Weg met de GR! En dan?

de links zijn verwijzingen naar bronnen en kunnen bij het lezen overgeslagen worden.

Wouter van Joolingen, directeur van het Freudenthal Instituut, heeft tijdens het Noordhoff Tweede Fase Congres in november een steen in de overigens lang niet rimpelloze vijver van de grafische rekenmachine gegooid. In de openingsrede “Waarom Wiskunde” riep hij op om de grafische rekenmachine op zo kort mogelijke termijn af te schaffen. http://vanjoolingen.nl/?p=460

Overigens, over het onderwerp “Waarom wiskunde” is een paar jaar geleden in het forum op de oude website van de NVvW een flinke discussie geweest, maar helaas, de meeste bijdragen zijn met het verdwijnen van de oude site verloren gegaan.
http://aowiskunde.blogspot.nl/2014/01/het-echte-doel-van-de-wiskunde.html
Maar dan die GR. Wouter van Joolingen stelt: “Het wordt alleen op school gebruikt, is onhandig en is volkomen verouderd”. 

ALLEEN OP SCHOOL?

Dat woordjes “alleen” vraagt volgens mij enige nuances.  Als je kijkt op

http://en.wikipedia.org/wiki/Graphing_calculator#Graphing_calculators_in_education
dan zie je een overzicht van hoe de grafische rekenmachine in verschillende landen op verschillende wijze wordt gewaardeerd en gebruikt. Zo’n bizar geval is de GR internationaal gezien blijkbaar niet. De toepassing en de wenselijkheid daarvan varieert nogal. Het gebruik blijkt zich ook niet overal te beperken tot het voortgezet onderwijs. Het blijft daarbij een didactische keuze: hoe pas je zo’n instrument in in de manier waarop je wiskunde aan de leerling wilt overbrengen. Er is ongetwijfeld meer over te zeggen dan alleen “afschaffen”, ik vond dit nogal kort door de bocht van Wouter van Joolingen. Zeker als je in de klas ervaren hebt hoe zo’n instrument ook een prachtig hulpmiddel kon wezen.

GR ONHANDIG?

Of het instrument onhandig is? Dat zou je niet zeggen als je leerlingen ermee bezig ziet. Ik vind dat net zo’n stelling als “wiskunde is moeilijk” en verder ook: ICT gebruiken, computer, laptop of tablet, daar gaan een aantal leerlingen net zo onhandig mee om en is denk ik in een aantal klassensituaties ongetwijfeld ook net zo “onhandig”.

NA SCHOOL NOOIT MEER GEBRUIIKT?

En of ze de GR na school nooit meer tegenkomen? Ik kom niet op hogescholen en universiteiten om daar na te kunnen gaan of en in hoeverre er door studenten gebruik wordt gemaakt van rekenmachines überhaupt, laat staan de GR. Maar als ik zo hier en daar m’n oor te luister leg dan verneem ik dat en links en rechts bij tentamens wordt vermeld dat ze soms wel en soms niet zijn toegestaan, dus verdwenen zijn ze zeker dus niet. Ik vermoed dat menig exacte student, die er op het VO de nodige vaardigheid in verwierf, het instrument, voor eigen gebruik zeker, bij de hand blijft houden, misschien dan wel totdat andere hulpmiddelen z’n rol kunnen overnemen.

Net zo goed als we ons vroeger met de rekenliniaal bij de hand door de studiejaren
heen rekenden zal de GR menig student nu als trouwe metgezel begeleiden.
En hoe dat in het buitenland zit?  Ik kwam het volgende verhaal op internet tegen:
http://www.uiowa.edu/~examserv/mathmatters/calculator_parents.html
Hetzelfde beeld dat ik ook hier tegen kwam: de GR is een aanwezige werkelijkheid, die niet uitgesloten wordt, maar waar verstandig mee omgegaan dient te worden en die niet kan vervangen wat een student aan wiskunde vaardigheden zelf moet weten en kunnen.
Bij googlen op “Graphic calcultor and university” kom je  meer tegen wat, althans voor de USA, de woorden van van Joolingen logenstraft: https://www.capilanou.ca/math/Graphing-Calculator-Policies/ .

GR VEROUDERD?

En “volkomen verouderd”? Als je kijkt naar de snelle ontwikkelingen met tablets en apps, courseware met ingebouwde hulpmiddelen op laptops en computers en beschikbare tools als, zoals Wouter van Joolingen ze  ook noemt: Wolfram Alpha of Geogebra, dan kun je dat misschien stellen. Maar op die manier is ook een gewone rekenmachine verouderd vergeleken bij een tablet of zo.

Aan de andere kant, de ontwikkelingen van de GR staan niet stil: meer geheugen, betere schermen, een toenemend aantal tools, oplaadbaar, programmeerbaar, koppelbaar aan het internet en gemakkelijk mee te nemen en onmiddellijk te gebruiken. Als het product inderdaad zo achter de feiten aan zo lopen, zouden de producenten niet zo op het vinkentouw zitten met steeds weer vernieuwingen en verbeteringen en zouden nieuwe producenten zich ziet melden om mee te profiteren van een kennelijk succesproduct.
Het is niet waarschijnlijk dat de internationale concerns die zich met de productie van rekenmachines bezighouden erg veel of uitsluitend belang hebben bij de verkoopbaarheid van hun producten in dit kleine landje, zij produceren voor de hele wereld en de afzet is blijkbaar zodanig dat het de investeringen waard is om te blijven innoveren en bij de tijd te blijven. Ik zet dus mijn vraagtekens bij “verouderd”.
Aan de andere kant, dat vernieuwen en verbeteren veroorzaakt wel een steeds grotere discrepantie tussen wat van en GR didactisch gewenst is en wat hij in toenemende mate  meer kan en de leerling uit handen neemt, en daarmee steeds meer op een CAS gaat lijken. Dit is een tendens die de GR wat mij betreft uit de wiskundeonderwijsmarkt prijst, daar waar wij liever zien dat de leerlingen zelf kennis, inzicht en vaardigheden opbouwen. Het apparaat wordt door z’n kunnen onbruikbaar in het leerproces.

GEEN GR, WEL ICT.

Wouter van Joolingen pleit dus tegen de GR maar wel voor ICT. Hij ziet daarvoor goede toepassingen in het schoolexamen.  Ik schreef al eens: “de sectie en de wiskundedocent heeft een redelijk grote vrijheid om het SE in te vullen. In dat SE kan de nodige ruimte geboden worden aan het werken met en het toetsen van wiskundige kennis en vaardigheid met behulp van ICT. Daarnaast, een PO of een PWS geven ook de ruimte om in dit verband aardige dingen te doen. Een beetje googlen levert de nodige mooie voorbeelden op”.

http://aowiskunde.blogspot.nl/2013/10/de-gr-in-het-ce-en-ict-in-het-se.html
Afgezien daarvan: ik woon op korte afstand van de Universiteit Twente en kom regelmatig langs lokaliteiten vol computers, terwijl buiten vrijwel iedere student een laptop meetorst. Die zullen niet alleen voor tekstverwerking gebruikt worden of om e-mails te versturen. In tegendeel, ik denk dat er veel gebruik wordt gemaakt van ICT, een programma als Mathematica en andere CAS-toepassingen, en het is daarom niet slecht om in het VO al kennis te laten maken met tools met CAS-omgevingen.
Het doet me trouwens met weemoed terugdenken aan Derive, waarmee ik in de klas via een afgedankte computer toch nog hele leuke dingen aan mijn leerlingen kon laten zien.
In 1995 Hebben we met een groep van ruim 20 docenten geprobeerd, om Derive ook leerlingtoegankelijk te maken met het construeren van 15 practica voor de bovenbouw onder de titel “Wiskundelessen met Derive”. Maar andere CAS-programma’s hebben Derive ingehaald, terwijl in 1995 de computer nog niet zo alom inzetbaar en aanwendbaar was dat leerlingen deze practica konden uitvoeren.

EXAMENS ZONDER GR?

Het zal zeker goed mogelijk om goede examens op te stellen zonder dat daar de GR een rol in speelt, althans als het om wiskunde B gaat. Ik heb de HAVO- en VWO-examens van 2014 bekeken en daarin blijkt, met name in het VWO, de GR een ondergeschikte rol te spelen. Slechts enkele vragen maakten het gebruik van de GR noodzakelijk en soms was dat gebruik wiskundig eigenlijk ook niet eens zo relevant. 

http://aowiskunde.blogspot.nl/2014/05/examen-ce-vwo-wiskunde-b-en-de-gr.html
Bij het HAVO is dat wat minder het geval, maar ook daar kan de rol van de GR aan banden zo niet uitgesloten worden.
http://aowiskunde.blogspot.nl/2014/05/het-centraal-examen-havo-wiskunde-b-en.html
Een duidelijke vraagstelling, en als de GR niet van het CE uitgesloten wordt, het duidelijk aangeven met een symbooltje dat de GR niet mag worden gebruikt, kunnen helpen te voorkomen dat een leerling toch naar de GR grijpt waar het niet de bedoeling is.
Ook het juist niet met punten waarderen van het gebruik van de GR op zich zou de leerlingen kunnen ontmoedigen om te pas en te onpas naar het instrument te grijpen.
http://aowiskunde.blogspot.nl/2014/04/vermelde-gr-opties-geef-er-geen-punten.html

EN DE GEWONE REKENMACHINE DAN?

Vraag is wel nog of ook de niet-grafische ”gewone”  rekenmachine onder de ban valt die Wouter van Joolingen heeft uitgesproken. Ook deze instrumenten blijken steeds meer te kunnen, mede dankzij naturel display en dergelijke, dan wat wenselijk en toelaatbaar is. Een aantal berekeningen met breuken en wortels, die in feite tot de basisvaardigheden van de B-leerlingen dien te behoren, worden tegenwoordig feilloos door de “gewone” rekenmachine uitgevoerd .

WISKUNDE A.

Ik voorzie wel problemen wat betreft wiskunde A. Dat vak zie ik niet zitten zonder gebruik van een goede grafische rekenmachine. Gezien de populatie leerlingen bij wiskunde A (en C) is het niet aan de orde om hen zoveel wiskundige vaardigheden bij te brengen dat zij zonder dat apparaat kunnen, of het curriculum moet zodanig beperkt worden dat het eindniveau eronder gaat leiden. Hoe dat in de ogen van Wouter van Joolingen moet gaan worden, daar gaf zijn rede in Groningen geen zicht op.

Voor sommigen is wiskunde A een mislukt vak.
Prof. Jan van der Craats heeft daar het nodige over geschreven
https://staff.science.uva.nl/j.vandecraats/VU13112012.pdf
en ook mede gezien de aansluitingsproblematiek aanbevelingen gedaan, waarvan volgens de critici te weinig terug te vinden is in de cTWO-plannen die resulteerden in het nieuwe leerplan vanaf 2015.
Ik kwam in dit verband een treffende opmerking tegen in de WiskundE-brief waar gesteld werd om de niveauverlaging ook eens te bekijken in het perspectief van de deelname aan het VO (en de vervolgopleidingen) in de afgelopen 40 jaren flink is toegenomen.” Is het dan raar dat "ze" nu flink wat minder weten dan toen?”.
Dat perspectief: de enorme toename van het aantal leerlingen in het VO en de verschuiving van leerlingen van lagere naar hogere onderwijsvormen, heeft z’n gevolgen gehad voor beleid en niveau. Meer leerlingen wiskunde laten doen en een kans geven betekent aanpassen.
Toen ik in 1964 examen deed, deed ongeveer de helft het B-examen en de anderen het A-examen: zònder wiskunde. Weliswaar kwam er aan het A-examen het nodige rekenwerk te pas bij de handelsvakken, maar toch: veel van die leerlingen hadden in de derde klas met genoegen algebra en meetkunde achter zich gelaten. En dt rekenen ging ze daarna niet allemaal geweldig af.
In 1987 besloot staatsecretaris Ginjaar-Maas om de nieuwe vakken wiskunde A en B met en stoom en kokend water in te voeren en tevens wiskunde voor iedereen verplicht te maken. Waar er vroeger nog ontsnappingswegen waren om òf de talen, òf de exacte vakken te ontlopen, werd er hiermee nu in feite toch min of meer een stokje voor gestoken.
(Dat wil zeggen: via de mavo kon je alsnog naar 4H en via de havo alsnog naar 4V om zwaar onvoldoende vakken te kunnen vermijden).

WISKUNDE VERPLICHT, NIVEAU OMLAAG

Ik vond in mijn archief een (nu bijna profetisch) stuk dat ik indertijd in Trouw geschreven heb, waarbij ik mijn vraagtekens zette bij die verplichting.

http://aowiskunde.blogspot.nl/2014/12/een-artikel-uit-1987-over-verplichte.html
Wiskunde A was dan wel bedoeld voor minder exacte leerlingen, het bleef, zeker in eerste opzet, echt wiskunde. In 1987 werd, na deelgenomen te hebben aan het HEWET-experimnent en kennis genomen hebbende van de plannen met de niveauverlagende verlengde basisvorming, al geconstateerd dat ook dat nieuwe vak niet voor elke leerling was weggelegd.
De wal heeft in de loop der jaren echter het schip wel gekeerd: de leerlingen zijn niet beter geworden, het niveau van wiskunde A wel minder, er kwam zelfs A1 naast A12, zònder CE.
Die vraagtekens van toen zet ik nu bij de ambities die van der Craats had bij zijn adviezen ten aanzien van verbetering van wiskunde A. Want als je wiskunde verplicht wilt houden dan zal je een vorm van wiskunde moeten (blijven) aanbieden die ook voor zwakkere leerlingen te doen is. Alle prachtige verhalen over de mankementen van het huidige wiskundeonderwijs ten spijt, er blijft altijd een grote groep leerlingen die maar tot op zeker hoogte wiskunde (en rekenen) aankan en binnen hun kunnen zo goed mogelijk zullen moeten worden voorbereid op een maatschappij waarin deze vakken toch expliciet hun aanwezigheid doen gelden.
Dat vraagt een ander wiskunde- en rekenonderwijs dan een al te abstracte en algoritmische aanpak.
Of daar de GR een, blijvend, hulpmiddel bij kan zijn waar baat bij gevonden kan worden? In ieder geval zijn rekenhulpmiddelen en ICT-technologie zodanig in de maatschappij geïntegreerd geraakt dat leerlingen daarmee vertrouwd dienen te worden gemaakt. Niet zozeer de rekenvaardigheid (afgezien nog van hoe je dit begrip definieert) zelf als wel het omgaan met en inzicht in getallen en hoeveelheden, de taal van cijfers, zoals die in de wereld om ons heen op ons afkomt, dient daarbij uitgangspunt te zijn.

GREXIT EN HERDRUK?

Ten slotte. Er staat ons in 2015 een visie van het CvTE te wachten over hoe de GR haar plaats zal krijgen in de nieuwe examens. Het begint er na zo’n ferme uitspraak van de directeur van het FI naar uit te zien dat er geen plaats meer zal zijn voor de GR in het CE. Sommigen spreken al over de “grexit”. Het is daarbij wel vreemd dat de boekenschrijvers al met de eerste nieuwe delen van hun methoden zijn uitgekomen, waarin als vanouds toch weer gewoon de bekende plaats voor de GR is ingeruimd.

Verwarrende tijden. We wachten af en zullen zien..

Andere blogs waarin ik het  (o.a.) over de GR had:

http://aowiskunde.blogspot.nl/2013/07/de-nvvw-de-grafische-rekenmachine-en.html
http://aowiskunde.blogspot.nl/2013/11/de-rrr-weer-in-de-maand-rekenen.html
http://aowiskunde.blogspot.nl/2014/06/rekenhulpmiddelen-in-het-vo.html

 

 

 

 

 

 

Een artikel uit 1987 over verplichte wiskunde

Op 25 maart 1987 verscheen een artikel van mijn hand over de invoering van de vakken wiskunde A en B in het VWO en de verplichte keuze van één van beide.

Ik vond het onlangs terug in het archief.

Leuk om nog eens te lezen, omdat het hier en daar bijna profetisch is...

(klik rechts en kies: in een nieuw tabblad (of venster) openen en vergroot met het+-symbooltje)

Fouten, misverstanden of spraakverwarring? deel II

Over vraag 5 in het eindexamen VWO wiskunde C (“Spiraalvormen”) ontwikkelde zich in het NVvW-examenforum (ook) een discussie die over de formulering van deze vraag gaat.

Het blijkt dat waar gevraagd wordt naar de exponentiële afname van de afstanden tot het middelpunt ook het idee zou kunnen ontstaan dat het gaat over de exponentiële afname van de verschillen van die afstanden.

Dit naast het in de vorige blog besproken punt, waar het woord groeifactor in de context van exponentiële afname een verwarrende term wordt genoemd. Dat punt komt hier ook weer terug, met verschillende visies (en inderdaad een leerling die tot hetzelfde antwoord komt als Guus Balkema) (zie vorige blog).
De kritiek op de formulering werd als volgt in het forum besproken (de bijdragen zijn geanonimiseerd, het forum is alleen voor NVvW-leden die inloggen in te zien).

A: "De afstanden nemen af met een vaste groeifactor"
Is dit correct geformuleerd ??
Je zou denken dat de verschillen een exponentiële rij vormen.

Een leerling werd op door de formulering in zoverre op het verkeerde been gezet, dat ze het omgekeerde van de bedoelde groeifactor berekende.
Een andere leerling werkt idd met de verschillen
Hebben deze leerlingen TE goed gelezen ?

B: Formeel klopt het wat er staat. Als de afstanden exponentieel dalen, dalen de afnames ook exponentieel, en wel met dezelfde groeifactor (verschilrij van een meetkundige rij). Dat komt hier niet zo netjes uit, omdat er te weinig decimalen zijn weergegeven, maar een leerling die gaat kijken of de afnames verlopen volgens een vaste groeifactor komt dus in principe op hetzelfde antwoord. Maar ik deel natuurlijk de kritiek, want de schrijvers van deze vraag hebben het anders bedoeld, zie ook het CV.

C: Ik vind de formulering van de tekst boven vraag 5 ongelukkig, maar niet per se incorrect.
Er wordt gesproken over "afstanden in de tabel", maar niet per se de afstanden tussen de meetwaarden in de tabel. In de 2e rij van de tabel staan immers afstanden. De "afstanden in de tabel" zouden dus kunnen slaan op de weergegeven afstanden tot punt M of op de afstanden tussen de meetpunten in. In beide gevallen komt er hetzelfde getal uit voor de groeifactor, zoals hierboven betoogd.
Verder is in de inleidende tekst in het voorbeeld duidelijk gemaakt wat met deze (ongelukkige) formulering bedoeld wordt. Er staat "De afstand van het midden tot zo'n snijpunt neemt bij benadering steeds toe met dezelfde groeifactor." En vervolgens laten zij zien dat deze groeifactor zit tussen de afstanden tot punt M.
Hoewel te slordig geformuleerd vind ik het te ver gaan om te zeggen dat er een fout in het examen zit.

A: Het gaat me niet zozeer om het woord afstanden, maar om de uitdrukking NEMEN AF MET EEN VASTE GROEIFACTOR. Ze nemen af met een vast percentage, en er is een vaste groeifactor waarmee steeds het volgende getal kan worden berekend, maar de gebruikte formulering is m.i. niet correct.

C: Dat vind ik niet.
Het neemt af? Ja.
Hoe verloopt deze afname? Met een vaste factor.
Taalkundig zou het misschien wel correcter kunnen, maar ik vind de vraag hiermee niet echt fout.
Ik vermoed dat ik dezelfde zin regelmatig in de klas roep.

D: Ik denk (mosterd na de maaltijd?) dat A gelijk heeft, taalkundig gezien. Iets "neemt af met een percentage" en "er is een groeifactor". Ik moet alleen de eerste leerling nog tegenkomen die zoveel taalgevoel heeft dat-ie hierdoor (nota bene) in de war zou raken. De intentie van de vraag lijkt volstrekt helder, zoals C ook opmerkt. En ik denk dat ook ik in de klas dit soort dingen rustig zeg zonder algehele onrust te veroorzaken o.i.d.
Ergo: ik denk niet dat we dit een fout in het examen hoeven te vinden.

E: Ik vond de intentie helemaal niet helder. Ik heb zelf eerst flink zitten puzzelen wat de bedoeling zou kunnen zijn. ben het dus eens met A.

Samenvattende conclusie:

Een mooie opgave, maar hoe komt het dat die bij leerlingen en bij wiskundigen voor verwarring zorgt? Als we dat weten, kunnen we zulke problemen in de toekomst vermijden. Wie denkt hier het verlossende woord te kunnen spreken, wordt uitgenodigd actief aan de discussie deel te nemen en zijn inzicht aan deze blog toe te voegen.

 

Fouten, misverstanden of spraakverwarring? CE VWO wis A vraag 5, 6 "Spiraalvormen"

In WiskundE-brief 684 van 2 november (http://www.wiskundebrief.nl/) kaartte Guus Balkema de opgave Spiraalvormen uit het CE VWO wiskunde C, 1^e tijdvak (http://www2.cito.nl/vo/ex2014/VW-1026-a-14-1-o.pdf) aan.
Voor het correctievoorschrift, zie http://www2.cito.nl/vo/ex2014/VW-1026-a-14-1-c.pdf
Volgens hem zat er een fout in dit examen en zelfs beweerde hij dat foutie­ve antwoor­den goed gere­kend en correc­te antwoor­den fout gere­kend zouden zijn. Of nog sterker, dat ieder ant­woord correct zou zijn.
Zijn beschouwingen zijn interessant genoeg om op in te gaan.

Tijdscontext.

Over deze vraag is in het examenverslag in Euclides 90, 1 al opgemerkt:
"In de context Spiraalvormen werd onder andere een beroep gedaan op het kunnen rekenen met groeifactoren. Het omrekenen van groeifactoren is een veelgevraagde activiteit in examens, maar dan meestal in een tijdscontext.
Gezien de lage p'-waarden was de transfer om deze vaardigheid in een niet-tijd-gebonden-context om te zetten een brug te ver voor veel leerlingen. Vraag 6 leverde dan ook de laagste p'-waarde van het examen op".
Op het NVvW-examenforum en in de Centrale Examenbesprekingen zijn verder geen opmerkingen over deze opgave gemaakt die daarover gaan. In het forum kwam wel naar voren dat leerlingen de bekende foute “lineaire” aanpak bij deze vragen kozen.
Ten aanzien vraag 5, waar aan de hand van een tabel waarin de afstanden van de punten tot het midden in de getekende spiraal per draaiing van 45^o afnemen met een vaste groeifactor wordt gevraagd om dit aan te tonen voor alle in de tabel genoemde punten en deze groeifactor in drie decimalen nauwkeurig te berekenen, merkt Guus Balkema in WiskundE-krant 684 op:

"Factor of groei­factor?
Neem eens de meetkun­dige rij 1, ¹/₂, ¹/₄, ¹/₈, ...
Opeen­volgen­de termen nemen in die rij af met een factor 2. De groei­factor van de rij is dus ¹/₂. Op een vraag: "De termen in de rij nemen af met een vaste factor. Bepaal die factor in drie decima­len nauwkeu­rig" is het correc­te ant­woord 2.000.
Maar wat is nu het juiste ant­woord op vraag 5 van het examen?

 

De termen van de rij nemen af met een vaste groei­factor. Bepaal deze groei­factor in drie decima­len nauwkeu­rig.

De opper­vlakki­ge lezer denkt mis­schien: "Het is een dalende rij dus het moet een groei­factor kleiner dan 1 worden". De oplet­tende lezer denkt: "De termen van de rij nemen af met een vaste factor 2. Hier staat dat dat de groei­factor is". Wie heeft er gelijk?"


Groeifactor en exponentiële groei.

Nu is het onderwerp rijen geen onderdeel van het wiskunde C-programma, dus in feite valt dit betoog buiten de context van de genoemde opgave.
Maar ook het feit dat de opgave spreekt over een “groefactor” sluit een beschouwing over rijen, een discreet begrip, in feite uit. Men spreekt bij een meetkundige rij niet van een groeifactor maar van de reden of factor r = u(n+1) / u(n) met n = 0, 1, 2, 3…
Het begrip “groeifactor” is, in de VO–wiskunde zeker, per definitie gekoppeld aan exponentiële groei en heeft dus te maken met een continu proces.
In de opgave wordt dan ook gesteld: “De afstand van het midden tot zo’n snijpunt neemt bij benadering steeds toe met dezelfde groeifactor”. In het vervolg van de opgave wordt de spiraal van buiten naar binnen bekeken en nemen de afstanden af met een vaste groeifactor.
Ook in gevallen dat de groei in feite krimp is, wordt toch gesproken van groeifactor, zijnde gedefinieerd als de constante waarde N(t+1)/N(t) voor elke (reële) t.
Op een andere manier zien we het begrip groeifactor in de boeken terug bij de formule g = 1 + p/100, waarbij p het (vaste) percentage is, waarmee een hoeveelheid toe- (p > 0) of afneemt (p < 0).
Neemt iets met 10 % af, dan is p = -10 en de groeifactor g = 1 + -10/100 = 0,9.
Het is inderdaad zo dat er in het spraakgebruik uitdrukkingen voorkomen als “2 x zo groot” en “2 x zo klein”. Guus Balkema stelt dat in beide gevallen de factor van de toe- resp. afname 2 is. In de VO-wiskunde is het dacht ik communis opinio om dan te spreken van de groeifactoren 2, resp. ½.
Ik denk dat een VWO-wis-C-leerling wat dat betreft op zich in deze opgave geen echt probleem hoeft te ervaren als hij zijn zaken kende (afgezien van de eerder genoemde tijd-notie) en met 0,872 het juiste antwoord gaf.
Volgen Guus Balkema wordt een leerling die als groeifactor 1/0,872 geeft afgestraft terwijl dat antwoord volgens hem juist is terwijl de leerling die volgens het boekje 0,872 als antwoord geeft de punten krijgt, maar ze niet verdient.
Volgens mij dus niet.

Groeispiralen….

Over vraag 6 heeft Guus Balkema een stuk geschreven, waarin hij ook refereert aan correspondentie met College voor Examens en Toetsen.

Deze vraag 6 bewandelt zo ongeveer de omgekeerde weg van vraag 5. De leerlingen moeten op grond van twee gegeven punten, die 8 slagen van 45^o (één rondgang) van elkaar liggen, een nieuwe spiraal tekenen en daartoe de teruglopende afstanden van tussenliggende punten berekenen.
Het komt er op neer dat nu de groeifactor van buiten naar binnen ( 1/2 )^1/8 per 45^o is.
Het bezwaar van Guus Balkema tegen het antwoord in het correctievoorschrift blijkt naar mijn indruk te zijn, dat op grond van de inleiding op de vragen er vele antwoorden mogelijk zijn.
Daar staat namelijk dat bij een groeispiraal geldt de afstand van het midden tot zo’n snijpunt bij benadering steeds toeneemt met dezelfde groeifactor (en van buiten naar binnen dus afneemt met eenzelfde, omgekeerde, groeifactor).
Guus Balkema tekent op grond van dit principe en de zeven punten die op grond van het gegeven zijn te berekenen een aantal spiraalachtige krommen die daaraan voldoen.
Hij stelt nu dat er dus oneindig veel antwoorden mogelijk zijn, zo ongeveer net zoals er bij een toenamediagram ook oneindig veel grafieken kunnen worden getekend, die aan het toenamediagram voldoen.

… wat zijn dat eigenlijk?

Ik heb een paar redenen om dit inzicht te bestrijden.

Allereerst, terugkomend op een eerder argument, volgens mij maakt de opgave duidelijk dat hier sprake is van een continu exponentieel proces en niet van een tot 9 punten beperkt discreet proces. Daar verwijst de term groeifactor naar (en ook het naschrift van de opgave, waarin verwezen wordt naar de logaritmische spiraal, omdat de afstanden op roosterpapier waarvan de verticale as een logaritmische schaal heeft op een rechte lijn liggen).
Ten tweede geeft de spiraal in figuur 1 in deze opgave ook zonder meer aan dat er sprake is van een continu exponentieel proces zonder vreemde slingers of hoeken in de grafiek.
Volgens mij wordt in de stam van de opgave derhalve voldoende uit- en vastgelegd wat er onder een groeispiraal wordt verstaan en dus wat er van de leerling bij vraag 6 wordt verwacht.
Afgezien daarvan, het begrip “spiraal” heb ik nergens gekoppeld gezien aan de op zich fraaie figuren die Guus Balkema heeft getekend. Kijk ook maar eens op
(https://www.google.nl/search?q=spiralen&tbm=isch
Of lees wat Wikipedia over spiralen zegt: “: "Een spiraal is een curve die rond een bepaald punt draait en steeds dichter dit punt nadert of zich er steeds verder van verwijdert".
Of hieronder een citaat uit het boek ”In de Ban van de wiskunde” van Rik Verhulst. "Een groeispiraal heeft een zeer specifiek kenmerk: een raaklijn in een willekeurig punt van de spiraal snijdt de rechte door dat punt en het centrum van onder een constante hoek". Ook het artikel www.fi.uu.nl/wiskrant/artikelen/artikelen00-10/.../0401oktober_deruiter.pdf geeft een ander beeld.
Maar dat wil nog niet zeggen dat op een meer academisch niveau de zaken mogelijk anders gedefinieerd zijn dan zoals we de zaken in het wiskundeonderwijs aan onze leerlingen proberen te duiden. Dat is ook geen ramp, VO-wiskunde is inleidend en haalt wat dat betreft nog niet het onderste uit de mathematische kan. Zo diep kunnen die leerlingen nog niet reiken. En zo diep duikt men derhalve dus in de examen ook niet.

Geen goede opgave.

Dat neemt niet weg dat ik het bijvoorbeeld roerend eens ben met een opmerking in het NVvW-examenforum: “Ik vond dit een vreselijke vraag, zeker niet geschikt voor wiskunde C (leerlingen). Bij opgave 5 proberen ze nog wel het één en ander voor te doen, zodat een leerling misschien hetzelfde gaat doen bij 6, maar dat vind ik eerder een denkstap voor wiskunde A dan voor wiskunde C”.

In het HEWET-boekje ”Exponenten en logaritmen” van jaren her stonden als toepassingen enkele opgaven over de nautilusschelp en de spiraal, die verdacht veel op de examenopgaven lijken. Ik denk dat dat de beste plaats was geweest voor dit soort opgaven: als illustratie van het geleerde in de klas behandelen. Daarvoor leent zo’n context zich wondermooi!

Vragen moeten duidelijk zijn.

Guus Balkema liet weten over deze kwestie zijn ideeën op papier gezet te hebben en vervolgens als artikel aangeboden te hebben aan het blad “Euclides” van de NVvW. Helaas wordt dat niet geplaatst en dat is jammer, want één van de kernen van zijn betoog betreft het juist formuleren van (examen)vragen. En deze opgave geeft daar ook wel aanleiding toe gezien de verwarring waartoe hij bij leerlingen en ook bij collega’s leidde.

Ik denk wel dat we er als docenten en examenmakers baat bij hebben om elkaar scherp de maat te nemen bij het formuleren en evalueren van opgaven. Wat dat betreft is het jammer dat een discussie over deze examenopgaven, ook in verband met het spraakgebruik inzake exponentiële toe- en afname, niet aan de hand van een artikel in “Euclides” zal worden gevoerd.

Perspectieven.

Ten slotte: je kunt zo’n vraag bekijken vanuit verschillende perspectieven: vanuit het perspectief van een leerling, die zich de stof probeerde eigen te maken, vanuit het perspectief van de wiskundedocent die de stof probeerde over te brengen en vanuit het perspectief van een academicus die weer hoger boven de stof staat.

Het eerste perspectief bleek bij deze opgave geen blikveld op te leveren voor veel leerlingen. Toch zullen examenvragen degelijk rekening moeten houden met dit perspectief.
Het tweede perspectief staat ten dienste van het eerste perspectief om dat in de les te verbreden.
Van het derde perspectief dient men zich daarbij te allen tijde rekenschap te geven.

bronnen:

Guus Balkema (2014) Fout in het examen Wiskunde C van 29 mei 2014. WiskundE-brief 684 dd 2 november 2014, zie De wiskundE-brief op het web

Guus Balkema (2014) Groeispiralen voor Euclides. Kan aangevraagd worden door een lege email met de titel als onderwerp te sturen aan A.A.Balkema@uva.nl

N.B. Zie ook de volgende blog, waarin deze en andere kritiek op de formulering van vraag 5 aan de orde komt n.a.v. citaten uit het NVvW-examenforum.

Leuke rekenfoefjes

Kwadraten "halverwege" de gehele getallen.

 

(1½)² = (3/2)² = 9/4   = 2 ¼       = 1 · 2 + ¼   = 1² + 1 + ¼

(2½)² = (5/2)² = 25/4 = 6 ¼        = 2 · 3 + ¼   = 2² + 2 + ¼
(3½)² = (7/4)² = 49/4 = 12 ½       = 3 · 4 + ¼   = 3² + 3 + ¼

 

dus (9 ½)² is snel uit te rekenen met 9 · 10 + ¼  = 90 ¼  of  9² + 9 + ¼  = 90 ¼

vanwege       (n + ½)²  = n² + 2 · n · ½ + ( ½ )² = n² + n + ¼ = n(n + 1) + ¼

(Met dank aan David Dijkman)

 

Opvallende producenten van gebroken "rijg" getallen.

 

1 ½  · 2 2/3 = 3/2 · 8/3 = 4

2 2/3 · 3 ¾ = 8/3 · 15/4 = 10

3 ¾ · 4 4/5 = 15/4 . 24/5 = 18

4 4/5 · 5 5/6 = 24/5 · 35/6 = 28
5 5/6 · 6 6/7 = 35/6 · 48/7 = 40

Wat is er te vertellen over de rij 4, 10, 18, 28, 40, … ?

De quotiënten zijn 10/4, 18/10, 28/18,..  geven geen regelmaat.

De eerste verschillen zijn 6, 8, 10, 12, …

De tweede verschillen zijn 2,  2,  2, …

Dus er is sprake van een kwadratisch verband  x² + ax + b

x = 1 geeft   1 +   a + b = 4       dus   a + b = 3

x = 2 geeft   4 + 2a + b = 10      dus 2a + b = 6

Hieruit volgt dat a = 3 en b = 0  en dus x² + 3x als kwadratisch verband

8 8/9 · 9 9/10 = 8² + 3 · 8 = 88, reken maar na!

Om het wat anders te bewijzen:

 

Met dank aan Willem van Ravenstein.

 

Wederkerige vergelijkingen

x⁴ – 3x³ + 4x² – 3x + 1 = 0

is een even wederkerige vergelijking van de eerste soort omdat het een n-degraadsvergelijking met even graad is en de coëfficiëntenrij 1, -3, 4, -3, 1 gelezen van links naar rechts gelijk aan de coëfficiëntenrij gelezen van rechts naar links.

Zie verderop voor een algemene oplossingsmethode voor dit geval  en voor andere wederkerige vergelijkingen.

x = 1 is hier een oplossing, want 1 – 3 + 4 – 3 + 1 = 0

x – 1 /  x⁴ – 3x³ + 4x² – 3x + 1 \ x³ – 2x² + 2x - 1

                  x⁴ – x³

                -2x³  + 4x²

                -2x³  + 2x²

                            2x² – 3x

                            2x² – 2x

                                 -x  + 1

                                 -x  + 1

                                         0

en x³ – 2x² + 2x – 1 is ook weer wederkerig, maar dan oneven en van de tweede soort, omdat de coëfficiëntenrij 1, -2, 2, -1 gelezen van links naar rechts tegengesteld is aan de coëfficiëntenrij van rechts naar links.

x³ – 2x² + 2x – 1 =       

x³ – 1 – 2x² + 2x =

(x – 1) (x² + x + 1) – 2x (x – 1) =

(x – 1) (x² – x + 1)

dus de vergelijking is te herleiden tot:

(x – 1)² (x² – x + 1) = 0

de discriminant van x² – x + 1 is -3 dus de enige (dubbele ) oplossing van deze vergelijking is x = 1

Er zijn ook oneven wederkerige vergelijkingen van het eerste soort. Die zijn van de 2n+1-de graad.

Bij een wederkerige vergelijking van de tweede soort, even of oneven  is de coëfficiëntenrij gelezen van links naar rechts tegengesteld aan de coëfficiëntenrij gelezen van rechts naar links.

Bij een even wederkerige vergelijking van de tweede soort en de 2n-de graad ontbreekt daardoor de term xⁿ in het midden.

In het algemeen zijn de oplossingsmethoden:

eerste soort even        → stel  x + 1/x = t dan wordt  x² + 1/x² = t² – 2

Een even wederkerige (of reciproke) vergelijking van de eerste soort heeft een vorm die, als het bijvoorbeeld een 4^e-graafdsvergelijking is, ter herleiden is tot:

x⁴  + ax³ + bx² + ax + 1 = 0
deel deze vergelijking term voor term door x², dan krijg je
x² + ax + b + a/x +  1/x² = 0
x² + 1/x² + a (x + 1/x) + b = 0
stel x + 1/x  = t
dan wordt t² = (x + 1/x)² = x² + 2 · x · 1/x  + 1/x² = x² + 1/x² + 2
ofwel x² + 1/x² = t² – 2

invullen geeft:      t² – 2 + at + b = 0   dus     t² + at + b – 2 = 0

Deze vierkantsvergelijking is met bekende middelen op te lossen.

Een oplossing t leidt tot de vierkantsvergelijking x² – tx + 1 = 0 waarmee de oorspronkelijke vergelijking kan worden opgelost.

eerste soort oneven    → bevat de factor x + 1

Een oneven wederkerige vergelijking van de eerste soort kan er als volgt uitzien:

x⁵ + ax⁴ + bx³ +bx² + ax + 1  = 0
dat wordt
x⁵ + 1 + ax (x³ + 1) + bx² (x + 1) = 0
Hier passen we het foefje                  x²ⁿ⁺¹ + 1 = (x + 1 ) (x²ⁿ – x^2n-1 +… - x + 1) toe.
(x + 1) (x⁴ – x³ + x² – x + 1) + ax (x + 1) (x² – x + 1) + bx² (x + 1) = 0
(x + 1) (x⁴ – x³ + x² – x + 1 + ax (x² – x + 1) + bx) = 0
(x + 1) (x⁴ + (a – 1) x³ – (a  + b – 1) x² + (a – 1) x + 1) = 0
dus x = -1 of x⁴ + (a – 1) x³ – (a  + b – 1) x² + (a  - 1) x + 1 = 0 en dat is een even wederkerige vergelijking van de eerste soort.
(Je kunt dus x + 1 uitdelen op de manier zoals in de inleiding)

tweede soort even                → bevat de factor x² - 1

Een even wederkerige vergelijking van de tweede orde kan als vorm hebben:

x⁴  - ax³ + ax - 1 = 0
LET OP: noodzakelijkerwijze ontbreekt de derde, middelste term bij deze vorm.

x⁴ – 1 – ax³ + ax = 0

(x² – 1)(x² + 1) – ax (x² – 1) = 0
(x² – 1) (x² – ax + 1) = 0
De oplossingen zijn -1, 1 en de eventuele oplossingen van de vierkantsvergelijking
x² – ax + 1 = 0
(Hier kun je dus x² – 1 uitdelen)

tweede soort oneven           → bevat de factor x - 1

Een oneven wederkerige vergelijking van de tweede orde zou er zo uit kunnen zien:

x⁵ - ax⁴ + bx³ – bx² + ax – 1 = 0
dat wordt
x⁵ – 1 – ax (x³ – 1) + bx² (x – 1) = 0
Nu kan het analoge foefje       xⁿ – 1 = (x – 1) (x^n-1 + x^n-2 + .. + x + 1) worden toegepast:
(x – 1) (x⁴ + x³ + x² + x + 1) – ax (x – 1) (x² + x + 1) + bx² ( x – 1) = 0
(x – 1)  (x⁴ + x³ + x² + x + 1 – ax (x² + x + 1} + bx² = 0
(x – 1)  (x⁴ – (a – 1) x³ – (a – b – 1) x² – (a – 1) x + 1) = 0
dus  x = 1 of x⁴ – (a – 1) x³ + (b – a + 1) x² – (a – 1) x + 1) = 0 en dat is weer een even wederkerige vergelijking van de eerste soort.
(Met dezelfde opmerking: x – 1 uitdelen)

met dank aan:

http://www.math10.com/problems/reciprocal-equation-problems/easy/

http://users.telenet.be/freddy.lippens/freddy.lippens/transformaties/vkv_en_horner2.htm 

zie ook:

www.fi.uu.nl/wiskrant/artikelen/274/274juni_hietbrink.pdf