Numeracy, gecijferdheid en cijferen.

Blog naar aanleiding van het artikel “Gecijferdheid” van Kees Hoogland in Euclides, jaargang 91, no. 5 (maart 2016) en de reactie daarop in het Forum van de NVvW van Thomas Cool (https://www.nvvw.nl/forum#/discussion/453/euclides-91-no-5-p-19-laat-hoogland-corrigeren-t-a-v-john-allen-paulos, alleen voor leden toegankelijk) en zijn toelichting daarbij: https://boycottholland.wordpress.com/2016/03/26/abuse-of-john-allen-paulos

Numeracy.

John Allen Paulos schreef in 1988 het boek “Innumeracy. Mathematical Illiteracy and its consequences” en Thomas Cool vermoedt dat de term “numeracy” mogelijk door Paulos bedacht zou zijn. (Paulos perhaps even created the colloquial term “numeracy” as shorthand for quantitative competence, in parallel to literacy, the ability to read and write).

In de toelichting op zijn kritiek op het artikel “Gecijferdheid” van Kees Hoogland in Euclides, jaargang 91 nummer 5, maart 2016 noemt Cool het aanwenden van de door hem als neologisme aangeduide term “gecijferdheid” als vertaling van “numeracy” een krom gebruik van termen. (For the title of his column he employs a Dutch neologism “gecijferdheid” rather than “genummerdheid” to translate “numeracy”. This is a crooked use of terms.) 

In 1989 verscheen een Nederlandse vertaling van het boek van Paulos onder de titel “Ongecijferdheid. De gevolgen van wiskundige ongeletterdheid”. De vertaler B. Los was Hoogland dus in feite al ver voor om “numeracy” te vertalen met “gecijferdheid” en dat begrip “(on)gecijferdheid” was blijkbaar toen al bekend, gangbaar en eenduidig genoeg om als titel voor een boek te dienst te kunnen doen.

Cool schrijft dat Hoogland “gecijferdheid” “rather than” “genummerdheid” aanwendt als vertaling van “numeracy”, maar dat lijkt mij geen goede vertaalsuggestie gezien de meest gebruikte betekenis van “nummer”, het getal dat de plaats in een rij of volgorde weergeeft.

(Er bestaat ook nog een term “number sense”, in het Nederlands “getalgevoel”, waarvan de betekenis de kant opgaat van het gevoel voor het aantal waar een getalsymbool voor staat. Het gaat dan niet meteen om kunnen tellen of met getallen omgaan maar om iets veel basalers: het in één oogopslag zien van de omvang van een klein aantal voorwerpen. Kinderen die bij het begin van de lagere school een laag getalgevoel bezitten en dus de betekenis van getallen minder goed herkennen, lopen bijvoorbeeld risico op dyscalculie).

(Zie onder ook het N.B. over literacy).

Gecijferdheid.

In het algemene Nederlandse spraakgebruik heeft “gecijferdheid” naar mijn mening een duidelijke betekenis waarover een brede consensus bestaat die volgens mij boven de huidige discussies over het rekenen, traditioneel of realistisch, staat.

Thomas Cool identificeert Kees Hoogland met het zogenaamde realistische rekenen, een didactiek die volgens Cool het traditionele rekenen af zou doen als “cijferen”. Alleen realistisch rekenen zou volgens de aanhangers ervan leiden tot gecijferdheid. (RME denounces traditional methods of mathematics education as “cyphering” or drilling devoid of understanding (which) would leave only RME for proper teaching of mathematics, which would generate numeracy).

Cijferen.

“Cijferen”: op de lagere school was dat, in mijn tijd, een vast onderdeel van het vak rekenen: het eindeloos manipuleren van getallen met de bewerkingen +, -, x en :  los van enige context, sommetjes maken, primaire rekenvaardigheid. Het vak rekenen hield (ook) toen nog meer in, want die getallen en berekeningen kregen dan ook zin en betekenis in praktijksituaties bij bijvoorbeeld aantallen, maten, procenten en bedragen, contextuele rekenvaardigheid.

Op de site www.gecijferdheid.nl wordt dat volgens Cool aan de kaak gestelde “cijferen” nog steeds prominent genoemd als eerste fase in een proces dat naar gecijferdheid moet leiden, zoals het volgende plaatje laat zien.

Rekenvaardigheid is een basis voor gecijferdheid.

Van “gecijferdheid” kan volgens mij gesproken worden als van het vermogen om met getallen en getalsmatige gegevens om te gaan. Iemand die gecijferd is heeft de kennis en vaardigheid om betekenis te geven aan getallen en de bewerkingen ermee. Hij kan daardoor omgaan met de kwantitatieve kant van de wereld om ons heen. Niet dat dit een volledige en afdoende definitie van gecijferdheid zou, maar een paar belangrijke componenten van dat begrip zijn hiermee wel genoemd.

“Numeracy” blijkt in de Engelstalige wereld soms een nog iets ruimer begrip te zijn, daar gaat het niet alleen om het begrip, gebruik en toepassen van getallen en bewerkingen +, -, x en : , maar daarbij ook om eenvoudige wiskundige begrippen en toepassingen, maar het Nederlandse begrip tendeert ook in die richting.

Ik las van Henk Pfalzgraff als definitie van “gecijferdheid”: Gecijferdheid beschouw ik als het vermogen om gehele getallen en decimale getallen van meer dan twee cijfers en breuken zonder hulp van een rekenmachine te kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen”. Hij stelt dat algebra niet over te dragen is aan ongecijferden. Wat mij betreft kun je dan dus eerder spreken van “rekenvaardigheid”, een noodzakelijke basis voor zowel gecijferdheid als algebra en verdere wiskunde (en hanteren van een rekenmachine…). De strijd die tegenwoordig gevoerd wordt gaat dan over wat die basisbewerkingen rekenen moeten inhouden en hoe ze geoefend moeten worden. Daarbij speelt begrip en inzicht in wisselwerking met oefenen in belangrijke rol. De meningen over en weer zijn zeer uitgesproken

De noodzaak van gecijferdheid.

Voor mij is iemand die gecijferd is iemand die kan rekenen met, omgaan met en redeneren met getallen en andere rekenkundige en wiskundige concepten en deze kan gebruiken en toepassen in verschillende situaties om zo een verscheidenheid aan informatie in de wereld om ons heen te kunnen evalueren, vragen te kunnen beantwoorden en problemen op te lossen. En dan gaat het niet alleen over sommetjes maken in de les, breuken, staartdelingen (let op het woordje “alleen”!) maar ook over getalbegrip en gebruik van rekenvaardigheid in de dagelijkse maatschappij (en wat mij betreft mag dat gebruik ook met de rekenmachine).

Immers, in onze dagelijkse wereld is veel van het rekenen en de wiskunde die we vroeger allemaal leerden wat het dagelijks gebruik betreft ons grotendeels uit handen genomen. Veel rekenzaken zijn overgenomen door allerlei apparaten, kassa’s, scan-apparaten, computers, smartphones etc. Het lijkt me zinvol om dan na te gaan welke kennis, vaardigheden en persoonlijke kwaliteiten iemand nodig heeft om om te gaan met de vele kwantitatieve kanten van de wereld om ons heen en de manieren waarop die verwerkt en gerepresenteerd worden, naast de elementaire vaardigheden als daar zijn lezen, schrijven, rekenen (geschiedenis, aardrijkskunde, biologie, tekenen etc.) die eraan vooraf gaan.

Paulos en gecijferdheid.

Kees Hoogland schrijft: “Wie zich verdiept in gecijferdheid komt vroeg of laat (…) bij Paulus tegen”, omdat zijn boeken ongecijferdheid “met veel humor en messcherpe analyses” blootleggen. Ik sluit me graag bij het pleidooi van Kees Hoogland aan om in het kader van gecijferdheid het boek “A numerate life”, maar ook de andere boeken van John Allen Paulos, te lezen omdat dat ongetwijfeld een mooie evaluatie van en goede aanvulling op de eigen mate van gecijferdheid, die men vanuit opleiding of discipline meekreeg, kan zijn. En deze boeken geven ongetwijfeld fraaie en actuele voorbeelden voor behandeling in de klas, om kritisch te leren kijken naar getallen, berekeningen, grafieken, tabellen en conclusies in de media en het doorprikken van al dan niet kwantitatieve redeneringen, onafhankelijk van welke rekendidactiek dan ook. Iedereen kan er zijn voordeel mee doen.

De kritiek van Cool, dat Hoogland Paulos voor het karretje van het realistische rekenonderwijs spant en doet alsof hij niet weet van de kritiek op het realistisch onderwijs, manipuleert en moet corrigeren  etc., neem ik verder voor kennisgeving aan.

Van het ter discussie stelen van het artikel van Kees Hoogland op de manier die Thomas Cool verkiest distantieer ik me.

Eerdere blogs die min of meer met deze te maken hebben:

http://aowiskunde.blogspot.nl/2013/11/kom-je-over-het-rekenen-dan-kom-je-over.html

http://aowiskunde.blogspot.nl/2015/12/realistische-of-traditionele.html

N.B. “Literacy” wordt in het Nederlands vertaald met “geletterdheid”. Dat loopt parallel met “numeracy” en “gecijferdheid”. Geletterdheid omvat vele facetten en is ruimer dan “kunnen lezen en schrijven”, n.l. ook de kennis en vaardigheid die nodig is om via geschreven taal te communiceren en de competentie om met informatie om te gaan, te begrijpen en doelgericht te gebruiken. Het vraagt om  kennisniveau van het gesproken en geschreven woord, (literatuur, liturgie, juridische documenten, geschiedenis, enz.) alsmede het kunnen overbrengen en begrijpelijk maken van informatie door middel van verschillende soorten media.

In dit verband wordt ook over de vaardigheid om met numerieke en grafische gegevens om te gaan en de vaardigheid voor het gebruik van ICT gesproken, waar geletterdheid overlapt met gecijferdheid. Beide zijn geïntegreerde vaardigheden.

Numerieke Wiskunde

Via de Bernoulli Gazet, periodiek voor wiskunde-alumni van de Rijksuniversiteit Groningen kwam ik op de hoogte van het overlijden van dr. H. J. Buurema. Hij was de docent waar ik in 1966 het vak Numerieke Analyse volgde.

In een blog over rekenhulpmiddelen in het VWO http://www.aowiskunde.blogspot.nl/2014/06/rekenhulpmiddelen-in-het-vo.html

schreef ik o.a.:

“Wat rekenen op de universiteit betreft: we hadden ook nog college Numerieke Analyse, dat gevolgd werd door een practicum, waar we met een ingewikkelde telmachine waaraan driftig gedraaid moest worden onze berekeningen moesten maken. Ik geloof iteratieve processen of iets dergelijks, ’t Is al lang geleden en het practicumschrift heb ik ook al niet meer”.

Dat ging dus inderdaad over die lagerejaars-practica uitgevoerd met behulp van zogenaamde “koffiemolens”, mechanische rekenmachines waar je aan moest zwengelen  om bewerkingen uit te voeren, zoals het In memoriam gewijd aan dr. Buurema vermeldt.

Ze zagen er zo uit:

Een filmpje op YouTube laat iets van het werken met zo’n rekenmachine zien:

https://www.youtube.com/watch?v=qBsJpW549Co

En er bleek zelfs een website te zijn met een interactieve mechanische rekenmachine:

http://www.history.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/ausstell/sammlung/sprossenrad/sprossenrad_interaktiv.html

Prachtig, zo’n Duitse naam: Sprossenradmaschine. “Ein Sprossenrad ist ein Zahnrad mit verstellbarer Zähnezahl“ https://de.wikipedia.org/wiki/Sprossenrad . Dat woord Sprossenrad schijnt geen Nederlandse vertaling te kennen.

Maar goed, dat college en het practicum Numerieke Analyse. Ik heb het practicumschrift weer gevonden! Vier middagen in maart 1966 zijn we aan het rekenen geweest aan drie opdrachten.

De eerste opdracht: Bepaal met Newton-Raphson in 4 decimalen de kleinste positieve wortel van cos x . cosh x = - 1. Het antwoord: 1,8751.

Bij de tweede opgave wordt de z.g. Trapeziumregel toegepast:

En de derde opgave hield het inverteren in van een 3 x 3-matrix, waarvan de elementen allemaal getallen tussen 0 en 2 in 2 decimalen waren.

Ik haalde een mooi cijfer voor dat practicum, ik vond het ook leuk, dat rekenen.

In het In memoriam wordt ook nog gerefereerd aan de ZEBRA, de eerste rekenmachine van het Mathematich Instituut. Ik herinner me de open dag van de Universiteit in het voorjaar van 1964, waarbij we als voorgenomen wiskundestudenten ook ontvangen werden op dat instituut. Natuurlijk werd toen die rekenmachine gedemonstreerd.

De keldergewelven stonden vol met grote kasten vol met omvangrijke elektronica en op een bureautje stond een printer en een toestelletje met een klein schermpje dat er uit zag als een radarscherm. Daar liet men vol trots een sinusgrafiekje op lopen en een kogelbaanparabool zien.

Verder hebben we nooit met die zeer eenvoudige binaire rekenapparaat te maken gehad want toen we aan programmeren toekwamen was er dus een nieuwe generatie computer beschikbaar.

Ik heb leren programmeren in ALGOL en mijn schrapkaarten erop laten draaien waarvan je een print op van die kettingbladen kon ophalen aan de Grote Rozenstraat met het resultaat (voor zover er geen verkeerd geponste schrapkaart in je stapeltje zat of nog erger, als er geen fout in je programma zat). Mijn programma deugde, ik had er nog een naar bleek originele loop in zitten die de waardering kreeg van de assistent die het practicum begeleidde. Helaas, dat is allemaal niet bewaard gebleven.

Ondertussen, dr. H.J. Buurema was een hele aardige docent, niks professoraals, een beetje een kwajongen, maar enthousiast, iemand die z’n vak geliefd maakte door het met plezier en overtuiging te doceren.

Ten slotte, er bestond een kring van lefhebbers van historische rekeninstrumenten in Nederland, www.rekeninstrumenten.nl , maar de website laat weinig activiteiten meer zien.

Tijdens de viering van het 90-jarige jubileum van de NVvW in april 2015 in Theater Gooiland was er ook een uitgebreide tentoonstelling van allerhande historische rekeninstrumenten.

Onderwijs2032, dat gaat zo te snel!

Inmiddels is de oprichting van het Ontwerpteam2032 aangekondigd als volgende stap in het proces op weg naar Onderwijs2032.

file:///C:/Users/Erik/Downloads/kamerbrief-over-de-samenstelling-van-het-ontwerpteam2032%20(1).pdf

https://www.rijksoverheid.nl/actueel/nieuws/2016/03/08/geri-bonhof-gaat-volgende-fase-onderwijs2032-leiden

Na de brainstorm om, z.g. vernieuwende, ideeën voor toekomstgericht onderwijs in 2032 aan te dragen, dialogen en gespreksrondes, en het op grond daarvan door Paul Schabel gepresenteerd rapport http://onsonderwijs2032.nl/  , waarin al de nodige lijnen naar 2032 al erg scherp werden getrokken, moet dit ontwerpteam dus verder op pad, met name om rond het definitieve advies te komen tot een concreet ontwerp van een nieuw curriculum, waarin o.a. het onderwijs niet per vakgebied, onderwijssector of schoolsoort, maar in samenhang zal plaatsvinden, waardoor een aantal vakken zullen verdwijnen in z.g. kennisdomeinen.

Ik las op Twitter een tweet waarin zo ongeveer stond, dat niemand in het vigerende onderwijs het eigenlijk (nog) over Onderwijs2032 heeft. Dat deed bij mij het inzicht rijzen dat er eigenlijk een grote belangrijke stap werd overgeslagen in dat proces dat, al of niet, moet leiden tot een praktijk waarin de ideeën van Onderwijs2032 in ruimere of beperktere mate hun beslag zouden kunnen krijgen. Hoor eerst de docenten die het moeten gaan doen!

Middenschooldiscussie.

Toen dacht ik n.l. terug aan de middenschool. In de jaren 70 kwam dat idee op de onderwijskundige en politieke agenda, nog maar pas na het invoeren van de Mammoetwet.

Op de school waar ik toen werkte werd er een studiedag georganiseerd, waarin we aan het denken en ook aan het werk werden gezet met de plannen en ideeën rond die middenschool. We doken er echt diep in, probeerden er concreet vat op te krijgen, vanuit onze ervaringen, vakkennis en didactische inzichten, alsof die middenschool morgen voor de deur zou staan en ten uitvoer zou moeten worden gebracht. We probeerden uit te werken wat dat voor ons vak, voor het lesgeven, voor de hele schoolorganisatie zou kunnen betekenen.

Want het leek erop dat die middenschool inderdaad van de grond zou komen, dus het was geen vrijblijvende zaak. We werden daardoor gedwongen in iedere geval kritisch naar ons eigen functioneren, ons eigen onderwijs te kijken.

Onze conclusies waren dat die middenschool geen goed idee was en gelukkig is het idee uiteindelijk zowel onderwijskundig als politiek afgeschoten.

Maar we hadden ondertussen wel even grondig bij het eigen vigerende onderwijs stilgestaan.

Laat eerst de docenten zelf aan het woord!

Ik denk dat, voor een Ontwerpteam2032 aan de slag gaat, het hele idee van Onderwijs2032, die hele visie op toekomstgericht onderwijs en de eerste lijnen die daar naartoe moeten leiden, en daar zijn al een paar behoorlijk concrete tussen, eerst de scholen zelf in moet om besproken te worden door degenen die het straks zelf eventueel moeten gaan uitvoeren, degenen die de beste praktische expertise in huis hebben. Geen wetenschappelijke inzichten, niet de bestuurders, schoolleiders, curriculumexperts of andere buitenstaanders die niet zelf dagindaguit voor de klas staan, maar de docenten zelf nu eerst maar.

Laat de docenten dat rapport Onderwijs2032, dat verhaal van Schnabel nu eerst eens zelf intern, op hun eigen school met hun eigen collega’s, doorpraten, zich er wat bij voor proberen te stellen, nagaan hoe en of het kan en wat er werkelijk zinvol en nuttig van is. Toetsen aan de praktijk en de mogelijkheden en niet luchtfietsen, concreet nagaan wat realiseerbaar is, waar we naar toe moeten, welke doelen noodzakelijk en haalbaar zijn.

Maar dan wel zonder “voorwaarden vooraf”, dus niet met een vooropgesteld doel en eigenlijk al ingevulde randvoorwaarden en eindstreven, zoals die eigenlijk in de presentatie van Schnabel maar al te zeer doorklonken.

Dan zijn er drie zaken gewonnen: er is een grotere betrokkenheid met wat Onderwijs3032 hoe dan ook voorstaat, er ontstaat een werkelijk te realiseren beeld van wat Onderwijs2032 wel of niet zou kunnen bereiken en last but not least, het is tevens een kritische evaluatie van waar men nu mee bezig is en biedt dan op zich al aanleiding tot bijstellingen.

Maar zal dat helpen?

Maar helaas, mijn ervaring met de z.g. “onderwijsvernieuwing” is dat zoiets nooit en te nimmer overgelaten wordt aan de basis, het veld, de werkelijk betrokkenen, de experts van de uitvoering, maar dat allerlei andere personen, instellingen, instanties en andere belangen en wensen beter schijnen te kunnen en moeten bepalen wat goed is voor het onderwijs en weten te vertellen hoe en wat docenten moeten gaan doen. Ze mogen er wel over praten, iets minder over mee praten, meedenken nog minderen en meebeslissen, nou, eh, tja, daar gaan anderen over en meestal is het al bepaald.

Soms lijkt het er wel op. Begin jaren 80 was ik docent aan één van de HEWET-experimenteerscholen. Je denkt, nu zijn wij aan de beurt om te kijken of en hoe. Maar voor het experiment geëvalueerd en afgelopen was, voor de betrokken docenten hun definitieve mening hadden gegeven was het, politieke, besluit al lang genomen en werd wiskunde A en B ingevoerd. En eigenlijk was dat al helemaal voorgebakken.

Ik last onlangs in Trouw een interview met staatsecretaris Dekker waarin hem een aantal kritische vragen werden gesteld over zaken die het onderwijsveld bezig houden, of liever, waarvan de staats de nodige oppositie vanuit het onderwijs mag weten. Maar het waren allemaal tefalantwoorden die de interviewer optekende, kritiek werd niet gewogen maar weggewoven, op elk kritisch potje schroefde de als bekend vlot formulerende Sander Dekker een antwoorddekseltje waarin hij totaal geen empathie, inzicht of voorstellingsvermogen liet blijken voor de kritiek die in de vragen verwoord werd. Luisteren en in gesprek gaan, aandacht geven aan wat er uit het veld opklinkt, met het veld zoeken naar de beste oplossing, nee, dat is niks voor hem. Hij weet het beter.

Wie weet...

Maar misschien, de middenschool verdween met het veranderen van de politieke kleur van de regerende partijen van de agenda, wie weet is dat ook het lot van Onderwijs2032 en verdwijnt het, althans in z’n huidige vorm, mèt de rekentoets, op de politieke mestvaalt.