Rekenen, wat versta je daaronder?

Twee soorten rekenen?

Als het over de definitie van rekenen gaat en wat dat rekenen dan in moet houden in het onderwijs in het PO en VO dan lijkt het erop dat er grofweg twee opvattingen leven.

Het komt volgens mij erop neer dat het gaat om het procedurele rekenen sec of het ook vaardig kunnen toepassen van dat rekenen.
De ene opvatting, die sterk verwant is aan de ideeën van de voorstanders van het zogenaamde traditionele rekenen, komt er, wat kort door de bocht geformuleerd, op neer dat het alleen gaat om getallen en hun bewerkingen op zich. Met andere woorden, hoe doe je +, -, x en : en aanverwante bewerkingen met getallen. En hoe doe je dat zonder rekenmachine, natuurlijk. Dus op papier of uit het hoofd, zonder dat die getallen een andere dan numerieke betekenis hebben.
Het is een erfenis der eeuwen hoe je dat doet en het is dan een kwestie van leren om het te kunnen.
Die erfenis is een voortdurende ontwikkeling geweest en dat leren is een bezigheid waarover didactisch al vele inzichten de revue hebben gepasseerd.
Tegenwoordig is er bijvoorbeeld een hele strijd gaande tussen het inzicht dat je iets beter kunt en onthoudt als je het met begrip en inzicht (over de toepassing) hebt geleerd en het inzicht dat je iets eerst “droog” veel moet oefenen en onder de knie moet krijgen om het te laten beklijven, met natuurlijk allerlei nuances daartussen.
Er bestaan organisaties die zich bezighouden met de historie van het rekenen en de manier waarop dat in het verleden gebeurde weer voor het voetlicht halen. Dan blijkt dat de manier waarop het rekenen tegenwoordig gebeurt qua systematiek en notatie de nodige ontwikkeling, zo niet evolutie, heeft ondergaan. Antiquarische rekenboekjes zijn soms niet te begrijpen voor een leek. Wat dat betreft is het verleden geen garantie voor de toekomst.

Traditioneel rekenen.

Het traditionele rekenen, zoals dat, zeg maar tot de jaren 60 / 70 op de scholen aan de orde was, bestond uit eindeloze rijtjes sommetjes met +, -, x en : toegepast op hele getallen, breuken en decimale getallen, procenten, kolomoptellen en –vermenigvuldigen, hoofdrekenen, staartdelen, soms zelfs worteltrekken en de nodige foefjes daarbij. Kijk op een rommelmarkt maar eens in de rekenboekjes van toen.

Ik was er erg goed in en met mij een minderheid in de 6^e klas van de lagere school en die kregen dan bijles om opgeleid te worden voor het toelatingsexamen van de HBS of Gymnasium. Andere leerlingen gingen naar de ULO, daarvan konden er veel ook best wel rekenen, anderen weer minder, en een deel ging naar de LTS of Huishoudschool. En er zaten ook nog één of twee leerlingen in de klas die ouder waren, die deden de zevende of achtste klas. Je had praktische rekenaars en meer theoretische rekenaars, en leerlingen die niet met getallen konden omgaan en alles daartussen.
Wat ik me heel goed herinner was, dat er een aantal leerlingen drommelse moeite had met dat rekenen. In de derde klas bleven leerlingen zitten die de tafels maar niet geleerd kregen en door de jaren heen bleven andere leerlingen worstelen met de sommetjes als het wat moeilijker of ingewikkelder werd. Het rekenen van toen was ondanks het stampen geen garantie dat iedereen het ook maar zou kunnen.

Hoe krijg je rekenen geleerd?

Het is natuurlijk zo dat je de basis van dit traditionele rekenen onder de knie moet hebben om verder te kunnen met rekenen, op welk niveau je het ook gaat gebruiken. Maar over de manier waarop je het onder de knie moet zien te krijgen en hoe ver dat moet gaan, daar is dus de nodige discussie over tussen de didactici, of nog liever, strijd.

Vergelijk rekenen eens met het leren van piano spelen of je als kind aansluiten bij een voetbalclub.
Aan kind zou je het eerste niet volhouden als het beperkt bleef tot het louter spelen van vingeroefeningen en toonladders. De muziekdocent zorgt er wel voor dat zijn pupil binnen de kortste keren ook een leuk muziekstukje kan spelen, dat dan natuurlijk op een voorspeelavond door de trotse ouders wordt aangehoord. En de pianist in spe krijgt ongetwijfeld wat meer informatie over muziek, muziekleer, compositie en uitvoering, tenminste mijn muziekleraar deed dat wel toen ik blokfluitles had. Het leer- en oefenproces werd in een bepaald muzikaal (toepassings-)kader geplaatst, het bleef niet op zich.
En dat voetballertje? Hij mag meteen zaterdag al meevoetballen, op de trainingen blijft het niet bij baltechniek en conditie, maar is er ook plaats voor spelzinzicht en, hoi, er wordt geëindigd met een partijtje.
Ik bedoel hiermee te zeggen dat er ook bij het rekenen van het begin af aan plaats moet zijn voor een inzicht in waar je mee bezig bent en de toepassing op waar het rekenen voor bedoeld is. Niet alleen eindeloos trappen tegen de bal of toonladders.

Een tweede soort rekenen?

Daarmee kom ik op de andere opvatting over rekenen, of kan ik misschien beter zeggen, dat het dan over toegepast rekenen gaat? Niet alleen leren hoe je met die getallen omgaat als er +, -, x of :  bij staat maar ook leren wanneer je die +, -, x of : gebruikt als het om “echte” getallen gaat. En ja, dat vraagt om contexten.

En met die getallen in contexten daar is onze maatschappij vol mee. Ik ga geen voorbeelden noemen, omdat ze in media en maatschappij menigvuldig op je afkomen. Voor mij staat vast dat de scholen de leerlingen moeten opleiden om met die informatie adequaat om te gaan. Een soort maatschappijleer, maar dan niet over ethische, sociale, politieke, levenbeschouwelijke of economische aspecten maar over het interpreteren van informatie die in getallen op je af komt. Je kunt je dan nog afvragen wie dit soort rekenen op z’n bordje krijgt in het VO: wiskunde of …
Ik denk dat die zogenaamde referentiekaders waarop de rekentoets gebaseerd is zo ongeveer wil voorzien in dit bedoelde maatschappelijke aspect.
Het zogenaamde realistisch rekenen, een containerbegrip voor een breed veld van didactieken en methoden, dat sinds de Mammoetwet min of meer in het onderwijs manifest is en zich via allerlei tussenstadia (ik noem wiskobas, de schotse methode) heeft ontwikkeld tot de huidige vormen en in hoofdlijnen is vastgelegd in referentiekaders die het onderwijs sturen, is een uitwerking en consequentie van deze visie.

Grote veranderingen hebben hun gevolgen.

Parallel met deze ontwikkeling zijn er ook een aantal technische en educatieve ontwikkelingen gaande, die het proces hebben beïnvloed. De bekendste zijn wel de (grafische) rekenmachine, de computer, ICT, de laptop en de tablet als vervanger of aanvulling op het boek. Daarnaast hebben onderwijs(on)kundige ontwikkelingen als de Tweede Fase etc. zijn invloed doen gelden, waardoor het leerproces op zich, zich verplaatste van de docent als procesleider en –verantwoordelijke naar de leerling. Dat laat ik verder hier buiten beschouwing.

Terug naar het rekenen. Juist die elektronische en digitale hulpmiddelen hebben het hele rekenverhaal ook fundamenteel veranderd. De techniek van het rekenen op zich, het goed kunnen manipuleren van getallen met +, -, x en : is minder van belang geworden dan het inzicht wanneer je moet optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen of welke bewerking dan ook. Het juist en goed kunnen toepassen van deze bewerkingen op getallen in de praktijk wordt belangrijker dan alleen de routine van het cijferen.
Natuurlijk, met het voorbehoud dat geen pianist ooit het concertpodium heeft betreden zonder eindeloos oefenen van toonladders en vingeroefeningen toen hij aan het leren was. Cijferen ligt aan de basis van het rekenen en rekenen ligt aan de basis van het toegepast rekenen. Het echte rekenen gaat voor mij dus verder dan het adequaat kunnen omgaan met getallen en bewerkingen. Het echte rekenen gaat verder dan aangeleerde rekenprocedures op papier eindeloos kunnen herhalen. Rekenen gaat (ook) over het inzicht hoe je met getallen om moet gaan en wat je ermee moet doen om het probleem waarvoor je gesteld staat op te lossen. Dat een rekenmachine daarbij een zinvol hulpmiddel is behoeft nauwelijks betoog. Ook met een rekenmachine kun je alleen maar goed rekenen als je hebt leren rekenen en je weet wat voor berekeningen je moet gaan maken.

Een voorbeeld.

Deze vraag uit een rekentoets kwam onlangs voorbij: iemand verdient € 200 en krijgt € 15 loonsverhoging. Hoeveel loonsverhoging krijgt iemand die € 140 verdient en een zelfde procentuele verhoging krijgt?

Eén van de kritiekpunten bij deze rekentoetsopgave was dat er gebruik mocht worden gemaakt van de rekenmachine. Kritiek die ik niet begrijp omdat er voordat je de rekenmachine pakt er eerst het nodige rekenkundige inzicht moet worden getoond en rekenkundig werk moet worden verzet voor er wat berekend moet worden.
Het antwoordt op de vraag is het kortst te formuleren met

140 + 15/200 x 140 = 150,50 en dat vraagt natuurlijk het nodige rekenkundige inzicht om het zo te doen.

Een andere benadering is 200 : 15 = 140 : x dus x = 15 x 140  / 200 = 10,50 dus het antwoord is 140 + 10,50 = 150,50

(leerlingen maken voor zulke problemen verhoudingstabellen).

Omdat er ook over procenten gesproken wordt zou het ook kunnen als: 15 is 15 / 200 x 100 = 7,5 %

en 7,5 % van 140 is 0,075 x 140 = 10,50 dus er komt € 10,50 bij.

Fundamentele kritiek op deze opgave is dat in het kader van de rekentoets alleen naar het (digitaal ingevoerde) antwoord gekeken wordt. Naar inzicht in het probleem wordt niet gekeken, omdat die dan overschaduwd wordt door een mogelijke rekenfout of tikfout en dus een fout ingevoerd antwoord, het enige wat gevraagd wordt. Een kommaatje verkeerd of vergeten die € 10,40 bij € 140 op te tellen of zoiets is meteen dodelijk, ook als je het principe snapt.

En toont een leerling hier nu minder rekenvaardigheid als hij of zij het puur technisch rekenwerk aan de rekenmachine overlaat en daarmee op het juiste antwoord komt? Als je niet rekenen kunt vind je in dit geval het antwoord ook met de rekenmachine niet. Als je wel rekenen kunt heb je hooguit snel genoeg door dat er iets niet klop als je echt een fout maakt met het apparaat. Ondertussen ben je nog wel even aan het rekenen als je het inderdaad op papier moet doen, maar krijgt de opgave daardoor meerwaarde?

Overigens, hoe “realistisch” is deze opgave? In de praktijk zijn percentages wel anders, loonsverhogingen gaan bij voorbeeld met 0,6 % en wat je verdient is meestal een veel minder rond getal. Dan pak je al helemaal de rekenmachine (tenzij je niet geleerd hebt om daarmee rekenkundig juist om te gaan). BTW is 6 % of 21 %, geloof ik, bedragen eindigen vaak op 0,99 en ga zo maar door.

Dan sta je wel helemaal met de mond vol tanden met je kennis van  ½ : ¾ = ½ x 4/3 of je vaardigheid om een staartdeling te kunnen maken. (Wat niet wil zeggen dat ik vind dat je dat niet zou moeten kunnen. Maar wel dat je het dan ook zou moeten kunnen controleren op je rekenmachine, behalve natuur lijk tijdens een toets).

Slotopmerking 1.

In hoeverre het grondig ingevoerd zijn in het “eerste soort rekenen” een noodzakelijke voorwaarde is voor beter begrip en inzicht in de abstractere werkelijkheid van de wiskunde, daar heb ik het nog niet over gehad. Maar niet iedereen, lang niet, heeft dat abstractere inzicht en begrip in wiskunde nodig.

In tegendeel, ik denk dat de maatschappij en diverse vervolgopleidingen ook gediend zijn met mensen die met het “tweede soort” rekenen uit de voeten kunnen.

Slotopmerking 2.

Prof. J. van der Craats heeft een Basisboek Rekenen gepubliceerd https://staff.science.uva.nl/j.vandecraats/#br wat de het principe van het “eerste soort rekenen” goed in beeld brengt. Het heet niet voor niets basisboek. Verder heeft hij een alternatieve Kennisbasis voor de PABO https://staff.science.uva.nl/j.vandecraats/#pabo opgesteld, dat als basis voor de didactiek voor het aanvankelijke rekenen een goed uitgangspunt genoemd mag worden. Maar moeten we leerlingen niet méér leren dan dat?

Slotopmerking 3

Er is veel kritiek op het “realistisch rekenen” vanuit bepaalde hoeken van en buiten het (PO- en VO-)onderwijs, en daarmee eigenlijk ook op het “tweede soort rekenen”. Het Referentiekader Rekenen http://www.taalenrekenen.nl/downloads/referentiekader-taal-en-rekenen-referentieniveaus.pdf/download moet het daarbij steeds ontgelden, ook al omdat het van bovenaf opgelegd zou zijn door de staat. Maar ik mis in die kritiek een duidelijke notie hoe er wel op dit punt voorzien kan worden, in toegepaste, maatschappelijke rekenvaardigheid dus, mede refererend aan de elektronische en digitale mogelijkheden die niet meer weg te denken zijn als het om rekenen gaat. Daar is (nog) geen basisboek voor.

Slotopmerking 4.

De grote variëteit waarmee het Referentiekader Rekenen op de scholen in de praktijk wordt gebracht, zowel in de verschillende rekenmethodes als door de individuele docent, geeft blijk van het feit dat er niet gesproken kan worden van staatsdwang inzake rekenen en rekendidactiek. Bij de recente discussies over de rekentoetsen, die nauw gekoppeld zijn aan het referentiekader, stond dat kader en de niveaus die daarin vastgesteld zijn nauwelijks of niet ter discussie bij de meeste betrokken partijen, hoewel ieder voor beter rekenonderwijs is. 

Brieven NVvW over rekenen

Recent heeft het bestuur van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren naar de Vaste Kamercommissie Onderwijs een brief gestuurd met haar huidige standpunt inzake de rekentoets. Deze brief is te vinden op: https://www.nvvw.nl/19628/nvvw-rekenen

Eerdere standpunten rond rekenen en rekentoets en rol van de NVvW zijn gepubliceerd in november 2013.

Achtergrond

Het onderwerp rekenen houdt veel gemoederen bezig. Daarom is het onontkoombaar dat we duidelijk maken hoe wij als bestuur van de vereniging staan in de discussies over dit onderwerp. We moeten bepalen waar we ons wel en niet mee bezig houden en wat onze leden van ons mogen verwachten. Deze notitie wil in deze behoefte voorzien.

Historie

De basisvaardigheden op het gebied van het rekenen zijn de afgelopen periode over de hele linie gedaald. Vaak als gevolg van genomen beleidsmaatregelen. Bij PABO-studenten, met name bij de instromers via het mbo, blijken de kennis en vaardigheden op het rekengebied onder de maat. Leerlingen die instromen in het voortgezet onderwijs zijn lang niet altijd toegerust met het gewenste referentieniveau van de basisschool (1F). En vervolgopleidingen luidden de noodklok over het algebraïsche niveau van de studenten die bij hen binnenstromen. Op dit moment is het echter zo dat het algebraïsche niveau al beduidend verbeterd is, nu er binnen de wiskunde op het voorgezet onderwijs weer veel aandacht is voor algebraïsche bewerkingen.

Destijds zijn de signalen van de noodklok opgepikt door de politiek. Dat was zeker niet onlogisch of onwenselijk. Op de PABO is men al hard bezig met een verplichte rekentoets maar het zal nog een aantal jaren duren voordat dit op het niveau van de basisschool merkbaar effect heeft. Er is gekozen voor reparatie via een verplichte rekentoets als onderdeel van het eindexamen voor het voortgezet onderwijs. Daarmee komt de verantwoordelijkheid om het geconstateerde probleem op te lossen nogal eenzijdig bij VO en MBO te liggen. OCW stelde wel geld beschikbaar maar laat het volledig aan de scholen zelf om te zorgen voor het inrichten van de lessen en de facilitering. Er is geen bijbehorende studielast en er zijn dus ook geen contacturen. Er worden geen uitspraken gedaan over bevoegdheid en bekwaamheid van de docenten die dit onderdeel moeten gaan verzorgen. Binnen het voortgezet onderwijs heeft bijna geen enkele docent een opleiding in rekendidactiek gedaan, de kennis over de rekendidactiek komt van het onderwijs dat de docent zelf heeft ontvangen op de basisschool of van hun eigen kinderen die op de basisschool zitten. De echte experts op rekendidactiek gebied zijn te vinden bij de PABO.

Situatie

De rekentoets wordt verplicht vanaf examenjaar 2014. De uitslag gaat meetellen in de slaag- en zakregeling. Er is een beperkte mogelijkheid voor herkansing voorgesteld. Te verwachten is daarom dat er minder leerlingen zullen slagen. Scholen zijn autonoom in het inrichten van het onderwijs voor rekenen. Is het aanleren en onderhouden van rekenvaardigheid echter een expliciete taak en verantwoordelijkheid van de wiskunde, i.c. de wiskundesectie, of is het een gezamenlijke verantwoordelijkheid vanuit de gedachte dat gecijferdheid (naast geletterdheid) een basiskwalificatie is voor alle exacte- en zaakvakken?

Onze positie

Het standpunt van de Vereniging is dat het rekenonderwijs niet een exclusieve zorg voor de wiskundigen is. Dat pleit ervoor om niet op de voorgrond te treden in de discussie over de rekenproblematiek. Op basis van de expertise en de kennis die de wiskundedocent heeft van zijn eigen vak kan de wiskundedocent, i.c. de Vereniging, een inhoudelijke inbreng hebben inzake de eisen die gesteld moeten worden aan rekenprogramma’s in het VO en het middelbaar beroepsonderwijs, maar de wiskundedocent is niet automatisch expert op rekendidactiekgebied. Voor de leden is het belangrijk dat ze weten waar wij staan in de discussie maar ook dat ze in voorkomende gevallen steun en weerklank kunnen vinden.

Wat gaan we doen/wat hebben we al gedaan?

Net als andere vakverenigingen hebben we onze verantwoordelijkheid genomen door projecten als RekenVoort, het Salvoproject en Rekenen over de vakken heen te entameren en te ondersteunen. We leveren deelnemers aan de rekencommissies en doen, waar mogelijk, mee aan de discussies over dit onderwerp. In contacten met OCW is rekenen een steeds terugkerend onderwerp van gesprek. Verder:

• Blijft de Vereniging benadrukken dat rekenen vakoverstijgend is en dus niet exclusief gekoppeld is aan het vak wiskunde.
• Benadrukt de Vereniging dat het onderwijzen van rekenen een speciale rekendidactiek nodig heeft. De vaardigheid om dit te onderwijzen is niet als vanzelfsprekend aanwezig binnen de huidige docentenpopulatie.
• Zoekt de Vereniging actief samenwerking met verwante groepen als KNAG, NVON en VECON om in gezamenlijkheid op te trekken en het wederzijdse belang duidelijk te maken.
• Informeert de Vereniging haar leden over de actuele ontwikkelingen op dit gebied.
• Onderzoekt de Vereniging de levensvatbaarheid van een aparte werkgroep rekenen al dan niet in samenwerking met genoemde organisaties als KNAG, NVON en VECON.
• Bekijkt de Vereniging actief waar gebruik kan worden gemaakt van de expertise die aanwezig is op plekken als PWN, NVORWO, SALVO-project en de steunpunten.
• Pleit de Vereniging voor een veel minder rigoureuze slaag- en zakregeling die gekoppeld is aan de rekentoets.

Brief aan de staatssecretaris:

Rijswijk, oktober 2013

Aan: de staatssecretaris van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen, 

(in afschrift aan de leden van de vaste Kamercommissie voor Onderwijs)

Betreft: referentieniveaus en de rekentoets 

Geachte heer Dekker,  

De resultaten op de rekentoetsen in vo en mbo  zijn vooralsnog ronduit slecht te noemen. Daar is terecht veel aandacht voor, zowel in als buiten de Kamer.  
De Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren kan zich in veel van de kritiek op de toets vinden. In ons
commentaar van 17 maart 2008 op de beleidsreactie Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen^[1]  hebben we al gewezen op de nadelen van een al te enthousiast opgetuigde kostbare toetspraktijk door een instituut buiten de school. Zeker als het niet voorafgegaan wordt door onderwijs door ter zake deskundige docenten binnen de school. Want daar zal de zo gewenste doorlopende leerlijn moeten worden vormgegeven. 
Tegelijkertijd zijn we er beducht voor, dat door alle aandacht voor wat er mis is aan de toets, uit het oog verloren wordt wat het echte probleem is: de tekortschietende rekenvaardigheid van leerlingen in het voortgezet onderwijs. Wij willen daarom graag een constructieve bijdrage leveren aan het debat, door te schetsen hoe volgens ons het probleem duurzaam kan worden opgelost.

Duurzame oplossing

Onze duurzame oplossing bestaat er uit, het rekenen in het vo te verankeren binnen de vakken met een kwantitatieve component  - zoals aardrijkskunde, geschiedenis, economie, natuurkunde, scheikunde, biologie en wiskunde.
Door in elk van deze vakken rekendoelen in het examenprogramma op te nemen krijgt het rekenen een vanzelfsprekende  plaats binnen de context van die vakken en kan het ook daarin worden getoetst. Dat hoeft dan niet apart in min of meer gekunstelde vraagjes van een rekentoets.
Direct gekoppeld aan dit deel van ons voorstel moeten die rekendoelen ook geplaatst worden in het programma van de lerarenopleidingen in die vakken. En wel op dezelfde manier. Dat vraagt enige afstemming, opdat bijvoorbeeld de procenten bij economie in het hoofd van de leerling niet andere zijn dan die bij wiskunde en zoiets als de verhoudingstabel steeds hetzelfde wordt gebruikt. Juist voor zwakke leerlingen is het niet vanzelfsprekend dat die verschillende methodes in de vakken “eigenlijk” allemaal hetzelfde zijn. Veiligheidshalve maken ze dan vaak gescheiden systemen aan per vak, wat niet alleen extra geheugencapaciteit vraagt, maar ook een echt begrip, en dus transfermogelijkheden in de weg staat. 
Een concreet voorbeeld: de verhoudingstabel wordt aangeleerd bij het rekenen op de basisschool,  en komt vervolgens uitgebreid  aan bod bij wiskunde in de onderbouw. Bij economie en aardrijkskunde kan hierop worden aangesloten bij indexcijfers resp. schaalberekeningen, waardoor het begrip steviger wordt verankerd.  Gevarieerd oefenen draagt bewezen bij aan een beter begrip. Een gedeelde kennisbasis is dan belangrijk. De docent economie hoeft het begrip niet nieuw aan te leren, maar moet wel weten hoe het is aangeleerd om het in het hoofd van de leerling te kunnen laten koppelen aan die eerder opgedane kennis.
Rekenen is in deze visie dus een generiek onderdeel van die lerarenopleidingen.
Het is een lange termijn oplossing, maar als de huidige praktijk ons iets leert is het wel dat je iets wat in enige decennia is ontstaan niet even snel met de korte klap kunt oplossen.  We zijn nu bezig met houtje touwtje plakwerk. De werkelijkheid is soms minder maakbaar dan je zou wensen.

Onderbouwing

Wij zijn als wiskundedocenten niet vanzelfsprekend deskundig in het toetsen van rekenvaardigheid en de rekendidactiek. Maar vanuit onze kennis van de wiskundedidactiek en het adequaat toetsen van kennis, menen we wel een aantal redenen te kunnen aanwijzen waarom de resultaten van de huidige toets tegenvallen. Die hebben enerzijds te maken met het feit dat kennis getoetst wordt die niet voldoende of helemaal niet is onderwezen, en anderzijds met een aantal aspecten van de toets zelf.

Wat betreft het toetsen van kennis die onvoldoende is onderwezen, wijzen wij er allereerst op dat  voor zover er rekenles wordt gegeven, dat niet gebeurt door bevoegde en bekwame docenten VO. Die zijn er namelijk niet voor rekenen na de basisschool.  
Dit is extra wrang, als je je realiseert dat het in veel gevallen gaat om pubers met een forse achterstand in het rekenen, die in hun schoolloopbaan en in het dagelijks leven negatieve ervaringen met rekenen hebben gehad. Met niet zelden als gevolg een psychologische barrière in de vorm van afwijzing of vermijding van rekenen, een ook bij volwassenen niet onbekend verschijnsel.  Dat is als probleem betrekkelijk nieuw: er  is nog onvoldoende systematisch nagedacht  over hoe je pubers, en zeker die met een rekenachterstand, min of meer vrolijk en effectief aan het rekenen krijgt.
Het moge duidelijk zijn dat een min of meer willekeurige docent in mbo of vo, al dan niet voorzien van een digitaal oefenprogramma, een dergelijke achterstand niet even snel kan inlopen.
Ons voorstel gaat over de reguliere stroom leerlingen, die met een voldoende reken niveau van 1f de basisschool verlaten. Het vervolgonderwijs heeft daarna volgens de Expertgroep doorlopende leerlijnen de taak van consolideren, onderhouden gebruiken en verdiepen, en daarin voorziet ons voorstel naar onze mening perfect.
Het repareren van grote achterstanden zal op individuele basis moeten gebeuren, onder –inderdaad-  deskundige begeleiding.
Een andere “echte” oplossing zou zijn het examenvak rekenen in te voeren in het vo, met alles wat daarbij hoort, studielast, bevoegdheid etcetera. Los van al het gedoe dat dit met zich meebrengt wordt rekenen dan een apart, geïsoleerd vak, en dat is juist niet de bedoeling. Je moet niet leren rekenen om het rekenen, maar om er in je verdere leven in de maatschappij mee uit de voeten te kunnen.

De huidige rekentoetsen

Tot slot nog in het kort onze bezwaren tegen de huidige toets, we hebben ze eerder, en uitvoeriger verwoord.

-               in deze digitale toetsen moeten de vragen op volgorde worden gemaakt en kan er niet worden teruggebladerd.  Dat leidt voor de leerling tot een minimaal resultaat, je scoort alleen met wat je meteen goed weet .

-               het zijn meerkeuzevragen en kort-antwoordvragen waarbij het oplosproces niet wordt beoordeeld (alleen een goed antwoord telt, ongeacht de complexiteit,- bij een complexe vraag zijn er soms wel 4 stappen die allemaal goed of fout kunnen, en ook kunnen staan voor verschillen in vaardigheid van de leerling, die nu niet worden gemeten, ook dit draagt bij aan een minimale score)

-               de te grote toetslengte: maar liefst 60 vragen  waarbij de leerling zich bij elke (context)vraag opnieuw moet inleven  

-               de geheimhouding en het machinaal scoren, waardoor noch leerling noch docent weten wat goed ging en wat fout (zijn we bij eindexamens niet gewend; maakt het voorbereiden op een herkansing extra moeilijk)

-               de strenge slaag- en zakregeling is met name een te grote barrière in vmbo, mbo en havo en staat veraf van de door de expertgroep gewenste “subtiele maar effectieve” toetsing. De straf voor het niet goed kunnen rekenen is te zwaar in verhouding tot het “vergrijp”, waarvan de verwijtbaarheid overigens ook niet altijd helder is, zoals hierboven uiteengezet.

Uiteraard zijn we desgewenst gaarne bereid tot een nadere toelichting op ons voorstel.
Hoogachtend, namens het bestuur van de NVvW, 

drs Marian.P.Kollenveld (vz)

Leeuwendaallaan 43 2281GK Rijswijk

voorzitter@nvvw.nl

 

 

Wiskundige denkactiviteiten, een filmpje en een commentaar.

 



De Leergang Vernieuwing Wiskundeonderwijs heeft een aantal  Kennisclip-filmpjes gemaakt rond het nieuwe wiskundeprogramma in het VO.
Één ervan gaat over wiskundige denkactiviteiten, een speerpunt in de nieuwe proramma's, en is te zien op:https://www.youtube.com/watch?v=0l9hrFHNw3Q#t=133
Daar kwam een commentaar op van Joost Hulshof.
Dat is te vinden op: http://t.co/i4JmmLuMOy

Aan mij werd de vraag gesteld wat ik hier nu van vond.
Ik heb het dan niet over nascholing maar over het gebruik van zo'n filmpje in een klassensituatie, wat dat zie ik wel zitten.
Hoe het gesprek en de theoretische verdieping bij die nascholing verloopt, daar speculeer ik verder niet over. Ik bekijk het vanuit de klassensituatie, als docent en niet als wiskundige wetenschapper.

Hier volgt mijn commentaar:

 

Wat er in het filmpje over WDA gezegd wordt over wiskundige denkactiviteiten is een opsomming die in feite niets nieuws vertelt, maar waarvan het misschien wel goed is om het nog eens expliciet op een rijtje te zetten.
Het filmpje laat daarna duidelijk zien wat die stappen grosso modo inhouden.
Ik zou zo’n filmpje vast en zeker via het digibord aan een klas hebben laten zien als illustratie, maar ook even op zo’n moment wat je vroeger met “Even krijten” aanduidde: even een extraatje, een illustratie, een lesopvullertje zo in de laatste 5 minuten. Of natuurlijk, als de Stelling van Pythagoras op de één of andere manier (weer) langs komt. In een klassengesprek, dus.
Het is een filmpje met een open uiteinde en met vragen op het eind, dat uitnodigt om er in de klas, of op de nascholingscursus, verder op in te gaan.
En dan zou ook ik het niet bij het filmpje laten, maar even doorrekenen met de formule
r² + z² = (r + l)²
r² + z² = r² + 2rl + l²
z² = 2rl + l²
En dan kan er (met de rekenmachine) met het verschil in grootte tussen r en l snel blijken dat die l² ten opzichten van 2rl niet veel meer uitmaakt.
Dus z = sqrt(2rl) is een goede benadering van het antwoord, dankzij formulemanipulatie.
Dan kan er ook meteen een antwoord gegeven worden op de vraag “Kan een volwassene nou zoveel verder kijken dan een kleuter?” en heb je meteen een mooie aanleiding om over een schatting van de ooghoogte bij volwassenen en kleuters te praten.
(Zoiets als: als l 2 x zo groot wordt, wordt z  sqrt(2) dus ongeveer 1,4 keer zo groot, laten zien).
Leuk, dus.
Ik vind hier niks mis mee. Je moet wel voor ogen houden wie je voor je hebt, middelbare scholieren (wat kan variëren van vmbo tot vwo), waarbij ik uitga van de onderbouw, 2^e, hooguit 3^e klas.
Het commentaar dat ik van Joost Hulshof op dit filmpje kreeg lijkt op het schieten met een kanon op een mug. Het schot gaat althans geheel over de hoofden van de doelgroep en de illustratie van WDA op dat niveau heen.
Niet dat er misgeschoten zou zijn of dat het kanon niet deugt, maar het schot is qua niveau en inhoud dus meer gericht op nascholing, wiskundedocenten en -studenten, waarvan de kennis wat verder reikt dan het VO-niveau. Er wordt gesproken over zaken en gebruik gemaakt van kennis, en gepresenteerd op een manier, die ook in de tijd dat ik nog die good old echte ouderwetse en degelijke wiskunde kreeg niet te verkopen zou zijn geweest aan een gemiddelde 5^e klas HBS-B.
Maar dat wil niet zeggen dat zoiets bijvoorbeeld bij wiskunde D, of op dagen dat universiteiten a.s. beta-studenten ontvangen aan de orde zou kunnen komen en uitgelegd zou kunnen worden (dan wel op een nascholingscursus als theoretische achtergrond) of misschien zelfs door een enthousiaste wiskundedocent als “even krijten” een keer verteld kan worden in VWO 6 als voorbeeld van waar wiskundigen nou de hele tijd mee bezig zijn.
Als (oud-)docent vind ik het stukje commentaar puur wiskundig gezien aardig om te lezen als opmerking in de marge, maar verder didactisch gezien zegt het me, als het op het geven van wiskundeonderwijs in het VO betreft, niet veel en helpt het me niet bijzonder om er voor de klas veel mee te kunnen.
Het filmpje en het commentaar staan in geen verhouding tot elkaar wat betreft inhoud, niveau, kennis en doelgroep, ze gaan helemaal langs elkaar heen, schieten aan elkaar voorbij en bewegen zich in twee werelden. Het filmpje vind ik prima, ik heb er geen enkel probleem mee, in tegendeel!  Ik vind het commentaar okay, maar het heeft dus niet al te veel met het filmpje van doen, als het gaat om de onderwijspraktijk in (de onderbouw van) het VO.
Maar misschien moet je eerst zo’n 40 jaar voor de klas hebben gestaan en hebben moeten leren om je te bukken naar de nogal uiteen liggende denk- en kennisniveaus van de verschillende leerlingen om er niet ver overheen te praten en te denken, zoals het commentaar op het filmpje wel doet. Het schiet z’n doel voorbij gezien de kennelijke bedoeling en opzet van het filmpje.
Als schot voor de boeg wat betreft de nascholing vind ik het niet opportuun, het filmpje is blijkens de toelichting o.a. bedoeld om aan de eigen invulling van de eisen van de nieuwe examenprogramma  vorm te geven. Daar lenen die filmpjes zich goed voor.