Ook leuk!

a) ja, met het kwadraat van 29, resp. het kwadraat van 155
b) nee, en zelfs "integer"niet!
c)

 

n (n + 1) (n + 2) (n + 3) =

(n² + n) (n² + 5n + 6) =
n⁴ + 5n³ + 6n² + n³ + 5n² + 6n =
n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n

dit moet gelijk zijn aan een kwadraat – 1

dus moet n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n + 1 een kwadraat zijn.

dus moet dat te schrijven zijn als (n² + an + 1)² =

n⁴ + an³ + n² + an³ + a²n² + an + n² + an + 1 =
n⁴ + 2an³ + (2 + a²) n² + 2an + 1

dat is identiek met n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n + 1 als

2a = 6 en
(2 + a²) = 11

dus a = 3

n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = (n² + 3n + 1)²

n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n² + 3n + 1)² - 1

dit geldt voor elke n, niet alleen voor gehelen:

 

1,1 · 2,1 · 3,1 · 4,1 = 5,51² -1

V2 (V2 + 1)(V2 + 2)(V2 + 3) = (3 + 3V2)² – 1 ( ≈ 51,4558 )
 
zelfs -2 · -1 . 0 · 1 = (-1)² - 1 = 0
en    0 · 1 · 2 · 3 = 1² – 1 = 0

Er is nog iets leuks met negatieve getallen:

-11 x -10 x -9 x -8 = ((-11)²+ 3 x -11 +1)² -1

en

8 x 9 x 10 x 11 = (8² + 3 x 8 + 1)² – 1

beide:
7920 = 89² – 1

inderdaad is n² + 3n +1 gelijk aan
(-n – 3)² + 3( -n - 3) + 1 (= n² + 6n + 9 – 3n – 9 + 1)

 

met dank aan David Dijkman

Toevoeging: de oplossing die David Dijkman zelf geeft.
Het gebruik van het merkwaardige product

(a + b) (a - b) = a² - b²

is toch wel bijzonder elegant!

 

 

De vermenigvuldigingsstroken van Genaille-Lucas.

De vermenigvuldigingsstroken van Genaille-Lucas.

 

 

 

Hoe werkt het?

 

Om 52749 met 4 te vermenigvuldigen leg je de stroken  5, 2, 7, 4, and 9 van links naar rechts naast de "index" strook. Kijk dan in de 4e rij en begin rechts bij het cijfer dat bovenaan staat en volg dan de driehoeken naar links.

 

 

 52749 x 4 = 210996

Merk op dat de tafels van 1 t/m 9 in deze stroken “verborgen” zitten.

(afgezien van de laatste regel van elk: 10 · .. = .. )
Het laatste cijfer van een getal uit een tafel vind je in de betreffende kolom per rij op de eerste regel, bijvoorbeeld in kolom 4:
de tafel van 4:        4, 8, 2, 6, 0 enz.
Het tiental in een antwoord staat steeds in de kolom “index” vooraan als je de punt van de driehoek naar links volgt:
bij 4 hoort 0, bij 8 hoort 0, bij 2 hoort 1 (dus 12), bij 6 hoort 2 (dus 24).

Het principe is gebaseerd op het “onthouden” dat je bij kolomvermenigvuldiging doet.

Bij 0 onthouden wijst de driehoek naar positie 1, het bovenste getal in de strook links ervan.
Bij 1 onthouden wijst de driehoek naar positie 2, het 2^e getal in de kolom.

 Hoe zit dat eigenlijk?

Kijk naar de volgende vermenigvuldiging:

.	.	.	7	x
				6
.	.	.	y	z

6 · 7 = 42

op de plaats van y komt 2 als x 0 of 1 is, want "0 onthouden"

op de plaats van y komt 3 als x 2 of 3 is, want dan "1 onthouden"
op de plaats van y komt 4 als x 4 is
op de plaats van y komt 5 als x 5 of 6 is
op de plaats van y komt 6 als x 7 of 8 is
op de plaats van y komt 7 als x 9 is

in kolom 7, rij 6 staan de getallen 2, 3, 4, 5, 6, 7 onder elkaar.
in kolom x, rij 6 die rechts naast kolom 6 komt te liggen zal de driehoek wijzen naar deze getallen, 2, 3, 4, 5, 6, 7  afhankelijk van de waarde van x.
is x = 0 0f x = 1 dan wijst de driehoek naar 2, op z komt 0 resp. 6
is x = 2 of x = 3 dan wijst de driehoek naar 3, op z komt 2 resp. 8
is x = 4 dan wijst de driehoek naar 4, op z komt 4
enz.

bijvoorbeeld:

.	.	.	7	3
				6
.	.	.	3	8

En nu verder:

.	.	7	3	x
				6
.	.	y	z	p

Hier hangt de waarde van z af van de vermenigvuldiging 6 · x

Als x = 8, dan is 6 · 8 = 48:         dus “8 opschrijven 4 onthouden”.
Dan verder rekenen: 6 · 3 = 18 en 18 + 4 = 22, dus “2 opschrijven, 2 onthouden”.
Dan 6 · 7 = 43 en 42 + 2 = 44, dus “2 opschrijven, 2 onthouden”.
Dus als x = 8 dan is p = 8, z = 2 en y = 4
Nu liggen van links naar rechts naast elkaar de stroken 7, 3 en 8
Kijken we in kolom 8 en rij 6, dan is het eerste, bovenste cijfer dat we aflezen 8.
Dus 8 opschrijven, 4 onthouden.
De driehoek wijst in kolom 3, rij 6 (5^e positie) een 2 aan.
Dat klopt, want  6 · 3 = 18, en 18 + 4 = 22, dus 2 opschrijven en 2 onthouden.
De driehoek in kolom 3, rij 6 wijst in kolom 7 (3^e positie) een 4 aan,
want 6 · 7 = 42,
en 42 + 2 = 44, dus 4 opschrijven en 4 onthouden.  

Hoe moet je nu de punten van de driehoeken richten in kolom 4 rij 7?

.	.	4	x	.
				7
.	.	y	z	.

In rij 7 en kolom 4 staan de cijfers 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4 onder elkaar.

Wijst de driehoek in kolom x naar 8 of  9, dan levert de vermenigvuldiging 7 · x dus 28 of
28 + 1 op en dat betekent “2 onthouden”  en wijst de driehoek in kolom 7 naar de 3^e positie.
Wijst de driehoek in kolom x naar 0, 1, 2, 3, 4 dan levert de vermenigvuldiging 28 + 2 = 30 of meer op, dus “3 onthouden” op en wijst de driehoek in kolom x naar de 4^e positie.
N.B. 7 · 9 = 63, (dan komt op de plaats van z minimaal 3 en maximaal
6 + 3 = 9 te staan) dus wat “onthouden” moet worden is maximaal 6, dus 7 · x  lever maximaal 28 + 6 = 34 op, dus
“4 opschrijven en 3 onthouden”.
De kolom gaat dus niet verder dan 4.

Hoe zet je nu zo’n strook in elkaar?

Bijvoorbeeld kolom 3, rij 8.

.	.	3	x	.
				8
.	.	y	z	.

Dat heeft te maken met  3 · 8 = 24

Dus in de kolom cijfers staat bovenaan een 4.
8 · 9 = 72, dus als x = 9 dan wordt z minimaal 2 en maximaal  2 + 7 = 9 en is het “7 onthouden”
Dus het laatste cijfer uit de kolom is 4 + 7 = 1
In de kolom komen te staan  4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1
De 4 komt van  8 · 3 = 24 (zonder “onthouden” van  de vermenigvuldiging 
8 · x), dus
“4 opschrijven, 2 onthouden” . De driehoek moet dan naar positie 3 wijzen.
Bij de cijfers 5, 6, 7, 8, 9 heeft de vermenigvuldiging 8 · x  resp. 1, 2, 3, 4, 5 “onthouden”  opgeleverd, wat vervolgens “2 onthouden” oplevert, dus ook dan wijst de driehoek naar positie 3.
Bij 0 en 1 is er 6 en 7 “onthouden”  en wordt het “3 onthouden”, dus wijst de driehoek naar positie 4.

Zo kun je elke strook per rij construeren.
Maar wat knap bedacht!

Het ladderprobleem

Het probleem van de kruisende ladders.

 

In mijn archief vond ik het probleem van de kruisende ladders terug.

In onze wiskundesectie ging het probleem rond en de vraag was, hoe je dat nu het beste of het mooiste kon oplossen. Dat was nog uit de tijd vóór de grafische rekenmachine.

 Het probleem. In een steeg van onbekende breedte staan twee ladders kruislings opgesteld en wel zo, dat de voet A van de ene ladder tegen de ene muur staat en de top B tegen de andere, terwijl de andere ladder precies omgekeerd staat, CD. Het punt E waar de ladders (in het zijaanzicht) elkaar kruisen ligt 1 meter boven het straatoppervlak.

Als de ene ladder 3 meter lang is en de andere 2 meter lang, hoe breed is dan de steeg?

Op internet zijn een aantal oplossingen te vinden van dit probleem, met dezelfde en met andere getallen.

De oplossing die we toen vonden staat hieronder.

 

Ja, dat ging toen dus nog met inklemmen, want de vergelijking met de wortels die hierboven staat herleiden dat levert alleen maar meer problemen op. Daar kom ik nog even op terug.

Met de GR is het probleem meteen opgelost met het invoeren van twee formules en de optie intersect. x ≈ 1,2311857

In het verhaal hierboven staat: Zoek 2 getallen A en B met A + B = A ∙ B en A² – B² = 5

Uit de eerste relatie volgt B = A / (A – 1)

Ingevuld in de tweede relatie levert na herleiding:

A⁴ – 2A³ – 5A²  + 10A – 5 = 0

Dat is met de GR ook zo op te lossen en levert o.a. A ≈ 2,735723252

dus sqrt (9 – x²) ≈ 2,735723252

en dan is x ≈ 1,231185724

Overigens, als de ene ladder p meter lang is en de andere ladder q meter lang, het kruispunt h meter boven de grond en de steeg d meter breed, dan krijg je de relatie:

h / sqrt(p² – d²) + h / sqrt(q² – d²) = 1

 

Ik vind dit een aardig voorbeeld van het mathematiseren van een probleem. De echte wiskunde zit hem niet (alleen) in het oplossen van een (zelfs 4egraads-) vergelijking (voor zover die (eenvoudig dan wel exact) oplosbaar is) maar juist in het opstellen van die vergelijking.

Het vinden van de oplossing met de GR is dan het kersje op de taart, in plaats van een rekenkundig geploeter (met inklemmen).

Examennummer Euclides lijdt onder inflatie en CITO negeert GR-kritiek.

Het eerste nummer van elke jaargang van Euclides , het vakblad voor de wiskundeleraar, orgaan van de NVvW, is traditioneel het examennummer, waarin uitvoerig teruggeblikt wordt op de centrale eindexamens van mei daarvoor. Maar dit examennummer lijdt aan inflatie.

Twee jaar geleden was het nog een extra dik nummer met liefst 9 artikelen over de verschillende examens, de meeste van uit "het veld" door wiskundedocenten, vorig jaar waren het er nog maar 5, met dien verstande dat het 6^e examenartikel waarin door de CITO-medewerkers een analyse van het CE wordt gegeven “verbannen” was naar de website, waar het digitaal geraadpleegd kon worden.

Dit jaar staan er nog maar twee artikelen in het eerste nummer van de komende jaargang, waaronder, weer in gedrukte vorm, de analyse van de CITO-medewerkers.

CITO-examenartikel.

Van dat laatste artikel  zou je de indruk kunnen krijgen dat het slagers betreft die hun eigen vlees keuren, maar er wordt voldoende objectief materiaal in dit artikel verwerkt om dat afdoende te weerspreken. De zogenaamde quick scans die bij het inleveren van de correctieresultaten via WOLF gehouden worden leveren een indruk op van wat de docenten van de examens vonden en de scores zelf worden uitgebreid tot in detail in statistieken vastgelegd en geanalyseerd. Ook wordt commentaar dat op het NVvW-examenforum en de centrale besprekingen gegeven wordt in de artikelenserie verwerkt.

Toch blijft wat betreft dit laatste hier en daar de indruk bestaan dat de CITO-medewerkers de examenmakers in bescherming nemen gezien de wijze waarop ze het meeste van het geciteerde commentaar pareren, al geven ze sommige forumcontribuanten ook volmondig  gelijk.

Examenartikelen “uit het veld”.

Maar toch mis ik beschouwingen en algemene artikelen over de examens vanuit de docentenwereld, c.q. door de examinatoren zelf, onafhankelijk van welke instantie dan ook. Er was in de loop van de jaren een soort traditie gegroeid om op grond van de regionale besprekingen en de enquêtes die daar gehouden werden een kritisch, soms satirisch, artikel te schrijven. Het ging dan niet alleen om het beeld uit die besprekingen en enquêtes vast te leggen, maar ook  om  met saillante details en anekdotische opmerkingen het verhaal te verlevendigen. En vaak gaven enkele docenten nog detailcommentaar op een enkele opvallende, opmerkelijke vraag of oplossing. Maar de laatste jaren zijn die regionale bijeenkomsten verdwenen en leverden alleen de centrale besprekingen en het examenforum nog (voldoende) stof voor een algemeen examenartikel op, zij het dat bepaalde heikele zaken uit het examen  wel eens dubbel, zowel in het CITO-artikel als in deze algemene beschouwing (en soms ook in verdere artikelen) aan de orde kwamen. Helaas is de traditie van dat algemene examenartikel waarbij de pen na enkele jaren overging op een volgende scribent blijkbaar nu een stille dood gestorven.

En ineens is er ook verder weinig opmerkelijks vanuit "het veld" over de examens op te merken, blijkbaar, hoewel het examenforum niet die indruk wekte.

Niets over de GR.

Maar wat ik nog het meeste mis in het niet-meer-zo-erge examennummer van dit jaar is dat vrijwel elke opmerking over de rol van de grafische rekenmachine in de beide artikelen achterwege is gebleven.

Dat is eigenlijk vreemd want de examenperiode zette in met de CvE-mededeling: “Het is een kandi­daat tijdens het cen­traal examen niet toege­staan, de applica­tie Zoom­Math op zijn grafi­sche rekenma­chine te hebben geïn­stal­leerd. Deze applica­tie kan worden geïn­stal­leerd op de grafi­sche rekenma­chines van TI die in de Rege­ling toege­stane hulpmid­delen zijn opgeno­men, met uitzon­dering van de TI83. In de rekenma­chine is deze app te herken­nen onder de naam Zoom100, Zoom200, Zoom300, Zoom400 of Zoom500. De rege­ling dat het geheu­gen van de grafi­sche rekenma­chine niet hoeft te worden gewist voor aanvang van een zitting van het cen­traal examen, blijft gehand­haafd. Als andere (verge­lijkba­re) applica­ties of program­ma’s bij het CvE bekend worden, zal het veld daar­over nader geïnfor­meerd worden."
Er zijn dus applicaties op de GR te downloaden die de machine toerusten tot een beperkte vorm van computer algebra. En slimme leerlingen hadden al lang uitgevonden dat het geheugen prima te gebruiken is als “spiekbriefje” en ruimte laat aan programmaatjes die hem ten dienste kunnen staan.
Je zou toch op z’n minst iets terug willen zien over de ophef die deze aankondiging veroorzaakte en over hoe het er in de praktijk daarna aan toe is gegaan. Blijkbaar is het in de praktijk wel losgelopen met dat ZoomMath.

Kritiek op de GR in het examenforum.

 

Maar ook in het examenforum is de grafische rekenmachine en de rol die hij in het examen speelt in diverse posts aan de orde gesteld en besproken, om maar niet te zeggen: afgekraakt.

Bij de B-examens vonden een aantal collega’s de rol die de GR speelde veel te groot. Daarnaast bleef er onduidelijkheid en veel discussie bestaan over de vraag wanneer nu precies de GR wel en wanneer niet meer ingezet mocht worden in de beantwoording van de vraag. De z.g. lijst Examen(werk)woorden probeerde op dit punt duidelijkheid te verschaffen, maar toch blijkt het gebruik van de GR, althans in het forum, soms tot heftige gedachtewisselingen, zo niet meningsverschillen, te leiden.
Bij wiskunde A bleef het voor een aantal collega’s de vraag aan welke eisen de gevraagde beschrijving van het gebruik van de GR bij een berekening diende te voldoen.
Collega’s storen zich ook aan het feit dat er (te) veel leerlingen zijn die bijna automatisch de GR pakken en ermee aan het rekenen slaan zonder dat ze precies weten wat ze, in wiskundige zin, aan het doen zijn of wel de GR gebruiken voor elk wissewasje dat ook zonder had gekund.  Op dit punt zouden de examens meer af kunnen dwingen
Erg saillant was de discussie rond exacte berekeningen die de GR ook “lijkt” te kunnen  maken. In hoeverre moet je tussenstappen noteren, en welke dan, als iets ook “zo” te zien is maar net zo goed door een GR gedaan kon zijn: 1 / (2 – sqrt(3)) = 2 + sqrt(3) is zo’n voorbeeld dat uitvoerig de aandacht kreeg. Dit soort rekenwerk blijkt overigens zelfs op de meeste nieuwste versies van de “gewone’ rekenmachines te lukken.

De GR, het examen en het vak wiskunde.

 

De diverse kritische, soms negatieve, opmerkingen over de GR in het examenforum betreffen niet alleen het examen maar vertolken in een aantal gevallen ook een visie over de inhoud van het wiskundeonderwijs op zich. De (te) centrale plaats die sommigen de rol van de GR toedichten of misschien ook toekennen is de discussie meer dan waard. De regelmatig te horen opmerking dat het apparaat in de wiskunde in de vervolgopleidingen die plaats niet meer inneemt of zelfs niet meer mag innemen geeft daarbij ook  te denken. En de notie dat de vervolgopleidingen vaak andere wiskundige vaardigheden dat de “knoppen-vaardigheid” op de GR vragen of verwachten is de aandacht meer dan waard.

(al is de brede variatie aan vereiste vaardigheden in het HO zo omvattend dat in VO daar niet in kan worden voorzien en wordt in het HO dan wel weer op andere wijze wel ICT ingezet en toegepast).

Het geeft mij te denken dat er bij het CITO in relatie tot de laatste examens en  het commentaar daarop op geen enkele wijze wordt gerefereerd aan de rol van de GR in die examens en de kritiek daarop.
Een analyse van de examens zonder enige opmerking over de GR vind ik incompleet en onbevredigend. Trouwens, in de quick scan had een vraag over de rol van de GR, in de zin van te veel of te weinig of iets dergelijks, vooral bij de B-examens,  eigenlijk niet mogen ontbreken gezien de steeds terugkerende discussie over dit onderwerp.

Inmiddels is het CvE met de mededeling “"Tijdens de centra­le examens wiskun­de A, B en C van 2016 dient het geheu­gen van de grafi­sche rekenma­chine te zijn geblok­keerd door een examen­stand, dan wel te zijn gewist door een "reset" van de gehele machine." gekomen.

Ja, dan kan de GR niet meer als “spiekbriefje” fungeren en kunnen al te algebraïsche applicaties geen roet meer in het examen-eten gooien. Maar zo’n maatregel komt niet tegemoet aan alle andere “kunstjes” die de GR-makers inmiddels in het “reguliere” deel van hun apparaten hebben gestopt. Het lijkt me beter om in de vraagstelling het gebruik van de GR zo veel mogelijk de pas af te snijden en alleen toe te staan waar het wiskundig zinvol is en de kandidaat het denkwerk niet uit handen neemt.

Over de examens wiskunde B HAVO en VWO en de rol van de GR daarin schreef ik eerder:

http://aowiskunde.blogspot.nl/2014/05/het-centraal-examen-havo-wiskunde-b-en.html

http://aowiskunde.blogspot.nl/2014/05/examen-ce-vwo-wiskunde-b-en-de-gr.html