Wederkerige vergelijkingen

x⁴ – 3x³ + 4x² – 3x + 1 = 0

is een even wederkerige vergelijking van de eerste soort omdat het een n-degraadsvergelijking met even graad is en de coëfficiëntenrij 1, -3, 4, -3, 1 gelezen van links naar rechts gelijk aan de coëfficiëntenrij gelezen van rechts naar links.

Zie verderop voor een algemene oplossingsmethode voor dit geval  en voor andere wederkerige vergelijkingen.

x = 1 is hier een oplossing, want 1 – 3 + 4 – 3 + 1 = 0

x – 1 /  x⁴ – 3x³ + 4x² – 3x + 1 \ x³ – 2x² + 2x - 1

                  x⁴ – x³

                -2x³  + 4x²

                -2x³  + 2x²

                            2x² – 3x

                            2x² – 2x

                                 -x  + 1

                                 -x  + 1

                                         0

en x³ – 2x² + 2x – 1 is ook weer wederkerig, maar dan oneven en van de tweede soort, omdat de coëfficiëntenrij 1, -2, 2, -1 gelezen van links naar rechts tegengesteld is aan de coëfficiëntenrij van rechts naar links.

x³ – 2x² + 2x – 1 =       

x³ – 1 – 2x² + 2x =

(x – 1) (x² + x + 1) – 2x (x – 1) =

(x – 1) (x² – x + 1)

dus de vergelijking is te herleiden tot:

(x – 1)² (x² – x + 1) = 0

de discriminant van x² – x + 1 is -3 dus de enige (dubbele ) oplossing van deze vergelijking is x = 1

Er zijn ook oneven wederkerige vergelijkingen van het eerste soort. Die zijn van de 2n+1-de graad.

Bij een wederkerige vergelijking van de tweede soort, even of oneven  is de coëfficiëntenrij gelezen van links naar rechts tegengesteld aan de coëfficiëntenrij gelezen van rechts naar links.

Bij een even wederkerige vergelijking van de tweede soort en de 2n-de graad ontbreekt daardoor de term xⁿ in het midden.

In het algemeen zijn de oplossingsmethoden:

eerste soort even        → stel  x + 1/x = t dan wordt  x² + 1/x² = t² – 2

Een even wederkerige (of reciproke) vergelijking van de eerste soort heeft een vorm die, als het bijvoorbeeld een 4^e-graafdsvergelijking is, ter herleiden is tot:

x⁴  + ax³ + bx² + ax + 1 = 0
deel deze vergelijking term voor term door x², dan krijg je
x² + ax + b + a/x +  1/x² = 0
x² + 1/x² + a (x + 1/x) + b = 0
stel x + 1/x  = t
dan wordt t² = (x + 1/x)² = x² + 2 · x · 1/x  + 1/x² = x² + 1/x² + 2
ofwel x² + 1/x² = t² – 2

invullen geeft:      t² – 2 + at + b = 0   dus     t² + at + b – 2 = 0

Deze vierkantsvergelijking is met bekende middelen op te lossen.

Een oplossing t leidt tot de vierkantsvergelijking x² – tx + 1 = 0 waarmee de oorspronkelijke vergelijking kan worden opgelost.

eerste soort oneven    → bevat de factor x + 1

Een oneven wederkerige vergelijking van de eerste soort kan er als volgt uitzien:

x⁵ + ax⁴ + bx³ +bx² + ax + 1  = 0
dat wordt
x⁵ + 1 + ax (x³ + 1) + bx² (x + 1) = 0
Hier passen we het foefje                  x²ⁿ⁺¹ + 1 = (x + 1 ) (x²ⁿ – x^2n-1 +… - x + 1) toe.
(x + 1) (x⁴ – x³ + x² – x + 1) + ax (x + 1) (x² – x + 1) + bx² (x + 1) = 0
(x + 1) (x⁴ – x³ + x² – x + 1 + ax (x² – x + 1) + bx) = 0
(x + 1) (x⁴ + (a – 1) x³ – (a  + b – 1) x² + (a – 1) x + 1) = 0
dus x = -1 of x⁴ + (a – 1) x³ – (a  + b – 1) x² + (a  - 1) x + 1 = 0 en dat is een even wederkerige vergelijking van de eerste soort.
(Je kunt dus x + 1 uitdelen op de manier zoals in de inleiding)

tweede soort even                → bevat de factor x² - 1

Een even wederkerige vergelijking van de tweede orde kan als vorm hebben:

x⁴  - ax³ + ax - 1 = 0
LET OP: noodzakelijkerwijze ontbreekt de derde, middelste term bij deze vorm.

x⁴ – 1 – ax³ + ax = 0

(x² – 1)(x² + 1) – ax (x² – 1) = 0
(x² – 1) (x² – ax + 1) = 0
De oplossingen zijn -1, 1 en de eventuele oplossingen van de vierkantsvergelijking
x² – ax + 1 = 0
(Hier kun je dus x² – 1 uitdelen)

tweede soort oneven           → bevat de factor x - 1

Een oneven wederkerige vergelijking van de tweede orde zou er zo uit kunnen zien:

x⁵ - ax⁴ + bx³ – bx² + ax – 1 = 0
dat wordt
x⁵ – 1 – ax (x³ – 1) + bx² (x – 1) = 0
Nu kan het analoge foefje       xⁿ – 1 = (x – 1) (x^n-1 + x^n-2 + .. + x + 1) worden toegepast:
(x – 1) (x⁴ + x³ + x² + x + 1) – ax (x – 1) (x² + x + 1) + bx² ( x – 1) = 0
(x – 1)  (x⁴ + x³ + x² + x + 1 – ax (x² + x + 1} + bx² = 0
(x – 1)  (x⁴ – (a – 1) x³ – (a – b – 1) x² – (a – 1) x + 1) = 0
dus  x = 1 of x⁴ – (a – 1) x³ + (b – a + 1) x² – (a – 1) x + 1) = 0 en dat is weer een even wederkerige vergelijking van de eerste soort.
(Met dezelfde opmerking: x – 1 uitdelen)

met dank aan:

http://www.math10.com/problems/reciprocal-equation-problems/easy/

http://users.telenet.be/freddy.lippens/freddy.lippens/transformaties/vkv_en_horner2.htm 

zie ook:

www.fi.uu.nl/wiskrant/artikelen/274/274juni_hietbrink.pdf

 

De leraar of de laptop? Samen of ieder voor zich?

iPads en interactie.

Steve Jobsscholen, iPad-klassen, laptops en computers, de ICT marcheert ruim de scholen binnen en vervangt steeds meer leerprocessen die voorheen door de leraar geïnitieerd werd. Daarmee ontstaat er ook steeds meer discussie of dit allemaal wel goed en verantwoord is.

Al die leerlingen die ieder voor zich achter hun plankje of zo zitten, digitaal hun leerstof individueel aangeboden krijgen, vervolgens die ook weer zelf digitaal verwerken, waarna het ook weer digitaal gecorrigeerd wordt met de nodige feedback, het lijkt allemaal zo mooi.
Maar ieder werkt zo op z’n eigen eilandje zonder zicht op wat een medeleerling aan goede en foute dingen doet of hoe de docent bij anderen ingrijpt. Van elkaar leren, is dat er dan nog bij? Het doet me een beetje denken aan het talenpracticum van de jaren zestig. Allemaal een koptelefoon op, wat een ander doet hoor je niet, alleen eendimensionaal verkeer tussen docent en leerling. Je kreeg niet horen hoe een ander de taal uitspreekt of hoe de docent eventueel corrigeert, je bent alleen met jezelf en je eigen fouten bezig. Dat geïsoleerde gedoe liep dus op niets uit.

Interactie via het bord.

Jarenlang heb ik met behulp van het bekende zwarte bord les gegeven, gebruik makend van krijtjes met diverse kleuren. Rijtjessommen werden aldus nagekeken: vier leerlingen zetten tegelijkertijd vier achtereenvolgende uitwerkingen van een opgave naast elkaar op het bord, terwijl de rest, na de nodige klassikale uitleg, alvast aan de volgende sommen begonnen.

Daarna werden de op het bord staande uitwerkingen klassikaal nagekeken. Een mooie groene krul als het helemaal goed was (en een plusje in mijn agenda) en als er wat aan mankeerde gingen we met z’n allen nakijken wat er dan fout was of waar een aanvulling of verbetering dienstbaar was.
De hele klas kon meedenken, goedkeuren of  fouten aanwijzen (“Wie heeft het ook zo?”), zien waar en welke fouten gemaakt konden worden, suggesties doen voor verbeteringen en ondertussen het eigen werk nakijken en eventueel zelf corrigeren. Dat werd dan op het bord met een rood krijtje gedaan.
(En: “Jongens, noteer de nummers van je fout gemaakte sommen en maak ze thuis nog een keer”)
In het klassengesprek werd zo gezocht naar de optimale oplossing, gekeken naar alternatieven en zo kon je leren van een ander z’n fouten.
En ondertussen: als je daar voor het bord stond met een krijtje in je hand en je had niets in je schrift staan, dan stond je er gekleurd op! Natuurlijk, als je je beurt aan zag komen dan leende je in de pauze het schrift van een nerd en schreef je de sommen snel over, maar dat soort leerlingen sneed zich bij herhaald toepassen van deze vluchtweg uiteindelijk vaak behoorlijk in de vingers als het op een overhoring of repetitie aankwam.

Samen of ieder voor zich?

Ook bij uitleg en het geven van voorbeelden was het klassengesprek een vaststaand middel om samen een doel te bereiken. De docent hield op al deze manieren controle op het leerproces en op de vorderingen van de individuele leerling. Zo maakten we samen het wiel rond.

Tegenwoordig lijkt het er meer op dat elke leerling geholpen door digitale aanwijzingen zelf het wiel moet gaan zitten uitvinden en is er door gebrek aan klassikale interactie geen mogelijkheid meer om te leren van fouten van een ander. Je zult ze eerst zelf moeten maken voor dat je ze afgeleerd krijgt door je plankje. Maar als dat pas op de toets is, is het te laat.

De docent als waarnemer.

En de docent, die vroeger via het laten maken van sommen op het bord, maar ook via de klassikale communicatie, het controleren van huiswerk, het nakijken van overhoringen en repetities en gewoon rondkijken in de klas een beeld kreeg van hoe een leerling werkte, hoe ijverig hij was, wat hij allemaal wel en niet klaar kreeg en kon, hoe krijgt hij tegenwoordig die informatie?
Al die digitale mogelijkheden houden keurig de vorderingen bij van de leerlingen, zijn tempo, zijn prestaties, zin niveau en wat er allemaal maar te meten is. Een druk op de knop en alles is duidelijk en kan verwerkt worden. Je bent geloof ik tegenwoordig drukker met het administreren en verwerken van die gegevens dan met het zelf waarnemen.
Toch zou ik liever kiezen voor (ook) analoge informatieverzameling over de leerling, zijn orde, netheid, regelmaat, ijver, attitude, zijn fouten en zijn positieve prestaties, zijn persoonlijkheid. Het beeld dat een leerling van vlees en bloed zo oplevert lijkt me van net zo veel of meer waarde dan al die digitale informatie die het (louter) werken met tablets of laptops oplevert.
Ik vraag me overigens hierbij ook af of met de groei van het louter digitale onderwijs op een gegeven moment niet een generatie zal ontstaan die niet meer om kan gaan met potlood, pen en papier, of zelfs niet meer zal weten wat dat is. Net zoals de e-readers het boek langzaam maar zeker verjagen naar het museale domein van de lei en griffel, kroontjespen en schoolplaten.

Leren gaat niet zonder leraar.

In Trouw van 22 oktober schreef Henk van Ommen, rector ban het Baarnsch Lyceum dat leren niet zonder leraar gaat. Onderwijs gaat over interactie tussen docent en leerling. In die interactie gebeurt het. “Geen prestatie zonder interactie”, zoals hij prof. L. Stevens citeert.

Ook collega van Ommen erkent dat digitalisering hele goede diensten kan bewijzen, omdat er veel meer en gevarieerde vormen van content kunnen worden ontsloten  en bijvoorbeeld de mogelijkheid van het toepassen van maatwerk voor leerlingen die meer kunnen of achterblijven veel mogelijkheden biedt. Daar kunnen we het snel over eens zijn.  Maar laat het aanvullend blijven en niet leidend worden.
Henk van Ommen stelt terecht: leren is niet alleen een individueel, maar vooral ook een sociaal gebeuren.
Met het invoeren van de Tweede Fase en het Studiehuis hebben we als docenten al veel van dat principe moeten inleveren en steeds meer van het leerproces  aan de individuele leerling moeten overlaten. We werden meer coaches dan lesgevers en procesbewakers.

Plankjes even aan de kant.

Een collega van mij had in die periode waarin de zelfwerkzaamheid, met al die planners en correctiemodellen, ook in de les zelf steeds meer de overhand kreeg als vast punt in de les de kreet: “Pennen neer” om dan toch nog even iets wat hij te berde wilde brengen aan aanvullende uitleg, een extraatje of over geconstateerde fouten aan de man en vrouw te brengen. En wee je gebeente als je door bleef werken.

In die iPad-klassen zal hoop ik zo nu en dan de kreet: “Plankjes uit” ook mogen gaan klinken, om vervolgens samen, graag met bord, pen en papier, een stukje leerstof te verwerken.
Onderwijs gebeurt primair tussen leraar en leerling en niet tussen tablet of computer en leerling.

 

 

Een niet zo'n goed voorbeeld?

De volgende voorbeeldopgave komt voor in de Syllabus Centraal Examen 2018 VWO wiskunde B, waarin het nieuwe examenprogramma wordt toegelicht.

https://www.hetcvte.nl/document/syllabus_wiskunde_b_vwo_2018_nader

8   Gegeven is de functie f (x) = 2^{x – 3} + 3

a.    Bepaal de asymptoot van de grafiek van de inverse functie.
b.    Op de grafiek van f ligt een punt met y = 16 waarin de helling van de grafiek 9,0 is.
     Van welk punt van de grafiek van de inverse functie weet je dan ook de helling en
     hoe groot is die?

Uitwerking

a.    De grafiek van f heeft horizontale asymptoot y = 3 dus de inverse heeft verticale asymptoot x = 3.
b.    Op de grafiek van f ligt het punt (16, 3 + ²log 13).
Op de grafiek van de inverse ligt dan het punt (16, 3 + ²log 13) met helling 9,0^-1 ≈ 0,11

Het is een voorbeeld bij Subdomein B4 Inverse functies:

De kandidaat kan de inverse van een functie begripsmatig hanteren, opstellen en gebruiken.

Parate kennis De kandidaat kent:
• de voorwaarden waaronder een functie een inverse functie heeft.
Parate vaardigheden
De kandidaat kan:
1. van de machtsfuncties, de exponentiële functies en de logaritmische functies het functievoorschrift van de inverse functie opstellen;
2. bij de grafiek van een functie de grafiek van de inverse functie tekenen.
Productieve vaardigheden
De kandidaat kan:
3. van een samengestelde functie het functievoorschrift van de inverse functie opstellen;
4. de eigenschappen van de inverse functie en haar grafiek interpreteren in een gegeven probleemsituatie.

Wat wordt hier van een kandidaat verwacht?

In de opgave komt de uitdrukking “bepaal” voor.
Deze is in de lijst Examen(werk)woorden gedefinieerd als: “De wijze waarop het antwoord gevonden wordt is vrij; een toelichting is vereist”.

Kijken we naar vraag a dan is de vraag, of en hoe het bepalen van de asymptoot van de grafiek van f toegelicht moet worden, of dat het hier een (semi-)standaardsituatie is, waarvan de asymptoot meteen gekend en genoteerd mag en kan worden.

De grafiek van f ontstaat uit de standaardgrafiek y = 2^x door de translatie  (3,3) (als vector)
De standaardgrafiek heeft als horizontale asymptoot y = 0 dus de getransleerde grafiek heeft als horizontale asymptoot y = 3.
De verticale asymptoot van de grafiek van de inverse functie is dan x = 3.

Het mag dus blijkbaar korter dan in deze 3 zinnen.

Weer die decimalen...

Vraag b roept meer vragen op.

Gezien de rol die y in vraag a speelt zou het allereerst beter zijn geweest om hier te spreken van een punt met y-coördinaat 16.
Het getal 9,0 roept ook vaagtekens op. Hier had beter kunnen staan dat de helling bij benadering in 1 decimaal 9,0 is. De bedoeling en  mate van exactheid van 9,0 wordt nu in het midden gelaten.
De uitwerking gaat daarna in de fout daar bij het betreffende punt op de grafiek van f de coördinaten om te wisselen. Het is natuurlijk het punt (3 + ²log 13, 16).
Blijkbaar is hier het (eventueel exact) oplossen van de vergelijking  2^{x – 3} + 3 = 16 niet nodig om de x-coördinaat van het punt uit te rekenen, hoewel dat voor de hand zou liggen. De oplossing valt voorshands zo uit de lucht.

Gezien het gegeven van de helling als 9,0 (bedoeld als een afgeronde waarde die dus tussen 8,5 en 9,5 ligt en kennelijk niet als het exacte getal 9) zou het voor een leerling tamelijk logisch zijn dat de x-coördinaat ook in 1 decimaal berekend had mogen worden (met die gezegende GR…) , dus had het antwoord ook (16 ; 6,7) kunnen zijn.

Er staat immers niets in de vraagstelling over algebraïsch of exact.

En ten slotte het antwoord.

Dat zou dan 9,0^-1 ≈ 0,11 moeten zijn?  Waarom nu ineens twee decimalen? Waar wordt dat gevraagd?
Afgezien nog van het feit dat 9,0, op 1 decimaal afgerond, een getal uit de range 8,5 ≤  x  < 9,5 vertegenwoordigd, wat betekent dat het omgekeerde tussen 0,117.. en 0, 105… ligt, wat inhoudt dat ook 0,12 zou hebben gekund...
Maar waarom zou een leerling niet in staat zijn om algebraïsch te verifiëren dat f ’(x) = 2^{x – 3}∙ ln 2 is en dus de helling f ‘(3 + ² log 13) = 13 ∙ ln 2 ≈ 9,0109…
of zelfs, als 2^{x – 3} + 3 = 16 met de GR is opgelost en dus x = 6,7004… oplevert,
dat f ‘(6,7004…) ≈ 9,0109… oplevert dank zij de ANS-toets.

En zou het een groot probleem zijn om y = 2^{x – 3} + 3 om te werken tot x = 3 + ²log (y – 3)
wat uiteindelijk levert, dat f ^INV ‘ (x) = 1 /((x – 3) ln (2)) ?

Overigens, de opgave geeft geen aanleiding om te veronderstellen dat de opgave suggereert dat  13 ∙ ln (2) = 9,0 (exact gelijk aan). Het is wel duidelijk dat  in dit verband 13 ∙ ln (2) ≈ 9,0 (afgerond op 1 decimaal) wordt bedoeld, maar de onzorgvuldige formulering en vraagstelling levert toch wel de nodige vaagheden en punten van kritiek op.

Uit het veld heeft al vaker de roep geklonken om meer duidelijkheid rond decimalen en afronden. Deze voorbeeldopgave gaat op dit punt opnieuw de mist in en komt aan deze roep niet tegemoet.

Ook wat betreft de vraag wat van een kandidaat nu precies verwacht moet worden als het om een adequate en volledige beantwoording gaat van de gestelde vragen maakt deze voorbeeldopgave weinig duidelijk. Laat staan hoe een eventuele score er in een correctievoorschrift zou uitzien.
Vooral de vraagstelling “Van welk punt van de grafiek van de inverse functie weet je dan ook de helling en hoe groot is die?” is van een dermate vaagheid en onduidelijkheid ten aanzien van wat van de leerling verwacht wordt dat hierin de syllabus weinig houvast geeft.  Zoiets hoort in een exact vak als wiskunde B niet thuis.

Dat wil overigens niet zeggen dat de opgave op zich niet een hele aardige is, waarin veel aspecten van de algebraïsche kennis hadden kunnen worden getest bij een goede vraagopbouw.
 

Die is er voor een docent die zijn vak verstaat prima uit te halen!