar is er in de examenfora discussie of het met “minder” kan.

Wat mij betreft leren we de kandidaten (en eisen we dat ook op het CE) om de zaken wiskundig formeel correct op te schrijven, dus aangeven wat voor verdeling het is, met de bijbehorende parameters, en welke kans er berekend moet worden, zo mogelijk compleet met de P- notatie inclusief wat achter het | moet komen te staan en nemen we geen genoegen met impliciete GR-taal. Dàt is de wiskunde.

Als je bij eenvoudige berekeningen met +, -, ×, :, sin, cos, wortel of exponent etc. een intypfout maakt wordt die ook afgestraft en krijg je ook geen punt voor de goede GR-bedoeling als je zou aangeven hoe je de GR wilde gebruiken. Laat dat in andere gevallen ook zo zijn, zeker nu het gebruik van de GR steeds verder versimpelt en trucmatig wordt dankzij de "hulpvaardigheid" van de producenten ervan.

GR in CE (uit 2012)

Ik ben het HAVO wiskunde A examen 2012 eerste tijdvak nog eens nagelopen op het gebruik van de GR.: dat was 10 keer, waarvan zo'n 5 keer een vergelijking moest worden opgelost, of eigenlijk vaker, want bij vraag 16 is de vergelijking normalcdf (-10^99, x, 178,14) = 0,05 aan de orde, die dankzij voorgeprogrammeerde solve-instellingen gereduceerd wordt tot een invuloefening. Via invNorm vraagt de TI bij mij om de oppervlakte (area) μ en σ. Een normaalkromme met de juiste gegevens op de juiste plaats of  P(X ≤ x | μ = 178, σ = 14) lijkt me toch veel meer van inzicht te getuigen.

Vermeldenswaard is nog dat het opstellen van een lineaire formule bij vraag 21 heel snel en eenvoudig kon met de optie LinReg en de groeifactor van vraag 11 met ExpReg. In het eerste geval worden er in het CV geen nadere eisen gestel aan de berekening, in het tweede wordt de gebruikelijke berekening expliciet vermeld.

Vraag 12 leende zich, gezien de discrete context, trouwens naast de intersect-aanpak ook voor een oplossing via een tabel met gehele waarden voor de variabele.

Kijk ik naar HAVO wiskunde B, dan komt in het CV 3 keer de opmerking "beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden" (en inderdaad, het mag zonder GR geprobeerd worden, maar het eventuele meerwerk wordt niet extra beloond).

Daarnaast telde ik 6 vragen waarvan de oplossing exact of algebraïsch moest worden gevonden. De te maken stappen, die in het CV expliciet vermeld staan, leveren dan ook navenant meer punten op.

Op het VWO speelt bij wiskunde B het gebruik van integraalopties van de GR een rol. Ook hier is het toepassen van deze opties dankzij zaken als natural textbook display vervallen tot een simpele invuloefening, het overnemen van de opgestelde integraal. Overigens, die natural display verkoopt stiekem exacte knollen voor benaderde citroenen door antwoorden in de vorm van breuken of wortels dan wel met pi te geven.

Kortom, er is nog enige tijd te gaan voor de zaken in 2015 weer op de schop gaan en twee of drie jaar later geëxamineerd worden. Misschien is het dus een punt van discussie in de aanloop van de komende wijzigingen om ons nog eens goed te bezinnen op de rol van de GR, maar met name ook op waardering en de beloning van de rol die de GR speelt bij het oplossen van wiskundige problemen. Gaat het ons nou om knoppenvaardigheid of om het tonen van wiskundig inzicht? De vraag is dus: heeft het weergeven van de wiskundige oplossingscontext meer waarde dan het aangeven van de GR-procedure die in die context wordt toegepast?

(gebaseerd op een eerder door mij gepubliceerd artikel in Euclides, maart 2013)

lees ook: http://aowiskunde.blogspot.nl/2013/10/de-gr-in-het-ce-en-ict-in-het-se.html

Toelatingsexamen hoofdrekenen HBS Gymnasium 1959

 

Ik heb in 1959 toelatingsexamen voor de HBS gedaan en behalve deze hoofdrekentoets was er ook nog een uitgebreidere en langere rekentoets waarin om het meer klassieke rekenhandwerk werd gevraagd: vermenigvuldigen en delen, ook met breuken en kommagetallen, procenten, eenheden, en ook ingeklede rekenopdrachten, stevig rekenen en dan geen 20 minuten, en mét klaspapier.

In de 6^e klas kregen we apart bijles met behulp van speciale boekjes, waarmee we getraind werden voor het toelatingsexamen. Daarbij werd ook gebruik gemaakt van “De Toetsnaald”, een bundel toelatingsexamenvragen, niet alleen voor rekenen, maar ook voor taal, geschiedenis en aardrijkskunde. De bundel krijgt als je erop gaat googelen de nodige kwalificaties met zich mee, waarvan “stampwerk” er één is.

 In mijn klas gingen maar 6 van de zo’n 40 leerlingen op voor dit toelatingsexamen, de rest ging naar de ULO of naar de LTS en huishoudschool, ongeveer half om half denk ik.

Die hoofdrekentoets was dus bestemd voor de “upper ten” van de toenmalige lagere school populatie. Ik denk dat naast het gericht oefenen op de specifieke vraagstellingen in deze toets ook het nodige begrip en inzicht nodig was om te onderscheiden welke “handigheidjes” toegepast kunnen worden. Domweg stampen en leren helpt je bij dit soort opgaven niet.

AANPAKSTRATEGIEËN
Want inderdaad zijn het allemaal 'dingen' die je met getallen kan doen. Maar je moet wel door hebben hoe je dat doet. Het blijkt dat het allemaal “handigheidjes” zijn die binnen een beperkt arsenaal van “trucjes”, of liever aanpakstrategieën passen, bepaalde elementen komen steeds weer terug. Maar die elementen moet je wel snappen, zien, beheersen en geoefend hebben om ze te kunnen toepassen.

Die vaardigheden werden blijkbaar dus alleen maar verwacht van die “upper ten” die hoger scoorde dan de rest van de klas en door de hoofdmeester dan werden gerekruteerd voor het bijlesklasje.
De rest werd gespaard voor deze wat diepere rekeninzichten, maar ik herinner me dat de klasgenoten die naar de ULO gingen voor de toelating daar ook eerst wel aan de tand gevoeld werden wat betreft hun rekenvaardigheid, maar dan ging het meer om het “gewone” rechttoe-rechtaan rekenen, met meer tijd en met kladpapier (wat je vooral moest inleveren, want misschien leverde dat nog puntjes op als het allemaal niet volledig op het gewone examenpapier stond…). Ook zij kregen de nodige oefening, waarbij de overige rest van de klas dan moeilijk mee kon komen en dus eenvoudigere zaken kreeg voorgeschoteld en dan was het voor hen nog zwoegen.
In ieder geval, we werden er echt op getraind om de nodige aanpakstrategieën onder de knie te krijgen, het was best wel ergens “teaching to the test” en misschien ook wel meer een soort intelligentietest, want zeg nou zelf: het waren voor een flink deel bepaald geen realistische sommen. Verander je een mooi gekozen percentage, factor of noemer in een breuk in een minder handig getal, dan was er geen hoofdrekenen meer aan.
En die andere rekentoets bij het toelatingsexamen, ja die ging over rekenen, zoals je later ook bij natuurkunde, scheikunde en economie te doen kreeg. Dat waren “gewone” getallen en dat vroeg weer om een andere aanpak en rekenvaardigheid.
Overigens we waren met z’n zessen bloedfanatiek, vooral op dat hoofdrekenen. Daarin probeerden we elkaar af te troeven. We vonden het eigenlijk leuker dan het “gewone” rekenen, geloof ik.

DIFFERENTIATIE?
Eigenlijk was dat in die zesde klas heel modern, dat onderwijs op maat voor drie groepen, passend onderwijs.

Soms deden we de dingen allemaal samen, soms ging ieder deel z’n eigen gang op z’n eigen niveau.
En op het plein of tijdens gymnastiek was er geen onderscheid, de in de loop de jaren gegroeide vriendschappen en groepsvormingen liepen dwars door de driedeling heen en waren meer gebaseerd op bijvoorbeeld voetballen of andere belangstelling.
Ik ben niet precies op de hoogte van het huidige rekenonderwijs wat betreft de differentiatie binnen de klas. Die was vroeger tot de zesde klas eigenlijk niet zo geweldig. Je deed allemaal hetzelfde, de beste leerlingen haalden een 8 of hoger, een grotere groep haalde een voldoende en de rest deed het met een 5 of lager en zo bleef dat patroon jarenlang doorgaan. Je kon het of je kon het niet. En wie het echt helemaal niet kon bleef zitten. Wat ik me ervan herinner is dat eigenlijk maar een deel van de klas echt rekenen kon en de rest er maar een beetje achteraan hobbelde, en bijvoorbeeld maar bleef worstelen met het leren van de tafels. Bij hoofdrekenen wist je precies wie het antwoord wel wist en wie niet. Je was jaloers als iemand anders het goede antwoord, dat jij ook wist, mocht geven en gnuifde zachtjes als iemand het antwoord niet wist.

TOEN EN NU
Over het huidige rekenonderwijs wordt veel gediscussieerd en men vraagt zich daarbij af of het rekenpeil minder hoog is dan vroeger. Ik denk dat het voor de doorsnee-leerling en wat daar onder zit niet veel uitmaakt. Of misschien ook wel. Vroeger was dat rekenen voor hen een tamelijk abstract goochelen met cijfertjes, die voor hen maar geen getallenwerkelijkheid wilde worden. Tegenwoordig lijkt het me toe dat dankzij het “realistische” in het rekenonderwijs en het hulpmiddel rekenmachine, dat niet alleen in het onderwijs zelf maar ook overal daarbuiten het vroegere handwerk overneemt, in ieder geval de zaken vanuit de eigen beleving beter hanteerbaar, herkenbaar en inzichtelijk maken en op die manier hoofdzaken, de (maatschappelijke) betekenis van de getallen en wat ermee gebeurt, van de bijzaken, hoe (ingewikkeld) je ermee rekent, scheidt.

Nou ja, het rekenen zelf is natuurlijk niet echt een bijzaak en zal altijd een belangrijk onderdeel van het curriculum moeten blijven, maar daar waar het zou dreigen te ontaarden in een abstract gebeuren lijkt het me een voordeel als de maatschappelijke realiteit en de getallen die daar een rol spelen en de wijze waarop dat gebeurt een integrerend deel vormen van het rekenonderwijs.
Maar leerlingen die qua begrip en inzicht meer aankunnen en voor wie die abstractie geen obstakel is zou er meer moeten kunnen en zijn. Die lijken als ik het goed zie te lijden onder het “middenschoolachtige” van het huidige rekenonderwijs en zouden meer uitdaging verdienen. Voor hen zou de drempel naar het VWO wel wat opgehoogd mogen worden met het soort inzichtelijk (en technisch) rekenwerk zoals we dat in 1959 in die hoofdrekentoets zien. Op je niveau getoetst worden is wat anders dan langs een toetsmeetlat gelegd worden.
Dat is ook een kwestie van passend onderwijs.

REKENTOETS
Blijft nog het debat over de rekentoetsen in het voortgezet onderwijs. Ik vind hier opmerkelijk, dat zo’n toets moet gelden voor de hele breedte van een bepaalde onderwijsvorm. Van de meest a-wiskundige A-α-leerling tot de meest exacte B-β-leerling. Dat is ook erg “middenschoolachtig” en levert een soort amorfe opgavenbrei op die voor welke doelgroep ook z’n doel gaat missen.

Het zal dan om het toetsen van een andere, algemenere, vaardigheid moeten gaan dan het louter technisch en inzichtelijk rekenen. Misschien inderdaad meer een ‘reken’toets dan een rekentoets, waarbij het gaat om de interpretatie van getallen en elementaire bewerkingen daarmee, dan om “sommen”, die aan een groot deel niet besteed zullen zijn.
Om die rekentoetsen te vergelijken met zo’n hoofdrekentoets uit 1959 die alleen door de beste leerlingen van de lagere school te maken was, en verder eigenlijk geen rekenkundige rol speelde in het vervolgonderwijs, lijkt me niet zinvol.
Verder wil ik maar niet al te veel woorden besteden aan het rekentoets-debat. Dat gaat al zoveel kanten op, zowel wat betreft het reken- als het toets-aspect, maar ik volg de ontwikkelingen met veel aandacht.

EN HET REKENTOETSDEBAT
Wel wil ik nog een opmerking maken over de manier waarop een aantal debaters het vak “rekenen” claimen en in het vervolg daarop de wijze waarop het vak in de rekentoets wordt getoetst menen te moeten bepalen.
Ik krijg sterk de indruk dat voor enkele debaters de lat ongeveer zo hoog zou moeten komen te liggen als in die hoofdrekentoets. Dan wordt dus vergeten dat dat een niveau was dat niet voor de massa gold. Ik bedoel te zeggen, dat, net als toen, de massa nog steeds niet geweldig rekent en ook niet de potentie heeft om geweldige rekenaars te worden, net als toen. Dat zie je misschien over het hoofd als je excellente en gelauwerde gymnasiasten les geeft, maar je komt er wel achter als je je met VWO-C-leerlingen of vmbo-leerlingen door de rekenstof worstelt.
Meer nog als in 1959, komt iedereen in het dagelijkse leven in aanraking met getallen en hoeveelheden, hun betekenis en het manipuleren ermee. Ik denk dat veel mensen ermee gediend zijn, dat ze leren met die getalleninformatie om te gaan en hoe ermee gehandeld en gedaan wordt, maar dat het aan veel mensen niet besteed is om alleen het aspect technisch rekenen in dit verband uit te lichten, te abstraheren en in die zin te onderwijzen.
Ik heb namelijk sterk het idee gekregen, dat ze dan niet echt veel blijvend nuttigs en bruikbaars leren, maar ook niet leren om te gaan met de getalsinformatie in hun leefwereld.

HET BLIJFT MOEILIJK
De regelmatig gehoorde klacht, dat rekenen een moeilijk vak was, dat ze er weinig van terecht brachten er en nog steeds moeite mee hebben, is niet van vandaag of gisteren, maar gold in 1959 en daarvoor ook al.

Daar moet je het rekenonderwijs op aanpassen.

Puzzelen met Thales

Een leuk puzzeltje daagt altijd uit tot nadere analyse.

Via Twitter stuurde Simon Pampena  @mathemaniac  het onderstaande puzzeltje door, dat binnen 10 seconden moest worden opgelost. De vraag is: hoe goot is x?

In iets meer tijd was dit puzzeltje de wereld al rond geretweet.

 

je moet het even "zien", maar dan is het puzzeltje snel opgelost. x = 8 - 3 =5
Het bewijs?

Teken in rechthoek MBAC ook de diagonaal MA.
In een rechthoek zijn de diagonalen even lang, dus BC = MA.
MA is straal van de cirkel, dus MA = MQ
Hieruit volgt dat MQ = BC, dus x + 3 = 8

Zo'n rechte hoek met hoekpunt op de cirkel doet je denken aan de stelling van Thales, zeker als je de benen verlengt tot de cirkelrand.

Ik dacht daarom aan het volgende:

 

Verleng het lijnstuk AB loodrecht op MP tot het de cirkel in D snijdt.

Wegens cirkelsymmetrie is AB = BD

Idem geldt AC = CE.

Er is nu sprake van twee gelijkvormige driehoeken ABC en ADE.

Immers, er ontstaat zo vanuit hoek A een snavelfiguur met verhoudingen AC : AE = AB : AD = 1 : 2.

Dan is DE = 2 ∙ BC

De Omgekeerde Stelling van Thales (Van een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel) toegepast op driehoek ADE leert dat M op DE ligt en dus DE middellijn is.

Dan is DE = 2 ∙ r en dus  BC = r
z = r en x = r – y
dus is x = z – y

Er is een andere manier om het gestelde aan te tonen.

In de bovenstaande figuur zijn drie congruente driehoeken ABC, BDM en CME aanwezig.

Ze hebben alle drie een rechte hoek en verder is AB = BD = CM en AC = BM = CE.
Dus geldt z = r

De juistheid van de Omgekeerde Stelling van Thales is in die figuur  snel in te zien:

De hoeken  ●  en  *  zijn samen gelijk aan een rechte hoek, dus is hoek DME een gestrekte hoek en DE middellijn en derhalve vormen de punten A, D en E een driehoek met omgeschreven cirkel, waarvan M het middelpunt is.

De Stelling van Thales zelf (Een driehoek ingeschreven in een cirkel, en waarvan één zijde een middellijn van de cirkel vormt, is een rechthoekige driehoek) is zoals bekend snel aan te tonen door het punt op de cirkel te verbinden met het middelpunt, waardoor twee gelijkbenige driehoeken ontstaan.

In de oorspronkelijke driehoek met de middellijn zijn de hoeken samen 180 ^o.

Dus 2 ∙ ● + 2 ∙ * = 180^o  en derhalve vormen ● + * een rechte hoek.

 

 

(Dankzij de regel van de buitenhoek, die gelijk is aan de niet aanliggende binnenhoeken vormen de gelijke hoeken in de gelijkbenige driehoeken samen een gestrekte hoek).

Overigens: Van de Stelling van Thales en zijn Omgekeerde is eigenlijk niet bekend welke de kip en welke het eis is,  ze komen regelmatig in de literatuur verwisseld voor.

Dat gaf te denken

 

Het bovenstaande plaatje geeft stof tot nadenken.

Het principe is gebaseerd op het bekende haakjesrekenen.

Dat kan ook met een plaatje uitgelegd worden.

De oppervlakte van vierkant ABCD met zijde x is x ∙ x = x²

De oppervlakte van AGSE is (x – a) (x – b)

Merk op dat de oppervlakte van AGSE volgt uit de oppervlakte van ABCD door daar de stroken GBCH en EFCD af te halen, maar dan heb je de oppervlakte van rechthoek SFCH twee keer afgetrokken.

Dat betekent dat de oppervlakte van AGSE, en dus de uitkomst van (x – a) (x – b)

gelijk is aan de oppervlakte van ABCD min die van GBCH ( = a ∙ x) en EFCD ( = b ∙ x), met daar weer bij opgeteld de oppervlakte van SFCH ( = a ∙ b), die dubbel is geteld.

 

(x – a) (x – b) = x² – a ∙ x – b ∙ x + a ∙ b ( = (x - a - b) ∙ x + a ∙ b

Het volgendetekeningetje brengt de formule in deze vorm in beeld:

 

De grijze oppervlakte AGSE ( x - a)(x - b) is gelijk aan de gearceerde oppervlaktes samen
(x - a - b) ∙ x + a ∙ b, want de rechthoeken 1 en 2 boven EF tegen elkaar geschoven hebben dezelfde oppervlakte als de rechthoek 3, n.l. (x - b) ∙ b

Neem x = 100, dan krijg je

(100 – a) (100 – b) = 100 ∙ 100 – a ∙ 100 – b ∙ 100 + a ∙ b

                            = (100 – a – b) ∙ 100 + a ∙ b

Dat lijkt al helemaal op wat er in het plaatje staat.

Daar geldt in ieder geval voor dat a en b positieve gehele getallen zijn.

Alleen, de truc werkt verder natuurlijk alleen als a + b < 100  en ook als a ∙ b < 100,

want anders “past” 100 – a – b niet op de posities van de duizend- en honderdtallen

en a ∙ b niet op de posities van de tientallen en eenheden.

Het blijkt dat 1 en 99 toch ook voldoen

(100 – 1) (100 – 99) = (100 - 1 – 99) ∙ 100 + 1 ∙ 99 = 99 (= 99 ∙ 1)

Maar dat is misschien een triviaal geval, net als het geval met a = 0 en b = 100.

Het betekent wel, dat dus blijkbaar mag gelden: a + b ≤ 100

Ook a = 2 en b = 50 voldoen, want

(100 - 2)(100 – 50) = (100 – 2 – 50) ∙ 100 + 2 ∙ 50 = 4900 ( = 98 ∙ 50)

Dus mag ook a ∙ b ≤ 100 gelden.

Je kunt de “regel” veralgemeniseren:

(10ⁿ – a) (10ⁿ – b) = (10ⁿ – a – b) ∙ 10ⁿ + a ∙ b  met a + b ≤ 10ⁿ en a ∙ b ≤ 10ⁿ

Alleen: dan lukt het snelle hoofdrekenen toch niet echt meer!

Neen n = 3

967 ∙ 973 = (1000 – 33)(1000 – 27)         = (1000 – 33 – 27) ∙ 1000 + 33 ∙ 27

                                                              = 940 ∙ 1000 + 30² - 3²

                                                              = 940 891

En zou de regel behalve in het tientallig stelsel ook opgaan in een willekeurig g-tallig stelsel?

(gⁿ – a) (gⁿ – b) = (gⁿ – a – b) + a ∙ b  met a + b ≤ gⁿ en a ∙ b ≤ gⁿ

Dat moet ook wel kloppen.

Laten we het narekenen in het zestallig stelsel:

34 = 5 ∙ 6 + 4 = 54 = 6² – 1  en 31 = 5 ∙ 6 +1 = 51 = 6² – 5

34 ∙ 31 zou in het zestallig stelsel met de getallen a = 2 en b = 5 dus

a + b = 7 = 1.6 + 1

en 6² – 1 ∙ 6 – 1 = 6 ∙ 6 – 1 ∙ 6 – 1 = 5 ∙ 6 – 1 = 4 ∙ 6 +1 ∙ 6 - 1 = 4 ∙ 6 + 5 = 45

en a ∙ b = 10 = 1 ∙ 6 + 4 = 14 opleveren

dus dan wordt het 54 ∙ 51 = 4614

34 ∙ 31                            = 54 ∙ 51 = (100 – 2) (100 - 5)

=(6² – 2) (6² – 5)

= (6² – 2 - 5) ∙ 6² + 2 ∙ 5 ( = (6² – 7) ∙ 6² + 10)

= (6² – (1 ∙ 6 + 1)) ∙ 6²  + 1∙ 6 + 4

= (5 ∙ 6 - 1) ∙ 6² + 1 ∙ 6 + 4 

= (4 ∙ 6 +5) ∙ 6² + 1 ∙ 6 + 4

= 4 ∙ 6³ + 5 ∙ 6² + 1 ∙ 6 + 4 = 4514

= 1054

 

34 ∙ 31                           = 54 ∙ 51 = (5 ∙ 6 + 4 )(5 ∙ 6 + 1)

                                      = 25 ∙ 6² + 5 ∙ 6 ∙ 1 + 4 ∙ 5 ∙ 6 + 4 (= 25 ∙ 6² + 25 ∙ 6 + 4)

                                      = (4 ∙ 6 + 1) ∙ 6² + (4 ∙ 6 + 1 ) ∙ 6 +4

                                      = 4 ∙ 6³  + 1 ∙ 6² + 4 ∙ 6²  + 1 ∙ 6 + 2

                                      = 4 ∙ 6³ + 5 ∙ 6² + 1 ∙ 6 + 4

                                      = 1054

 

Dagblad Trouw heeft een wekelijkse rubriek "Nutteloze kennis", daarin zou het bovenstaande heel goed passen, ware het niet dat het wiskundige plezier om zoiets uit te dokteren toch wel  een vorm van nut is.