0,9999... = 1

9/10 + 9/100 + 9/1000 + enz. , waar kom je dan op uit?
Ofwel, hoe groot is 0,9999... met oneindig veel negens?
Je kunt er heel wiskundig tegenaan kijken: http://wiskwa.tumblr.com/post/121756020122/099999
Wikipedia heeft er nog meer over te vertellen: https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...
Wisfaq, de digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs had het er ook al over: http://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=2132&j=2002

Hieronder de manieren waarop ik het in de klas aan de orde stelde, als het ter sprake kwam, of als er aan het eind van de les nog tijd was om even te "krijten" (hoe doe je dat op een digibord, trouwens...).

1/3 uitdelen   3 / 1,0000   \0,333…       0,9           10             9              10                9                 1                   .                   .                   .  en 1 = 3 ∙ 1/3 = 3 ∙ 0,333… = 0,999…   1/1 “uitdelen”   1 / 1,0000 \ 0,999….       0,9          10            9            10              9               1                  .                  .                  . x = 0,3333… 10x = 3,3333… 10x – x = 3,3333… – 0,3333… 9x = 3   x = 3/9 = 1/3   x = 0,9999… 10x = 9,9999… 10x – x =9,9999... - 0,9999... 9x = 9 (of eigenlijk 9x = 9,0000...) X = 1   0,1111… = 1/9 0,2222 ... = 2/9 0,3333… = 3/9 = 1/3 enz. 0,8888… = 8/9 0,9999.. = 9/9 = 1

 

Een snelle blik op CE HAVO wiskunde B

Quick scan havo wis B van een oud-docent:

19 vragen met 80 punten leek me tamelijk veel werk.

Maar qua vragen: een goede variatie in onderwerpen, redelijke afspiegeling van de stof; een aantal standaardvragen (maar niet de gemakkelijkste standaardonderwerpen), een paar pittige en soms een eenvoudige vraag.
Hoewel de GR niet te overheersend is, althans tamelijk zinvol wordt ingezet, had er toch wel meer algebra en exact rekenwerk in gekund.

1.       x-coördinaat snijpunt x-as mag niet 43,0 zijn maar moet nauwkeuriger; instinker

de omgekeerde werkwijze verdient maar 1 punt, vind ik weinig

2.       alleen het afronden op 1000-tallen zal soms mis gaan, verder een eenvoudige vraag

3.       een aardige, (tamelijk standaard-)vraag met een noodzakelijke conclusie, die natuurlijk niet vergeten moet worden

De eerste drie vragen vormen op zich geen grote struikelblokken en vormen dus een prettige start.

4.       gonio differentiëren met productregel; zou cadeautje moeten zijn

5.       de formule van een lijn opstellen en een vergelijking via intersect met GR oplossen (hier voor dit niveau een zeer acceptabel gebruik van de GR)

6.       betreft de functie f(x) = ½ + √(1¼) sin (2x – 0,4636…) (maar dat weten havo-leerlinge niet

s is derhalve precies 0,5!! 

q is snel te vinden, s, p en r vragen GR-rekenen ( cal max en calc min en dan voor s nog een vergelijking oplossen: dat lijkt me hier en daar wel mis te gaan.

7.       8.   9. ruimtemeetkunde in een standaardvorm, moet goed te doen zijn, al vraagt de uitslag wat meer nadenken en tekenen.

10.  havoleerlingen gebruiken hier de kettingregel en niet de quotiëntregel en zullen zoiets vaker gedaan hebben, want het is geheide oefenstof, maar ja…

11. een mooie opgave met exacte berekening, eindelijk!

De opgave Geluidsbox vind ik tamelijk complex met niet eenvoudige formules en 3 verschillende variabelen, geluidsintensiteit I, vermogen P en geluidsniveau L.

12. aardig, ook omdat het beredeneerd kan worden.

13. niet gemakkelijk; de benodigde eigenschappen van log zitten nogal verstopt; het mag ook met een voorbeeld via de GR.

14. vond ik nogal lastig, ik heb het idee dat veel leerlingen hierover struikelen; de GR is nodig.

15. jammer dat dat niet exact gevraagd wordt, met de GR is het een flauwe peulenschil.

16. de symmetrie ligt zo voor de hand, na 15. “zie je zo” dat het minimum bij x = 1 ligt, maar als je de symmetrie niet aantoont, verlies je 2 punten.

17. ook het differentiëren van wortels en de kettingregel zij “standaard”, maar gaan bij de mindere goden overigens vaak fout.

18. en 19. dat moet iedereen toch redelijk kunnen, de vergelijking van een raaklijn en de oppervlakte van een driehoek, waarvan een hoekpunt het beginpunt van de wortelgrafiek is.

Hopelijk komen de leerlingen aan de laatste twee vierpunters toe.

Ik kreeg de indruk dat dit een passend B-examen was, geslaagd qua inhoud en niveau. De leerlingen kregen het niet cadeau, je moet het vak toch redelijk beheersen om flink te scoren, maar het examen bood ook nog wel veel mogelijkheden om toch te scoren als je tot de mindere goden behoort.

Het echte oordeel komt de docenten toe die het werk nakijken en hun mening, aan de hand van hoe de leerlingen het gemaakt hebben, telt pas echt.

 

 

 

 

 

 

Gedachten bij het CE VWO wiskunde B.

download CE (pdf) http://www2.cito.nl/vo/ex2015/VW-1025-a-15-1-o.pdf
download werkblad  http://www2.cito.nl/vo/ex2015/VW-1025-a-15-1-u.pdf
download CV (pdf) http://www2.cito.nl/vo/ex2015/VW-1025-a-15-1-c.pdf

Als je, zoals ik, sinds 2009 niet meer voor de klas staat en sindsdien ook geen examens meer hebt nagekeken, dan sta je zo langzamerhand toch wat verder van de stof af, en vooral ook van hoe de leerlingen ermee omgaan, welke kennis ze paraat hebben en welke fouten ze maken.
Maar toch kijk ik elk jaar weer met belangstelling uit naar de examens en probeer , vanuit mijn ervaringen uit een wat verder verleden inmiddels, enig zicht te krijgen op de vraag of het examen voldoet aan wat wiskunde B is of misschien zou moeten zijn en geef dan graag mijn mening en oordeel.
Het is daarbij vooral interessant om te kijken hoe bij zo’n examen de verdeling is tussen exact en niet-exact (c.q. gebruik GR), analyse en meetkunde, de hoeveelheid context en de mate van aanwezigheid van de verschillende onderwerpen zoals gonio, logaritmen en exponenten, differentiëren, integreren etc.

GR

Het heetste hangijzer is natuurlijk het gebruik van de grafische rekenmachine.

Er zijn 4 vragen waarin de GR gebruikt moet worden, dat betreft 18 van de 77 punten. Dat vind ik rijkelijk veel voor een VWO wiskunde B-examen. Het hangt er natuurlijk wel vanaf hoe het gebeurt.

… waar het niet nodig was.

In vraag 3 moet de vergelijking cos t = 2 cos (2t) worden opgelost.

Daar is de GR in feite niet bij nodig. Je kunt de vergelijking immers herleiden tot
4cos² t - cos t  - 2 = 0 en dan met de abc-formule berekenen dat

want  cos t moet negatief zijn omdat bij deze vraag de coördinaten moeten worden berekend van een punt A (sin t , cos t) dat onder de x-as ligt.
Maar deze exacte berekening is slechts een tweede alternatief van het CV.
Want helaas staat er “bereken” en niet “bereken exact” dus mag de genoemde vergelijking ook meteen met de GR worden opgelost. Voor het CV is dat het eerste alternatief…
De coördinaten moeten afgerond worden op één decimaal nauwkeurig, maar dat had na een exacte berekening ook in tweede instantie gevraagd kunnen worden.
Overigens, het blijkt dat y_A = cos t ≈ - 0,8 en dat is “mooi”, want 0,8² + 0,6² = 1, dus x_A is snel te vinden.
Voor de ligging van A en B (2 sin 2t , 2 cos 2t) geldt:
als cos t < 0 is op < ½ π, π> sin t > 0 en sin 2t < 0, en op <π, 1½ π> sin t < 0 en sin 2t > 0.
(A in IV en B in III resp. A in III en B in IV)
Deze vraag had dus eigenlijk best helemaal zonder GR gekund als er alleen een schets van de ligging van A en B, die op één horizontale lijn moesten liggen, gevraagd was (of als er een keuze had moeten worden gemaakt tussen 4 mogelijkheden).
Dit was dus een vraag waar veel meer in gezeten had  als het om echt B-werk gaat.

… waar het wel nodig was, maar…

Vraag 5 kan niet anders dan met een GR opgelost worden.

Het komt neer op het oplossen van de vergelijking
10 ^{- 7,32} + 10 ^{- 7, 032} = 10 ^{- 5,6 - 0,4m} na invullen van m = 4,30 en m = 3,58 in 10 ^{– 5,6 – 0,4m} en dan kun je dankzij die GR ook aan de slag met 1,41 · 10 ^-7 = 10 ^{- 5,6 - 0,4m} (en let op het gebruik van een afgeronde waarde). Dat is toch niet iets wat kenmerkend is voor een echt B-examen.
Bij vraag 7 moet eerst iets met log x gedifferentieerd worden, waarna met de GR met een beetje veel hulp in de stam van de opgave de snelheid waarmee de magnitude m verandert wordt uitgerekend, dat levert van de 3 punten 1 puntje voor GR-gebruik.  

...en waar het een overbodige vraag betrof.

Vraag 15. Daar moet je eerst met HB = 340 en F = 29400 de A uitrekenen met

  daarna h met A = 10π h en die invullen in  

en dan de vergelijking oplossen naar de variabele d.

A is “gelukkig” precies 8,82, maar voor h laat het CV de mogelijkheid open om met een afgerond getal verder te rekenen, waar dat in feite echt niet nodig was, want h = 0,882/π.
Deze vraag vraagt weinig specifiek B-kwaliteiten en voegt weinig zinvols toe aan dit examen. 
Al met al wel erg veel GR-gereken, soms onnodig ten koste van een exacte mogelijkheid, nominaal  16 op de 77 punten en dat is tamelijk veel voor een B-examen, ook vergeleken met de afgelopen jaren.

Meetkunde

Gelijke (middelpunts- en omtreks-)hoeken en raaklijnen aan cirkels waren de thema’s.

Twee opgaven, met elk twee vragen waarvan als slotvraag 17 van het examen één ging over tekenen met behulp van de meetkundige plaatsen bissectrice en parabool.
Op het NVvW-forum ging de discussie rond deze vraag deels over de bedoeling van “Licht je werkwijze toe”, een uitdrukking die niet vat onder de examen(werk)woorden. Gaat het hier om een verklaring waarom of om een beschrijving hoe je te werk gaat.
De beschrijving werkwijze is: teken de bissectrice  van de hoek, het (eerste) snijpunt met de parabool is het gevraagde punt N. De verklaring is dat vanwege de parabool N even ver ligt van brandpunt F als van richtlijn k en vanwege de bissectrice even ver van de benen k en l van de hoek, dus de cirkel gaat door F en raakt k en l.
Twee vragen, 8 en 9, over hoeken in cirkels en één over raaklijnen aan een cirkel, waarbij steeds het nodige bewezen diende te worden.
En dat levert veel alternatieve mogelijkheden op, waarvan, zo blijkt uit het NVvW-forum, lang niet alle mogelijkheden in het CV staan, terwjjl er door leerlingen ook heel wat bewijsvoeringen worden aangevoerd die dicht in de buurt komen, maar dan toch niet helemaal kloppen. Dan wordt het lastig punten geven.

“Bij gelijke bogen horen gelijke omtrekshoeken”??

Bij vraag 8 blijkt uit het gegeven dat er twee koorden in een cirkel even lang zijn en daar horen (volgens boog en koorde) even lange bogen bij. Alhoewel, de stelling staat precies andersom in de syllabus (terwijl van enkele andere stellingen het omgekeerde wel expliciet genoemd staan).

Bij de even lange bogen horen even grote middelpuntshoeken.  Er moet nu bewezen worden dat ook twee bijbehorende omtrekshoeken even groot zijn.  Die zijn elk de helft van de even grote middelpuntshoeken, dus aan elkaar gelijk.
Maar er blijken leerlingen, en zij niet alleen, die menen dat er ook een “officiële” stelling is die zegt dat bij gelijke bogen ook gelijke omtrekshoeken horen en die slaan dus de stap via middelpuntshoeken over. 
Dat is niet volgens de spelregels van het examen, maar blijkens de commentaren wordt die stelling wel bij enkele collega’s als algemeen geldend en dus toepasbaar in een bewijs geacht (zoals de stellingen in de bijlage) op het SE getolereerd.
Overigens, Getal & Ruimte geeft in de Terugblik in het betreffende hoofdstuk een bewijs van deze stelling, met behulp van congruente driehoeken, wat hier ook gekund had.
Hier steekt het bekende probleem de kop op dat bij bewijzen van eigenschappen die je zo kunt “zien” of bedrieglijk lijken op bestaande stellingen waarnaar (wel) verwezen mag worden leerlingen er bij bosjes invliegen.  
De meetkunde telde 18 van de 77 punten.

Analyse

In de vragen die de analyse betroffen ging het 7 keer om het bewijs van een bewering of formule en één keer om coëfficiënten van een formule af te leiden, wat een redelijke dosis gevarieerde algebraïsche activiteit vroeg.  Eigenlijk wel opvallend dat het resultaat van een gevraagde herleiding hier vaak dus al vooraf gegeven werd en het alleen nog gaat om de weg ernaartoe. Dat resultaat is dan weer een opstapje voor de volgende vraag.

Een bewijs vraagt om een redenering of exacte berekening, het woordje exact ontbreekt bij de examen(werk)woorden-definitie van “leid af”. In beide gevallen geldt in het algemeen  dat het gestelde controleren door middel van een of meer voorbeelden niet voldoet.
Er waren met de bewijzen 37 punten te verdienen, met het afleiden 4.
De opgave over gelijke hellingen bevatte twee van die exacte bewijsvragen. Het is een aardige mix van gonio, differentiëren (productregel) met toepassing van één van de gonio-formules op de bijlage en het oplossen van een goniometrische vergelijking, wat altijd pittige standaardkost  is en dan de schapen van de bokken scheidt.

Afleiden.

Dat afleiden kwam in vraag 4 voor en kon exact met behulp van een stelsel met 2 variabelen of met behulp van het afleiden van een formule die bij exponentiële groei hoort en dat laatste kon dan op de GR ook (niet-exact) met behulp van exponentiële regressie.

De formule is L = 10 ^{p+ qm} en met twee gegeven waarden van L en m moet dan afgeleid worden dat p = - 5,6 en q = - 0,4. Dan is voor sommige leerlingen de verleiding groot om, uitgaande van de al gegeven p en q te laten zien dat L en m voldoen. Wat natuurlijk niet de bedoeling is.
In vraag 6 wordt de leerlingen gevraagd om de variabele m in 10 ^{-5,6 – 0,4m} = C/x² vrij te maken. Merkwaardig in deze vraag is dat de coëfficiënten in het al gegeven antwoord
m = -14,0 – 2,5 log C + 5,0 log x niet “gewoon” als 14 en 5 genoteerd staan.
lijkbaar geldt 15,6 /  0,4 = 14,0 en 2 / 0,4 = 5,0. Dat heet dus een exacte berekening, neem ik aan.

Contexten

Er waren twee opgaven met een context, “Helderheid van sterren” , waarin met magnitudes en de helderheidsmaat lux gerekend wordt. In deze opgave komt dat afleiden, vraag 4, voor en verder o.a. de al genoemde vragen 5, 6 en 7.

De andere context-opgave is “Hardheid”, maar voor er echt gelezen moet worden zijn er al 2 analyse-vragen  gepasseerd, in vraag 12 het differentiëren van een wortelfunctie en daarmee een herleiding, die preludeert op vraag 13 en bedoeld is om een integraal, waarmee een oppervlakte van een boldeel moet worden berekend,  heel simpel te maken.
Daarna komt een meetkundige vraag waarin de stelling van Pythagoras aan de orde komt via een duidelijke tekening die ook los van de context geïnterpreteerd kan worden.
Dan volgt vraag 15, waarin de GR een hoofdrol speelt en waarover hierboven al eerder geschreven is.
Op die contexten heb ik weinig kritiek. Ze waren redelijk informatief en ter zake doende en de vragen werden er niet door “verduisterd”.

Dus…

Als je na een examen de commentaren leest dan is er altijd wel een aantal opmerkingen in de zin van “ik mis dit onderwerp” of “er had meer aandacht moeten worden besteed aan dat onderwerp”.

Wat mij betreft was dit examen een redelijke mix en variatie van onderwerpen, maar “het boek” staat natuurlijk vol met veel meer zaken die aan de orde hadden kunnen komen.  Iedereen zal z’n voorkeuren en liefhebberijen hebben en het ene jaar meer van zijn gading vinden dan het andere jaar.
En er zijn natuurlijk altijd meerdere invalshoeken om zo’n examen te bekijken. Als docent vanuit de praktijk van het onderwijs of als niet-docent vanuit andere belangen of interesses, bijvoorbeeld vanuit vervolgopleidingen die op de wiskunde voortborduren of wiskundig-beroepsmatig. Ik bekijk het vanuit datgene wat een leerling zou moeten weten en kunnen. De verleiding is groot om het examen te vergelijken met wat je zelf als wiskundige bagage meekreeg of wat aan kennis noodzakelijk zou kunnen of moeten zijn voor een vervolgopleiding. Ik bekijk het liever in het perspectief van de opleiding die de leerling gehad heeft, want daar is het een test van.
Dat houdt ook in dat daarin de (soms nog primaire of elementaire) middelen die de leerling ter beschikking staan meegewogen worden.  Het zijn nog geen wiskunde-studenten en de meeste worden dat ook niet.

… vond ik…

Ik vond dit examen niet al te moeilijk, soms best uitdagend, gevarieerd, maar redelijk evenwichtig.

Er zaten voldoende vragen bij die gebaseerd waren op basisvaardigheden en ook genoeg vragen op een pittiger niveau. Het “exacte” gehalte was net voldoende, want er was te veel louter GR en dan lang niet altijd zinvol in een B-examen. Ik kan ermee leven als de GR als sluitstuk in een denkproces wordt gebruikt of stappen uit handen neemt die essentieel zijn in een denkproces maar nog niet kunnen worden gemaakt door een B-leerling. Ook kan de GR prima dienen om een probleem te exploreren, hoewel dat CE-matig misschien minder realiseerbaar is(maar misschien in de nieuwe wiskunde B een kans krijgt in het SE?).
Maar als het al te A-achtig louter getalsmatig rekenen wordt dan haak ik af.
De startopgave Wortelfuncties, met integraalrekening, was een goede en niet te moeilijk of afschrikkend begin met een voor de leerlingen goed herkenbare vraagstelling.
De volgende opgave Cirkels en lijnen, met een parametervoorstelling van een cirkelbeweging, vroeg in eerste instantie ook tamelijk elementaire goniometrische waardenkennis, zodat een leerling die z’n zaakjes voor elkaar heeft vertrouwd op weg ging en niet meteen de mist in ging.
Het geheel leek me goed te maken binnen de gestelde tijd.
Ik vond het daarom een goed maakbaar examen waar een leerling zijn kwaliteiten adequaat kon tonen.

En nu maar afwachten wat mijn vakbroeders die er in de echte praktijk mee te maken kregen ervan vonden en hoe hun resultaten uitpakten.

 

 

1e en 2e correctie: volgorde omkeren?

De kogel is door de kerk, na een VO-rapport en kennelijk op instigatie van PVV-er Harm Beertema heeft staatssecretaris Sander Dekker besloten om de volgorde van correctie van de eindexamens te wijzigen: eerst de gecommitteerde, daarna de examinator.
Het mag een wonder heten dat Sander Dekker de adviezen van de VO-raad op dit punt bijna stante pede heeft opgevolgd, daar waar als het over de rekentoets gaat hij halsstarrig bij eigen dwaalwegen blijft. En het is te hopen dat TK-lid Beertema ook nog eens flink instigeert tegen die rekentoets en z’n vele foute aspecten.

HBS-examens

Maar eerst die 1^e en 2^e correctie.

Ik ga even terug in de tijd. Toen ik op de HBS zat keek de eigen docent het werk als eerste na, of er nog een 2^e corrector aan te pas kwam weet ik niet. Maar op een gegeven moment werden er eventuele vrijstellingen voor het mondeling bekend gemaakt en werd medegedeeld welke vakken überhaupt nog mondeling geëxamineerd werden (voor HBS-B maar één van de vreemde talen en scheikunde òf natuurkunde). Daarna marcheerde een stoet aan gecommitteerden de school binnen die bijzitters waren bij die mondelinge examens die door de eigen docent werden afgenomen. Daarna werd er druk vergaderd of een kandidaat geslaagd of gezakt was en soms volgde er nog een mondeling her- of verlengd examen om de knop definitief door te kunnen hakken. Uiteindelijk werd de cijferlijst geconcipieerd en daarmee het oordeel: geslaagd of gezakt.
Behalve de resultaten van het schriftelijk examen telde ook de indruk van het mondeling examen en ik denk wel zeker de invloed van de eigen docent in dit proces. Er kwam zekerlijk geen computerprogramma aan te pas waar de gegevens ingevoerd werden en de uitslagen dan keurig uitrolden. Het bleef mensenwerk, werk waarin de leerling als persoon en niet als verzameling cijfers centraal stond. Waarin de docent die de leerling en z’n kwaliteiten kent een medebepalende factor was.

Mijn 1^e correctie-ervaringen

Ik heb zelf al die jaren geprobeerd consequent mijn eerste correctie volgens de correctievoorschriften uit te voeren en waar de correctievoorschriften me in de steek lieten een vanuit mijn vak verdedigbare correctie toe te passen. Maar ik ben me er altijd van bewust geweest dat bij dat nakijken de leerling zelf me altijd voor ogen heeft gestaan. Ondanks manieren om het nakijken te objectiveren (per vraag nakijken, de volgorde veranderen) zal ik niet ontkennen dat ik het principe van “the benefit of the doubt” in het voordeel van de leerling toepaste en ook tegenover de tweede corrector de eigenaardigheden en eigenwijzigheden van bepaalde leerlingen probeerde te “verdedigen”.  Maar het correctievoorschrift, zij het inclusief de algemene en vakspecifieke regels, soms als advocaat van de duivel, en zeker ook in adviserende zin de opmerkingen in fora en van examenvergaderingen, waren voor mij leidend in zo’n gesprek.

Dat leverde soms best wel verschillen op met zoals de tweede corrector dat zag, maar daar kon je over praten, in ieder geval. Een enkele keer sloeg je de plank werkelijk mis, een andere keer had die corrector er ook niet aan gedacht dat je het ook zo kon bekijken. En die tweede corrector vond soms nog iets dat wel puntwaardig was waar jij overheen had gekeken en evenzogoed haalde hij ook wel fouten uit jouw eerste correctie.
Iets wat ik altijd deed was een uitwerking van het examen bijvoegen met de beantwoording van de vragen exact en volledig uitgeschreven zoals ik het de leerlingen heb geleerd en van ze eiste bij de toetsen en schoolexamens, compleet met de, eventueel verder uitgesplitste, puntenverdeling.
En ter aanvulling vermelde ik de gebruikte boeken en over welke GR de leerlingen beschikten.
Alles bij elkaar heeft het nooit geleid tot echt grote verschillen en in de meeste gevallen bleef het zelf gegeven puntentotaal gehandhaafd. Meestal waren het prettige, collegiale gesprekken, verrijkend zelfs, waarin het ook ging over de kwaliteit van het examen, het onderwijs, het vak en de boeken die gebruikt werden. Je werd altijd wel wat wijzer van elkaar.
Het is een enkele keer voorgekomen dat zonder enig verder contact het werk weer terug op school arriveerde, dat vond ik eigenlijk vreemd en zeker oncollegiaal.

…en 2^e correctiepraktijk.

En hoe deed ik mijn tweede correctie? Ik pikte er een paar examens uit, de hoogste, de laagste, een slordige, een nette en keek die eerst precies en integraal na. Dan bleken er altijd vragen die, net als in het werk van de eigen leerlingen, eigenlijk weinig problemen bij het nakijken gaven omdat er over de beantwoording weinig discussie kon zijn. Daarnaast waren er vragen waarvan je bij jou leerlingen al had geconstateerd dat het antwoordbeeld nogal varieerde en ten slotte was er een categorie vragen waar de aanpak bij de collega qua beantwoording en/of correctie duidelijk afleek te wijken van die van jou. De laatste twee categorieën keek ik dan bij alle leerlingen na, ook om duidelijkheid te krijgen wat de correctiestijl en -strategie van de eerste corrector was. Dan was het integraal nakijken van de rest meteen wat gemakkelijker.

Grosso modo kan ik dan stellen dat op vwo de correctieverschillen kleiner waren dan bij de havo en bij wiskunde B ook weer kleiner dan bij wiskunde A. Vooral de “talige” antwoorden bij wiskunde A waren soms moeilijk om goed dan wel gelijk te waarderen en dan leek de 1^e corrector toch sneller geneigd om punten te geven dan de 2^e.
Een “hobby” van mij was het “uitdokteren” van de gedachten van leerlingen die achter antwoorden staken die op het eerste gezicht nergens op leken te slaan of soms langs merkwaardige kronkels toch bij het antwoord uitkwamen. Ik heb bij het uitvoeren van de 2^e correctie regelmatig gemerkt dat er soms wel erg snel een rode streep door een redenering en antwoord werd gehaald waar toch nog wat voor te zeggen was, vooral bij slordige, slecht of cryptisch formulerende leerlingen, en dan met name op havo-niveau.  Ik wil in alle bescheidenheid zelfs noemen dat mijn schoolcollega’s me soms van dat soort antwoorden voorlegden in de hoop dat ik er dan nog wat van zou kunnen bakken.
Overigens heb ik nooit het idee gehad dat de eerste correctie slecht, haastig, subjectief, dubieus of anderszins onder de maat werd uitgevoerd en dat verwijt heb ik gelukkig ook nooit gekregen.
Die wilde en sterke verhalen die je soms hoort heb ik zelf niet in die mate meegemaakt, al liep je best nog wel eens tegen merkwaardige zaken aan. Zoals die collega die bij wiskunde A de “leg-uit” vragen bij allochtone leerlingen wel erg snel goed rekende, omdat ze toch een taalprobleem hadden, die ze bij de beantwoording handicapte.

Herkansingen.

Wat betreft de 1^e en 2^e correctie bij de herkansingen, ik vind het niet onterecht dat de leerling zelf en zeker de omstandigheden die tot de herkansing hebben geleid daarbij niet ongenoemd blijven.

Het heet herkansing, of zo noemen we het tweede tijdvak, en de kans van slagen moet er dan ook zijn, als de objectieve basis waarop niet helemaal 100 % gehaald zou worden maar andere factoren de balans in positieve zin kunnen doen doorslaan. Slaat een leerling er maar een slag naar, okay, dan is het snel klaar, maar ik vind dat zeker in een enkel geval in een goed overleg tussen eerste en tweede corrector er enige ruimte moet zijn om wat meer te kunnen dan objectief mogelijk is. In de HBS-tijd heeft menigeen dankzij die marges z’n diploma gehaald. Ik heb het gevoel dat de cijfermania van het huidige VO leerlingen soms weghoudt van een diploma dat ze wel toe had mogen komen.
Gelukkig leveren de mogelijkheden om via bepaalde instellingen de nodige aanvullende certificaten te halen een uitweg om alsnog dat diploma in bezit te krijgen, maar was dat nodig? Moeten we echt op het scherp van de snede tussen slagen en zakken zo “rechtvaardig’ zijn? De marge die aan de onderkant van de slaag-zak-regeling zit, zit ook aan de bovenkant, met andere woorden: er is in die dubbele zone vaak ook sprake van geluk of pech en minder van de kennis en het niveau waarvoor het diploma staat.

Objectief en subjectief.

Ik vind dat de eigen docent die de leerling een aantal jaren heeft meegemaakt en zijn kwaliteiten in positieve èn negatieve zin kent ook los van dat geobjectiveer met correctienormen, het nauwgezet toepassen ervan en de controle daarop door een buitenstaander die die leerling niet kent, waarna het computer gemillimeter met N-termen en decimalen nog volgt, ook de gelegenheid en de kans moet hebben om dat niet per examen meetbare aspect, dat hij de leerling kent en op waarde weet te schatten buiten wat die leerling in die 3 uren op papier weet te zetten, ook een heel klein beetje subjectief in te brengen, zoals dat bij de overgang in cruciale gevallen ook gebeurt.

In het PO is het advies van de school inmiddels leidinggevend en komt de CITO-score pas achteraf als aanvullend, bij het CE mag er ook wel ietsjes meer dan die cijfermolen meetellen.

Het omwisselen. Terecht? Zinvol?

Wat betreft het omwisselen van de correctievolgorde merk ik op dat dit in feite een motie van wantrouwen is aan het adres van al die docenten die hun eerste correctie nauwgezet en met plichtsbesef uitvoeren. Als er dan toch aanleiding is, dan lijden hier de goeden onder de kwaden. Maar je vraagt je af of de sterke verhalen, die sommige kranten en docenten ventileerden niet te veel geloofd werden. Echt fundamenteel aangetoond zijn die verhalen niet.
Dat die tweede correctie minder goed lijkt te worden uitgevoerd houdt nog niet in dat die eerste correctie slecht is uitgevoerd en het is niet aangetoond dat er door een eventueel minder vaak of goed uitgevoerde tweede correctie significant verkeerde cijfers worden uitgedeeld en leerlingen onterecht slagen.
De factor tijd speelt bij de tweede correctie zeker een rol: je moet soms lang wacht op de eerste correctie, de school van de eerste correctie zet soms een straf schema op die tweede correctie vanwege de administratieve verwerking. En ondertussen gaat het gewone schoolwerk, inclusief surveillance, gewoon door.
Vergelijken met “vroeger” is niet aan de orde: het werk van een docent is tegenwoordig een stuk intensiever dan toen.
Via het examenforum heb ik jaar op jaar geconstateerd, dat docenten tijdens vrije weekenden, feestdagen en tot zeer diep in de nacht moesten doorweken om al het correctiewerk gedaan te krijgen.
De aanlokkelijkheid van de tweede correctie is door de sterk afgenomen vergoeding (die je vroeger kreeg voor niet alleen telefonisch overleg maar ook het bezoek aan de eerste correcter als tweede corrector wat toen veel meer gebeurde) natuurlijk ook niet toegenomen.

De N-term…

Als ik voor mezelf naga, dan denk ik dat ik, als ik eerst de examencorrectie van een vreemde school moet doen, dat erg formeel zal doen, of moet ik het woord afstandelijk hier gebruiken? Ik vermoed dat ik, zonder het oordeel van de eigen docent al bij de hand, kritischer zal zijn, of misschien moet ik zeggen minder toegeeflijk, dan bij eigen leerlingen. En omdat het geen leerlingen zijn waarvan ik de werkwijze gewend ben zal het nakijken zeker niet vlotter gaan. Maar het werk moet natuurlijk van a tot z  volgens de normen nagekeken worden. En natuurlijk ingevoerd in WOLF, want anders duurt het voor het CITO te lang om te beslissen welke N-termen moeten gaan gelden.

DAT HEEFT MISSCHIEN EEN ONBEDOELD NEVENEFFECT, INHERENT AAN HET HUIDIGE NORMERINGSSYSTEEM: DIE EERSTE CORRECTIE ZAL “DUS” JUIST GEEN HOGERE SCORES OP GAAN LEVEREN, MAAR MOGELIJK, MISSCHIEN OF ONGETWIJFELD LAGERE, WANT ANDERS HAD DIE OMKERING GEEN ZIN EN NUT. DAT BETEKENT EVENTUEEL: HOGERE N-TERMEN!!!

Meer overleg.

De docent die het werk van z’n eigen leerlingen als tweede gaat corrigeren zal dat nu zeker zo nauwgezet als nu, maar misschien nog weer nauwgezetter, doen dan eerst om toch elk puntje dat een leerling zou toekomen eruit te slepen, ook juist omdat die andere collega het werk van vreemde leerlingen met andere ogen bekijkt, waaraan mogelijk het een en ander ontsnapt wat een eigen docent wel meent te zien.

En daarna zal er ongetwijfeld meer dan nu overleg plaats vinden, en zeker ook uitvoeriger, want de andere docent is nu veel meer, leidender en bepalender, betrokken in het proces en zal zijn docentvaardige, vaktechnische en tijdkostende investering daarin niet zo maar prijs geven aan de eigen docent van de leerling, die het op zijn beurt voor zijn leerlingen zal opnemen.
En of het uiteindelijk zal resulteren in betere examencorrectie? Kun je dat verwachten? Vast niet. Het blijven dezelfde docenten, die uiteindelijk toch op dezelfde wijze blijven nakijken en na verloop van tijd zich op de één of andere manier zullen “aanpassen” aan dit nieuwe systeem. Als er dan inderdaad tegen de huidige opzet van de examencorrectie bezwaren over de kwaliteit in te brengen zouden zijn dan is het alleen maar te verwachten dat diezelfde bezwaren in de toekomst weer de kop op zullen steken.
Wat zal blijven is dat de communis opinio over de correcties nog steeds zal zijn: soms slordig, niet volgens de normen en te streng nagekeken, maar regelmatig goed! Zo heb ik dat zelf ervaren en zo blijkt ook uit het VO-onderzoek.

Op basis waarvan?

Er is dus een onderzoek geweest van de VO-raad. Alleen voor de vakken NE, BI, GS en TE. De vakken NE en GS zijn nogal talige vakken (ik weet niet of daar ook nog gesloten vragen bij te pas komen), BI heeft ook een exacte component en van TE weet ik te weinig.

Van mijn collega’s NE en GS kwamen me regelmatig de verhalen ter ore van intensief overleg tussen 1^e en 2^e corrector over en weer omdat het moeilijk bleek te zijn om de correctievoorschriften zonder meer toe te passen op de antwoorden van de leerlingen. Dat lag dan niet alleen aan het verschil in nakijken en toepassen van die voorschriften maar ook aan onvolledigheid van die voorschriften zelf, iets wat bijna inherent is aan de situatie bij deze vakken.
In ieder geval, de andere exacte vakken NA, SK en de verschillende varianten wiskunde zijn niet in het verhaal betrokken. Het heeft allemaal nu wel een erg groot E&M/C&M-accent op die manier.
Exacte vakken hebben nu eenmaal een andere vraag- en antwoordvorm. Berekeningen en getallen kijken anders na dan een tekst, een betoog, een antwoord op een vraag als “Noem twee aspecten…”.
Dat lijkt me op zich al een behoorlijke tekortkoming aan het onderzoek en dat levert dus geen valide grond om een wijziging in de correctievolgorde aan te brengen. Althans zeker niet voor elk vak.
Een diepgaande analyse van de verschillende vormen waarin het examen afgenomen wordt, de wijze waarop de antwoorden geformuleerd worden, de vorm waarin de correctievoorschriften gegoten zijn en toegepast moeten worden en de  invloed die dat heeft op de wijze waarop de eerste en de mate waarin tweede correctie worden uitgevoerd vraagt meer onderzoek dan dit VO verhaal.
Wel is duidelijk, ook in dit beperkte onderzoekje, dat de factor tijd een belangrijke rol speelt, slechts een derde van de betrokkenen vond dat de tijd voldoende was. Maar daar worden geen consequenties uit getrokken. In tegendeel, Sander Dekker deed dat met een vrolijke lach af als onzin.

Het lijkt mij een besluit dat nogal voor de Bühne bedoeld is, wat niet verwonderlijk is als een PVV-kamerlid expliciet wordt genoemd bij de aankondiging ervan.

Advies VO-raad: http://www.vo-raad.nl/userfiles/bestanden/Centraal%20eindexamen/Rapportage-pilot-tweede-correctie.pdf

Reactie NVvW: https://www.nvvw.nl/20565/nvvw-reactie-tweede-correctie-20150419

Mooie aanvulling: "In Vlaanderen vertrouwen we de leraar":

Rekenen, wat versta je daaronder?

Twee soorten rekenen?

Als het over de definitie van rekenen gaat en wat dat rekenen dan in moet houden in het onderwijs in het PO en VO dan lijkt het erop dat er grofweg twee opvattingen leven.

Het komt volgens mij erop neer dat het gaat om het procedurele rekenen sec of het ook vaardig kunnen toepassen van dat rekenen.
De ene opvatting, die sterk verwant is aan de ideeën van de voorstanders van het zogenaamde traditionele rekenen, komt er, wat kort door de bocht geformuleerd, op neer dat het alleen gaat om getallen en hun bewerkingen op zich. Met andere woorden, hoe doe je +, -, x en : en aanverwante bewerkingen met getallen. En hoe doe je dat zonder rekenmachine, natuurlijk. Dus op papier of uit het hoofd, zonder dat die getallen een andere dan numerieke betekenis hebben.
Het is een erfenis der eeuwen hoe je dat doet en het is dan een kwestie van leren om het te kunnen.
Die erfenis is een voortdurende ontwikkeling geweest en dat leren is een bezigheid waarover didactisch al vele inzichten de revue hebben gepasseerd.
Tegenwoordig is er bijvoorbeeld een hele strijd gaande tussen het inzicht dat je iets beter kunt en onthoudt als je het met begrip en inzicht (over de toepassing) hebt geleerd en het inzicht dat je iets eerst “droog” veel moet oefenen en onder de knie moet krijgen om het te laten beklijven, met natuurlijk allerlei nuances daartussen.
Er bestaan organisaties die zich bezighouden met de historie van het rekenen en de manier waarop dat in het verleden gebeurde weer voor het voetlicht halen. Dan blijkt dat de manier waarop het rekenen tegenwoordig gebeurt qua systematiek en notatie de nodige ontwikkeling, zo niet evolutie, heeft ondergaan. Antiquarische rekenboekjes zijn soms niet te begrijpen voor een leek. Wat dat betreft is het verleden geen garantie voor de toekomst.

Traditioneel rekenen.

Het traditionele rekenen, zoals dat, zeg maar tot de jaren 60 / 70 op de scholen aan de orde was, bestond uit eindeloze rijtjes sommetjes met +, -, x en : toegepast op hele getallen, breuken en decimale getallen, procenten, kolomoptellen en –vermenigvuldigen, hoofdrekenen, staartdelen, soms zelfs worteltrekken en de nodige foefjes daarbij. Kijk op een rommelmarkt maar eens in de rekenboekjes van toen.

Ik was er erg goed in en met mij een minderheid in de 6^e klas van de lagere school en die kregen dan bijles om opgeleid te worden voor het toelatingsexamen van de HBS of Gymnasium. Andere leerlingen gingen naar de ULO, daarvan konden er veel ook best wel rekenen, anderen weer minder, en een deel ging naar de LTS of Huishoudschool. En er zaten ook nog één of twee leerlingen in de klas die ouder waren, die deden de zevende of achtste klas. Je had praktische rekenaars en meer theoretische rekenaars, en leerlingen die niet met getallen konden omgaan en alles daartussen.
Wat ik me heel goed herinner was, dat er een aantal leerlingen drommelse moeite had met dat rekenen. In de derde klas bleven leerlingen zitten die de tafels maar niet geleerd kregen en door de jaren heen bleven andere leerlingen worstelen met de sommetjes als het wat moeilijker of ingewikkelder werd. Het rekenen van toen was ondanks het stampen geen garantie dat iedereen het ook maar zou kunnen.

Hoe krijg je rekenen geleerd?

Het is natuurlijk zo dat je de basis van dit traditionele rekenen onder de knie moet hebben om verder te kunnen met rekenen, op welk niveau je het ook gaat gebruiken. Maar over de manier waarop je het onder de knie moet zien te krijgen en hoe ver dat moet gaan, daar is dus de nodige discussie over tussen de didactici, of nog liever, strijd.

Vergelijk rekenen eens met het leren van piano spelen of je als kind aansluiten bij een voetbalclub.
Aan kind zou je het eerste niet volhouden als het beperkt bleef tot het louter spelen van vingeroefeningen en toonladders. De muziekdocent zorgt er wel voor dat zijn pupil binnen de kortste keren ook een leuk muziekstukje kan spelen, dat dan natuurlijk op een voorspeelavond door de trotse ouders wordt aangehoord. En de pianist in spe krijgt ongetwijfeld wat meer informatie over muziek, muziekleer, compositie en uitvoering, tenminste mijn muziekleraar deed dat wel toen ik blokfluitles had. Het leer- en oefenproces werd in een bepaald muzikaal (toepassings-)kader geplaatst, het bleef niet op zich.
En dat voetballertje? Hij mag meteen zaterdag al meevoetballen, op de trainingen blijft het niet bij baltechniek en conditie, maar is er ook plaats voor spelzinzicht en, hoi, er wordt geëindigd met een partijtje.
Ik bedoel hiermee te zeggen dat er ook bij het rekenen van het begin af aan plaats moet zijn voor een inzicht in waar je mee bezig bent en de toepassing op waar het rekenen voor bedoeld is. Niet alleen eindeloos trappen tegen de bal of toonladders.

Een tweede soort rekenen?

Daarmee kom ik op de andere opvatting over rekenen, of kan ik misschien beter zeggen, dat het dan over toegepast rekenen gaat? Niet alleen leren hoe je met die getallen omgaat als er +, -, x of :  bij staat maar ook leren wanneer je die +, -, x of : gebruikt als het om “echte” getallen gaat. En ja, dat vraagt om contexten.

En met die getallen in contexten daar is onze maatschappij vol mee. Ik ga geen voorbeelden noemen, omdat ze in media en maatschappij menigvuldig op je afkomen. Voor mij staat vast dat de scholen de leerlingen moeten opleiden om met die informatie adequaat om te gaan. Een soort maatschappijleer, maar dan niet over ethische, sociale, politieke, levenbeschouwelijke of economische aspecten maar over het interpreteren van informatie die in getallen op je af komt. Je kunt je dan nog afvragen wie dit soort rekenen op z’n bordje krijgt in het VO: wiskunde of …
Ik denk dat die zogenaamde referentiekaders waarop de rekentoets gebaseerd is zo ongeveer wil voorzien in dit bedoelde maatschappelijke aspect.
Het zogenaamde realistisch rekenen, een containerbegrip voor een breed veld van didactieken en methoden, dat sinds de Mammoetwet min of meer in het onderwijs manifest is en zich via allerlei tussenstadia (ik noem wiskobas, de schotse methode) heeft ontwikkeld tot de huidige vormen en in hoofdlijnen is vastgelegd in referentiekaders die het onderwijs sturen, is een uitwerking en consequentie van deze visie.

Grote veranderingen hebben hun gevolgen.

Parallel met deze ontwikkeling zijn er ook een aantal technische en educatieve ontwikkelingen gaande, die het proces hebben beïnvloed. De bekendste zijn wel de (grafische) rekenmachine, de computer, ICT, de laptop en de tablet als vervanger of aanvulling op het boek. Daarnaast hebben onderwijs(on)kundige ontwikkelingen als de Tweede Fase etc. zijn invloed doen gelden, waardoor het leerproces op zich, zich verplaatste van de docent als procesleider en –verantwoordelijke naar de leerling. Dat laat ik verder hier buiten beschouwing.

Terug naar het rekenen. Juist die elektronische en digitale hulpmiddelen hebben het hele rekenverhaal ook fundamenteel veranderd. De techniek van het rekenen op zich, het goed kunnen manipuleren van getallen met +, -, x en : is minder van belang geworden dan het inzicht wanneer je moet optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen of welke bewerking dan ook. Het juist en goed kunnen toepassen van deze bewerkingen op getallen in de praktijk wordt belangrijker dan alleen de routine van het cijferen.
Natuurlijk, met het voorbehoud dat geen pianist ooit het concertpodium heeft betreden zonder eindeloos oefenen van toonladders en vingeroefeningen toen hij aan het leren was. Cijferen ligt aan de basis van het rekenen en rekenen ligt aan de basis van het toegepast rekenen. Het echte rekenen gaat voor mij dus verder dan het adequaat kunnen omgaan met getallen en bewerkingen. Het echte rekenen gaat verder dan aangeleerde rekenprocedures op papier eindeloos kunnen herhalen. Rekenen gaat (ook) over het inzicht hoe je met getallen om moet gaan en wat je ermee moet doen om het probleem waarvoor je gesteld staat op te lossen. Dat een rekenmachine daarbij een zinvol hulpmiddel is behoeft nauwelijks betoog. Ook met een rekenmachine kun je alleen maar goed rekenen als je hebt leren rekenen en je weet wat voor berekeningen je moet gaan maken.

Een voorbeeld.

Deze vraag uit een rekentoets kwam onlangs voorbij: iemand verdient € 200 en krijgt € 15 loonsverhoging. Hoeveel loonsverhoging krijgt iemand die € 140 verdient en een zelfde procentuele verhoging krijgt?

Eén van de kritiekpunten bij deze rekentoetsopgave was dat er gebruik mocht worden gemaakt van de rekenmachine. Kritiek die ik niet begrijp omdat er voordat je de rekenmachine pakt er eerst het nodige rekenkundige inzicht moet worden getoond en rekenkundig werk moet worden verzet voor er wat berekend moet worden.
Het antwoordt op de vraag is het kortst te formuleren met

140 + 15/200 x 140 = 150,50 en dat vraagt natuurlijk het nodige rekenkundige inzicht om het zo te doen.

Een andere benadering is 200 : 15 = 140 : x dus x = 15 x 140  / 200 = 10,50 dus het antwoord is 140 + 10,50 = 150,50

(leerlingen maken voor zulke problemen verhoudingstabellen).

Omdat er ook over procenten gesproken wordt zou het ook kunnen als: 15 is 15 / 200 x 100 = 7,5 %

en 7,5 % van 140 is 0,075 x 140 = 10,50 dus er komt € 10,50 bij.

Fundamentele kritiek op deze opgave is dat in het kader van de rekentoets alleen naar het (digitaal ingevoerde) antwoord gekeken wordt. Naar inzicht in het probleem wordt niet gekeken, omdat die dan overschaduwd wordt door een mogelijke rekenfout of tikfout en dus een fout ingevoerd antwoord, het enige wat gevraagd wordt. Een kommaatje verkeerd of vergeten die € 10,40 bij € 140 op te tellen of zoiets is meteen dodelijk, ook als je het principe snapt.

En toont een leerling hier nu minder rekenvaardigheid als hij of zij het puur technisch rekenwerk aan de rekenmachine overlaat en daarmee op het juiste antwoord komt? Als je niet rekenen kunt vind je in dit geval het antwoord ook met de rekenmachine niet. Als je wel rekenen kunt heb je hooguit snel genoeg door dat er iets niet klop als je echt een fout maakt met het apparaat. Ondertussen ben je nog wel even aan het rekenen als je het inderdaad op papier moet doen, maar krijgt de opgave daardoor meerwaarde?

Overigens, hoe “realistisch” is deze opgave? In de praktijk zijn percentages wel anders, loonsverhogingen gaan bij voorbeeld met 0,6 % en wat je verdient is meestal een veel minder rond getal. Dan pak je al helemaal de rekenmachine (tenzij je niet geleerd hebt om daarmee rekenkundig juist om te gaan). BTW is 6 % of 21 %, geloof ik, bedragen eindigen vaak op 0,99 en ga zo maar door.

Dan sta je wel helemaal met de mond vol tanden met je kennis van  ½ : ¾ = ½ x 4/3 of je vaardigheid om een staartdeling te kunnen maken. (Wat niet wil zeggen dat ik vind dat je dat niet zou moeten kunnen. Maar wel dat je het dan ook zou moeten kunnen controleren op je rekenmachine, behalve natuur lijk tijdens een toets).

Slotopmerking 1.

In hoeverre het grondig ingevoerd zijn in het “eerste soort rekenen” een noodzakelijke voorwaarde is voor beter begrip en inzicht in de abstractere werkelijkheid van de wiskunde, daar heb ik het nog niet over gehad. Maar niet iedereen, lang niet, heeft dat abstractere inzicht en begrip in wiskunde nodig.

In tegendeel, ik denk dat de maatschappij en diverse vervolgopleidingen ook gediend zijn met mensen die met het “tweede soort” rekenen uit de voeten kunnen.

Slotopmerking 2.

Prof. J. van der Craats heeft een Basisboek Rekenen gepubliceerd https://staff.science.uva.nl/j.vandecraats/#br wat de het principe van het “eerste soort rekenen” goed in beeld brengt. Het heet niet voor niets basisboek. Verder heeft hij een alternatieve Kennisbasis voor de PABO https://staff.science.uva.nl/j.vandecraats/#pabo opgesteld, dat als basis voor de didactiek voor het aanvankelijke rekenen een goed uitgangspunt genoemd mag worden. Maar moeten we leerlingen niet méér leren dan dat?

Slotopmerking 3

Er is veel kritiek op het “realistisch rekenen” vanuit bepaalde hoeken van en buiten het (PO- en VO-)onderwijs, en daarmee eigenlijk ook op het “tweede soort rekenen”. Het Referentiekader Rekenen http://www.taalenrekenen.nl/downloads/referentiekader-taal-en-rekenen-referentieniveaus.pdf/download moet het daarbij steeds ontgelden, ook al omdat het van bovenaf opgelegd zou zijn door de staat. Maar ik mis in die kritiek een duidelijke notie hoe er wel op dit punt voorzien kan worden, in toegepaste, maatschappelijke rekenvaardigheid dus, mede refererend aan de elektronische en digitale mogelijkheden die niet meer weg te denken zijn als het om rekenen gaat. Daar is (nog) geen basisboek voor.

Slotopmerking 4.

De grote variëteit waarmee het Referentiekader Rekenen op de scholen in de praktijk wordt gebracht, zowel in de verschillende rekenmethodes als door de individuele docent, geeft blijk van het feit dat er niet gesproken kan worden van staatsdwang inzake rekenen en rekendidactiek. Bij de recente discussies over de rekentoetsen, die nauw gekoppeld zijn aan het referentiekader, stond dat kader en de niveaus die daarin vastgesteld zijn nauwelijks of niet ter discussie bij de meeste betrokken partijen, hoewel ieder voor beter rekenonderwijs is.