Negen vierkanten in een rechthoek

De rechthoek is gevuld met 9 vierkanten.
Het gele vierkantje heeft oppervlakte 1.
Hoe groot is de oppervlakte van de rechthoek?

Stel de zijde van het vierkant rechts van de gele x.
Dan heeft het vierkant daaronder zijde x + 1
Het vierkant daar links van heeft vervolgen zijde x + 2 en die daarboven x + 3.
Het vierkant rechtsonder heeft dan zijde x + x + 1 = 2x +1
Dus de breedte van de rechthoek is x + 2 + x + 1 + 2x + 1 = 4x + 4. (1)

Boven het "beginvierkant" met zijde x zit een kleiner vierkant met zijde x + 3 - (x - 1) = 4!!
Dus de beide vierkanten aan de bovenkant hebben zijden x + 3 + 4 = x + 7 en x + 7 + 4 = x +11
Dus de breedte van de rechthoek is ook x + 7 +  x + 11 = 2x + 18. (2)

4x + 4 = 2x + 18
2x = 14
x = 7

De breedte is dus 4 x 7 + 4 = 32
De lengte wordt 7 + 2 + 7 + 3 + 7 + 7 = 33

De oppervlakte is dus 32 x 33 = 1056
dat is  1x1 + 7x7 + 8x8 + 9x9 +10x10 + 14x14 + 18x18 + 15x15 + 4x4

Breuken delen: een heet hangijzer?

Ik ben al een paar jaar het onderwijs  “uit” en van al dat rekenen waar de laatste tijd zoveel om te doen is heb ik niet veel meer meegekregen. Ook ben ik niet “bij” gebleven op het gebied van de veranderingen in het rekenonderwijs op de basisschool. Maar je hoort wel eens wat: geen staartdeling meer maar iets met “hapjes” en veel gedoe over breuken. Of elke verandering een verbetering is kan ik wat dit betreft niet nagaan, maar verbeterd kon er ongetwijfeld wel wat worden, want al in mijn eigen lagereschooltijd blijkt rekenen, en vooral er iets van begrijpen en doorgronden, een groot struikelblok en dat lijkt sindsdien niet erg veel veranderd.

Schiet me te binnen dat ik als jong docentje rond 1970 te maken kreeg met “wiskobas” (wiskunde op de basisschool,) een rekenmethode die naar het schijnt gelanceerd werd om onze technologische achterstand op Rusland in te lopen, want dat land was de Westerse wereld voorbij gestreefd op het gebied van de ruimtevaart, of zo’n soort redenering. De werkboeken die we zagen bevatten echter grote onzin: een volledig verkeerde conceptie van de verzamelingenleer en de basisscholen die we toen adviseerden hebben weer snel het “gewone” rekenboek uit de kast gehaald.

Er zijn van die ijzeren wetten  uit mijn (lagere) schooltijd, die nog steeds blijven nadreunen in mijn oren. Naast bijvoorbeeld  “stam plus t” of “1600 Slag bij Nieuwpoort” is dat een beroemde regel als “Mijnheer van Dalen wacht op antwoord”, die iets zou zeggen over de volgorde waarin je de rekenbewerkingen moet toepassen: machtsverheffen, vermenigvuldigen, delen, worteltrekken, optellen, aftrekken. Een heilige slogan indertijd.

Mijnheer van Dalen heeft als zodanig afgedaan, de regels liggen niet zo vastgeklonken als deze beste man wilde doen geloven. Haakjes gooiden roet in het eten, of liever, ordende de volgorde waar van Dalen ons in de steek dreigde te laten en vermenigvuldigen werd geen voorrang (meer) vergund boven delen, net zo goed als dat optellen niet (meer) werd toegestaan boven aftrekken. We doen ze sinds jaren alweer gemeenlijk in de volgorde waarin ze staan. De regel blijkt achteraf alleen nog voor verwarring en misverstanden te zorgen, het streven is tegenwoordig om met haakjes eenduidigheid te creëren als een berekening voor meer uitleg vatbaar zou kunnen zijn.

Als het op rekenen aankomt levert het onderdeel breuken voor menigeen de meeste hoofdbrekens. Ook hier zijn van die standaardkreten die iedereen zich nog wel zal herinneren uit zijn kinderjaren, en ook van later: “gelijke noemers maken” of “gelijknamig maken” en ook “delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde”. Braaf toegepast bleef dit laatste voor veel rekenaars een soort adacadabra, dat je maar gewoon domweg moest toepassen om het juiste antwoord te vinden.

De uitleg van a/b : x/y = a/b · y/x =ay / bx komt er geloof ik op neer dat je van de deling een breuk maakt met a/b in de teller en x/y in de noemer.

Dus (a/b) / (x/y)

Dan ga je teller a/b en noemer x/y met y vermenigvuldigen     (y · x/y = x)

Dan krijg je (y · a/b) / x

Vervolgens vermenigvuldig je teller en noemer met  1/x      (x · 1/x = 1)

De breuk wordt: ((y · a/b) · 1/x) / 1= a/b · y · 1/x =  a/b · y/x

Daar worden echter achter elkaar even een heleboel rekenregeltjes toegepast. Zou het op die manier duidelijker en begrijpelijker geworden zijn?

Met getallen en horizontale breukstrepen is het vast wel inzichtelijker te maken.

 

 

De regel werkt dus en is als zodanig niet een achterhaald relikwie zoals Mijnheer van Dalen, maar voor de hand liggend is hij niet, zeker niet qua uitleg.

Natuurlijk, het inzicht “delen door 2 is vermenigvuldigen met 1/2” geeft het adagium dat delen door een getal neerkomt op vermenigvuldigen met het omgekeerde een sterke rekenkundige status, zij het dat dat omkeren in zo’n geval een rekenkundige handeling is die niet voor iedere rekenleek duidelijk is. Delen door ½ is vermenigvuldigen met 2, maar is het voor iedereen duidelijk wat het omgekeerde van ½ is?

En die regel lijkt trouwens sterk op zoiets als “aftrekken van een getallen is optellen van het tegengestelde”, maar dat is echt een theoretische regel die in de dagelijkse praktijk niet functioneert.

Op de middelbare school natuurlijk wel, want 5 – (-2) = 5 + 2 = 7.

En tegenwoordig gaat het geloof ik dus zo:

a/b : x/y = ay/by : bx/by = ay / bx.

Je maakt de breuken gelijknamig en deelt teller door teller (en het lijkt wel: noemer door noemer, dat is dan 1 en dat valt weg).

Het lijkt op: a/b + x/y = ay / by + bx / by = (ay + bx) / by

En natuurlijk: a/b - x/y = ay / by - bx / by = (ay - bx) / by

(Opnieuw: gelijknamig maken. Alleen: de noemers worden nu niet opgeteld of afgetrokken…)

(En hé: a/b · x/y = ax / by, alweer die noemer by…)

Hoe leg je uit dat a/b : x/y = ay/by : bx/by = ay / bx?

Je deelt de pizza in b stukjes en elk stukje nog eens in y stukjes, dan heb je by stukjes.

Als je a van die b-stukje hebt, dan heb je daarna ay van die by-stukjes.

ay/by : bx/by is de vraag waarmee je het aantal by moet vermenigvuldigen om het aantal ax te krijgen, analoog aan p : q is het getal waarmee je q moet vermenigvuldigen op p te krijgen ( p/q, want p/q . q = p)

Anders gezegd:  hoe vaak gaat bx op ay?

Even met getallen dan maar:

5/7 : 2/3 veranderen we dus in 15/21 : 14/21

De taart is in 7 stukken verdeeld en die 7 stukken elk in 3 stukken: totaal 21 stukken.

We hadden 5 1/7e-stukken en dat zijn nu 15 1/21e-stukken.

Met welke factor moeten wie de 14 1/21e-stukken vermenigvuldigen om die 15 1/21e-stukken te krijgen?

Het antwoord is: 15/14 keer.

Of anders gezegd: waarmee moet je 14/21 vermenigvuldigen om 15/21 te krijgen?

Een breuk bestaat niet voor niks uit een teller (boven de streep) en een noemer (onder de streep).

a/b betekent dat je een aantal van a stukken 1/b hebt:  a · 1/b

Als je twee gelijknamige breuken optelt, bijvoorbeeld ay/by + bx/by, dan tel je dus ay stukken 1/by op bij bx van die stukken ofwel ay · 1/by + bx · 1/by = (ay + bx) · 1/by.

Als je twee gelijknamige breuken deelt , dan wil je weten waarmee je de tweede breuk moet vermenigvuldigen om de eerste te krijgen:

a/y : b/y = x  houdt in:  x · b/y = a/y. Dan is x = a/b  want a/b ·  b = a

(waarmee vermenigvuldig je b stukken 1/y om a stukken 1/y te krijgen?).

Ik vind dat steeds terugkomen van die gelijknamige noemers eigenlijk wel aardig en voor mijn gevoel is het delen van breuken met de nieuwe manier op een wat elementairder niveau plausibel te maken dan op de vroegere manier.

 

Er is wat mij betreft dus niets tegen om die ijzeren wet van vroeger te vervangen door een nieuw principe.

In ieder geval, die oude ijzeren wet heeft geen grotere rechtsgeldigheid omdat het nu eenmaal een oude ijzeren wet is. Meneer van Dalen, volgens Bartjens, rekenconst…, we hebben in de rekengeschiedenis zo al heel wat achter ons gelaten wat wel klopt(e) maar nu minder opgeld doet.

Het is al veel van die oude ijzeren wetten vergaan zoals de old soldiers: They just fade away, zij het dat historische wiskundige en rekenkundige genootschappen ze soms weer opdiepen om er van te genieten, want er zit soms veel fraais bij, al zijn ze niet meer zo bruikbaar of soms achterhaald.

Toch lijkt het er op dat er in het reken- en wiskundeonderwijs een heftige strijd gevoerd wordt tussen enkele groepen die elkaar op leven en dood bestrijden als het gaat om oude ijzeren regels als “Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde”.

Het lijkt daarbij meer om of tegen personen (en instituten) te gaan dan om verdraagzaamheid en argumenten om van de stijl waarop de strijd gevoerd wordt maar te zwijgen.

Of misschien is dat schijn en zijn de (enkele?) verdedigers van deze oude ijzeren regels alleen nog maar bezig met een achterhoedegevecht? Ze zijn wel vasthoudend.

Is het echter nou zo'n halszaak? Wat doet het er toe?
Als de leerlingen nou eindelijk maar eens wat beter zouden gaan rekenen!

En nieuwe tijden brengen straks wéér nieuwe veranderingen en discussies.

Binomium van Newton

De Driehoek van  Pascal leent zich heel goed om het Binomium van Newton te laten zien.

Ja, soms vind je nog wat leuke fröbelwerkjes van vroeger...

Getallen waarvan de som gelijk is aan het product.

Een paar jaar geleden lanceerde een (wiskunde)leerboekenuitgever een Denkertje: van welke getallen is de som gelijk aan het product?  Je kon je oplossing inzenden en zo meedingen naar een prijs. Mijn oplossing van dit probleem ging als vogt (maar kwam niet in aanmerking voor die prijs):

 

a + b = a · b

 

Welke paren getallen a  en  b zijn er te vinden die voldoen aan deze eigenschap?

 

Behalve 2 + 2 = 2 · 2  valt je natuurlijk meteen  0 + 0 = 0 · 0 in.

 

Maar zijn er meer natuurlijke getallenparen, of misschien zelfs gehele getallenparen te vinden die aan deze voorwaarde voldoen of zijn het alleen niet-gehele rationele getallen, en welke getallen nog meer?

 

We herleiden de vorm:

a + b = a · b

a = a · b - b

a = b (a – 1)

b = a / (a – 1)  of b = 1 + 1 / (a – 1)

 

Een bekende orthogonale hyperbool.

de grafiek:

Gezien het asymptotisch gedrag is snel te zien dat deze grafiek niet door andere roosterpunten gaat dan (0,0) en (2,2). Er zijn dus geen andere paren gehele getallen te vinden die aan de eigenschap voldoen.

 

Verder is in te zien dat de beide getallen positief zijn of één van beide negatief. Beide negatief komt niet voor, want de som van twee negatieve getallen is negatief maar het product positief.

 

Als de beide getallen positief zijn dan ligt het ene getal tussen 1 en 2 en het andere getal is altijd groter dan 2.

 

Een paar getallenparen zijn  3 en  1 1/2  , 4 en  1 1/3 ,
in het algemeen dus  n  en  1 + 1 / (n - 1).

 

Als één van beide getallen negatief is, dan ligt het positieve getal tussen 0 en 1 en is de modulus van het negatieve getal altijd groter dan het positieve getal.

 

Een paar getallenparen met een positief en een negatief getal  zijn  -1 en  1/2 ,  -3  en  3/4  ,

dus in het algemeen  n  en  –n / (-n + 1)  met  n < 0.

 

Neem je  a = 1,1  dan is  b = 11 en zo krijg je ook de paren  1,01 en  101 ; 1,001 en  1001 enz.

Bij  a = 1,2  krijg je  b = 6  en achtereen volgens  1,02  en  60 ; 1,002  en  600 enz.

 

Een stapje verder: paren van twee (al dan niet gehele) rationale getallen.

 

Als a = p / q   is  b = (p / q) / (p / q – 1) = (p / q) / ((p - q) / q)) = p / (p – q)                    
(p geheel en q geheel, q ≠ 0)

 

Dit lever het inzicht op dat als van een breuk de teller 1 groter is dan de noemer, het andere getal geheel en  positief is (en 1 groter dan de noemer) en als de teller 1 kleiner is dan de noemer, het tweede getal geheel negatief is (en 1 kleiner dan het tegengestelde van de noemer)

 

a = (q + 1) / q  geeft  b = q + 1 en  a = (q – 1) / q  geeft  b = - q + 1

 

Zo ontstaan paren als  14/13  en  14  en  13/14  en  -13. Dit is weer oneindig te variëren.

 

Als  p  en  q  onderling ondeelbaar zijn en het verschil is niet 1 dan krijgen we twee breuken:

 

Voorbeelden zijn:

 

17/13  en  17/4    (als p > q dan zijn beide breuken positief en de tellers zijn gelijk)

 

13/17 en  -13/4    (als p < q dan zijn de paren tegengesteld van teken en de tellers zijn (op het teken na) gelijk)

 

( als p/q < 0  dan zetten we het teken voor de p en werkt de formule natuurlijk ook: 
-13/17  levert als tweede 13/30)

 

En als één van de getallen een wortel is?

 

a = √p  geeft na herleiding  b = p / ( p – 1 ) + √p / (p – 1)
 

Dit levert meteen het  fraaie paar  √2  en  2 + √2  op.

p = ½  levert na herleiding  ½√2  en  -1 - √2  op.

p = 3  levert het paar  √3  en  1½ + ½√3  op.
 

Zo zijn er oneindig veel paren te vormen, waarvan de ene een tweedemachtswortel uit een natuurlijk getal, dat geen kwadraat is, is en de andere een getal bestaande uit een rationaal getal plus een deel van dezelfde wortel.

 

Merk op dat het getal onder de wortel en het rationale deel van het tweede paar zelf ook weer voldoen aan de eigenschap waar het hier om gaat, het paar p en p / ( p – 1 ) , zoals 3 en 1½

 

Er zijn nog imaginaire en complexe getallen. Die kunnen via eenzelfde procedé worden onderzocht.

Enkele resultaten.

 

Voor de hand ligt  het paar  1 + i  en  1 – i.

 
Als  a = iy  dan is   b = (- y² + iy) / (-y² – 1)
 

Dat levert bijvoorbeeld het paar  i  en  1/2 - 1/2i  op.

 

Als a = x + iy   dan is  b = (x² – x + y² – iy) / ( (x – 1)² + y²)

Dat levert paren als 2 + i en   1½ - ½i  en  2 – i  en  1½ - ½i

En zo kun je ook nu weer oneindig doorgaan.

Maar na het vinden van zoveel mogelijkheden laten we de zoektocht hier eerst maar eindigen.

 

 

 

 

Van 2n naar n-kwadraat, Proizvolov nader beschouwd.

Proizvolov’s Identity.

Neem een even getal, bijvoorbeeld 8.

We gaan bij het aantonen van het theorema van Proizvolov vervolgens uit van de

getallenrij 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Kies willekeurig 4 getallen uit deze rij en zet die in volgorde van klein naar groot in de eerste rij van de volgende tabel:

2	3	6	8

Zet de overblijvende getallen van groot naar klein in de tweede rij:

2	3	6	8
7	5	4	1

We nemen nu het absolute verschil of afstand (“grootste min kleinste”) tussen de twee getallen die boven elkaar staan:

2	3	6	8
7	5	4	1
5	2	2	7

Tel deze verschillen op: 5 + 2 + 2 + 7 = 16

16 is het kwadraat van 4 en het dubbele van 4 is 8.

Zo zijn we weer uit bij het getal waar we mee begonnen.

Kijk even naar de laatste optelling. Die ontstond uit 7 – 2 + 5 – 3 + 6 – 4 + 8 – 1

Anders geschreven: 8 + 7 + 6 +5 – (4 + 3 + 2 + 1)

Of nog anders: 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 – 2 x (4 + 3 + 2 +1 )

Dat is ½ x 8 x (8 + 1) – 2 x ½ x 4 x  (4 + 1) = 4 x 8 + 4 x 1 – 4 x 4 - 4 x 1 = 2 x 4 x 4 – 4 x 4 = 4 x 4

Het is de vraag of het toeval hier een rol speelt of dat bij elke keuze van de 4 getallen in de eerste rij van de tabel de verschillen steeds bestaan uit paren waarvan de eerste term een getal uit de rij 8, 7, 6, 5 is en de tweede term uit de rij 1, 2, 3, 4?

Met andere woorden: kan het niet voorkomen dat de getallen uit de rij 8, 7, 6, 5 boven elkaar komen te staan?

Stel, dat dat bij een bepaalde keuze x en y uit 8, 7, 6, 5 wel zou kunnen:

	x	?	?
?	y

Dan zouden op de vraagtekens drie verschillende getallen moeten staan die groter zijn dan x resp. y en dus ook uit de rij 8, 7, 6, 5 afkomstig zijn.

Dat levert een tegenspraak op want hoe je x en y ook kiest uit de rij 8, 7, 6 of 5, er kunnen hooguit twee groter zijn.

Deze tegenspraak hangt niet van de plaats waar x en y boven elkaar zouden kunnen staan.

Proizvolov’s theorema komt in het algemeen hier op neer.

 

Ga uit van het even getal 2n en de getallenrij 1, 2, 3, 4, …, 2n.

We gaan nu uit van een 3 x n tabel, waarin al deze getallen precies één keer voorkomen en bovendien geldt:

x₁ < x₂ < … < x_n-1 <  x_n   en y₁ > y₂ > … > y_n-1 > y_n

x1	x2	…	xn-1	xn
y1	y2	…	yn-1	yn
|x1 – y1|	|x2 – y2|			|xn – yn|

Aan te tonen is dat er geen van de getallen n+1, n+2, …, 2n-1, 2n boven elkaar staan.

		…	x	?
?	?	?…?	y

Stel dat x en y wel getallen zijn uit de rij n+1, n+2, …, 2n-1, 2n.

Op de vraagtekens moeten nu 2n – 1 getallen komen te staan die groter zijn dan x resp. y. en dus uit de rij n+1, n+2, …, 2n-1, 2n komen.

Maar er zijn nog maar hooguit 2n-2 van die getallen mopgelijk, dus dat kan niet.

Er staat dus steeds een getal uit de rij 1, 2, .., n en een getal uit de rij n+1, n+2, .. , 2n in eenzelfde kolom.

Dat betekent dat

|x₁ – y₁| + |x₂ – y₂| + … + |x_n – y_n| herschreven kan worden tot

n+1 + n+2 + … + 2n – (1 + 2 + … + n), want elk absoluut verschil bestaat uit een getal uit de rij

n+1, n+2, …, 2n en een getal uit de rij 1, 2, …, n.

 

n+1 + n+2 + … + 2n – (1 + 2 + … + n) =

1 + 2 + .. + n + n+1 + n+2 + … 2n – 2 x ( 1 + 2 + ... + n) =

½ x 2n x (2n + 1) – 2 x ½ x n x (n + 1) =

2n² + n – n² – n = n²

 

Zo komen we van 2n op n volgens het theorema van Proizvolov.