Meneer van Dale is in de Waal verdronken.

Pieter Steinz heeft een boek geschreven “Meneer van Dale wacht op antwoord”  (uitgave Prometheus, ISBN 978 90 446 0260 9, allen tweedehands verkrijgbaar) waarin hij het heeft over de rijtjes die we op de lagere school leerden, vroeger. Jaartallen, plaatsnamen, maar ook Meneer van Dale: de volgorde van rekenkundige bewerkingen, ook bekend als “Men Vaart De Waal Op en Af”, “voor velen is deze geheimzinnige spreuk het enige overblijfsel van vier jaar wiskunde op de middelbare school”.
“Leren was memoriseren” schrijft hij, “men leerde rekenen met tafels” en “er waren nauwelijks vakken waarbij geen gebruik werd gemaakt van rijtjes en ezelsbruggetjes”. Met de theoretische kennis van MVDWOA zou Pieter Steinz niet ver gekomen zijn om sommen uit te rekenen, zegt hij, en dat is niet alleen de schuld van zijn gebrekkige wiskunde: er bleken hem bij nader onderzoek nogal wat bezwaren te kleven aan deze regel.
Pieter Steinz citeert iemand die aangeeft dat de juiste volgorde moet zijn MW, VD, OA waarbij binnen de gemaakte groepjes van twee sprake is van gelijkwaardigheid: “Meneer Wortel Vindt Deze Oplossing Afdoende”.
Een andere suggereert de “Men Vaart”-regel te eindigen met “Op en Af en Af en Op”

Ed de Moor schrijft in de Nieuwe Wiskrant van april 1995 uitgebreid over van Dale onder de kop “Weg met Van Dalen”. Hij begint: “met de invoering van de zakrekenmachine in de basisschool en de basisvorming is tevens het probleem van de volgorde van de bewerkingen weer actueel geworden. (…) De meeste zakrekenmachines zijn anders geprogrammeerd (…) dan het ezelsbruggetje Meneer van Dale Wacht Op Antwoord”.

REKENMACHINE EN VOLGORDE.

Ed de Moor onderscheidt in zijn artikel twee soorten zakrekenmachines: eenvoudigere machientjes die lineair werken en machientjes die tegenwoordig als “wetenschappelijk” zouden worden aangeduid en nu alom voorgeschreven en in gebruik zijn in het VO.

Lineaire machientjes rekenen zodra je een bewerkingstoets indrukt meteen verder: als je achter elkaar 6 + 5 x 3 intikt, dan zie je na het indrukken van de x meteen het resultaat van 6 + 5 en rekent de machine verder met het getal 11. Na de 3 en de = is het resultaat 33. De rekenmachine op mijn mobieltje werkt ook zo.
Het lijkt en beetje zoals we vroeger op de lagere school “hoofdrekenen” deden. Meester zei “zes” en dan  “plus” en dan “vijf” en dan wist je “elf!”, vervolgens “keer” en dan “drie” en dan kwam je op 33. We zouden het nu noteren als ( 6 + 5 ) x 3.
Dit soort machientjes behandelt trouwens + en - zowel als x en : op zich in volgorde van notatie:
7 – 4 + 2 = 3 + 2 = 5 en niet 7 – 6 = 1 en   12 : 2 x 3 = 6 x 3 = 18 en niet 12 : 6 = 2. Ze volgen Meneer van Dale dus niet in de zin van + voor  – en x voor : .
“Wetenschappelijke” rekenmachines  berekenen 6 + 5 x 3 als 6 + 15 met als resultaat 21.
Op een tweeregelige machine  tik je dat eerst helemaal in op het scherm. Op zo’n rekenmachine kun je trouwens het ”hoofdrekenen” van vroeger imiteren door na elk getal op de enter(=)-toets te drukken. Helaas, zoiets leidt soms dan weer tot brei-notaties als 6 + 5 = 11 x 3 = 33.
Op oudere machientjes met één regel “wachten" deze na bijv. + 3 of – 4 als het ware even met het optellen of aftrekken op wat de volgende bewerking zal zijn om eventueel eerst te vermenigvuldigen of te delen.
Waarom dit verschil tussen rekenmachines? Misschien omdat rekenen meestal vanuit een context gebeurt, bijvoorbeeld zoals bij taxikosten met basistarief  € 3 en daarna € 2 per km  na 5 km de ritprijs van 3 + 2 x 5 = 13 euro opleveren?
Maar als je eerst 5 en dan 2 candybars van  2 euro koopt dan kost je dat 5 + 2 candybars  x 2 = 14 euro. Dat lijkt op 5 + 2 x 2 = 14 (of 5 + 2 = 7 x 2 = 14...) en op een lineaire machine werkt het dus ook zo.
In het huidige rekenonderwijs schrijven we in het laatste geval ( 5 + 2 ) x 2 en de “wetenschappelijke “ RM weet er dan dankzij haakjes wel raad mee. (Simpele lineaire machientjes hebben geen haakjes).
In ieder geval, geen enkele rekenmachine rekent met  + en – resp. x en :  in de zin van  die ouderwetse Van Dale.
En deden we dat bij algebra op de HBS in feite ook al niet al gewoon zo?
3a – 5b + 6a = 3a + 6a - 5b = 9a – 5b.
Gelijksoortige termen bij elkaar nemen. Het teken voor de term bepaalde of het erbij of eraf ging. En niemand die dacht aan 3a – (5b +6a) = -3a – 5b in dit geval, toch?
Ik hoorde van sommige basisschoolleerlingen inderdaad bij 7 - 4 + 2 dat ze zeiden: 7 eraf 4, erbij 2.

WAAR KOMT “VAN DALE” VANDAAN?

Van Dale schijnt een louter lokaal Nederlands verschijnsel te zijn. Internationaal blijken andere conventies te bestaan die gebaseerd zijn op lineairiteit bij + en -, resp. x en : . De MVDWOA-regel is niet uit de wiskunde afkomstig, maar een lagere-school-rekenconventie die al meer dan een eeuw bestaat. In 1881 beriep onderwijzer J. van der Veer zich op het toen bekende handboek van Badon, Ghijben en Strootman, waarin gesteld werd dat de volgorde MVDWOA diende te zijn. Leerlingen van hem hadden een berekening a : b x c uitgerekend als (a : b) x c wat hen door een andere onderwijzer zo geleerd was, terwijl Van der Veer meende dat het a : ( b x c) moest zijn. Zijn vraag hierover in Het Schoolblad leverde een stoet van reacties voor en tegen. (Dat is tegenwoordig soms niet anders...)
In 1907 schrijft de rekendidacticus Van Pelt over de “innigheid” van product en quotiënt. 6 x 9 + 4 x 4 betekent dat 6 x 9 vermeerderd moet worden met 4 x 4, dus vermenigvuldigen gaat voor optellen. Wiskundig/rekenkundig gezien in principe  misschien een arbitraire kwestie, maar bij toegepast rekenen in de zin van 6 x 7 gulden + 5 x 4 gulden = 42 +  20 gulden =  62 gulden verklaarbaar in en land van kooplieden als Nederland.
Het er in gestampte regeltje Meneer Van Dale (in de zin van 7 - 4 + 2 = 7 -6 = 1) is dus al voordat de rekenmachines de volgorde-dienst lijken te hebben uitgemaakt al niet  meer vanzelfsprekend, zeker geen internationale norm en steeds onderhevig geweest aan de nodige kritiek.
Maar andersom, de volgorde die(wetenschappelijke) rekenmachines volgen was, buiten Nederland zeker, al een procedure die als valide werd erkend en toegepast, zeker in de wiskunde.

MENEER VAN DALE OP DE SCHOP

Het Doelenboek Eindtoets Basis Onderwijs uit 1995 omzeilt het probleem Van Dale nog door te stellen dat in eindtoetsen opgaven waarbij het gebrek aan eenstemmigheid t.a.v. de rekenvolgorde een rol kan spelen waar nodig haakjes geplaatst zullen worden om aan te geven welke bewerking het eerst moet worden uitgevoerd.

Maar in de nieuwere wiskunde- en rekenmethoden van die tijd  is al geen plaats meer voor Meneer Van Dale en doen nieuwe conventies, naar internationale standaard, hun definitieve intrede. Veelal wordt aangesloten bij de lineaire ("van-links-naar recht")aanpak bij + en -, resp. x en :, waarbij de laatsten prioriteit hebben boven de eerste, wat dus neerkomt op het eerder genoemde MW VD OA.
“Getal en Ruimte” had in 1994 van die geheugensteunbriefjes in haar tweedeklasboeken afgedrukt, waarop stond (worteltrekken was nog niet aan de orde):  

Ed de Moor noemt als één van zijn slotconclusies: ”De volgorde van bewerkingen wordt bij toepassingen door de context bepaald. Indien nodig worden bij formele berekeningen haakjes geplaatst.”

Hij noemt ook nog een artikel van P. J. G. Vredenduin in Euclides jaargang 54, no. 3 (1978) “Haakjes” waarin wordt gesteld dat met behulp van formele wiskundetaal de bewerkingsregels precies kunnen worden gedefinieerd.

ZOEKEN NAAR NIEUWE CONVENTIES

Dhr. J. Maassen, voormalig secretaris van de NVvW, liet mee eens weten dat een nomenclatuurcommissie uit 1973 bepaalde:

-          machtsverheffen gaat voor vermenigvuldigen; vermenigvuldigen gaat voor optellen en aftrekken.

-          delen geeft men aan door een horizontale breukstreep, niet door  :

-          het teken  : wordt gebruikt in verhoudingen en evenredigheden.

Dat zou het “probleem” van  4 : 2 x 8 oplossen: 

Geen misverstand meer mogelijk.

In 1992 werd een nieuwe nomenclatuurcommissie ingesteld om te komen tot voorstellen die zouden passen bij het nieuwe leerplan wiskunde voor de onderbouw, de basisvorming. Deze commissie produceerde een conceptrapport ter becommentariëring, waarin o.a. voorgesteld werd om vermenigvuldigen en delen in de volgorde van links naar rechts te doen.

Een bezwaar tegen deze regel zou gelegen zijn in een vorm als 5p : 2p. Immers, daar staat eigenlijk 5 x p : 2 x p en als je daar deze regel consequent op toepast krijg je ((5 x p) : 2) x p = 2 ½ p². Dat zou volgens dhr. Maassen toch weer moeten leiden tot invoering van de horizontale breukstreep voor het delen.

Maar als p = 3 staat er  in feite 15 : 6 = 2 ½ , dacht ik… En ik heb het al eerder genoemd, 2p + 5p, twee termen opgeteld, wordt en werd ook niet opgevat als (2 x p + 5) x p, 2p en 5p werden beschouwd als termen, waarbij (zou je kunnen zegen) de vermenigvuldiging al plaatsvond. Dat lijkt weer een beetje op die “innigheid”.

En algebraïsch is 2p + 5p = (2 + 5)p = 7p.

Het leek mij dus een beetje een geconstrueerd tegenargument waar wel wat tegenin te brengen is.

Tot invoering van die breukstreep in plaats van :  is het niet meer gekomen. De nieuwe boeken zijn met de aanbevelingen van deze commies aan de haal gegaan en de voorstellen zijn met de invoering van het nieuwe leerplan zo niet de jure dan wel de facto van kracht geworden.

Een citaat uit dit conceptrapport:

INGESTAMPTE REGELTJES.

Ja, dat erin gestampte regeltje Meneer Van Dale “geldt dus niet meer”. Eigenlijk geldt er geen enkel regeltje, het zijn allemaal afspraken en conventies die we met elkaar maken om het zo te doen en niet anders. Het zijn arbitraire keuzes, zij het gebaseerd op het rekenen in de praktijk.

Het erin stampen van dit “regeltje” had ook weinig nut als inderdaad het rekenwerk gekoppeld werd aan de context, die uiteindelijk bepaalde wat er uitgerekend werd en hoe dat moest. Hooguit kun je dan twisten over hoe je die rekenprocedure noteert om die duidelijk te maken aan een ander.
Die Meneer Van Dale domweg toepassen en oefenen op getallen met de bewerkingen +, -, x en :  en dan controleren of  dit “regeltje” juist gevolgd is, dat waren natuurlijk zinloze exercities. Dat sommetjes maken werd door velen op de lager school dan ook gehaat. Het was abstracte nietszeggend gegoochel met getallen, dat je nu eenmaal “zo” moest doen en het “waarom” was niet aan de orde en voor velen niet duidelijk.
Maar ook andere conventies toepassen op alleen maar cijfersommetjes is iets waar je vraagtekens bij kunt zetten als er geen verbinding is met contexten waarin die getallen en bewerkingen hun doel en zin krijgen.
Natuurlijk is “droog” oefenen met getallen nodig, maar dat zal vast zinvoller lukken als daaraan een traject is vooraf gegaan waarin met begrip en inzicht een basis is gelegd die leerlingen bewust maakt van de samenhang en betekenis van wat ze aan het doen zijn.
We kennen meer van die lagere-school-mantra’s: “delen door een beuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde” . Ik las in “Didactische oriëntatie voor wiskundeleraren” van Dr. Joh. H . Wansink in deel II de nodige kritische opmerkingen over deze regel en het invoeren van breuken op blz. 170 en 180.
Gelukkig leren de leerlingen geen louter mechanisch rekenen meer en wordt er ook aan het door Wansink bekritiseerde veelal ontbreken van inzicht nu veel meer gedaan.
Overigens: het is Van Dalen en niet Van Dale, de naamgever komt  van het Groot Woordenboek der Nederlandse Taal, en hij kan vanuit de wiskunde nog lang op antwoord wachten.

Correspondentie met College voor Examens

MIJN VRAGEN AAN HET COLLEGE VOOR EXAMENS

CvE wees me nog op de disclaimer in de antwoordmails:

Disclaimer: het antwoord op de vraag die wordt gesteld is specifiek bedoeld als antwoord op díe vraag van díe vraagsteller, niet voor verdere verspreiding. Het CvE is op de hoogte van het gegeven dat deze antwoorden door de vraagsteller verder (fora, communities, digischool, examenbesprekingen etc.) kunnen worden verspreid. Het CvE hecht eraan te melden dat het antwoord aan de individuele vraagsteller slechts gelding heeft in het contact met de individuele vraagsteller.

 

In het CV HAVO wiskunde B 2014 tijdvak 1 staat bij vraag 1.

1 punt voor “de vergelijking 50 = … moet opgelost worden” en daarna bij vraag 2

1 punt voor “beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost”

Dat laatste kan algebraïsch tot en met  0,5 ^ t  =  1/3000, daarna is een rekenmachine nodig.

Maar met de grafische rekenmachine zou die beschrijving moeten luiden:

y1 = 50, y2 = 100 / ( 1 + 3000 * 0.5 ^ x) en intersect geeft x = 11,55.. (en y = 50) (waarna het derde punt verdiend wordt met het antwoord: na 12 jaar.

Elk jaar keert de discussie terug of de eerste punt mag worden toegekend als een leerling de vergelijking niet expliciet opschrijft, maar alleen bij de tweede stap met de GR impliciet aangeeft dat hij de vergelijking (blijkbaar) op lost (maar eigenlijk het snijpunt van 2 grafieken uitrekent) Overigens kan de oplossing ook gevonden worden met de SOLVER door 0 = 50 – 100 / (1 + 3000 * 0.5 ^ x)  in te voeren. Dan wordt in ieder geval een vergelijking genoteerd (hoewel veel leerlingen zich dan beperken tot de opmerking dat ze de SOLVER gebruiken).

Is het terecht dat in zo’n geval de eerste punt toch wordt toegekend?

En zijn er conventies, waaraan de beschrijving minimaal moet voldoen?

In de syllabi wordt aan de z.g. GR-taal, die bij beschrijven hoe een vergelijking moet worden opgelost met de GR minimaal noodzakelijk is, weinig tot geen aandacht besteed en er zijn geen officiële voorbeelden hiervan.

EEN (EERSTE) ANTWOOTD / REACTIE.

 

Leerlingen mogen bij een CE waar de grafische rekenmachine is toegestaan alle functionaliteiten van dat apparaat gebruiken, tenzij in de vraag nadrukkelijke aanwijzingen zijn gegeven over de te volgen oplosmethode (bv exact). Wel dient een leerling in zijn/haar uitwerking duidelijk te maken hoe hij/zij aan het antwoord gekomen is. Het is aan de docent in de rol van corrector (eventueel in overleg met de 2e corrector) om te bepalen in hoeverre een leerling daarin geslaagd is.

 

DE VRAGEN DUS NOG MAAR EENS HERHAALD:

 

Ik heb de indruk dat u eigenlijk alleen mijn tweede punt beantwoord hebt met uw opmerking:

“Wel dient een leerling in zijn/haar uitwerking duidelijk te maken hoe hij/zij aan het antwoord gekomen is. Het is aan de docent in de rol van corrector (eventueel in overleg met de 2e corrector) om te bepalen in hoeverre een leerling daarin geslaagd is.”

al moet ik zeggen dat dat “duidelijk maken” ook gezien de reacties in de examenfora een nogal ruim te interpreteren criterium is als het over GR-gebruik gaat, waarin de ene strenger is en de ander toleranter en waarover niets op papier staat, in tegenstelling tot de beantwoording van vragen waarin woorden uit de Examen(werk)woordenlijst voorkomen, zoals algebraïsch, exact, onderzoek etc.

Maar het eerste punt, het niet expliciet vermelden van een vergelijking die moet worden opgelost zoals in het eerste bolletje staat vermeld, maar het wel voldoen aan het tweede bolletje, door te vermelden hoe met de GR SNIJPUNTEN worden berekend van de grafiek van het linker- en rechterlid (zie mijn voorbeeld hieronder), daar zie ik geen antwoord op. Zoals gesteld, er zijn een aantal collega’s, die vinden, dat als aan de tweede stap is voldaan, door de invoer duidelijk genoeg aan te geven, de eerste stap, die er niet staat, toch gehonoreerd kan worden.

Hetzelfde doet zich (min of meer) voor bij CE HAVO wiskunde A 2014 tijdvak 1 vraag 10:

- het eerste bolletje: ... normale verdeling met m = 1,45 ...  P(0,54<r.w.<2,36)=90

- het tweede bolletje: gebuik normaleverdelingsfunctie… (dus normalcdf (0.54,2.36, 1.45, x)=0,90 op de één of andere manier oplossen)

waarin denk ik veel leerlingen meteen normalcdf (0.54,2.36, 1.45, x)=0,90 op papier zetten en het eerste overslaan.

Of bij vraag 12, 2e uitwerking:

- het eerste bolletje: ... binomiale verdeling ... X = het aantal schaatsers met een afwijking, n = 5, p = 0,06 ( (P X<=0)

- het tweede bolletje (met GR) binomcdf (5, 0.06, 0) = 0, 73... (binompdf (5, 0.06, 0) = 0,73... levert hetzelfde antwoord maar is misschien niet de bedoeling)

waar veel leerlingen niet de eerste regel maar wel meteen de tweede regel opschrijven. Dan wordt vaak zowel het eerste als tweede punt gegeven.

In beide gevallen maakt de tweede regel wel duidelijk om wat voor verdeling het gaat en weten de leerlingen de variabelen op de juiste plaats neer te zetten, maar het essentiële inzicht over de toevalsvariabele, zijn parameters en de kans die daarmee berekend wordt ontbreekt.

En vaak komen er onjuiste variabelen te staan en gaan collega’s “sprokkelen”, terwijl er dan geen inzicht is of de leerling echt begrepen heeft hoe de betreffende verdeling hier toegepast wordt.

De vragen hierboven, waarvan het CV kennelijk wenst dat eerst in “wiskunde-taal” het probleem gemathematiseerd wordt, wordt dus vaak beantwoord door alleen aan te geven hoe het antwoord met de GR beantwoord moet worden en dus in “GR-taal” vertaald en dan toch volledig beloond.

Ik hoop daar graag een visie over te horen.

(tekst voor de duidelijkheid een beetje aangepast)

 

WAAROP HET CvE ANTWOORDT:

 

Als een kandidaat de juiste waarden/grootheden heeft ingevuld en juist gehanteerd, geeft hij inzicht dat hij de formule begrijpt. U kunt conform het correctievoorschrift de scorepunt toekennen.

 

MEER DUIDELIJKHEID GEVRAAGD.

Uw antwoord is mij niet echt duidelijk.

Ik herhaal de kernvraag:

In het CV HAVO wiskunde B 2014 tijdvak 1 staat bij vraag 1.

1 punt voor “de vergelijking 50 = … moet opgelost worden” en daarna bij vraag 2

1 punt voor “beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost”

Dat laatste kan algebraïsch tot en met  0,5 ^ t  =  1/3000, daarna is een rekenmachine nodig.

Maar met de grafische rekenmachine zou die beschrijving moeten luiden:

y1 = 50, y2 = 100 / ( 1 + 3000 * 0.5 ^ x) en intersect geeft x = 11,55.. (en y = 50) (waarna het derde punt verdiend wordt met het antwoord: na 12 jaar.

Elk jaar keert de discussie terug of de eerste punt mag worden toegekend als een leerling de vergelijking niet expliciet opschrijft, maar alleen bij de tweede stap met de GR impliciet aangeeft dat hij de vergelijking (blijkbaar) op lost.

Is het terecht dat in zo’n geval de eerste punt toch wordt toegekend?

Het gaat om een antwoord ja of nee.

De tweede vraag was:

En zijn er conventies, waaraan de beschrijving minimaal moet voldoen?

En dat gaat het er niet om welke functionaliteiten ze mogen gebruiken, maar om hoe ze dat moeten opschrijven. daar zitten veel collega’s mee.

 

DUIDELIJKHEID.

 

DE Examenlijn antwoordt nu:

U vraagt de Examenlijn om een uitspraak over (juiste) toepassing van de correctieregels. Die uitspraak doen we niet. De Examenlijn beantwoordt vragen van docenten, examensecretarissen, schoolleiders en het LAKS over de centrale examens in het VO. Dergelijke vragen hebben betrekking op (inhoudelijke) onvolkomenheden die vragenstellers in centraalexamenopgaven en/of de correctievoorschriften menen te zien. De Examenlijn onderzoekt of er inderdaad sprake is van een onvolkomenheid en gaat na of maatregelen noodzakelijk zijn.

Uw vraag heeft hierop geen betrekking. Het is onze overtuiging dat onderstaande antwoorden van de Examenlijn volstaan als volledige antwoorden op uw vragen.

Het correctievoorschrift bestaat uit algemene, vakspecifieke en vraaggebonden beoordelingsregels. Die zijn bindend en u past deze toe op grond van uw eigen deskundige oordeel en op een voor u te legitimeren manier. De tweede corrector mag het wel vakinhoudelijk oneens zijn met de eerste corrector. Het is dan aan beide professionals om hier uit te komen.

 

EINDE DISCUSSIE.

 

Mijn slotreactie:

Het betreft inderdaad geen inhoudelijke onvolkomenheden in opgaven of correctievoorschriften maar interpretatie.

Ik ben het helemaal met u eens zoals u het stelt in uw derde alinea: toepassen op een voor de corrector te legitimeren manier en dat vakinhoudelijk kunnen verantwoorden aan de 2e corrector.

Desalniettemin hoop ik dat het College voor Examens of welk echelon ook zich nog eens wil buigen over de (juiste) toepassing van de correctieregels in de zin van de door mij gemaakte opmerkingen.

 

 

 

 

Examen CE VWO wiskunde B en de grafische rekenmachine.

VLAKKE MEETKUNDE

Het VWO wiskunde B-examen bestond uit 18 vragen, waarvan er 4 de vlakke meetkunde betroffen.
Daarvan waren vraag 10 en 18 de “klassieke” bewijsvraag met behulp van de “verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting” zoals ze bij het examen staan opgesomd.

Vraag 11  was geen “bewijs-” maar “toon aan-”vraag waarin gebruik werd gemaakt van het feit dat als twee driehoeken gelijkvormig zijn, dat dan de verhoudingen van de overeenkomstige zijden gelijk zijn, of eigenlijk van een snavelfiguur met vermenigvuldigingsfactor (welke eigenschap niet onder de “verwijzingen” valt…). Er moest daar een lijnstuk exact berekend worden, ook gebruik makend van de zwaartelijnstelling.

EXACT… EN NOOIT ALGEBRAÏSCH

Dat exact kwam verder nog in twee vragen voor in een algebraïsche setting, bij het oplossen van een mooi uitkomende vierdegraadsvergelijking en in een goniosetting.
Bij de vraagstelling kwam nergens de term “algebraïsch” voor alhoewel bij vraag 7 dat best had gekund: eerst de tweedegraadsvergelijking oplossen met de abc-formule en dan (pas) de antwoorden benaderen.
Dat had nog beter gekund bij vraag 15 waar de vergelijking 10 ^{a –b ∙ h}  = 1 immers leidt tot a –b ∙ h = 0 en daarna h = a/b en dat kan een B-leerling toch allemaal zonder een GR! De laatste stap, het afronden van het antwoord, kan daarna altijd nog met de rekenmachine.
In vraag 17 kwam het tot een stelsel van twee vergelijkingen met twee variabelen. Ook daar had de notie “algebraïsch” best bij kunnen staan, want anders kon je het gevraagde met het bepalen van het snijpunt van twee lijnen via de GR bepalen.
Één vragen had wel de toevoeging “met primitiveren”: vraag 6, waarin ook nog een parameter prominent figureerde en de natuurlijke logaritme een grote rol speelde.

EN DE GR.

Echt GR-gebruik was nodig bij vraag 2, 8  en 16 en wellicht 17.
Vraag 2 voegt niets toe en toetst kennis noch inzicht. Een zielloze knoppenexercitie om een vergelijking op te lossen. Maar wel 3 punten van de 26 verdiend.
Bij vraag 8 moet het maximum van een gonio-formule worden bepaald. Die formule is niet te differentiëren dus mag de GR hier z’n werk doen. Als je alles feilloos intikt levert het 3 punten op.

BEWIJZEN

In een aantal vragen ging het over “bewijzen” (beredeneren en/of exacte berekening waaruit de juistheid van het gestelde blijkt) maar dan niet in een vlakke-meetkunde-context.
Dat “exacte” is een toevoeging die “bewijzen” onderscheidt van “aantonen” welk onderscheid pas bestaat sinds de lijst Examen(werk)woorden.
Bij vraag 1 kon het niet anders dan exact, maar bij vraag 5 was die toevoeging essentieel, want anders had het aantonen dat een bepaalde oppervlakte gelijk is aan 6 2/5 gewoon met de integraaloptie van de GR gekund, wat nu niet (meer) de bedoeling was.
Ook vraag 6 was trouwens zo’n bewijsvraag.
Bij vraag 13 en 14 moesten zaken bewezen worden rond een goniometrische functie met parameter.
Bij vraag 13 is dat het bewijs dat de grafiek de x-as raakte in een gegeven punt (π/a , 0). Uit het examenforum komt naar voren dat veel leerlingen daar gaan aantonen dat f _a (π/a) = 0 (wat dus al gegeven is) maar helemaal niet doorhebben dat het gaat om f ‘ _a (π/a) = 0.
Vraag 14 gaat over puntsymmetrie (waarvan op het forum blijkt dat sommige collega’s dat onderwerp wat onderbelicht hebben, net zoals overigens de eerdergenoemde zwaartelijnstelling).

Overigens, in de syllabus staan wel 10 voorbeeldopgaven met “toon aan” maar (nog) geen enkele met “bewijs”. En van die “toon aan-”opgaven wordt nergens een uitwerking gegeven waaraan je je zou kunnen spiegelen.

CONTEXTEN

Nog even wat over de contexten, die bij wiskunde B altijd ter discussie staan.
De opgave “Bal in de sloot” had een context die uiteindelijk leidde tot formules en gegeven grafieken waarbij de context eigenlijk geen rol meer speelde, dus die context was wat het reken- en denkwerk betreft overbodig.
Voor de opgave ‘De ideale stoothoek” vond ik dat minder gelden.
De opgave “Hoogwaterstanden” leek meer op een wiskunde A-opgave. Met name vraag 16 was louter rekenwerk, waar weinig B-eer aan te behalen was (en waar je het grafische van de rekenmachine ook niet bij nodig had). 3 punten in de knip!
De overige opgaven waren allemaal “sec” wiskunig geformuleerd.

CONCLUSIE

Al met al waren er te veel mogelijkheden om de GR in te zetten waar dat niet nodig was (en soms, helaas voor de leerlingen, waar dat niet de bedoeling was). En een enkele keer was de GR nodig op een manier die niets toevoegde aan het toetsen van het B-niveau.
Je zou kunnen zeggen, dat er nog wel redelijk wat B-denkwerk in dit examen zat, maar eigenlijk te weinig B-doewerk, in de zin van algebraïsche vaardigheden.

Rekenen met specifieke opties van de GR: 6 pt
Rekenen zonder specifieke opties van de GR: 15 punten
(waarvan "algebraïsch" geëist kon worden:  12 ptn)
vlakke meetkunde: 17 punten
exacte wiskunde: 38 punten
totaal: 76 punten, waarvan 38 + 17 = 55 punten, dus 72 % voor pure wiskunde en 8 % voor puur GR-rekenwerk (en 20 % voor een vaag tussengebied)

Examenopgaven en correctievoorschrift zijn te vinden op
http://www.cito.nl/onderwijs/voortgezet%20onderwijs/centrale_examens/schriftelijke_examens_havovwo/examens_havovwo_2014/vwo_ce_tv1

 

Grafiek met een horizontaal lijnstuk.

De grafiek van de constante functie f : x → 3 is een horizontale rechte lijn met formule (vergelijking) y = 3.

Het is ook mogelijk om een grafiek met een horizontaal lijnstuk erin te creëren.
Neem de grafiek van de functie  f : x → | x – 3 | + | x – 6 |

 

Merk op dat in deze grafiek een horizontaal lijnstuk voorkomt op het x-interval  [ 3 , 6 ], die samenvalt met de horizontale lijn  y = 3.

Immers er geldt voor deze functie op dit interval:

| x – 3 | = x - 3, omdat  x – 3 ≥ 0  en | x – 6 | = - (x – 6) = 6 – x omdat  x – 6 ≤ 0
En dus is f (x) = x – 3 + 6 – x = 3

Lossen we de vergelijking | x – 3 | + | x – 6 | = 3 op, dan is  3 ≤  x ≤ 6 de (enige) oplossing.
Immers, voor x < 3 wordt de vergelijking 3 – x + 6 – x = 3, maar de oplossing x = 3 voldoet niet.
En voor x > 6 wordt de vergelijking x – 3 + x – 6 = 3, waarvan de oplossing x = 6 ook niet voldoet.
Voor 3 ≤ x ≤ 6 wordt de vergelijking x – 3 – 6 + x = 3 ofwel  0x = 0 en dus voldoet elke x op dit interval.

Het is gemakkelijk na te gaan dat de grafiek van  f : x → | x – a | + | x – b |  met b > a een recht lijnstuk vertoont op het x-interval [ a , b ]  dat samenvalt met de horizontale lijn y = b – a
Met andere woorden: de oplossing van de vergelijking | x – a | + | x – b | = b – a is  a ≤  x ≤  b

Als je in Google als zoekopdracht  sqrt(x+3-4*sqrt(x-1))+sqrt(x+8-6*sqrt(x-1)) opgeeft verschijnt de volgende grafiek:

 

  

Het opvallende hierin is het horizontale lijnstuk op het interval [ 5 , 10 ] dat samenvalt met de horizontale
lijn y = 1.

Dat is interessant om nader te onderzoeken.

Als je verder kijkt bij deze zoekopdracht wordt het duidelijk hoe dit allemaal zit en ook samenhangt met de grafiek van  f : x → | x – a | + | x – b |

Allereerst, het gaat hier om de functie  f : x → √ ( x + 3 - 4√ ( x – 1 ) ) + √ ( x + 8 - 6√ ( x – 1 ) )
Dat betekent allereerst dat  x ≥ 1
Hoe zie je de getallen 1, 5 en 10 hierin terug?
Die 1 zal wel verband hebben met de term  x – 1 onder het wortelteken. Hoe dat komt blijkt als volgt.

Uit de grafiek blijkt dat de oplossing van de vergelijking
√ ( x + 3 - 4√ ( x – 1 ) ) + √ ( x + 8 - 6√ ( x – 1 ) ) = 1  gelijk is aan  5 ≤ x ≤ 10

Met dank aan de oplossing die ik op Google vond kun je schrijven:
√ ( x  - 4√ ( x – 1 ) + 3) + √ ( x - 6√ ( x – 1 ) + 8 ) = 1 
De handigheid zit hem in de substitutie t = √ ( x – 1 ) , omgewerkt tot  t ² = x – 1 en dus  x = t ² + 1
Dat invullen geeft (onder de voorwaarde dat t  ≥ 0):
√ ( t ² + 1 - 4t + 3 ) + √ ( t ² + 1 – 6t + 8 ) = 1 
√ ( t ² - 4t + 4 ) + √ ( t ² - 6t + 9 ) = 1
√ ( t – 2 )²  +  √ ( t – 3 )² = 1
| t – 2 |  + | t – 3 |  = 1
En hierboven hebben we gesteld dat dan de oplossing  2 ≤ t ≤ 3 is.
Met x = t ² + 1  geeft dat  5 ≤ x ≤ 10

Dat betekent dat de grafiek van de functie

f : x → √ ( x + a²  - (b – a) – 2a√ ( x – ( b – a ) ) ) + √ ( x + b² – (b – a) – 2b√ ( x – ( b – a ) ) )
een horizontaal lijnstuk, dat samenvalt met de horizontale lijn y = b – a  laat zien op
het interval [ a² + b - a , b² + b - a]
want de vergelijking √ ( x + a² - (b – a) – 2a√ ( x – (b – a) ) ) + √ ( x + b² - (b – a) – 2b√ ( x – (b – a) ) ) = b – a
is via de substitutie
t  = √ ( x – (b – a ) ) en dus  x = t ² + b - a om te werken tot  √ ( t ² – 2at + a² ) + √ ( t ² – 2bt + b² ) = b – a
en dus  | t – a | + | t – b | = b – a  met als oplossing  a ≤  t  ≤  b

Uitgaande van  b – a = p kun je stellen, dat de grafiek van

f : x → √ ( x + a²  - p  – 2a√ ( x –  p ) + √ ( x + b² – p – 2b√ ( x – p ) een horizontaal lijnstuk heeft op het interval
[ a² + p , b² + p] dat samenvalt met de horizontale lijn y = p   (waarbij b > a en  p = b – a)

Neem a = 1 en b = 3, dan is p = 2 en de functie wordt:

f : x → √ ( x - 1 - 2√ ( x – 2) ) + √ (x + 7 - 6√ ( x – 2 ) )
Het interval voor het lijnstuk is dan [ 3, 11]

 

De grafieken bestaan  links een rechts uit een kromme of een deel ervan, maar niet altijd:

Maar als a ≤ 0 valt het linkerdeel weg.
Want de oplossing van | t – a | + | t – b | = b – a  was  a ≤  t  ≤  b, maar er gold t ≥ 0
Dus is de oplossing bij a ≤ 0 gelijk aan  0 ≤  t  ≤  b
En geldt voor x :  b - a  ≤ x ≤ b² + b – a.
Vanwege de wortel in het functievoorschrift is het domein  [b – a , → >, dus de grafiek begint bij x = b –a met het horizontale lijnstuk

Neem je  a = 0 en b = 3,  dan is  p = 3 en  is de functie
f : x → √ ( x – 3) + √ ( x + 6  – 6√ ( x – 3 ) ),
waarvan de grafiek een recht lijnstuk heeft van (3, 3) tot en met (12,3)

In het algemeen: √ ( x – p) + √ ( x + p²  - p – 2p√ ( x – p ) ) = p  heeft als oplossing p  ≤  x  ≤  p² + p
( t = √ ( x – p) invullen geeft | t | + | t – p |  =  p met  t  ≥ 0, dus 0 ≤ t ≤ p en x =  t² + p)

Voor a < 0 treedt de volgende situatie op:

Bij a = -2 en b = 2 krijg je dus p = 4 en wordt de functie
f : x → √ ( x + 4√ ( x – 4 ) ) + √ ( x  – 4√ ( x – 4 ) ), waarvan de grafiek een recht lijn stuk vertoont van
(4,4) tot en met (8,4).

t = √ (x – 4), dus x = t ² + 4 en je krijgt |t + 2| + |t – 2| = 4, met oplossing -2 ≤ t ≤ 2, maar  t kan niet negatief zijn, dus is de oplossing 0 ≤ t ≤ 4.
Vandaar dat het interval voor x gelijk is aan [ 4 , 8].

Neem je a = -c en b = c met c > 0 dan is de functie

 f : x → √ ( x + c² - 2c + 2c√ ( x – 2c ) ) + √ ( x + c² - 2c  – 2c√ ( x – 2c) )
en is het interval voor het rechte lijnstuk [0, c² + 2c]

Je kunt a en b niet beide negatief nemen, want dan levert a ≤ t ≤ b (≤ 0) en een conflict op met

de substitutie  t = √ (x – 2c), wat inhoudt dat in ieder geval  t ≥ 0 moet zijn.

Maar ondertussen wordt het wel een puur gegoochel met lettertjes, dus stoppen we hier maar.